Trong toán học, bất đẳng thức được định nghĩa như sau: Bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. Đó là kết quả của phép so sánh hai đối tượng a và b với nhau, nó được viết lại thành một trong các dạng sau: a b, a
Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG WWW.ToanCapBa.Net §1.GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1.ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC Trong toán học, bất đẳng thức định nghĩa sau: Bất đẳng thức phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng Đó kết phép so sánh hai đối tượng a b với nhau, viết lại thành dạng sau: a > b, a < b, a �b, a �b Trong kí hiệu >, ‘lớn hơn’; +) < ‘bé hơn’; +) �là ‘lớn bằng’; +) �là ‘bé bằng’; 1 *Ví dụ: < 2; , x �0 ;…… Là bất đẳng thức toán học *Chú ý: -Ta có a > b a – b số nguyên dương Hai đại lượng a, b số cụ thể biểu thức chứa biến -Nếu bất đẳng thức với giá trị biến gọi Bất đẳng thức khơng điều kiện Cịn với số giá trị biến gọi Bất đẳng thức có điều kiện 1.2.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Đây phần quan trọng bất đẳng thức Bất đẳng thức gồm có tính chất sau: 1)Cộng vế hai bất đẳng thức chiều, ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho: a > b, c > d � a + c > b + d 2)Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều, ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ 3)Tính chất đơn điệu phép nhân: a)Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương: a > b, c > � ac > bc b)Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức: a > b, c > � ac < bc 4)Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm: a > b �0, c > d �0 � ac > bd 5.Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức: a > b > � an > bn; a > b � an > bn với n lẻ |a| > |b| � an > bn với n số chẵn 6)So sánh hai lũy thừa số với số mũ nguyên dương Nếu m > n > a > � am > an WWW.ToanCapBa.Net Bùi Quang Thịnh THỨC a = � am = an PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG ; < a < � am < an 7)Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu: 1 a > b, ab > � a b 8)Các bất đẳng thức: a)Ngoài bất đẳng thức a2 �0, -a2 �0 cịn có bất đẳng thức khác có liên quan đến giá trị tuyệt đối: b) |a| �0 Xảy đẳng thức a=0 |a| �a Xảy đẳng thức a �0 |a+b| �|a| + |b|.Xảy đẳng thức ab �0 |a-b| �|a| - |b|.Xảy đẳng thức ab �0 Chứng minh bất đẳng thức |a+b| �|a| + |b|như sau: |a+b| �|a| + |b| (1) � a 2ab b �a | ab | b (Vì hai vế (1)không âm) ۣ ab |ab| (2) Bất đẳng thức (2) đúng, (1)đúng Chứng minh bất đẳng thức|a-b| �|a| - |b| (3) sau: Nếu |a| b a a b2 x y � ax by (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) §2.CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG A)Kiến thức cần nhớ: Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức : A �B (*) Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức (*) bất đẳng thức phổ biến đưa (*) dạng: -Các tổng bình phương: A �B � mX nY pZ �0 Trong m, n, p số khơng âm -Tích thừa số không dấu: A �B ۳ X Y (X, Y dấu) -Tích số khơng âm biểu thức dương(theo điều kiện) A �B ۳ X Y -Xây dựng bất đẳng thức từ điều kiện toán: Nếu x, y, z � a, b ta nghĩ đến bất đẳng thức hiển nhiên đúng: x a x b �0, x a y a z a �0, x b y b z b �0 Một số bất đẳng thức cần nhớ: Với số thực a, b, c ta có: 2 - 4ab � a b �2 a b � a b �0 2 a b c �ab bc ca ab bc ca � a b c �3 a b c Hai bất đẳng thức tương đương với: 1 2 a b b c c a �0 2 2 - ab bc ca �3abc a b c (Đây hệ trực tiếp (x + y + z)2 �3 xy yz zx Ta cần cho x = bc, y = ca, z = ab thu kết trên) B)Các ví dụ: Ví dụ 1.1.1.Chứng minh số thực a, b, c, d, e ta có: a b c d e2 �a b c d e Lời giải: Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh cho 4, ta viết lại thành: a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ae 4e �0 � a 2b a 2c a 2d a 2c �0 Bất đẳng thức cuối đúng, suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e 2 2 Ví dụ 1.1.2.Chứng minh với số thực x, y ta có: x y �xy x y Lời giải: 2 x y �xy x y 2 2 Ta có: � x xy y x x y y �0 � x y x 1 y 1 �0 2 Bất đẳng thức chứng minh Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG Đẳng thức xảy x = y = Ví dụ 1.1.3.Chứng minh với số thực x, y, z ta có: x y z �xy yz xz Lời giải: 2 x y z �xy yz xz 2 2 2 Ta có: � x xy y y yz z z xz x �0 � x y y z z x 2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Ví dụ 1.1.4.Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ab + 2bc + 3ac �0 Lời giải: Theo giả thiết c = -a – b nên bất đẳng thức cho tương đương với: ab c 2b 3a �0 � ab a b 2b 3a �0 � ab 2ab 3a 2b 3ab �0 � 3a 4ab 2b �0 � a a b �0 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ 1.1.5.Chứng minh với số thực x ta có: x x3 x x �0 Lời giải: Ta có: x x x x �0 � x x x x x 1 �0 � x x x 1 2 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều chứng minh Đẳng thức xảy x = Ví dụ 1.1.6.Chứng minh với a > ta có: a 11 a � a2 2a Lời giải: Ta có: Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG a 1 11 a a a 1 � � �0 a2 2a a 1 2a a 1 a 1 a 1 �5 ��0 � �0 � � � 2a �a a � a 1 a 1 �׳�׳ 2 2 5a a a a 1 a 1 a 1 2 9(a 1) 2a (a 1) Bất đẳng thức cuối nên ta có điều chứng minh Đẳng thức xảy a = Ví dụ 1.1.7.Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c � bc ca ab (Bất đẳng thức Nestbit cho ba số thực dương) Lời giải: Hiện có khoảng 50 cách chứng minh bất đẳng thức này, ta chứng minh phương pháp biến đổi tương đương.Ta có: a b c a b c � � �0 bc ca ab bc ca ab a b a c b c b a c a c b � �0 bc bc ca ca ab ab �a b a b � �b c b c � �c a c a � �� � � � � ��0 �b c c a � �c a a b � �a b b c � a b b c c a � b c c a c a a b a b b c 2 �0 Ví dụ 1.1.8.Cho số thực a, b � 0,1 Chứng minh a b ab �1 1 a b 2 Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a (1 b)(a b) ab(2 a b) �0 Vì a, b � 0,1 nên – a �0;1 b �0; a b �0 , ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.1.9.Cho số thực a, b, c Chứng minh : a b2 c �3 a3b b3c c3a Lời giải: Đây toán hay khó, có nhiều lời giải phức tạp, thật bất ngờ lại có lời giải dùng phương pháp biến đổi tương tương Cơ sở phương pháp tìm cách đưa bất đẳng thức dạng Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG (ma nb2 pc2 qab rbc sca)2 (mb2 nc pa qbc rca sab)2 (mc na pb2 qca rab sbc)2 �0 Từ đẳng thức a b c a 3b b3c c 3a 2 2 1 a b 2bc ab ac b c 2ca bc ba c a 2ab ca cb 2 Suy điều phải chứng minh Nhận xét Ngoài ra, ta có số đẳng thức tương tự (mà từ chúng suy bất đẳng thức khó) Ví dụ 1.1.10.Cho a, b, c � 1, 2 a b c Chứng minh a + b + c �0 Lời giải: Ta có a, b, c � 1, 2 nên a 1 a �0 � a �a Tương tự b �b; c �c nên a b c �a b c hay a + b + c �0 Ví dụ.1.1.11.Cho số thực x, y, z khác xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 �1 2 x 1 y 1 z 1 (Đề thi Toán quốc tế năm 2008) Lời giải: 1 Vì xyz = nên x, y, z �0, Đặt a ; b , c ta có: x y z abc = a, b, c khác 0, khác Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 1 � �1 �1 � � � 2 1 a 1 b 1 c � � 1 a 1 b 1 c � � 1 2 � ��1 a b b c c a � � � � a b c ab bc ca � � a b c �� � � ��1 ab bc ca a b c ab bc ca a b c � � � � � � � � a b c a b c �� 1 � � ��1 ab bc ca a b c � � ab bc ca a b c � � � � a b c � 1 � ��1 ab bc ca a b c � � Đó điều phải chứng minh BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1.1.1.Cho số thực x, y Chứng minh rằng: Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG (a) x y � x y x y (b) x y � Bài 1.1.2 Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực a, b a b � a b2 Bài 1.1.3 Cho số thực x, y, z Chứng minh x y z 2 x y z � Bài 1.1.4.Cho số thực m, n, p, q Chứng minh rằng: m2 n2 p2 q � mq np Bài 1.1.5 Cho a, b số thực không âm tùy ý Chứng minh rằng: a b � a b � 2 a b Khi có dấu đẳng thức ? Bài 1.1.6 Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: b + c �19abc Bài 1.1.7.Cho số thực dương a, b Chứng minh ab � ab a b Bài 1.1.8.Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức x y z t �x y z t Bài 1.1.9.Cho số thực a, b Chứng minh 3 4 (a) a b a b �2 a b 4 2 (b) a b �2 a b 6a b Bài 1.1.10.Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG 5a b3 �2a b 3a ab a 11b3 b) �a 3b 4b ab a b ab c) �3 b a a ab b a b 9ab 13 d) � b a a b a) a 2b ab b a b a f ) � e) � 3 2b a b a 2b 3b a ab b 2.2.PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA A)Kiến thức cần nhớ: Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B chứng minh A – B số dương B)Các ví dụ: Ví dụ 1.2.1 Chứng minh x 1 x x 3 x �1 Lời giải: Xét hiệu: x 1 x x 3 x 1 x x x x Đặt x x y , biểu thức y 1 y 1 y �0 Vậy x 1 x x 3 x �1 2.3.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP A)Kiến thức cần nhớ: Nội dung phương pháp quy nạp: Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n xem thỏa mãn hai điều kiện: -Bất đẳng thức với giá trị n -Từ giả thiết bất đẳng thức với n = k k �� suy bất đẳng thức với n = k + Các bước chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp: Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với giá trị n Bước 2:Giả sử bất đẳng thức với n = k (gọi giả thiết quy nạp), sau chứng minh bất đẳng thức với n = k + Bước 3: Kết luận bất đẳng thức cho B)Các ví dụ: Ví dụ 1.3.1.Chứng minh với số nguyên n �5 ta có: 2n n Lời giải: Với n = 5, bất đẳng thức trở thành 25 52 � 32 25 (Đúng) Bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức với n = k k �, k , tức 2k k Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay Bùi Quang Thịnh THỨC 2k 1 k 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG k 1 k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: 2.2 2k 1 Vì k �5 nên 2k k 2k k 2k k 1 k k 3k k 1 2 � 2k k 1 Từ (1) (2) ta có bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.3.2.Cho x �1 số thực cho trước Chứng minh với số nguyên n, ta có n x �1 nx Lời giải: Với n = 1, bất đẳng thức trở thành: + x �1 + x (Đúng) Bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức đến n = k k �, k 1 , tức 1 x k �1 kx Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay k 1 x �1 k 1 x Thật vậy, x �1 � x �0 nên theo giả thiết quy nạp, ta có: k 1 k x x x � x kx x kx k 1 x kx �1 k 1 x k 1 Nên x � x kx �1 k 1 x Hay bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp suy điều phải chứng minh Ví dụ 1.3.3.Chứng minh với số thực a, b thỏa mãn a + b �0 ta có: n a n bn �a b � �� � �2 � Lời giải: Với n = bất đẳng thức hiển nhiên Giả sử bất đẳng thức đến n = k (k �, k 1) , tức k a k bk �a b � �� � �2 � Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay k 1 a k 1 b k 1 �a b � �� � thật vậy, a + b �0 nên theo giả thiết quy nạp ta có: �2 � k 1 k �a b � �a b � a b � � �ף � � �2 � �2 � ak bk a b 2 a k bk a b Bất đẳng thức với n = k + ta chứng minh ף 2 a k 1 b k 1 * Buøi Quang Thònh THỨC Mà (*) tương đương với a k PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG b k a b �2 a k 1 b k 1 � a k 1 b k 1 a k b b k a �0 � a b a k b k �0 ** Vì vai trị a, b nên ta giả sử a �b Khi a - b �0 (1) b , ta có: Mặt khác, từ a + b �0 a k k k (2) a �b��� a� b b a k bk Từ (1) (2) ta có (**) Vậy theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh BÀI TẬP TỰ GIẢI 1.3.1.Chứng minh với số nguyên n ta có: n 1 a) n 3n, n �4 n b) n 4n 5, n �3 1.3.2.Chứng minh với số nguyên n ta có: 1 � , n �3 a) n 1 n nn 1 n ,(n �1) b) n 1.3.3 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 3 a) 13 33 53 2n 1 n 1 2n 1 n n 1 2n 1 10 b) 14 24 34 n 1.3.4 Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức 3n n n 1.3.5 Chứng minh với số tự nhiên n �2 ta có n n n n 1 1.3.6.Chứng minh với n �1 , n ��, ta có: 1 n 1 n 2n 10 1.3.7 Chứng minh bất đẳng thức sau với n ��* 1 79 n 48 1.3.8 Chứng minh với n ��* , ta có: 10 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG 1.5.3.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b+ c �abc Chứng minh có hai 6 số bất đẳng thức sau �6, �6, �6 a b c b c a c a b 1.5.4.Cho số nguyên dương x, y Chứng minh có hai bất đẳng thức sai 1 �1 � 1 �1 � � �2 � , � �2 2� xy y �x x y �x 5� �x x y � � 1.5.5.Cho a, b, c số thực dương thỏa abc = Chứng minh 1 �1 5x 5y 5z 2.6.1.PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN A.Giới thiệu bất đẳng thức CAUCHY Nếu a1, a2, … , an số thực khơng âm a1 a2 an n � a1a2 an n Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM – GM (AM viết tắt arithmetic mean GM viết tắt geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức Cauchy Thật cách gọi tên khơng xác Cauchy nguời đề xuất bất đẳng thức mà người đưa phép chứng minh đặc sắc cho Tuy nhiên, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi Bất đẳng thức Cauchy Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều Toán bất đẳng thức cực trị Trong phạm vi chương trìnhTốn THCS, quan tâm đến ba trường hợp riêng bất đẳng thức Cauchy là: -Trường hợp n = Lúc bất đẳng thức viết lại rằng: Nếu a, b số thực khơng âm, ab � ab thì: Dấu xảy a = b Bất đẳng thức viết hai dạng khác tương đương 2 a b �a b � 2 ab �� �và a b � �2 � -Trường hợp n = Ta có bất đẳng thức Cauchy cho ba biến không âm: Nếu a, b, c số thực abc � abc khơng âm, : Dấu xảy a = b Trong thực tế áp dụng, ta sử dụng dạng khác tương đương bất đẳng thức là: �a b c � abc �� � � � 20 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG -Trường hợp n = Trong trường hợp này, ta có bất đẳng thức Cauchy cho bốn biến không âm: Nếu a, b, c, d số thực khơng âm, abcd � abcd Dấu xảy a = b= c =d Tương tự hai trường hợp khác, ta thường hay sử dụng bất đẳng thức dạng �a b c d � abcd �� � � � ab � ab ta suy -Ngồi ra, từ trường hợp bất đẳng thức Cauchy có n = có dạng bất đẳng thức tương đương : a b �2ab a b �2 ab a b �4ab 1 � a b a b B.Các kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy B.1.Kỹ thuật sử dụng Cauchy trực tiếp 1 Ví dụ 1.6.1 Cho số dương a, b thỏa mãn Chứng minh a b �2 a b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có 1 2 � � ab a b ab Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy lần nữa, ta a b �2 ab �2.1 Đẳng thức xảy a = b =1 Ví dụ 1.6.2 Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh ab cd � a d b c Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a b c d ף� ad bc bc ad Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y xy � , ta có 21 Bùi Quang Thịnh THỨC a b c d ף� ad bc bc ad ad bc a d b c 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG a b ad bc c d bc ad b �a � a b �a d b c � Đẳng thức xảy � ad bc �c d �b c a d �1 1 � Ví dụ 1.6.3.Cho x, y, z số thực dương Chứng minh a b c � ��9 �a b c � Lời giải: 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a b �2ab , dễ thấy x2 y2 z2 x2 y2 z2 P �2 1 x yz y zx z xy x y z y z x z x y Đẳng thức xảy x = y = z Ví dụ 1.6.4.Cho số dương a, b, c Chứng minh 1 1� a b c � � ��9 �a b c � Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ba số, ta có: 1 a b c �3 abc 0, �3 0 a b c abc �1 1 � � a b c � ��3 abc �3 9 abc �a b c � Dấu xảy a = b = c >0 B.2.Kỹ thuật ghép đối xứng Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật “Ghép đối xứng” để toán trở nên đơn giản Ở toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp phải hai dạng toán sau: -Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z �A + B + C Ý tưởng Nếu ta chứng minh X + Y �2A Sau đó, tương tự hóa để Y + Z �2B Z + X �2C (Nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh -Dạng 2.Chứng minh XYZ �ABC với X, Y, Z �0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY �A2 Sau tương tự hóa để YZ �B2 ZX �C2 (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức vế theo vế lấy bậc hai , ta có XYZ � A B2 C2 = ABC �ABC Ví dụ 1.6.5.Chứng minh với a, b, c dương ta có 22 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG abc � b c a c a b a b c Lời giải: Bất đẳng thức có dạng XYZ �ABC, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta cần chứng minh: b � a b c b c a Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y �xy , suy � a b c b c a � � b2 a b c b c a �� Bài toán giải xong Dấu xảy a = b = c Ví dụ 1.6.6.Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca �a b c c a b Lời giải: Bài tốn có dạng X + Y + Z �A + B + C với ab bc ca ab bc X , Y , Z , A a, B b, C c Để ý hai biểu thức đối xứng với b c a b c a (tức vai trò a c nhau) Do đó, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta thử chứng minh ab bc �2b c a Quả thật, bất đẳng thức hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy ab bc ab bc �2 � c a c a Từ đó, tốn giải hồn tồn Ví dụ 1.6.7.Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thỏa mãn 3 a b c b c a c a b a b3 c Chứng minh tam giác tam giác Lời giải: x y Bổ đề: Với x, y > 0, ta có x y � 3 2 Chứng minh: Do x y x y x xy y nên bất đẳng thức tương đương với: x xy y 2 x y � Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng x xy y x y 3xy � x y 2 2 x y xy � x y 3� Để ý a, b, c tam giác hiển nhiên ta có: 2 , ta x y 23 Bổ đề chứng minh Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > Áp dụng bổ đề, ta có: � a b c b c a � � 2b3 �� a b c b c a � b c a c a b � � 2c b c a c a b �� 3 � c a b a b c � � 2a c a b a b c �� Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế rút gọn hai vế bất đẳng thức thu cho 2, ta có: 3 a b c b c a c a b a b3 c 3 Theo giả thiết dấu xảy ra, ta phải có: abc bca � � b c a c a b � a b c � � cab abc � Điều chứng tỏ tam giác cho tam giác Ví dụ 1.6.8.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: ab bc ca 5 �1 5 a b ab b c bc c a ca Lời giải: 5 2 Bổ đề Với a, b > 0, ta có: a b �a b a b 5 2 Chứng minh: Ta có a b a b a a b a b ab b Do bất đẳng thức tương đương a a3b a 2b ab3 b �a 2b � a b �a 3b ab3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy bốn số, ta có: a a a4 b4 a b4 b4 b4 a 3b � , ab3 � 4 Cộng hai bất đắng thức lại, ta thu kết Bất đẳng thức chứng minh Sử dụng bổ đề kết hợp với giả thiết abc = 1, ta có kết ab ab 1 �2 5 a b ab a b a b ab ab a b ab a b c c abc 24 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG Tương tự: bc a ca b � , � 5 b c bc a b c c a ca a b c Cộng ba bất đẳng thức lại vê theo vế, ta thu ab bc ca abc 5 � 1 5 a b ab b c bc c a ca a b c B.3.Kỹ thuật đặt ẩn phụ kết hợp Cauchy Trong bất đẳng thức, có quy luật chung, “Trong dạng cụ thể, bất đẳng thức nhiều biến khó” Điều đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán trở nên đơn giản ta đưa bất đẳng thức nhiều biến dạng biến hơn” Kỹ thuật đặc ẩn phụ cơng cụ hữu ích để thực ý tưởng Ví dụ 1.6.9.Cho x, y hai số thực khác Chứng minh rằng: 4x2 y x2 y �3 2 2 y x x y Lời giải: Để ý bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 4x2 y x Đặt x t y2 x y 2 � 4x2 y x y 2 y2 x y2 x2 y 2 �5 t t t �۳۳5 t 5t t Ta toán dạng biếu đơn giản là: Theo bất đẳng thức Cauchy , ta dễ thấy t �4 Suy t – > 0, t – �0 t 1 t �0 tốn giải hồn tồn Từ ta t 25 t 1 t t Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG Đẳng thức xảy x y � x �y 1 Chứng minh : x y z x y z �1 Ví dụ 1.6.10 Cho x, y, z > Lời giải: Với giả thiết x, y, z lớn 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc Hãy xét lời giải sau: Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + với a > 0, b > 0, c > Bài toán quy chứng minh abc �1 với a, b, c > thỏa mãn 1 a b c 1� Đến ta đặt tiếp a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c m ,n ,p � m n p 1 a2 b2 c2 a2 2 n p 2m 1 � 1 �a Ta có: m a a a m m n p 2n 2p ,c Tương tự: b pm mn Do bất đẳng thức trở thành 2m 2n 2p �� �ף1 m n n p p m 8mnp n p p m m n Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có m n n p p m � mn np pm 8mnp Bài toán giải xong Đẳng thức xảy � m n p � a b c � x y z Cách khác Sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng Ta có: 1 1 � �1 � �1 1 � � � � c2 a b �2 a � �2 b � Tương tự a b ab � a 2 b 2 b 2 c 2 ca � , b2 c 2 a bc � a2 b 2 c 2 Nhân ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta abc � � abc a 2 b 2 c a b 2 c Ví dụ 1.6.11.Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn ab = cd = Chứng minh a b c d �2 a b c d Lời giải: 26 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG Để ý đặt x = a + b, y = c + d, bất đẳng thức bốn biến cần chứng minh tương đương quy dạng hai biến đơn giản là: xy �2 x y � x y y �0 � y x �0 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có: a b �2 ab 2, c d �2 cd Suy x – �0 y – �0 Từ ta có y x �0 Bài toán chứng minh xong Dấu xảy � a b c d Ví dụ 1.6.12.Cho a, b, c số dương thỏa mãn abc = Chứng minh 1 �1 2a 2b 2c Lời giải: x y z Đặt a , b , c với x, y, z > Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : y z x 1 y z x �1 � �1 x y z x y y z z x 1 1 1 y z x Tới đây, cách tự nhiên, ta nghĩ đến việc áp dụng Cauchy cho bước đánh giá, phân thức trở nên có mẫu(như tốn trở nên đơn giản) Ta làm sau: y 2z y y 2z y y 2z y y � 2 2x y 2x y 2z y � 2x y 2z y � � � x y z z 2x z x 2y x z x � , � Tương tự : 2x y x y z 2z x x y z Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: y 2z y z 2x z x y x y z x � 2 x y y z 2z x x y z xy yz zx x y z x y z 1 Chứng minh hoàn tất 2x y 2z y � � y z 2x z � x y z � a b c Đẳng thức xảy � � � 2z x y x � B.4 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu Ví dụ 1.6.13.Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 27 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG a b c � 2 1 b 1 c 1 a Lời giải: Để ý theo bất đẳng thức Cauchy thì: a ab ab ab a � a a 2 1 b 1 b 2b b bc c ca �b , �c Hồn tồn tương tự , ta có: 2 1 c 1 a Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, suy a b c ab bc ca ab bc ca �a b c 3 2 1 b 1 c 1 a 2 Vậy chứng minh hoàn tất ta rằng: ab + bc + ca �3 Điều hiển nhiên ab bc ca � a b c 3 Bài toán giải xong Dấu đẳng thức xảy � a = b = c = Ví dụ 1.6.14.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 a bc � 2 2 2 a b b c c a Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a3 ab ab b a � a a 2 2 a b a b 2ab 3 b c c a Tương tự ta có: 2 �b , �c b c c a Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế, ta có kết cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 1.6.15.Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rẳng a 1 b 1 c 1 �3 b2 c a Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: b a 1 b a 1 a 1 b ab a � a a 1 2 b 1 b 1 2b b 1 c bc c a ca �b , �c Tương tự c 1 a 1 Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca � 3 b 1 c 1 a 1 2 28 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG ab bc ca a b c � 3 2 Đẳng thức xảy a = b = c =1 Ví dụ 1.6.14.Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh a b c � b ab c bc a ca Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b b 1 1 �1 � � � � 1� 2 b ab b a b b ab b a b �a � b 1 �1 � c 1 �1 � � � 1� , � � 1� Tương tự: c bc c �b �a ca a �c � Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta a b c �1 1 � � � � b ab c bc a ca �a b c � Và toán quy chứng minh �1 1 � 3 1 � � � � �3 �a b c � a b c �1 � �1 � �1 � � � a � � b � � c ��3 a b c �a � �b � �c � Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 a �2, b �2, c �2 a b c Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = B.5.Kỹ thuật đánh giá điểm biên Ví dụ 1.6.15.Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh rằng: xy z x y �1 xy Lời giải: Ta quy toán việc chứng minh bất đẳng thức bậc xy z x y z x y x y z xy � x z y z �1 x y �x y z xy Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2 2 x y x y xy �2 x y x y x y � x y �x y 29 Buøi Quang Thịnh THỨC Do ta cần chứng minh: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG z x z y �z xy � z xy z x y �z xy z xy � z x y �0 (Đúng) � �x y Bài tốn chứng minh hồn tồn Đẳng thức xảy � � � �z Ví dụ 1.6.16.Cho số x, y, z �0 x + y + z = Chứng minh x y z �4 x y z Lời giải: Do x + y + z = nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: x y z x y z �4 x y y z z x Do vai trò x z bất đẳng thức nên ta hồn tồn giả sử x �z 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a b �4ab , ta có x y z �4 x y z Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta x x y z � x y z x � y x z �0 hiển nhiên theo giả sử x �z Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy � x z , y 2.6.2.SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY A.Giới thiệu bất đẳng thức Bunyakovsky Trong lĩnh vực Toán sơ cấp, với bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovzky hai bất đẳng thức thông dụng phổ biến tính đơn giản hiệu chúng Ở phần trước, tìm hiểu bất đẳng thức Cauchy kỹ thuật sử dụng giải tốn Trong phần này, tìm hiểu thêm bất đẳng thức thứ hai, bất đẳng thức Bunyakovsky Bất đẳng thức phát biểu sau: Với hai số thực a1 , a2 , an b1 , b2 , , bn ta có a12 a22 an2 b12 b22 bn2 � a1b1 a2b2 anbn (*) Trong đẳng thức xảy tồn số thực k cho a1 kb1 với i = 1, 2,…,n Bất đẳng thức (*) nhà Toán học Augustin Louis Cauchy đề xuất vào năm 1821 Sau đó, vào năm 1859, học trị ơng Viktor Yakovlevich Bunyakovesky (1804 – 1889, nhà Toán học người Nga) mở rộng kết cho tích phân Và đến năm 1885, nhà Toán học người Đức Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921) chứng minh kết tổng quát bất đẳng thức trường hợp khơng gian tích Do vậy, bất đẳng thức Cauchy, cụm từ “Bất đẳng thức Bunyakovesky” mà ta thường dùng thật cách gọi tên khơng xác mà phải gọi bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovesky - Schwarz Tuy nhiên, để phù hợp với chương trình sách giáo khoa nước ta, xuyên suốt tài liệu này, gọi tên bất đẳng thức bất đẳng thức Bunyakovesky Ngồi ra, từ bất đẳng thức (*) ta suy hệ khác hay sử dụng cho toán bất đẳng thức dạng phân thức, bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức 30 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG Bất đẳng thức phát biểu sau :Cho a1 , a2 , an b1 , b2 , , bn hai dãy số thực với b1 0, i a a1 a2 an2 a1 a2 an a12 a22 n Đẳng thức xảy � b1 b2 bn b1 b2 bn b1 b2 bn Ở trên, giới thiệu với bạn đọc bất đẳng thức Bunyakovesky hệ trường hợp tổng quát (số biến không xác định) Tuy nhiên, phạm vi chương trình Tốn THCS quan tâm nhiều đến hai trường hợp n = n = -Với n = 2, ta có 2 2 _Nếu a, b, x, y số thực, thì: a b x y � ax by Đẳng thức xảy a b x y _Nếu a, b, x, y số thực x, y > 0, Đẳng thức xảy a b2 a b � x2 y x y a b x y -Với n = 3, ta có 2 2 2 _Nếu a, b, c, x, y, z số thực, thì: a b c x y z � ax by cz Đẳng thức xảy a b c x y z a b2 c a b c _Nếu a, b, c, x, y, z số thực x, y, z > 0, � x y z x yz a b c Đẳng thức xảy x y z B.Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky Chúng ta mở đầu phần số ví dụ đơn giản mà ta thấy cách sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky Ví dụ 1.6.17.Cho a, b, c ��và a + b + c = Chứng minh a b2 c2 � Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky, ta có: 1 a b c � a b c � a b c � a b c � � Đẳng thức xảy �1 1 � a b c � a b c 1 � Ví dụ 1.6.18.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 31 Buøi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG a2 b2 c2 a b c � b 3c c 3a a 3a Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức, ta có: a b c a2 b2 c2 abc � b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a a 3b Bài toán chứng minh xong a b c � abc Đẳng thức xảy b 3c c 3a a 3b Ví dụ 1.6.20.Cho x, y, z > Chứng minh x2 y2 z2 �1 x yz y zx z xy Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức, ta có: x y z VT � 1 x yz y zx z xy Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy x y z � x yz x yz y zx z xy Ví dụ 1.6.21.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 36 � a b c a bc Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức ta có: 22 32 3 36 � a b c a b c abc a bc Đẳng thức xảy a b c Có thể thấy ví dụ trên, bình phương có sẵn ta dễ dàng nhận cách sử dụng Bunyakovesky cho hợp lí Tuy nhiên, phần lớn toán bất đẳng thức, bình phương khơng có sẵn Có vẻ lúc việc sử dụng Bunyakovesky khơng cịn hiệu ? Thật ra, không hẳn vậy, ta hồn tồn thêm bớt lượng thích hợp để tạo bình phương Ví dụ 1.6.22.Cho x, y, z > x y z Chứng minh x y z �3 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovesky, ta được: 32 Buøi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG 2 x4 y z x y z Bài toán quy chứng minh x y z � x y z x yz x yz �3 � x y z �3 � x y z �9 Kết theo bất đẳng thức x y z 3 Bunyakovesky x y z � 1 x y z Đẳng thức xảy x = y = z x Nhân xét: Bất đẳng thức cho viết dạng x y2 z2 y3 z3 �3 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1.6.23.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 b2 c2 �1 bc ca ab 1.6.24.Chứng minh với a, b, c, d > 0, ta có ab cd � a d b c 1.6.25.Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh 1 16 64 � a b c d abcd 1.6.26.Cho x, y, z > x y z Chứng minh 1 � xy yz zx 1.6.27.Cho x, y, z, t > xy zt yz xt Chứng minh xy zt �3 1 Chứng minh x y z 1 �1 2x y z y z x 2z x y 1.6.28.Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1.6.29.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh rằng: 1 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b 16 1.6.30.Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c �3 Chứng minh 2009 �670 2 a b c ab bc ca 1.6.31.Chứng minh với a, b, c > 0, ta có: 33 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG 1 1 � � �3 � � a b c �a 2b b 2c c 2a � 1.6.32.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 1 1 � � �3 � � bc ca a b �3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b � MỤC LỤC §1.Giới thiệu bất đẳng thức……………………………………………………………… §2.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức…………………………………………… 2.1.Phương pháp biến đổi tương đương……………………………………………… 2.2.Phương pháp dùng định nghĩa …………………………………………………… 2.3.Phương pháp quy nạp…………………………………………………………… 2.4.Phương pháp làm trội, dùng tổng sai phân…………………………………………11 2.5.Phương pháp phản chứng………………………………………………………… 18 2.6.Phương pháp dùng bất đẳng thức kinh điển……………………………………… 20 34 ... kiện: -Bất đẳng thức với giá trị n -Từ giả thiết bất đẳng thức với n = k k �� suy bất đẳng thức với n = k + Các bước chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp: Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức. .. bất đẳng thức (*) ta suy hệ khác hay sử dụng cho toán bất đẳng thức dạng phân thức, bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức 30 Bùi Quang Thịnh THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG Bất đẳng thức. .. toán chứng minh xong Đẳng thức xảy � x z , y 2.6.2.SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY A.Giới thiệu bất đẳng thức Bunyakovsky Trong lĩnh vực Toán sơ cấp, với bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức