Cach chung minh bat dang thuc

Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric mean) Ở nước [r]

§1.GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1.ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC

Trong toán học, bất đẳng thức định nghĩa sau: Bất đẳng thức phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng Đó kết phép so sánh hai đối tượng a b với nhau, được viết lại thành dạng sau: a > b, a < b, a  b, a  b.

Trong kí hiệu >, <, ,  hiểu theo nghĩa: +) > ‘lớn hơn’;

+) < ‘bé hơn’;

+)là ‘lớn bằng’; +) ‘bé bằng’; *Ví dụ: < 2;

1

23, x2 0

;…… Là bất đẳng thức toán học *Chú ý:

-Ta có a > b a – b số nguyên dương Hai đại lượng a, b số cụ thể biểu thức chứa biến

-Nếu bất đẳng thức với giá trị biến gọi Bất đẳng thức khơng điều kiện Cịn với số giá trị biến gọi Bất đẳng thức có điều kiện.

1.2.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Đây phần quan trọng bất đẳng thức

Bất đẳng thức gồm có tính chất sau:

1)Cộng vế hai bất đẳng thức chiều, ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho:

a > b, c > d a + c > b + d

2)Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều, ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ

3)Tính chất đơn điệu phép nhân:

a)Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương: a > b, c > 0 ac > bc

b)Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức: a > b, c > 0 ac < bc

4)Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm: a > b0, c > d0 ac > bd

5.Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức: a > b > 0 an > bn;

a > b an > bn với n lẻ

|a| > |b|  an > bn với n số chẵn

6)So sánh hai lũy thừa số với số mũ nguyên dương Nếu m > n > a > 1 am > an

7)Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu:

a > b, ab > 0

1

a b

8)Các bất đẳng thức:

a)Ngoài bất đẳng thức a2 0, -a20 cịn có bất đẳng thức khác có liên

quan đến giá trị tuyệt đối:

b) |a|0 Xảy đẳng thức a=0

|a|a Xảy đẳng thức a0

|a+b||a| + |b|.Xảy đẳng thức ab 0 |a-b||a| - |b|.Xảy đẳng thức ab 0

Chứng minh bất đẳng thức |a+b||a| + |b|như sau: |a+b||a| + |b| (1)

2 2

a 2ab b a |ab| b

     

(Vì hai vế (1)khơng âm) ab |ab|

 

(2)

Bất đẳng thức (2) đúng, (1)đúng

Chứng minh bất đẳng thức|a-b||a| - |b| (3) sau: Nếu |a|<|b| (3) hiển nhiên

Nếu |a||b| (3) tương dương với

 

2 | | | | 2 2 2 2 | | | |

a b  a  b  a  ab b a  ab b  ab ab (4) Bất đẳng thức (4) đúng, (3)

9)Cũng cần nhớ thêm số bất đẳng thức khác để giải tốn sử dụng chúng bổ đề, chẳng hạn:

a2 + b2  2ab; a + b 2 ab;

a b 2 4ab

; Bất đẳng thức Cô-si

1

a b a b ;

2

a b

ab 

 



 

 

Dấu xảy a = b

a b

ba  với a, b > 0

a2 b2 x2 y2 ax by2

   

(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

§2.CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1.1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG A)Kiến thức cần nhớ:

Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức (*) bất đẳng thức phổ biến đưa (*) dạng:

-Các tổng bình phương: A  B  mX2nY2pZ20 Trong m, n, p số khơng âm -Tích thừa số không dấu: A  B  X Y 0(X, Y dấu).

-Tích số khơng âm biểu thức dương(theo điều kiện) A  B  X Y2 0

-Xây dựng bất đẳng thức từ điều kiện toán: Nếu x, y, z a b,  ta nghĩ đến bất đẳng thức hiển nhiên đúng:

x a x b     0,x a y a z a        0,x b y b z b        0 Một số bất đẳng thức cần nhớ: Với số thực a, b, c ta có:

- 2  2  2 

4ab a b 2 a b  a b 0

2 2

a b c ab bc ca 

   2  2 2

3 ab bc ca   a b c  3 a b c Hai bất đẳng thức tương đương với:

 2  2  2

1 1

0 a b 2 b c 2 c a 

-ab bc ca  2 3abc a b c   

(Đây hệ trực tiếp (x + y + z)23xy yz zx   Ta cần cho x = bc, y = ca, z = ab là

thu kết trên) B)Các ví dụ:

Ví dụ 1.1.1.Chứng minh số thực a, b, c, d, e ta có:

 

2 2 2

a b c d e a b c d e  

Lời giải:

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh cho 4, ta viết lại thành:

       

2 2 2 2

2 2

4 4 4 4

2 2

a ab b a ac c a ad d a ae e

a b a c a d a c

           

        

Bất đẳng thức cuối đúng, suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e Ví dụ 1.1.2.Chứng minh với số thực x, y ta có:

2 1

x y  xy x y 

Ta có:      

2

2 2

2 2

1

2 2

1

x y xy x y

x xy y x x y y

x y x y

    

         

      

Bất đẳng thức chứng minh

Đẳng thức xảy x = y =

Ví dụ 1.1.3.Chứng minh với số thực x, y, z ta có:

2 2

x y z xy yz xz 

Lời giải:

Ta có:      

2 2

2 2 2

2 2

2 2

x y z xy yz xz

x xy y y yz z z xz x

x y y z z x

    

         

     

Bất đẳng thức chứng minh

Đẳng thức xảy x = y = z

Ví dụ 1.1.4.Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ab + 2bc + 3ac  0

Lời giải:

Theo giả thiết c = -a – b nên bất đẳng thức cho tương đương với:

     

 

2 2

2

2 3

2 3

2

ab c b a ab a b b a

ab ab a b ab a ab b

a a b

        

         

   

Bất đẳng thức chứng minh

Đẳng thức xảy a = b = c =

Ví dụ 1.1.5.Chứng minh với số thực x ta có: x4  2x32x2  2x 1

Lời giải: Ta có:

   

4 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0

x  x  x  x   x  x x  x  x 

x2 x2 x 12

   

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều chứng minh Đẳng thức xảy x =

 

2

5 11

1 2

a a

a a



 



Lời giải: Ta có:

   

 

 

   

 

 

   

2

2

2 2

2

2 2 2 2

2

5 11 1

5

1 2 2

1 1

0

2

2

1 5 1 9( 1)

0

2 2 ( 1)

a a

a a

a a a a

a a a

a a a

a

a a a a a a

a a a a

 

      

 

     

      



  

      

     

 

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều chứng minh Đẳng thức xảy a =

Ví dụ 1.1.7.Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

3

a b c

b c c a a b 

(Bất đẳng thức Nestbit cho ba số thực dương) Lời giải:

Hiện có khoảng 50 cách chứng minh bất đẳng thức này, ta chứng minh phương pháp biến đổi tương đương.Ta có:

 

   

 

   

 

   

2 2

3 1

0

2 2

0

0

a b c a b c

b c c a a b b c c a a b

a b a c b c b a c a c b

b c b c c a c a a b a b

a b a b b c b c c a c a

b c c a c a a b a b b c

a b b c c a

b c c a c a a b a b b c

         

     

     

      

     

     

     

       

     

     

  

   

     

Ví dụ 1.1.8.Cho số thực a b, 0,1 Chứng minh

1

1 2

a b ab a b



  

 

Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

 

3 1 a (1 b a b)(  )ab(2 a b ) 0

a2 b2 c22 3a b b c c a3 3 

    

Lời giải:

Đây tốn hay khó, có nhiều lời giải phức tạp, thật bất ngờ lại có lời giải dùng phương pháp biến đổi tương tương

Cơ sở phương pháp tìm cách đưa bất đẳng thức dạng

2 2 2 2 2 2

(ma nb pc qab rbc sca   ) ( mb nc pa qbc rca sab   ) ( mc na pb qca rab sbc   ) 0

Từ đẳng thức

   

     

2

2 2 3

2 2

2 2 2

3

1 1

2 2

2 2

a b c a b b c c a

a b bc ab ac b c ca bc ba c a ab ca cb

     

              

Suy điều phải chứng minh

Nhận xét Ngoài ra, ta có số đẳng thức tương tự (mà từ chúng suy bất đẳng thức khó)

Ví dụ 1.1.10.Cho a, b, c  1, 2 a2b2 c2 6 Chứng minh a + b + c  0 Lời giải:

Ta có a b c, ,   1, 2 nên    

2

1 2

a a   a  a

Tương tự b2 2b c; 2 2cnên a b c a   2b2c2 6 hay a + b + c  0

Ví dụ.1.1.11.Cho số thực x, y, z khác xyz = Chứng minh rằng:

     

2 2

2 2

1 1

x y z

x  y  z 

(Đề thi Toán quốc tế năm 2008) Lời giải:

Vì xyz = nên x, y, z 0, Đặt

1 1 ; ,

a b c

x y z

  

ta có: abc = a, b, c khác 0, khác

     

           

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 2

2

2

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1

2

1 1 1

3

2

3

1

a b c

a b c

a b b c c a

a b c ab bc ca a b c

ab bc ca a b c ab bc ca a b c

a b c a b c

ab bc ca a b c ab bc ca a b c

 

        

  

 

  

 

     

     

 

            

      

         

   

        

    

         

 

 

 

1

1 a b c

ab bc ca a b c

 

 

 

    

   

    

 

Đó điều phải chứng minh

BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1.1.1.Cho số thực x, y Chứng minh rằng:

(a)

 2

2

2

x y x  y  

(b)

 4

4

8

x y x y  

Bài 1.1.2 Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực a, b  

2

2

a b  a b

Bài 1.1.3 Cho số thực x, y, z Chứng minh

 2

2 2

3

x y z x y z   

Bài 1.1.4.Cho số thực m, n, p, q Chứng minh rằng:      

2

2 2

m n p q  mq np

Bài 1.1.5 Cho a, b số thực không âm tùy ý Chứng minh rằng: a b  a b 2a b 

Khi có dấu đẳng thức ?

Bài 1.1.6 Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: b + c 19abc

2 ab

ab a b 

Bài 1.1.8.Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức  

2 2

x y z t x y z t 

Bài 1.1.9.Cho số thực a, b Chứng minh (a)     

3 2 4

a b a b  a b

(b)    

4 4 2

2

a b  a b  a b Bài 1.1.10.Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng:

3

2

3

2

2

2

5

)

3 11

)

4

)

9 13 )

2

a b

a a b

a ab

a b

b a b

b ab

a b ab

c

b a a ab b

a b ab

d

b a a b



  



  

  

 

  



 

2

)

3

b a b a

e

b a ab b



 

   

2

3

2

)

2 2

a b ab

f

b a b   a  b  2.2.PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA

A)Kiến thức cần nhớ:

Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B chứng minh A – B số dương B)Các ví dụ:

Ví dụ 1.2.1 Chứng minh x1 x 2 x 3 x 4 1 Lời giải:

Xét hiệu:

x 1 x 2 x 3 x 4  1 x2 5x 4 x2 5x 6 1

           

Đặt x2 5x 5 y, biểu thức    

2

1 1

y y  y 

Vậy x1 x 2 x 3 x 41 2.3.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP A)Kiến thức cần nhớ:

Nội dung phương pháp quy nạp: Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n xem thỏa mãn hai điều kiện:

-Từ giả thiết bất đẳng thức với n = k k  suy bất đẳng thức với n = k + Các bước chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp:

Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với giá trị n

Bước 2:Giả sử bất đẳng thức với n = k (gọi giả thiết quy nạp), sau chứng minh bất đẳng thức với n = k +

Bước 3: Kết luận bất đẳng thức cho B)Các ví dụ:

Ví dụ 1.3.1.Chứng minh với số nguyên n5ta có: 2n n2 Lời giải:

Với n = 5, bất đẳng thức trở thành 25 52 32 25 (Đúng)

Bất đẳng thức với n =

Giả sử bất đẳng thức với n = k k,k 5, tức 2k k2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay

 2

1

2k k

 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có:  

1

2k 2.2k 2k

 

Vì k 5 nên

     

   

2

2 2

2

2 2 1 1

2

k k k k k k k k k k

k k

             

  

Từ (1) (2) ta có bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.3.2.Cho x1 số thực cho trước Chứng minh với số nguyên n, ta có

1xn  1 nx

Lời giải: Với n = 1, bất đẳng thức trở thành: + x 1 + x (Đúng) Bất đẳng thức với n =

Giả sử bất đẳng thức đến n = kk,k1, tức

1xk  1 kx

Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay

1 xk1 k 1x

   

Thật vậy, x 1 x 1 0 nên theo giả thiết quy nạp, ta có:

         

       

1

2

1 1 1

1 1 1

k k

x x x x kx

x kx k x kx k x



      

        

Nên        

1

1 x k x kx k x

      

2

n n n

a b a b 

 

 

Lời giải: Với n = bất đẳng thức hiển nhiên

Giả sử bất đẳng thức đến n = k (k ,k1), tức

2

k k k

a b a b 

 

 

Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay

1

1

2

k

k k

a  b  a b 

   

 

  thật vậy, a + b 0 nên theo giả thiết quy nạp ta có:

2 2 2

k k k k

a b  a b a b a b a b

    

   

   

   

   

Bất đẳng thức với n = k + ta chứng minh  

1

*

2 2

k k k k

a b a b a  b 

  

 

Mà (*) tương đương với

    

    

1 1

2

0 **

k k k k k k k k

k k

a b a b a b a b a b b a

a b a b

   

        

   

Vì vai trị a, b nên ta giả sử a b Khi a - b 0(1) Mặt khác, từ a + b 0 ab, ta có:

0 k k k k k

ab   a b b  a  b 

(2) Từ (1) (2) ta có (**)

Vậy theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh BÀI TẬP TỰ GIẢI 1.3.1.Chứng minh với số nguyên n ta có:

a)  

1

2n ,

n n n



  

b)  

2

3n 5,

n n n

   

1.3.2.Chứng minh với số nguyên n ta có:

a)  

1 1

,

1 n

n n  n n  

b)

1 1

1 ,( 1)

2 n n n

     

1.3.3 Chứng minh với số nguyên dương n ta có:

a)      

3

3 3

b)

  2 

2

4 4

1

10

n n n

n  

    

1.3.4 Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức 3n 2n 7n

1.3.5 Chứng minh với số tự nhiên n2ta có  1

n n

n  n

1.3.6.Chứng minh với n 1, n , ta có:

1 1

1 2 10

n n   n

1.3.7 Chứng minh bất đẳng thức sau với n *

2 2

1 1 79

2 n 48

    

1.3.8 Chứng minh với n *, ta có:

2

1

2 n

   

1.3.9 Cho n số nguyên phân biệt a a1, , , an Chứng minh

 

2 2

1 2

2

n n

n

a a  a   a a  a

(Đề chọn đội tuyển dự thi Toán quốc tế, Rumani năm 1999) 2.4.PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, DÙNG TỔNG SAI PHÂN A.Kiến thức cần nhớ:

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A < B

Ý tưởng phương pháp làm trội A < C chứng minh C < B Đôi để chứng minh bất đẳng thức dạng

f x 1  f x 2   f x n M

Ta làm trội f x i G y i1 G y i để thu

f x 1  f x 2   f x n G y n G y 1

Sau ta cịn phải chứng minh bất đẳng thức đơn giản G y n G y 1 M

*Chú ý;

+Nếu a b thì

a a x

b b x

 



+Nếu a

b  thì

a a x

b b x

 



-Một số tổng sai phân thường dung:

a)  

1 1 1

1.2 2.3 3.4    n1 n   n

         

 

1 1

)

2

1 1

b

x x d x d x d x n d x nd

n

d x x nd x x nd

   

       

 

   

 

 

     

       

1 1

)

1.2 2.3 1

1 1

, 0, 1.2 1

c

k k n n n k

m d

k k n n n k

   

   

 

      

       

Các đẳng thức chứng minh nên ý rằng: a)  

1 1

,

1 m

m m m m   

b)     

1

, 0,

d

m d

x md x md d   x md  x m d   

c)

   

 

 

       

1

1 ( 1)

1

, 0, *

m k m

k

m m m k m m m k

m k

m m m k m m k

   

 

     

    

      

B.Các ví dụ:

Ví dụ 1.4.1.Cho số dương a, b, c, d, e Chứng minh rằng:

a)1

a b c

a b b c c a

   

  

b)1

a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

c)2

a b b c c d d e e a

a b c d b c d e c d e a d e a b e a b c

    

     

              

a) Do a, b, c > nên

1

a

a b  , vậy

a a a c

a b c a b a b c



 

    

Tương tự ta có:

,

b b b a c c c b

a b c b c a b c a b c a c a b c

 

   

         

Cộng vế bất đẳng thức ta có:

,

a b c a b c a c b a c b

a b c a b c a b c a b b c c a a b c a b c a b c

  

       

              

Hay

 

2

1 a b c a b c a b c

a b c a b b c c a a b c

   

     

      

Vậy bất đẳng thức chứng minh

b) Ta có;a, b, c > nên

1,

a

a b c   do đó

a a a d

a b c d a b c a b c d



 

       

Tương tự ta có:

b b b a

a b c d b c d a b c d

c c c b

a b c d c d a a b c d

d d d c

a b c d d a b a b c d



 

       



 

       



 

       

Cộng vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh

c) Tương tự từ a, b, c, d > a

a b c d    , ta có:

a b a b a b e

a b c d e a b c d a b c d e

   

 

          

Làm tương tự cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.4.2.Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 2 2

1 1

1

1 n

     

Lời giải: Vì n số nguyên dương nên: 2 2

1 1 1 1 2 3  n 1  (1)

2 2

1 4 1

2

4 2

k k k k k

 

     

    

Cho k = 2, 3, 4,… , n ta có:

2 2

2 2

2 2

2 2

1 4 2 2

, 4.2 4.2 2.2 2.2

1 4 2 2

, 4.3 4.3 2.3 2.3

1 4 2 2

, 4.4 4.4 2.4 2.4

1 4 2 2

, 4 2 2

n n n n n n n

     

  

     

  

     

  

     

    

Cộng vế theo vế, ta

2 2

1 1 2

1

1 2 3  n  3 2 n1 33 (2)

Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4.3.Chứng minh với số nguyên dương n ta có:

 

1 1

2 1 3 2     n1 n 1 n n   n1

Lời giải: Để giải tốn ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề: Với số thực dương x, y ta có: x y y x x x y y Chúng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

      

   2

0

0

0

x y y x x x y y x x y y x y y x

x x y y y x x y x y

x y x y

       

        

   

Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:

   

   

1 1

1

1 1

n n n n n n n n

n n n n n n n n

      

 

     

 

 

1 1

2 1 3 2 1

1 1

2 1 2 1

n n n n

n n n n

   

    

   

    

Mà 44  2002 45 1936 2002 2005  (Tự chứng minh)

 

1 1

2 1 2 3     n1 n n n 1  n1

Vậy tốn chứng minh

Ví dụ 1.4.4.Chứng minh bất đẳng thức sau với n *

1 1

1 2

2 3 n n

    

Lời giải:

Bổ đề Với x, y > 0, ta có    

2 2 2

x y x y  xy x y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:

   

   

     

 

   

 

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

2

2 2 2

2

2

2 2

4

0

2

2

0

2

x y x y xy x y

x y xy x y xy x y x y

x y x y

x y x y xy

x y x y

x y

x y x y xy

x y x y

   

 

        

 

  

   

  



   

  

Do x, y > nên bất đẳng thức cuối đúng, bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề với

1

,

2

x k y k

ta được:

1 1 1 1

2

2 2 2 2

1 1

2

2 2

k k k k k k k k

k k k k k k

 

     

             

       

       

 

   

             

Từ suy

1

2

2

1

1 1 1

2 2 2

2

,

1

2

k k

k k

k k k k k k

k

k k

 

  

 

 

  

 

       

        

       

        

   

 

Cho k = 1, 2, …, n cộng vế theo vế ta được:

1 1

1

2 3

2 2 2 2

1 3 5 1

2

2 2 2 2

2 2

2

1 1

2 2

n n

n n

n

    

         

 

   



Đó điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4.5 Chứng minh với số nguyên dương n2 ta có:  

2

1 11

2! 3! 4! !

n n

n  

    



(Ở kí hiệu n! hiểu “Giai thừa số tự nhiên n” Ta có 0! = 1, n! = 1.2.3…n,

1, )

k n

   

Lời giải: Ta có:

 

 

       

2 1

1 1

, 2, ! ! ! ! !

k k

k k

k k

k k k k k

  

      

     

Cho k nhận giá trị từ 2, 3, …, n cộng lại ta được:

 

   

   

2 11

2! 3! 4! !

1 1 1 1 1

2! 1! 3! 2! 4! 3! 5! ! ! 1 1 1

2

2! 1! 2! ! ! ! !

n n

n

n n

n n n n

 

    



          

 

        

Đó điều phải chứng minh

BÀI TẬP TỰ GIẢI 1.4.1.Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh

)1

)2

)2

a b c

a

a c b a c b

a b b c c d d a

b

a b c b c d c d a d a b

a d b a c b d b

c

a d c b a d c b a d b c

   

  

   

    

       

   

    

       

1.4.2.Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abcd = Chứng minh rằng:

1 1

1 1 a ab1 b bc1 c cd 1d da  1.4.3.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:

2 2

2 2

1 a b c

a bc b ca c ab

   

  

1.4.4.Chứng minh với số nguyên dương n ta có:

 2

2 2

1 1

)1

1 3

1 1 1

)

1 1

a

n n n n

n b

n n

n

     

   

     

 

 

 

   

2

2

2

1 1 1

)

5 13 25

)

4 36 144

1 1

)

7 13 21 2

c

n n

n d

n n

n e

n n n

    

 



    



    

  

1.4.5.Chứng minh

4 1 1

)

3 11 12 13 69 70

7 1 1

)

12 1.2 3.4 5.6 99.100 1 97 99

)

15 98 100 10

a b c

      

     

 

   

2

2

1

)

2! 3! 4! !

1 1

)

1

1 3

)

3 3

1 1 1

)0,71 0, 72, 2! 3! 4! ! !

n n a

n b

n n n n

n c

d n

n n



    

    

 

    

       



1.4.7.Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng:

 

3 3

3 3

2 1

, 2 1

n

n n

   

    

   

1.4.8.Chứng minh bất đẳng thức sau với n1,n     

2 1

1 1

2

n n

n

 

           



 

1.4.9.Cho n p hai số nguyên dương Chứng minh

 2  2  2

1 1 1 1

1 1 1

n  n p   n  n   n p n n p 

2.5.PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG A.Kiến thức cần nhớ.

Xét toán phải chứng minh khẳng định (*)

Phương pháp phản chứng tức giả sử ngược lại, khẳng định (*) sai Sau suy luận phép toán đến mâu thuẫn Như khẳng định (*) đúng, hay ta có điều phải chứng minh B.Các ví dụ:

Ví dụ 1.5.1.Cho số thực a, b, c 0, 2 Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai

a2 b 1,b2 c 1, 2c  a 1 Lời giải:

Giả sử ba bất đẳng thức cho đúng, nhân chúng với theo vế với vế ta

2      2     

a  b b  c c  a   a  a b  b c  c 

Mặt khác, a, b, c 0, 2nên a, – a > 0, suy

   

2 0a 2 a  1 a1 1

Do đó: a(2 – a).b(2 – c).c(2 – c) 1 (mâu thuẫn) Vậy toán chứng minh

Ví dụ 1.5.2.Cho số thực a, b, c thỏa mãn a2b2ab bc ca  0 Chứng minh a2b2 c2.

Lời giải: Giả sử a2b2 c2, đó

   

   

2 2 2 2

2

2

2

2

a b a b ab bc ca a b c ab bc ca

a b ab bc ca a b c

           

       

Kết hợp với giả thiết ta có:

   

 

2

2

2

0

a b ab bc ca a b c

a b c

       

   

(mâu thuẫn) Vậy toán chứng minh

Ví dụ 1.5.3.Cho số thực a, b, c thỏa mãn:

0 0

a b c ab bc ca abc

   



  



 

 Chứng minh ba số a, b, c dương

Lời giải:

Giả sử ba số a, b, c có số khơng dương Khơng giảm tính tổng quát, ta xem a0 Mà abc > nên a0, a < 0.

Lại có a + b + c > nên b + c > 0, suy a( b +c ) <

Theo giả thiết thứ hai ab + bc + ca > ta có a b c  bc 0 bc0 Vì a.bc < (Mâu thuẫn với giả thiết thứ ba)

Vậy bất đẳng thức chứng minh

Ví dụ 1.5.4.Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ (a + b + c)2

Lời giải: Giả sử ngược lại

 2  2  2

9ab a b c  ,9bc a b c  ,9ca a b c  Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có:

       

       

2

2 2

2 2

3

0

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

a b b c c a

          

     

      

Theo đề a, b, c khác đôi nên

a b 2b c 2c a 2 0 2 

Ví dụ 1.5.5.Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh ba bất đẳng thức sau xảy

 

     

     

1

a b c d

a b c d ab cd

a b cd c d ab   

   

  

Lời giải:

Giả sử tồn bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn bất đẳng thức Từ (1) (2) ta có:

     

     

2

2

3 3

a b a b c d ab cd

cd a b ab a b ab ab cd ab

     

         

Mặt khác

           

   

   

2

2

4

a b cd c d ab a b cd c d a b ab ab cd ab

ab ab cd a b cd ab cd

ab ab cd ab cd ab cd

         

    

    

Từ (4) (5) ta có mâu thuẫn Vậy khẳng định toán chứng minh BÀI TẬP TỰ GIẢI

1.5.1 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện  

2010

2010

xyz

xy yz zx x y z

   

    

 

Chứng minh ba số có số lớn 2010

1.5.2.Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn  

2 2

1 a b c ab

Chứng minh a c b c

1.5.3.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b+ c abc.Chứng minh có hai

trong số bất đẳng thức sau

2 6

6, 6,

a b c   b c a   c a b  

1.5.4.Cho số nguyên dương x, y Chứng minh có hai bất đẳng thức sai

   

2

2 2

1 1 1 1 ,

5

xy x y x x y x x y

 

 

       

 

   

1.5.5.Cho a, b, c số thực dương thỏa abc = Chứng minh

1 1

1 5 x  5 y  5 z 

2.6.1.PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN A.Giới thiệu bất đẳng thức CAUCHY.

1

1

n n

n

a a a

a a a n

  



Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM – GM (AM viết tắt arithmetic mean GM viết tắt geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức Cauchy Thật cách gọi tên không xác Cauchy khơng phải nguời đề xuất bất đẳng thức mà người đưa phép chứng minh đặc sắc cho Tuy nhiên, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi Bất đẳng thức Cauchy

Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều Toán bất đẳng thức cực trị

Trong phạm vi chương trìnhTốn THCS, quan tâm đến ba trường hợp riêng bất đẳng thức Cauchy là:

-Trường hợp n = Lúc bất đẳng thức viết lại rằng: Nếu a, b số thực khơng âm, thì:

a b ab 

 Dấu xảy a = b

Bất đẳng thức viết hai dạng khác tương đương

2

a b ab  

  và

 2

2

2

a b a b  

-Trường hợp n = Ta có bất đẳng thức Cauchy cho ba biến không âm: Nếu a, b, c số thực khơng âm, :

3

a b c

abc  



Dấu xảy a = b

Trong thực tế áp dụng, ta sử dụng dạng khác tương đương bất đẳng thức là:

3

a b c abc   

 

-Trường hợp n = Trong trường hợp này, ta có bất đẳng thức Cauchy cho bốn biến khơng âm: Nếu a, b, c, d số thực khơng âm,

4

a b c d

abcd   

 Dấu xảy a = b= c =d

Tương tự hai trường hợp khác, ta thường hay sử dụng bất đẳng thức dạng

4

a b c d abcd    

 

-Ngoài ra, từ trường hợp bất đẳng thức Cauchy có n = có dạng a b

ab 



 

2

2 2

4 1

a b ab

a b ab

a b ab

a b a b

 

 

 

  

B.Các kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy. B.1.Kỹ thuật sử dụng Cauchy trực tiếp.

Ví dụ 1.6.1 Cho số dương a, b thỏa mãn 2

1

a b  Chứng minh a b 2. Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có 2

1

2 ab

a b ab

    

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy lần nữa, ta a b 2 ab 2.1 2

Đẳng thức xảy a = b =1

Ví dụ 1.6.2 Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh ab cd  a d b c    

Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành

a b c d

a d b c    b c a d   

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y xy 

, ta có

2

1

a b c d

a b c d a d b c b c a d

a d b c b c a d

a d b c

a d b c

 

   

     

   

 



 

 

Đẳng thức xảy

a b

a b

a d b c

c d a d b c

b c a d



 

  

 



 

 

  



Ví dụ 1.6.3.Cho x, y, z số thực dương Chứng minh  

1 1

a b c

a b c

 

     

Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a2b2 2ab, dễ thấy

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z

P

x yz y zx z xy x y z y z x z x y

      

        

Đẳng thức xảy x = y = z

Ví dụ 1.6.4.Cho số dương a, b, c Chứng minh  

1 1

a b c

a b c

 

     

 

Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ba số, ta có:

 

3

3

3

3 1

3 0,

1 1

3

a b c abc

a b c abc

a b c abc

a b c abc

       

 

        

 

Dấu xảy a = b = c >0 B.2.Kỹ thuật ghép đối xứng.

Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật “Ghép đối xứng” để toán trở nên đơn giản Ở tốn bất đẳng thức, thơng thường hay gặp phải hai dạng toán sau: -Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z  A + B + C.

Ý tưởng Nếu ta chứng minh X + Y  2A Sau đó, tương tự hóa để Y + Z  2B Z + X  2C (Nhờ tính chất đối xứng tốn)

Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh -Dạng 2.Chứng minh XYZ  ABC với X, Y, Z  0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY  A2 Sau tương tự hóa để YZ  B2

ZX  C2 (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức vế theo vế

lấy bậc hai , ta có XYZ A B C = ABC2 2 ABC Ví dụ 1.6.5.Chứng minh với a, b, c dương ta có abcb c a c a b a b c          

Lời giải:

Bất đẳng thức có dạng XYZ  ABC, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta cần chứng minh:    

2

b  a b c b c a   

Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

 2

4

x y

xy 



, suy

       

2

a b c b c a

a b c b c a           b

Ví dụ 1.6.6.Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng:

ab bc ca

a b c c  a  b   

Lời giải: Bài toán có dạng X + Y + Z  A + B + C với

, , , , ,

ab bc ca

X Y Z A a B b C c

c a b

     

Để ý hai biểu thức ab

c và bc

a đối xứng với b (tức vai trị a c nhau) Do đó, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta thử chứng minh

ab bc b c  a 

Quả thật, bất đẳng thức hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy

ab bc ab bc

c  a  c a Từ đó, tốn giải hồn tồn

Ví dụ 1.6.7.Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thỏa mãn      

3 3 3 3 3

a b c   b c a   c a b  a b c Chứng minh tam giác tam giác

Lời giải:

Bổ đề: Với x, y > 0, ta có

 3

3

4

x y x y  

Chứng minh: Do   

3 2

x y  x y x  xy y

nên bất đẳng thức tương đương với:

 2

2

4

x y x  xy y  

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng

 2

4

x y xy 

, ta

       

2

2

2 3 3

4

x y x y

x  xy y  x y  xy x y     

Bổ đề chứng minh Để ý a, b, c tam giác hiển nhiên ta có:

a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > Áp dụng bổ đề, ta có:

       

       

       

3

3 3

3

3 3

3

3 3

2

2

2

a b c b c a

a b c b c a b

b c a c a b

b c a c a b c

c a b a b c

c a b a b c a

    

 

 

      

    

 

 

      

    

 

 

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế rút gọn hai vế bất đẳng thức thu cho 2, ta có:

a b c3 b c a3 c a b3 a3 b3 c3.

          

Theo giả thiết dấu xảy ra, ta phải có: a b c b c a

b c a c a b a b c

c a b a b c      



        

      

Điều chứng tỏ tam giác cho tam giác

Ví dụ 1.6.8.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:

5 5 5

ab bc ca

a b ab b c bc c a ca Lời giải:

Bổ đề Với a, b > 0, ta có: a5b5 a b a b2 2  

Chứng minh: Ta có   

5 2

a b  a b a  a b a b  ab b Do bất đẳng thức tương đương

4 2 2 4 3

a  a b a b  ab b a b  a b a b ab

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy bốn số, ta có:

4 4 4 4

3 ,

4

a a a b a b b b

a b    ab    

Cộng hai bất đắng thức lại, ta thu kết Bất đẳng thức chứng minh

Sử dụng bổ đề kết hợp với giả thiết abc = 1, ta có kết

     

5 2

1

1

ab ab

a b aba b a b ab ab a b  ab a b c 

c a b c 

 

Tương tự:

5 , 5

bc a ca b

b c bca b c c  a ca a b c 

Cộng ba bất đẳng thức lại vê theo vế, ta thu

5 5 5

ab bc ca a b c

a b ab b c bc c a ca a b c

 

   

       

B.3.Kỹ thuật đặt ẩn phụ kết hợp Cauchy

Trong bất đẳng thức, có quy luật chung, “Trong dạng cụ thể, bất đẳng thức nhiều biến khó” Điều đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán trở nên đơn giản ta đưa bất đẳng thức nhiều biến dạng biến hơn” Kỹ thuật đặc ẩn phụ cơng cụ hữu ích để thực ý tưởng

 

2 2

2 2

2

4

3

x y x y

y x

x y   

Lời giải:

Để ý bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành

 

 22

2

2 2

2

4

5

x y

x y

x y

x y



 



Đặt

 

 

2

2 2 2

2

2 2 2

4

x y x y

t

x y x y t



  



Ta toán dạng biếu đơn giản là:

   

2 5 4 1 4

5 0

4

t t

t t t

t

t t

 

 

     

Theo bất đẳng thức Cauchy , ta dễ thấy t  Suy t – > 0, t –  0 Từ ta

 1  4

0

t t

t

 



tốn giải hồn tồn Đẳng thức xảy x2 y2  xy

Ví dụ 1.6.10 Cho x, y, z >

1 1

x y z  Chứng minh : x 2 y 2 z 2 1

Lời giải:

Với giả thiết x, y, z lớn 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc Hãy xét lời giải sau:

Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + với a > 0, b > 0, c > Bài toán quy chứng minh abc  với a, b, c > thỏa mãn

1 1

1

2 2 2

a b c

a b c   a b c  Đến ta đặt tiếp

, ,

2 2

a b c

m n p m n p

a b c

      

  

Ta có:

1 2 2

1

a n p m

a

m a a a m m n p

 

        



Tương tự:

2

,

n p

b c

p m m n

 

 

Do bất đẳng thức trở thành

     

2 2

1

m n p

m n n p p m mnp

n p p m m n           Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

Bài toán giải xong

Đẳng thức xảy  m n  p a b c   1 x  y z Cách khác Sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng

Ta có:

       

1 1 1 1

1

2 2 2 2

2 2 2

c a b a b

a b ab

a b b c

   

        

        

  

   

Tương tự    

1

,

2 2

ca b  c a

   

1

2 2

bc a  b c Nhân ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta

           

1

1

2 2 2

abc

abc

a b c  a b c  

Ví dụ 1.6.11.Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn ab = cd = Chứng minh a b c d     4 2a b c d   

Lời giải:

Để ý đặt x = a + b, y = c + d, bất đẳng thức bốn biến cần chứng minh tương đương quy dạng hai biến đơn giản là:

xy 4 2x y   x y  22 2  y 0 y 2 x 20 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có: a b 2 ab 2,c d 2 cd 2

Suy x –  y –  Từ ta có y 2 x 20 Bài tốn chứng minh xong

Dấu xảy  a b c d   1

Ví dụ 1.6.12.Cho a, b, c số dương thỏa mãn abc = Chứng minh

1 1

1 2a1 2 b1 2 c1

Lời giải: Đặt

, ,

x y z

a b c

y z x

  

với x, y, z > Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

1 1

1

2 2

2 2

y z x

x y z x y y z z x

y z x

      

  

  

 

   

 

   

 

 

2

2 2

2 2 2 2

4

y z y y z y y z y

y

x y x y z y x y z y x y z

  

  

         

 

Tương tự :

 

 

 

 

2

2

,

2

z x z x y x

z x

x y x y z z x x y z

 

 

     

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:

     

 2

2 2

2 2

y z y z x z x y x

y z x

x y y z z x x y z

    

  

    

 

 

2 2

2

1

xy yz zx x y z

x y z

    

 

  Chứng minh hoàn tất

Đẳng thức xảy

2

2

2

x y z y

y z x z x y z a b c

z x y x

  

 

           

   



B.4 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ 1.6.13.Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 2

3

1 1

a b c

b  c  a 

  

Lời giải: Để ý theo bất đẳng thức Cauchy thì:

2

2

1 2

a ab ab ab

a a a

b   b   b  

 

Hoàn toàn tương tự , ta có: 2 1, 2

b bc c ca

b c

c   a  

 

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, suy

2 2

1 1 2

a b c ab bc ca ab bc ca

a b c

b c a

   

       

  

Vậy chứng minh hoàn tất ta rằng: ab + bc + ca 3 Điều hiển nhiên

 2

3

a b c ab bc ca      Bài toán giải xong

Dấu đẳng thức xảy  a = b = c = 1

Ví dụ 1.6.14.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

3 3

2 2 2 2

a b c a b c

a b b c c a

 

  

  

3 2

2 2 2 2

a ab ab b

a a a

a b   a b   ab 

Tương tự ta có:

3

2 2, 2 2

b c c a

b c

b c   c a  

Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế, ta có kết cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c

Ví dụ 1.6.15.Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rẳng 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

  

  

  

Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

    2 2 1

1 1

1 2

b a b a

a b ab

a a a

b b b

 

 

        

 

Tương tự 2

1

1 ,

1 2

b c bc c a ca

b c

c a

   

     

 

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta

2 2

1 1

3

1 1 2

a b c a b c ab bc ca

b c a

      

    

  

 2

9

3

2 2

a b c ab bc ca   

    

Đẳng thức xảy a = b = c =1

Ví dụ 1.6.14.Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh 3

3

a b c

b ab c bc a ca  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3 2

1 1 1 1

1

2

a b b

b ab b a b b ab b a b a

 

          

   

Tương tự: 3

1 1 1

1 ,

4

b c

c bc c b a ca a c

   

         

     

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta 3

3 1

4

a b c

b ab c bc a ca a b c

 

      

    

Và toán quy chứng minh

3 1 3 1

4

1 1

3

a b c a b c

a b c a b c

a b c

                                     

1 1

2, 2,

a b c

a  b  c  Bài toán chứng minh xong

Đẳng thức xảy a = b = c = B.5.Kỹ thuật đánh giá điểm biên.

Ví dụ 1.6.15.Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh rằng:

2

2 1

xy z x y

xy

  

 

Lời giải:

Ta quy toán việc chứng minh bất đẳng thức bậc

 

   

2

2

2 2

xy z x y z x y

x y z xy

x z y z x y x y z xy

    

   

        

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

 2  2  2  2

2

2

2 2

2

x y x y xy x y x y x y

x y x y

         

   

Do ta cần chứng minh: z x z y      z xy

   

2

2 2 0

z xy z x y z xy z xy z x y

         

(Đúng)

Bài toán chứng minh hoàn toàn Đẳng thức xảy

1

x y z 

  

    

Ví dụ 1.6.16.Cho số x, y, z 0và x + y + z = Chứng minh rằng

x2y z 4 1  x 1 y 1 z Lời giải:

Do x + y + z = nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:

x2y z x y z     2 4x y y z z x       

Do vai trò x z bất đẳng thức nên ta hoàn toàn giả sử x z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng  

2

a b  ab

, ta có    

2

x y z   x y z

Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta

x x 2y z   x y z x      y x z  0 hiển nhiên theo giả sử x z Bài toán chứng minh xong

Đẳng thức xảy

1 ,

x z y

   

A.Giới thiệu bất đẳng thức Bunyakovsky.

Trong lĩnh vực Toán sơ cấp, với bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovzky hai bất đẳng thức thông dụng phổ biến tính đơn giản hiệu chúng

Ở phần trước, tìm hiểu bất đẳng thức Cauchy kỹ thuật sử dụng giải tốn Trong phần này, tìm hiểu thêm bất đẳng thức thứ hai, bất đẳng thức Bunyakovsky

Bất đẳng thức phát biểu sau: Với hai số thực a a1, , an và

b b1, , ,2 bn ta có      

2

2 2 2

1 n n 1 2 n n

a a  a b b  b  a b a b  a b (*)

Trong đẳng thức xảy tồn số thực k cho a1kb1 với i = 1, 2,…,n

Bất đẳng thức (*) nhà Toán học Augustin Louis Cauchy đề xuất vào năm 1821 Sau đó, vào năm 1859, học trị ơng Viktor Yakovlevich Bunyakovesky (1804 – 1889, nhà Toán học người Nga) mở rộng kết cho tích phân Và đến năm 1885, nhà Toán học người Đức Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921) chứng minh kết tổng quát bất đẳng thức trường hợp khơng gian tích Do vậy, bất đẳng thức Cauchy, cụm từ “Bất đẳng thức Bunyakovesky” mà ta thường dùng thật cách gọi tên khơng xác mà phải gọi bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovesky - Schwarz Tuy nhiên, để phù hợp với chương trình sách giáo khoa nước ta, xuyên suốt tài liệu này, gọi tên bất đẳng thức bất đẳng thức Bunyakovesky

Ngoài ra, từ bất đẳng thức (*) ta suy hệ khác hay sử dụng cho tốn bất đẳng thức dạng phân thức, bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức Bất đẳng thức phát biểu sau :Cho a a1, , an và b b1, , ,2 bnlà hai dãy số thực với b1 0,i đó

 2

2

2

1

1

1 2

n n

n n

a a a

a

a a

b b b b b b

  

   

   Đẳng thức xảy

1

1

n n a

a a

b b  b Ở trên, giới thiệu với bạn đọc bất đẳng thức Bunyakovesky hệ trường hợp tổng quát (số biến khơng xác định) Tuy nhiên, phạm vi chương trình Toán THCS quan tâm nhiều đến hai trường hợp n = n =

-Với n = 2, ta có

_Nếu a, b, x, y số thực, thì:      

2

2 2

a b x y  ax by

Đẳng thức xảy

a b

x y

_Nếu a, b, x, y số thực x, y > 0,

 2

2

2

a b

a b

x y x y



 



Đẳng thức xảy

a b

x y -Với n = 3, ta có

_Nếu a, b, c, x, y, z số thực, thì:      

2

2 2 2

Đẳng thức xảy

a b c

x y z

_Nếu a, b, c, x, y, z số thực x, y, z > 0,

 2

2 2

2 2

a b c

a b c

x y z x y z

 

  

 

Đẳng thức xảy

a b c

x y z

B.Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky.

Chúng ta mở đầu phần số ví dụ đơn giản mà ta thấy cách sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky

Ví dụ 1.6.17.Cho a, b, c  và a + b + c = Chứng minh rằng

2 2

3

a b c 

Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky, ta có:

    

2

2 2 2

1 1

3

a b c a b c a b c

           

Đẳng thức xảy

1 1

3

a b c

a b c a b c



  

   



    

Ví dụ 1.6.18.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

2 2

3 3

a b c a b c

b c c a a a

 

  

  

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức, ta có:

 

     

2

2 2

3 3 3

a b c

a b c a b c

b c c a a b b c c a a b

   

   

       

Bài toán chứng minh xong

Đẳng thức xảy 3

a b c

a b c b c c a a b   Ví dụ 1.6.20.Cho x, y, z > Chứng minh

2 2

2 2

2 2

x y z

x  yzy  zxz  xy  Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức, ta có:

 

     

2

2 2 2 2

x y z VT

x yz y zx z xy

 

 

    

Đẳng thức xảy

2 2 2

x y z

x y z

x  yz y  zx z  xy    Ví dụ 1.6.21.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

1 36

a b c  a b c  Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức ta có:

 2

2 1 3

1 36

a b c a b c a b c a b c

 

      

   

Đẳng thức xảy

1

a  b c

Có thể thấy ví dụ trên, bình phương có sẵn ta dễ dàng nhận cách sử dụng Bunyakovesky cho hợp lí Tuy nhiên, phần lớn tốn bất đẳng thức, bình phương khơng có sẵn Có vẻ lúc việc sử dụng Bunyakovesky khơng cịn hiệu ? Thật ra, không hẳn vậy, ta hồn tồn thêm bớt lượng thích hợp để tạo bình phương

Ví dụ 1.6.22.Cho x, y, z > x2y2z2 3 Chứng minh x3y3z3 3

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovesky, ta được:

 2 22

4 4

3 3 x y z x y z

x y z

x y z x y z x y z

 

      

    Bài toán quy chứng minh

 2

9

3 x y z x y z

x y z           Kết theo bất đẳng thức Bunyakovesky     

2 2

1 1

x y z     x y z 

Đẳng thức xảy x = y = z

Nhân xét: Bất đẳng thức cho viết dạng

 

 

3

2 2

2

3 3

x y z

x y z

 



 

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1.6.23.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh

2 2

1

a b c

b c c a   a b 

1.6.25.Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh

1 16 64

a b c   d a b c d  

1.6.26.Cho x, y, z > x2 y2z2 3 Chứng minh

1 1

1xy1yz1zx 2

1.6.27.Cho x, y, z, t > xy4zt2yz2xt9 Chứng minh xy2 zt 3 1.6.28.Cho x, y, z số dương thỏa mãn

1 1

x yz  Chứng minh rằng

1 1

1 2x y z  2y z x  2z x y  

1.6.29.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh rằng:

1 1

2 3 16

a b c b  c a c  a b

1.6.30.Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c 3 Chứng minh 2

1 2009

670

a b c ab bc ca   1.6.31.Chứng minh với a, b, c > 0, ta có:

1 1 1

3

2 2

a b c a b b c c a

 

      

  

 

1.6.32.Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

1 1 1

3

3 3

b c c a a b a b c b c a c a b

 

      

          



§1.Giới thiệu bất đẳng thức………

§2.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức………

2.1.Phương pháp biến đổi tương đương………

2.2.Phương pháp dùng định nghĩa ………

2.3.Phương pháp quy nạp………

2.4.Phương pháp làm trội, dùng tổng sai phân………11

2.5.Phương pháp phản chứng……… 18