100 bat dang thuc

Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác... Cho n,k là các số nguyên dương..[r]

100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

Cho a,b,c số thực dương Chứng minh:

3

  

  

a b c

b c c a a b Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x2 y2 z2 3

Chứng minh :

3

  

xy yz zx

z x y

Cho x, y, z >0 thoả x y z  1 Chứng minh:

1 36    x y z

Cho x, y, z số thực dương Chứng minh: xyz(xy z y z x z )(   )( x y)

Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 Chứng minh :

1 1

1 1

     

      

     

a b b c c a Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh : 3

1 1

(  )  (  )  (  ) 2 a b c b c a c a b

Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz x y z   2 Chứng minh :

3

  

x y z xyz

8 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2+b2+1 ab+a+b

b) a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e) c) a3+b3  ab(a+b)

d) a4+b4 a3b+ab3

Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a+b+c)2  3(ab+bc+ca)

b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc

10 a) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 Chứng minh rằng: a4+b4 a3+b3

11.Cho a,b,c số dương, Chứng minh rằng:

a b c

1

a b b c a c

   

  

12 Cho số dương a,b, c Chứng minh :

a b c d

1

a b c b c d c d a d a b

    

       

13 Chứng minh với a,b,c > thì: a)

bc ac ab

a b c a  b  c   

b)

ab bc ca a b c

a b b c c a  

  

  

c)

3 3

a b c

ab bc ca b  c  a   

14.Chứng minh với a,b,c > thì: a)

2

2

a b a b

b a  b a

b)

2 2

a b c

a b c b  c  a   

c)

2 2

a b c a b c

b c c a a b  

  

  

15 Cho x y z, , 0 xyz1 Chứng minh:

3 3 3

(1 )(1 ) (1  )(1 ) (1  )(1 ) 4

x y z

y z z x x y

16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da   1 Chứng minh:

3 3 1

3

   

       

a b c d

b c d c d a a b d a b c

17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:

1 1 27

(  ) (  ) (  ) 2(    ) a a b b b c c c a a b c d

18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2 y2 z2 3 Chứng minh:

3

  

xy yz zx

19 Cho số dương x, y, x thỏa xyz = Chứng minh:

5 5 5

1

  

     

xy yz zx

x xy y y yz z z zx x

20 Cho a b c, , 0 Chứng minh:

4 4 4 4 4 4

1 1 1

   

           

a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd 21 Cho x, y, z số dương Chứng minh:

2( )

1 1

      

       

 

   

 

x y z x y z

y z x xyz

22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:

3 3

    

x y z

x y z yz zx zx

23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2 b2c2 2(ab ac ) 24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh:

2 1 1 1 

a b c

b c a .

25 Chøng minh r»ng :

a)

2 2

a b a b

2

     

  ;

b)

2

2 2

a b c a b c

3

     

 

 

26 Chứng minh m,n,p,q ta có

m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n + p + q + 1)

27 Cho a, b, c, d,e số thực, Chứng minh

a)

2 b

a ab

4

 

b)a2 b2 1 ab a b 

c)  

2 2 2

a b c d e a b c d e  

28 Chøng minh r»ng:      

10 10 2 8 4

a b a b  a b a b

29 Cho x.y =1 vµ x.y = Chøng minh

2 x y

x y 

30 Cho a, b ,c số không âm chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc

31 Cho a>b>c>0 vµ a2b2 c2 1 Chøng minh r»ng:

3 3 1

2

  

  

a b c

b c a c a b

32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng:

     

2 2

a b c d a b c b c d d c a 10 33 Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

2 2 2

(a c) (b d)  a b  c d 34 Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:

2a32b32c3  3 a b b c c a2   35 Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng

a b c d

1

a b c b c d c d a d a b

    

       

36 Cho a b<

c

d vµ b,d > Chøng minh r»ng: a

b < 2 ab cd c

d b d

 

 37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

1 1

2 n n 2     n n 

38 Chøng minh r»ng:

 

1 1

1 n 1

2 n

     

( Với n số nguyên dng) 39 Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác,chứng minh r»ng:

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) 40 Cho a,b,c > vµ a+b+c <1

Chøng minh r»ng

2

1 1

9

a 2bc b 2ac c 2ab  (1)

41 Chøng minh r»ng

2

1 1

n

Chøng minh r»ng

n a b

2 

 

 

 

n n a b

2 

(1)

43 Cho abc = vµ a336 Chøng minh r»ng:

2 a

3 b2+c2> ab + bc + ac 44 Chøng minh r»ng

a) x4 y4z2  1 2x.(xy2 x z 1)  b) a25b2  4ab 2a 6b 0    c) a2 2b2  2ab 2a 4b 0    45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng

 

 

2 2

2 x y

8 x y



 

46 Cho xy Chøng minh r»ng

2

1

1 xy x 1 y  

47 Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng

2 2

a b c

3

  

48 Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng: 2a32b32c3 3 a b b c c a2   49 Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng:

2        3

       

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

50 Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng:

1   2

  

a b c

b c c a a b 51.Chøng minh:

a)

1 1

1.3 3.5  (2n 1).(2n1) b)

1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3

    

n

53.Chứng minh rằng:

2 2

2       0

a b c b c a abc

b c a a b c

54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c số đo ba cạnh tam giác CMR: a)    

1 p a p b p c    abc

; b)

1 1 1 2 1 1

p a p b p c a b c

 

 

 

 

    

  

55 Cho ∆ ABC, a, b, c số đo ba cạnh tam giác

Chứng minh rằng:b c a c a b a b c          abc

56 Cho a>0, b>0 Chứng minh:

1

1

  

  

a b

a b b a

57.Chứng minh rằng:

2 2

, ,

2

 

    

  

c a b a b c a b c

a b b c c a

58 Cho x y z, , (0;1) xy yz zx  1 Chứng minh:

2

3 1 1 1 

x y z

x y z

59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng:

2 2

a b c a b c

b c a c a b a b c          

60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc 61 Cho ∆ABC Chứng minh :

         

2 2

1 1 1 p

p a p b p c

p a  p b  p c    

62 Chứng minh a, b, c > va abc = thì:

1 1 1

2a2b2c  63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh

3 3

2 2

    

a b c

a b c b c a

64.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh:

4 4 3     

65 Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: 3 2

1 1 1 1 1 1

    

a b c a b b c c a

66.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: 4 3

1 1

    

a b c

b b c a b c

67.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2

5     

a b c a b c

b c a b c a

68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2

5 5 3

1 1

a b c

b c a a b c

69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2

1 1

a b c

b c a  a b c

70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

 

3 3 2

2 2

1 1 2( )

3  

 

      

 

a b c a b c

a b c abc

71.Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh

 4  4  4

( ) ( ) ( )

     

     

     

b c a c a b a b c

f ab bc ca

a a b c b b c a c c a b

72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a3b3c3ab2bc2ca2

73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a4b4c4ab3bc3ca3

74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a5b5c5a b3 2b c3 2c a3

75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k số nguyên dương Chứng minh:   

    

n k n k n k n k n k n k

a b c a b b c c a

76.Cho a>0, b>0

Chứng minh:

4 4

2

   

 

 

77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2

3

     

 

 

a b c a b c

78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 3

     

 

 

n

n n n

a b c a b c

79 Cho a, b, c ba số dương Chứng minh

3 3 2 2 2

2 2

a b c a b b c c a

2abc c ab a bc b ac

    

   

  

80 Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chøng minh r»ng:

1 1

1

1 1 1

     

x y y z z x

81 Cho x, y, z ba số thoûa x + y + z = Chứng minh raèng :

3 4 x  3 4 y  3 4 z 6

82 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c  1 Chứng minh rằng:

7

27

   

ab bc ca abc

83 Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = Chứng minh rằng:

       

25 25 25

25 5 5 5 5 5

x y z

x y z y z x z x y



 

5 5

4

x y z

84 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:

4

3

2

c a b

a b b   c c a  

85.Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh:  

3 3

3 3

1 1

2

  

   

         

   

b c c a a b

a b c

a b c a b c

86 Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:

3

  

  

  

a b b c c a

ab c bc a ca b

87 Cho số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:

5 5

3 3

2     

x y z

x y z

y z x .

5 5

2 2 2

2 2

3

     

  

  

a a a b b b c c c

b c c a a b

89 Cho a, b, c l c¸c sà ố thực dương thoả m·n abc = Chøng minh r»ng :

3 3

1 1

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b 

90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng:

3 3

2 2

3

3 3

a b c

b  c   a  

91 Cho x, y, z > Chứng minh rằng: 3 2 2

2 x y z 1 x y y z z x x y z

92 Cho a, b,c số không âm Chứng minh

3 3

3 ( )3  ( )3  ( )3 1

     

a b c

a b c b c a c a b

93 Cho số dương a b c ab bc ca, , :   3

Chứng minh rằng: 2

1 1 .

1a b c(  ) 1 b c a(  ) 1 c a b(  ) abc 94 Cho số thực dơng a,b,c thay đổi thoả mãn: a+b+c=1

Chứng minh :

2 2 2

2

  

  

  

a b b c c a

b c c a a b

95 Cho số dương a,b,c thoả mãn: ab + bc + ca = abc Chứng minh:

  

  

1 1

( 1) ( 1) ( 1)

a a b b c c

96 Cho x, y, z > Chứng minh rằng:

3 2 2

2

2 1

    

  

y

x z

x y y z z x x y z

97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:

  

  

3 3

8 8

a b c

c a b

4 4 4

2 2 2 2 2 2

x y z

x y z  y z x  z x y

   

2 2

4

x y z



99 Cho a, b, c số dơng thoả mÃn a + b + c = Chøng minh r»ng

10a 3b 2009

3b 2009c 2009c 10a 10a 3b     2 100 Cho ba số dương x y z, , Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 36

  

   x y z x y y z x z