Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1... Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1..[r]
(1)PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản: Cho a, b > chứng minh:
3
3
a b a b
2
2 Chứng minh:
2
a b a b
2
3 Cho a + b chứng minh:
3
3
a b a b
2
4 Cho a, b > Chứng minh:
a b a b
b a
5 Chứng minh: Với a b 1:
1
1 ab
1 a b
6 Chứng minh: a2b2c23 a b c ; a , b , c R Chứng minh: a2b2c2d2e2a b c d e Chứng minh: x2y2z2xy yz zx
9 a Chứng minh:
a b c ab bc ca ; a,b,c 0
3
b Chứng minh:
2
2 2
a b c a b c
3
10 Chứng minh:
2
a b c ab ac 2bc
4
11 Chứng minh: a2b2 1 ab a b
12 Chứng minh: x2y2z22xy 2xz 2yz 13 Chứng minh: x4y4z2 1 2xy(xy2 x z 1) 14 Chứng minh: Nếu a + b thì:
3
a b
4
15 Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
(2)II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 Chứng minh: (a b c)(a 2b2c ) 9abc ; a,b,c 02
3 Chứng minh: 1 a b c 13abc3 với a , b , c 0 Cho a, b > Chứng minh:
m m
m
a b
1
b a , với m Z+
5 Chứng minh:
bc ca ab a b c ; a,b,c 0
a b c
6 Chứng minh:
6
2
x y 3x y 16 ; x,y 0
7 Chứng minh:
4
2
1
2a 3a
1 a .
8 Chứng minh: a1995 1995 a 1 , a > 0
9 Chứng minh: a b2 2b c2 2c a2 2 6abc. 10 Cho a , b > Chứng minh:
2 2 2
a b c 1 1
2 a b c
a b b c a c
11 Cho a , b , chứng minh: ab a b b a 1
12 Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1) (z – 1)
13 Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 3 . 14 Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh:
a) b + c 16abc
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc c)
1 1
1 1 64
a b c
15 Cho x > y > Chứng minh:
1
x
x y y
16 Chứng minh: a)
2
x 2
x ,x R b)
x 6
x , x > 1 c)
2
a 4
(3)17 Chứng minh:
ab bc ca a b c ; a, b, c 0
a b b c c a
18 Chứng minh:
2
4
x y
4
1 16x 16y , x , y R
19 Chứng minh:
a b c
b c a c a b 2 ; a , b , c > 0
20 Cho a , b , c > C/m:
3 3 3
1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a a b c d abcd với a , b , c , d 0 (Côsi số) b a b c abc với a , b , c , (Côsi số ) 22 Chứng minh: a3b3c3a bc b ac c ab2 ; a , b , c > 0 23 Chứng minh: a b c abc
24 Cho
x 18 y
2 x , x > Định x để y đạt GTNN.
25 Cho
x
y ,x
2 x Định x để y đạt GTNN.
26 Cho
3x
y , x
2 x Định x để y đạt GTNN.
27 Cho
x
y ,x
3 2x 2 Định x để y đạt GTNN.
28 Cho
x
y
1 x x , < x < Định x để y đạt GTNN.
29 Cho
3
x
y
x , x > Định x để y đạt GTNN.
30 Tìm GTNN
2
x 4x
f(x)
x , x > 0.
31 Tìm GTNN
3
2 f(x) x
x , x > 0.
32 Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33 Cho y = x(6 – x) , x Định x để y đạt GTLN 34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x
5
(4)35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , x 52 Định x để y đạt GTLN 36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
1
2 x
2 Định x để y đạt GTLN
37 Cho 2
x y
x 2 Định x để y đạt GTLN
38 Cho
2
x y
x Định x để y đạt GTLN
III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1 Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki Chứng minh: sinx cosx
3 Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2 7. Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a2 + 5b2
725 47 .
5 Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2
2464 137 .
6 Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4 2. Cho a + b Chứng minh:
2
a b
2
Lời giải:
I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản: Cho a, b > chứng minh:
3
a b a b
2 (*)
(*)
3
3
a b a b 0
2
2
3 a b a b 0
8 ĐPCM.
2 Chứng minh:
2
a b a b
2 ()
a + b , ()
a + b > , ()
2 2
a b 2ab a b 0
4
a b 0
(5)Vậy:
2
a b a b
2 .
3 Cho a + b chứng minh:
3
3
a b a b
2
3 3
a b a b
8
b a a 2 b2 0 3 b a 2 a b 0, ĐPCM Cho a, b > Chứng minh:
a b a b
b a ()
() a a b b a b b a a b a a b b 0 a b a b 0
2
a b a b 0, ĐPCM.
5 Chứng minh: Với a b 1:
1
1 ab
1 a b ()
1 1 0
1 ab ab
1 a b
2
2
ab a ab b 0
1 a ab b ab
a b a b a b 0
1 a ab b ab
2
b a a b 0
1 ab a b
2
2
b a a ab b ba 0
1 ab 1 a 1 b
2
2
b a ab 0
1 ab a b , ĐPCM.
Vì : a b ab ab –
6 Chứng minh: a2b2c23 a b c ; a , b , c R a 1 2b 1 2c 1 20 ĐPCM
7 Chứng minh: a2b2c2d2e2a b c d e
2 2
2 2
a ab b a ac c a ad d a ae e 0
4 4
2 2
a b a c a d a e 0
2 2 ĐPCM
8 Chứng minh: x2y2z2xy yz zx 2x22y22z2 2xy 2yz 2zx 0
2 2
x y x z y z
9 a Chứng minh:
a b c ab bc ca ; a,b,c 0
(6) a2b2c2ab bc ca
2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3
a b c ab bc ca
3
b Chứng minh:
2
2 2
a b c a b c
3
a 2b2c2a2b2c22 a 2b2c2
a2b2c22 ab bc ca a b c
2
2 2
a b c a b c
3
10 Chứng minh:
2
a b c ab ac 2bc
4
2
2
a a b c b c 2bc 0
4
2
a b c 0
2 .
11 Chứng minh: a2b2 1 ab a b 2a22b22 2ab 2a 2b 0
a2 2ab b 2a22a b 22b 0 a b 2a 1 2b 1 20
12 Chứng minh: x2y2z22xy 2xz 2yz
2 2
x y z 2xy 2xz 2yz (x – y + z)2 0. 13 Chứng minh: x4y4z2 1 2x(xy2 x z 1)
4 2 2
x y z 2x y 2x 2xz 2x
2 2 2
2
x y x z x 0.
14 Chứng minh: Nếu a + b thì:
3
a b
4
a + b b – a b3 = (1 – a)3 = – a + a2 – a3 a3 + b3 =
1 1
3 a
2 4.
(7) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2
a b c , b a c , c a b
a2b2 2bc c , b2a2 2ac c , c2a2 2ab b a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
a2a2 b c 2 a2a c b a b c
b2 b2 a c 2 b2b c a a b c
c2 c2 a b 2 c2b c a a c b a b c2 2a b c 2 a c b 2 b c a 2 abca b c a c b b c a c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 >
(2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) >
Vì a , b , c ba cạnh tam giác
c – a + b > , c + a – b > , a + b – c > , a + b + c > II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: a b ab , b c bc , a c ac
a b b c a c 8 a b c2 2 8abc
2 Chứng minh: (a b c)(a 2b2c ) 9abc ; a,b,c 02
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: a b c abc , a2b2c23 a b c3 2 a b c a 2b2c2 9 a b c3 3 9abc
3 Chứng minh: 1 a b c 13abc3 , với a , b , c 0.
1 a b c 1 a b c ab ac bc abc.
a b c abc , ab ac bc a b c 2
3 2
3
(8)4 Cho a, b > Chứng minh:
m m
m
a b
1
b a , với m Z+
m m m m m
m m
a b a b b a
1 2
b a b a a b
2
5 Chứng minh:
bc ca ab a b c ; a, b, c 0
a b c
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
2
bc ca 2 abc 2c
a b ab ,
2
bc ba 2 b ac 2b
a c ac ,
2
ca ab 2 a bc 2a
b c bc
bc ca ab a b c
a b c .
6 Chứng minh:
6
2
x y 3x y 16 ; x,y 0
4 ()
()
6
x y 64 12x y x23 y3 34312x y2 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
x23 y3 3433x y 12x y2 3.
7 Chứng minh:
4
2
1
2a 3a
1 a ()
()
4 2
2
1
a a a 4a
1 a .
Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm:
4
2
1 a , a , a 1,
1 a
4 4 4 2
2
1
a a a a a a 4a
1 a a
8 Chứng minh: a1995 1995 a 1 () , a > 0 () a19951995a 1995 a19951995 1995a
1995
1995 1995 1995 1995
1994 soá
(9)9 Chứng minh: a b2 2b c2 2c a2 26abc.
a b2 2b c2 2c a2 2 a2a b2 2b2b c2 2c2c a2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: a2a b2 2b2b c2 2c2c a2 6 a b c6 6 6abc
10 Cho a , b > Chứng minh:
2 2 2
a b c 1 1
2 a b c
a b b c a c
2
a a
2ab 2b
a b , 2
b b
2bc 2c
b c , 2
c c
2ac 2a
a c
Vậy:
2 2 2
a b c 1 1
2 a b c
a b b c a c
11 Cho a , b , chứng minh: ab a b b a 1 aa 1 a , b b 1 b 1 ab 2b a , ab 2a b 1
ab a b b a 1
12 Cho x, y, z > x + y + z = C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) xx 1 x x y z 3
x 1 x 1 y 1 z x y z 1
Tương tự:y x y z 1 4 2 ; z x y z 1 4 2 xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13 Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 3 . aa b b c c a b b c c 3
14 Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c 16abc
b c bc
2
2
2
b c a
16abc 16a 16a 4a a
2
2 2
4a a a 4a 4a a 1 2a a b c
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc
(1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)
2 bc.2 ac.2 ab 8abc
c)
1 1
1 1 64
(10)
4
1 a a b c a bc
1
a a a
1 ab c
b b
4
1 abc
c c
1 1
1 1 64
a b c
15 Cho x > y > Chứng minh:
x
x y y
x y y
VT x y y 3
x y y x y y
16 Chứng minh: a)
2
x 2
x x22 x 21 x2 1 x21
b)
x x 1 =
x x 1 2 x 1 6
x x x
c a21 4 a 21 4 a21
2
a 4
a
17 Chứng minh:
ab bc ca a b c ; a, b, c 0
a b b c c a
Vì : a b ab
ab ab ab
a b ab ,
bc bc bc
b c bc ,
ac ac ac
a c ac
a b c ab bc ca, dựa vào: a2b2c2ab bc ca
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2
18 Chứng minh:
2
4
x y
4
1 16x 16y , x , y R
2 2
4 2
x x x
8
1 16x 4x 2.4x
2 2
4 2
y y y
8
(11)
2
4
x y
4 16x 16y
19 Chứng minh:
a b c
b c a c a b 2 ; a , b , c > 0
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b a + b + c =
1
2(X + Y + Z)
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c
2 2
a b c Y X Z X Z Y 3
b c a c a b X Y X Z Y Z
1 2 3 3
2 2.
Cách khác:
a b c a 1 b 1 c 1 3
b c a c a b b c a c a b
1 a b b c c a 1 3
2 b c a c a b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
1 a b b c c a 1 3
2 b c a c a b 2
20 Cho a , b , c > C/m:
3 3 3
1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
a3b3a b a 2 ab a 2 a b ab
a3b3abca b ab abc ab a b c , tương tự b3c3abcb c bc abc bc a b c
c3a3abcc a ca abc ca a b c
1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a a b c d abcd với a , b , c , d 0 (Côsi số)
a b ab , c d cd
(12)b a b c abc với a , b , c , (Côsi số )
a b c a b c
a b c abc
3
4
a b c abca b c
3
4
a b c abca b c
3
3
a b c abc
3 a b c abc .
22 Chứng minh: a3b3c3a bc b ac c ab2 ; a , b , c > 0 a3abc 2a bc , b3abc 2b ac , c3abc 2c ab a3b3c33abc a bc b ac c ab
a 3b3c3 2 a bc b ac c ab , : a3b3c33abc Vậy: a3b3c3a bc b ac c ab2
23 Chứng minh: a b c abc
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: VT a a3b3b3b4c4c4c4c abc
24 Cho
x 18 y
2 x , x > Định x để y đạt GTNN. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: x 18 x 18
y
2 x x
Dấu “ = ” xảy
2
x 18 x 36 x 6
2 x , chọn x = 6.
Vậy: Khi x = y đạt GTNN 25 Cho
x
y ,x
2 x Định x để y đạt GTNN.
x
y
2 x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
x 1, 2 x 1:
x x
y
(13) Dấu “ = ” xảy
2 x
x x 1 4
x 1(loại)
2 x
Vậy: Khi x = y đạt GTNN
5
26 Cho
3x
y , x
2 x Định x để y đạt GTNN.
3(x 1)
y
2 x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
3 x ,
2 x 1:
3 x 1 3 x 1 3
y
2 x 2 x 2
Dấu “ = ” xảy
6
x
3 x 1 x 1
2 x 6
x 1(loại)
3
Vậy: Khi
6
x
3 y đạt GTNN
2
27 Cho
x
y ,x
3 2x 2 Định x để y đạt GTNN.
2x
y
6 2x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
2x 1, 2x 1:
2x 2x 30
y
6 2x 2x 3
Dấu “ = ” xảy
30 x
2x 2x 1 30
6 2x 30 1
x (loại)
2
Vậy: Khi
30
x
2 y đạt GTNN
(14)28 Cho
x
y
1 x x , < x < Định x để y đạt GTNN.
x x 5x x x x x
f(x) 5 5 5
1 x x x x x x
Dấu “ = ‘ xảy
2
x 51 x x 5 x 5
1 x x x (0 < x <
1)
Vậy: GTNN y 5 5
x
29 Cho
3
x
y
x , x > Định x để y đạt GTNN.
3
3
2 2
x x x x 3 x x
2 2
x x x x
Dấu “ = ‘ xảy
2
x x
2 x x32.
Vậy: GTNN y
3
4 x32 30 Tìm GTNN
2
x 4x
f(x)
x , x > 0.
2
x 4x x 4 x.4 4 8
x x x
Dấu “ = ‘ xảy 4
x
x x = (x > 0).
Vậy: GTNN y x = 31 Tìm GTNN
2
2 f(x) x
x , x > 0.
3 2
2 2
2
3 3
2 x x x 1 x
x
3 3 27
x x x x
Dấu “ = ‘ xảy
2
5
x x 3
3 x x = (x > 0).
Vậy: GTNN y
5
(15) f(x) = –10x2 + 11x – =
2
2 11x 11 1
10 x 10 x
10 20 40 40
Dấu “ = “ xảy
11
x 20
Vậy: Khi 11
x
20 y đạt GTLN 40.
33 Cho y = x(6 – x) , x Định x để y đạt GTLN
Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x – x (vì x 6): x 6 x 2 x x x(6 – x)
Dấu “ = “ xảy x = – x x = Vậy: Khi x = y đạt GTLN 34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x
5
2 Định x để y đạt GTLN. y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2(2x + 6)(5 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + – 2x ,
5 x
2 :
112x 6 5 2x 2 2x 2x
1
2(2x + 6)(5 – 2x) 121
8
Dấu “ = “ xảy 2x + = – 2x
1 x
4
Vậy: Khi
1 x
4 y đạt GTLN 121
8 .
35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , x 52 Định x để y đạt GTLN
y = (2x + 5)(5 – x) =
1
2(2x + 5)(10 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , 10 – 2x ,
5 x 5
2 :
2x 5 10 2x 2 2x 10 2x
1
2(2x + 5)(10 – 2x) 625
(16) Dấu “ = “ xảy 2x + = 10 – 2x
5 x
4
Vậy: Khi
5 x
4 y đạt GTLN 625
8
36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
1
2 x
2 Định x để y đạt GTLN y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , – 2x ,
1 x
2 :
2x 1 5 2x 2 2x 2x (2x + 1)(5 – 2x) Dấu “ = “ xảy 2x + = – 2x x =
Vậy: Khi x = y đạt GTLN 37 Cho 2
x y
x 2 Định x để y đạt GTLN
x 22 2x2 2x
1 x
2 2 x
1 y
2
Dấu “ = “ xảy
x x > x=
Vậy: Khi x 2thì y đạt GTLN
1 2
38 Cho
2
x y
x Định x để y đạt GTLN
x22 x 2 1 x 1.13
2
3
x
x 27x
27
x
Dấu “ = “ xảy
x x
Vậy: Khi x1 y đạt GTLN
1 27
III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1 Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki () a b2 22abcd c d 2 a b2 2a d2 2c b2 2c d2
(17)2 Chứng minh: sinx cosx
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , sinx , , cosx : sinx cosx
2 2
1 sinx cosx 1 sin x cos x
3 Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2 7.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , a , , b:
3a 4b 3a 4b 3 3a 24b2 3a2 + 4b2
4 Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a2 + 5b2
725 47 .
2
2a 3b a b
3
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số
2 , a , , b
3 :
2
2 3 a 5 b 3a 5b
3
3 3a2 + 5b2
735 47 .
5 Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2
2464 137 .
3a 5b a 11b
7 11
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số
3 , a , , 11b
7 11 :
2
3 7 a 11b 25 7a 11b
7 11
7 11 7a2 + 11b2
2464 137 .
6 Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4 2.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
a b 1 a 2b2 a2 + b2
2a2b2 1 a 4b4 a4 + b4
7 Cho a + b Chứng minh:
2
a b
2
2 2 2 21
1 a b 1 a b a b
(18)PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho số x, y, z CMR:
2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 x + y + z
3 (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho số dương x, y, z thoả x + y + z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z +
1 1 x y z
4 (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y hai số thực dương thoả x + y =
5
4 Tìm giá trị nhỏ
nhất biểu thức: A =
4
x 4y.
(19)Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:
a b c d
a b c b c d c d a d a b< 2
6 (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh x > (x + 1)2
1 1
x
x 16.
7 (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho số dương a, b, c Ch minh rằng:
a b c a b c a b c 9
a b c
8 (CĐKTYTế1 2006)
Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x2 + x = y + 12
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz
10 (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = thì:
a b c a b c
1 1 3 a b c
3 3 3
11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh:
2 2 2
a b c 3
2
b c c a a b
12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) Cho số a, b, c thoả:
2 2
a b c
ab bc ca
Chứng minh:
4 a 4; b 4; c
3 3 3
13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho ABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng:
1 1 2 1
p a p b p c a b c
(20)
3 3 2 2
2 y
2 x z 1
x y y z z x x y z
15 (ĐH PCCC khối A 2001)
Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì:
b c c a a b
log a log b log c
16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch minh với x ≥ với > ta ln có: x + –
≥ x
Từ chứng minh với số dương a, b, c thì:
3 3
3 3
a b c a b c
b c a
b c a
17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b b a ab (*) 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13
19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c số dương a + b = c Ch minh rằng:
2 2
3 3
a b c
20 (ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c số thực thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng:8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
21 (ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:
2 2 2
b 2a c 2b a 2c 3
ab bc ca
22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng:
3
a b a b
2
23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho số a, b, c Chứng minh BĐT:
a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)
(21)Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh với số dương a, b, c ta có: (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥
3
1 abc
26 (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y hai số dương thoả điều kiện 6x y Tìm giá trị nhỏ tổng x + y
27 (ĐH An Giang khối D 2000)
Cho số a, b, c ≥ Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với x, y, z dương x + y + z = xy + yz + zx >
18xyz xyz
29 (ĐH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: nn + 1 > (n + 1)n 30 (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a 1 b 1
31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BĐT sau luôn với số thực x, y, z khác khơng:
2 2 2
1 1
x y z x y z
BĐT cuối BĐT cần chứng minh 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho số a, b, c khác Chứng minh:
2 2
2 2
a b c a b c
b c a
b c a
33 (ĐH Hàng hải 1999)
Cho x, y, z ≥ x + y + z ≤ Chứng minh rằng:
x y z 1
2 x y z
1 x y z
34 (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng:
(22)Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
2 2
a b c
x y z
2R (a, b, c cạnh ABC, R
là bán kính đường trịn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào? 36 (Đại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =
5 4.
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S =
4
x 4y
37 (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50
Chứng minh bất đẳng thức:
2
a c b b 50
b d 50b tìm giá trị nhỏ
nhất biểu thức: S =
a c b d.
38 (Đại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích
3
2 Gọi a, b, c độ
dài cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:
a b c
1 1 1 3
a b c h h h
39 (Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z số dương x + y + z Chứng minh rằng:
2 2
2 2
1 1
x y z 82
x y z
40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin5x +
3cosx
41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính góc tam giác ABC, biết rằng:
4p(p a) bc (1)
A B C 3
sin sin sin (2)
(23)trong BC = a, CA = b, AB = c, p =
a b c
2 .
42 (Đại học khối A 2005)
Cho x, y, z số dương thoả mãn : x y z1 1 4
Chứng minh rằng:
1 1 1
2x+y+z x 2y z x y 2z
43 (Đại học khối B 2005)
Chứng minh với x R, ta có:
x x x
x x x
12 15 20 3 4 5
5
Khi đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005)
Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng:
3 3 3
1 x y y z z x 3 3
xy yz zx
Khi đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho số x, y, z thoả x + y + z = CMR: 4 x 4 y 4 z
46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh với x, y > ta có:
y
1 x 1
x y
256
Đẳng thức xảy nào? 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
3
4 Chứng minh rằng:
3a 3b 3b 3c 3c 3a 3 Khi đẳng thức xảy ra?
48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh y x
1 x y y x
4.
(24)Cho x, y, z số dương xyz = CMR:
2 2
x y z
1 y z x
50 (Đại học khối A 2006)
Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy
Tìm giá trị lớn biểu thức: A =
3
1
x y .
51 (Đại học khối B 2006)
Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
2 2
x y x y y
LỜI GIẢI (CĐGT II 2003 dự bị)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét điểm: A
y
x ; z
2
, B
3
0; y z
2
, C
y z ;02 Ta có: AB =
2
2
y
x y x xy y
2
AC =
2
2
z
x z x xz z
2
BC =
2
2
y z 3(y z) y yz+z
2 2
Với điểm A, B, C ta ln có: AB + AC ≥ BC
2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
x3 + y3 + z3 33x y z3 3 2(x3 + y3 + z3) 6 x3 + + 33 3x x3 + 3x (1) Tương tự: y3 + + 33y3 y3 + 3y (2)
(25)Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy bất đẳng thức cần chứng minh (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cách 1:
Theo BĐT Côsi: x + y + z 33xyz > 3
1 1
x y z xyz
Từ đó: A 33xyz +
3 xyz
Đặt: t = 3xyz, điều kiện: < t
1
Xét hàm số f(t) = 3t +
3
t với < t
f(t) = –
3 t =
2
3(t 1)
t < 0, t
1 0;
3
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra: A 10 Dấu "=" xảy x = y = z =
1
Vậy Amin = 10 đạt x = y = z =
1 3
Cách 2:
Theo BĐT Côsi: x + y + z 33xyz >
1 xyz 3
x +
1
9x 3, y +
1
9y 3, z +
1
9z
Từ đó: A=
1 1 1
x y z
9x 9y 9z x y z +
8 xyz
(26)Dấu "=" xảy x = y = z =
1
3.Vậy Amin = 10 đạt x = y =
z =
1
4 (CĐSPHCM khối ABT 2006) Ta có: x + y =
5
4 4x + 4y – = 0
A =
4
x 4y =
4 4x+ 4y 5
x 4y A 2 4.4xx + 2
1.4y 4y – 5 A
Dấu "=" xảy
4 4x x
1 4y 4y
5 x y
4 x,y
x 1 y
4. Vậy Amin = 5.
5 (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > nên ta ln có:
a c a c 1
a b c c d a a c a c
b d b d 1
b c d d a b b d b d
Cộng vế theo vế BĐT ta đpcm (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Ta có: (x + 1)2
1 1
x
x 16 (1) (x + 1)2
1
x 16
(x + 1)
1 1x (do x > 0) (x + 1)2 4x (x – 1)2 (2) (2) nên (1) chứng minh
7 (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Xét vế trái BĐT cho: VT =
b c a c a b
1 1
a a b b c c
= +
b a c a c b
a b a c b c
(27)
b a 2 b a. 2
a b a b ;
b c 2 b c. 2
c b c b ;
c a 2 c a. 2
a c a c
Khi đó: VT + + + = (đpcm) (CĐKTYTế1 2006)
y 0, x2 + x = y + 12 x2 + x – 12 – x 3 y = x2 + x – 12 A = x3 + 3x2 – 9x – 7
Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – với – x 3 f(x) = 3x2 + 6x – ; f(x) = x = x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10) (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Ta có: x + y + z 33xyz xyz 33xyz (xyz)2 27 xyz 3 Dấu "=" xảy x = y = z =
Vậy minA = 3 10 (Học viện BCVT 2001)
Ta có hàm số f(x) = x
1
3 hàm nghịch biến nên:
(a – b)
a b
1
3 ≤ 0, a, b.
a b a b
a b b a
3 3 , a, b. (1)
Tương tự: b c c b
b c b c
3 3 (2)
c a c a
c a a c
3 3 (3)
Mặt khác: a b c a b c
a b c a b c
3 3 3 (4)
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
a b c a b c
a b c 1
3 (a b c)
3 3 3
Hay
a b c a b c
a b c 1
3
3 3 3 (vì a + b + c = 1)
Dấu “=” xảy a = b = c =
1 3.
(28)Do a2 + b2 + c2 = nên
2
2 2
a a a
b c a a(1 a ) (1)
Mà 2a2.(1 – a2)2 ≤
3 3
2 2
2a (1 a ) (1 a )
3
a2.(1 – a2)2 ≤
4
27 a(1 – a2) ≤
2
3 (2)
Từ (1), (2) suy ra: 2
a 3a
2
b c
Do đó:
2 2
2 2 2
a b c 3(a b c ) 3
2
b c c a a b
Dấu “=” xảy
2
2
2
2a a 2b b 2c c
a = b = c =
1 3.
12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) Ta có:
2 2
a b c
ab bc ca
2
(a b) 2ab c c(a b) ab
Ta xem hệ phương trình a, b đặt
a b S
ab P (S2 – 4P ≥ 0)
Ta hệ:
2
S 2P c (1)
cS+P =1 (2)
Từ (2) P = – cS, thay vào (1) ta được:
S2 – 2(1 – cS) = – c2 S2 + 2cS + c2 – =
S c
S c
Với S = – c – P = + c(c + 2) = c2 + 2c + BĐT: S2 – 4P ≥ (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥
–3c2 – 4c ≥
4 c
3 (3)
Với S = –c + P = – c(–c + 2) = c2 – 2c + BĐT: S2 – 4P ≥ (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥
–3c2 + 4c ≥
4
0 c
(29)Từ (3), (4) ta được:
4 c
3
Tương tự ta chứng minh được:
4 a,b,c
3
13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Trước hết, ta dễ dàng chứng minh x, y > thì:
1
x y x y (1)
Dấu “=” xảy x = y
Áp dụng (1) ta được:
1 4
p a p b p a p b c
1 4
p b p c p b p c a
1 4
p c p a p c p a b
Cộng BĐT vế theo vế, ta được:
1 1 1
2
p a p b p c a b c đpcm
Dấu “=” xảy a = b = c
14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x3, y2 ta có: x3 + y2 ≥ 2 x y3 2xy x
3
2 x x
xy 2xy x
x y
Áp dụng BĐT Côsi cho số dương 2
1 1,
x y ta có:
2
1 1
xy x y
3 2
2 x 1
2
x y x y
Tương tự ta có:
3 2
2 y 1
2
y z y z ;
3 2
2 z 1
2
z x z x
Suy ra:
3 3 2 2
2 y
2 x z 1
(30)Dấu “=” xảy
3 3
x y vaø y z vaø z x
x y y z z x
x = y = z =
15 (ĐH PCCC khối A 2001)
Trước a > 1, x > hàm số y = log xa đồng biến dương
Do hàm số y = logxa = a
1
log x nghịch biến.
Vì vai trị a, b, c nhau, nên ta giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được:
VT= logb c a log c a b log a b c log a b a log a b b log a b c log a b abc
Vì a, b, c ≥ nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Xét f(x) = x – x + – (x ≥ 0)
f(x) = (x – 1 – 1); f(x) = x =
Vậy với x ≥ > f(x) ≥ hay x + – ≥ x.
BĐT cần chứng minh:
3 3
2 2
a b c a b c
b c a b c a
Áp dụng BĐT chứng minh với =
3
2, ta có:
a a.
b 2 b;
b b.
c 2 c ;
c c.
a 2 a
Mặt khác, theo BĐT Cơsi ta có:
3 3
2 2
1 a b c
2 b c a
(31)
3 3
2 2
3 a b c 3 a b c
2 b c a 2 b c a
Suy ra:
3 3
2 2
a b c a b c
b c a b c a
17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) BĐT (*)
a b b a 1
ab ab
1 1 1 1 1
b b a a (1)
Theo BĐT Côsi ta có:
1 1
1 1 b b
b b 2
1 1
1 1 a a
a a 2
Cộng BĐT lại ta BĐT cần chứng minh
Dấu “=” xảy
1 1 1
b b
1 1 1
a a 2 a = b = 2.
18 (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Ta có: – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > Do theo BĐT Cơsi ta có:
(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤
3
3 2a 2b 2c
3 = 1
27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤
4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14
3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13
Đẳng thức xảy – 2a = – 2b = – 2c a = b = c = 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Từ giả thiết ta có:
a b
c c = < a b,
c c <
2
3
a b a b
c c c c
=
Từ suy ra:
2 2
3 3
(32)20 (ĐHQG HN khối A 2000)
Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c x, y, z > 0.
Đ.kiện a + b + c = xyz = 2a+b+c = 1, theo BĐT Cơsi: x + y + z ≥
Mặt khác: x3 + + ≥ 3x x3 ≥ 3x – 2 Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z3 ≥ 3z – 2
x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z
8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21 (ĐHQG HN khối D 2000)
Ta có:
2 2
2 2
b 2a b 2a 2.
ab a b a b
Đặt x =
1 a; y =
1 b; z =
1 c thì
giả thiết
a,b,c
ab bc ca abc
x,y,z x y z
và đpcm x22y2 y22z2 z22x2 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2
2
x 2y (x 2y)
3
Viết BĐT tương tự, cộng lại, ta có:
2 2 2
x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z)
3
Đẳng thức xảy x = y = z =
1
3 a = b = c = 3
22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Ta có:
3
a b a b
2 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ (a + b)(a – b)2 ≥
BĐT cuối đúng, nên BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b
23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
(33)b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)
24 (ĐH Nơng nghiệp I khối A 2000)
Ta có:
2
2 2 2
1
bc bc a
1 1
a b a c a (b c) a b c
b c
Đặt x =
1 a; y =
1 b; z =
1 c
giả thiết
a, b, c > abc =
x,y,z
xyz=1 P =
2 2
x y z
y z z x x y
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
(y + z + z + x + x + y).P ≥
2
x y z
y z z x x y
y z z x x y
2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 P ≥
1
2(x + y + z) ≥ 1.3 xyz 1.3
2
P ≥
3
Nếu P =
3
2 x = y = z = a = b = c = Đảo lại, a = b = c = P =
3
2 Vậy minP =
25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
(a + 1).(b + 1).(c + 1) = + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ + 33abc a b c 2 2 + abc =
3
1 abc
Đẳng thức xảy a = b = c > 26 (ĐH Y HN 2000)
2
2 2 3 2 3
2 x y (x y)
x y x y
= 6(x + y)
x + y ≥
(34)Giá trị
2 32
6 đạt được
2
2: x 3: y
x y
2
x y
6
2( 3) x
6 3( 3) y
6
Vậy min(x + y) =
5 6
27 (ĐH An Giang khối D 2000)
Giả sử a ≥ b ≥ ac(a – b) ≥ bc(a – b) ac + + bc + ≥ ab(ac – + bc – 1)
28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
Áp dụng BĐT Cơsi cho số dương ta có: = x + y + z + x + y + z ≥ 63xyz (1) xy + yz + zx ≥ 33x y z2 2 (2) Nhân BĐT (1) (2) vế theo vế ta được:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)
Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > (4) Cộng BĐT (3) (4) vế theo vế ta được: (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz xy + yz + zx >
18xyz
2 xyz (vì +xyz >
0)
29 (ĐH An Ninh khối A 2000)
Ta có: 34 = 81, 43 = 64 34 > 43 BĐT cần chứng minh với n =
Với n > 3, đpcm n > n
n
n
n
1
n < n (1)
Ta có:
n
1
n =
n k n k k
1 C
n =
= +
2 n
n n(n 1) 1. n(n 1) (n n 1) 1.
n 2! n n! n
= + +
1 1 1 1 1 n
(35)< + +
1
2! n! < + + n 1
1 2 <
< + + n 1
1
2 + … = +
1
2 = 3
n
1
n < < n (1)
30 (CĐSP Nha Trang 2000)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b 1 ), ta có:
A = a 1 b 1 ≤ (1 1)(a b 1) mà a + b = nên A ≤
Dấu “=” xảy a 1 b 1 a = b a = b =
1
2 ( a + b =
1)
Vậy maxA = a = b =
1
31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) BĐT cần chứng minh
2 2 2
2 2 2
y z x z x y
1 1
x x y y z z ≥
9
+
2 2 2
2 2 2
y z x z x y
x x y y z z ≥ 9
32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Cơsi ta có: *
2 2 2
3
2 2 2
a b c 3 a b c. . 3
b c a b c a (1)
*
2
a 1 2a b
b ;
2
b 1 2b c
c ;
2
c 1 2c a a
2 2
2 2
a b c 2 a b c 3
b c a
b c a (2)
Kết hợp (1) (2) ta được:
2 2
2 2
a b c a b c
2
b c a
(36)
2 2
2 2
a b c a b c
b c a
b c a
33 (ĐH Hàng hải 1999)
Do (x – 1)2 ≥ nên x2 + ≥ 2x
2x x ≤ 1
Tương tự ta có:
2y
1 y ≤ 1;
2z z ≤ 1
Do đó:
2x
1 x +
2y
1 y +
2z z ≤ 3
Hay:
x y z
2
1 x y z (1)
Áp dụng BĐT Côsi cho số khơng âm ta có:
3
3
1 1
1
1 x y z
3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)
3
3 (1 x)(1 y)(1 z)
1 1
1 x y z ≤
(1 x) (1 y) (1 z)
3 ≤ 2
3 1
2 x y z (2)
Kết hợp (1) (2) ta BĐT cần chứng minh 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Vì ≤ x, y, z ≤ nên x2 ≥ x3; y2 ≥ y3; z2 ≥ z3.
Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x)
Do ta chứng minh được:
2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1) (*)
Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ x2 + y2 – x2y – ≤ 0 (2)
Dấu “=” (2) xảy
y x y
Tương tự ta có: x2 + z2 – z2x – ≤ 0 (3) y2 + z2 – y2z – ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
(37)Vậy (1) (*)
Nhận xét: Dấu “=” (*) xảy (x; y; z) (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1) 35 (Đại học 2002 dự bị 1)
x y z ax by cz
a b c ≤
1 1 (ax+by+cz) a b c
≤
a b c1 1 2S =
1 1 abc
a b c 2R = ab bc ca2R
≤
2 2
a b c
2R
Dấu “=” xảy
a b c
x y z
ABC
M trùng với trọng tâm G ABC
36 (Đại học 2002 dự bị 3) Cách 1: S =
1 1 1
x x x x 4y x.x.x.x.4y ≥
5.5
x x x x 4y = 5
minS = 1 x 4y x 4y x y x 1 y
Cách 2: S =
4
x 4x = f(x), < x <
f(x) =
2
4
x (5 4x) ; f(x) =
2
x (5 4x) x
4 x = 1
Lập bảng xét dấu f(x), suy minS = Cách 3: +
1 x. y.
2 x y ≤
4
x y
x 4y (3)
Dấu “=” (3) xảy
x x y y x y x 4y x y x 1 y
(3)
5 4.
2 x 4y
4
(38)Vậy minS =
37 (Đại học 2002 dự bị 5)
Vì a ≥ 1, d ≤ 50 c > b (c, b N) nên c ≥ b + thành thử: S =
a c b d ≥
1 b b 50 =
b b 50
50b
Vậy BĐT đề chứng minh
Dấu “=” xảy
a d 50 c b
Để tìm minS, ta đặt
b b 50
50b =
b 1
50 b 50 xét hàm số có biến
số liên tục x: f(x) =
x 1
50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48)
f(x) =
2
2
1 x 50
50 x 50x ; f(x) =
2
x 50
2 x 48
x 2 Bảng biến thiên:
Chuyển biểu thức f(b) =
b b 50
50b (2 ≤ b ≤ 48, b N)
Từ BBT suy b biến thiên từ đến 7, f(b) giảm chuyển sang tăng b biến thiên từ đến 48 Suy minf(b) = min[f(7); f(8)]
Ta có f(7) =
49 57 53
350 175; f(8) =
64 58 61 53
400 200 175
Vậy minS =
53 175
a b c d 50
38 (Đại học 2002 dự bị 6)
Ta có diện tích tam giác: S = a b c
1ah 1bh 1ch
2 2
=
2S a ; hb =
2S b ; hc =
(39)
a b c
1 1 1 (a b c)
h h h 2S
a b c
1 1 1 1 (a b c) 1
a b c h h h 2S a b c
Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)
1 1 a b c ≥ 9
và S =
3
2, nên ta có:
a b c
1 1 1 9 3
a b c h h h
39 (Đại học khối A 2003) Với
u,v ta có: u v u v (*) Đặt
1 1 1
a x; ; b y; ; c z;
x y z
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:
a b c a b c a b c
Vậy P =
2 2
2 2
1 1
x y z
x y z
2
2 1
(x y z)
x y z
Cách 1:
Ta có: P
2
2 1
(x y z)
x y z
2
3 3
3 xyz
xyz
= 9
9t t
với t = ( xyz)3 < t
2
x y z
3
Đặt Q(t) = 9t +
9
t Q(t) = –
t < 0, t
1 0;
9 Q(t) giảm trên
1 0;
9
Q(t) Q
1
9 = 82 Vậy P Q(t) 82 Dấu "=" xảy x = y = z =
1 3.
(40)(x + y + z)2 +
2
1 1
x y z = 81(x + y + z)2 +
2
1 1
x y z – 80(x + y
+ z)2
18(x + y + z)
1 1
x y z – 80(x + y + z)2 162 – 80 = 82 Vậy P 82
Dấu "=" xảy x = y = z =
1 3.
40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm max: y = sin5x + 3cosx ≤ sin4x + 3cosx (1)
Ta chứng minh: sin4x + 3cosx ≤ 3, x R (2)
3(1 – cosx) – sin4x ≥ 3(1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ (1 – cosx). – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ≥ (3) Theo BĐT Cơsi ta có:
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =
1
2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 +
cosx) ≤
≤
1 32 3
2 27
Vậy BĐT (3) (2) y ≤ 3, x Dấu “=” xảy cosx = x = k2 Vậy maxy =
Tìm min: Ta có y = sin5x + 3cosx ≥ – sin4x + 3cosx
Tương tự trên, ta miny = – 3, đạt x = + k2 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
(1)
(a b c)(b c a) 1
bc
2
(b c) a 1
bc
2bc(1 cosA) 1 bc
2A
cos
2
A sin
2
A
sin
2 (do <
A
2 2) (3)
Biến đổi vế trái (2) sau:
A B C A B-C B+C
sin sin sin sin cos cos
2 2 2 2 ≤
1sinA 1 sinA
2 2
(41)= –
1 sin A sinA
2 2 = –
1 sinA 1
2 2
=
2
1 sinA
8 2
Do (3) suy ra:
2
A B C 1
sin sin sin
2 2 2
= 81 1(4 3) =
2 3
Dấu “=” xảy 0 B-C
cos A 120
2
A B C 30
sin
2
42 (Đại học khối A 2005) Với a, b > ta có:
4ab (a + b)2
1 a b
a b 4ab
1 1
a b a b
Dấu "=" xảy a = b Áp dụng kết ta có:
1 1
2x+y+z 2x y z
1 1 1
4 2x y z =
1 1
8 x 2y 2z (1)
Tương tự:
1 1
x 2y z 2y x z
1 1 1
4 2y x z =
1 1
8 y 2z 2x (2)
1 1
x y 2z 2z x y
1 1 1
4 2z x y =
1 1
8 z 2x 2y (3)
Vậy:
1 1 1 1
2x+y+z x 2y z x y 2z x yz = 1
Ta thấy bất đẳng thức (1), (2), (3) dấu "=" xảy
x = y = z Vậy đẳng thức xảy x = y = z =
3 4.
43 (Đại học khối B 2005)
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có:
x x x x
12 15 2 12 . 15
5
x x
12 15
(42)Tương tự ta có:
x x
12 20
5 2.4x (2)
x x
15 20
4 2.5x (3) Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm
Đẳng thức xảy (1), (2), (3) đẳng thức x = 44 (Đại học khối D 2005)
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có:
1 + x3 + y3 331.x y3 3 = 3xy
3
1 x y
xy xy (1)
Tương tự:
3
1 y z
yz yz (2);
3
1 z x
zx zx (3)
Mặt khác
3 3 3 3
xy yz zx xy yz zx
3 3 3 3
xy yz zx (4)
Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm
Đẳng thức xảy (1), (2), (3), (4) đẳng thức x = y = z = 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Ta có: + 4x = + + + 4x 44 x4
4 x 2 44x 2 48 x
Tương tự: 4 y 2 48 y ; 4 z 2 48 z Vậy 4 x 4 y 4 z 2
84x 84y 84z
63 x y z4 4 624 x y z4 =
46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: + x = +
3
x x x 4 x
3 3
1 +
y
x = +
3
3
y y y 4 y
(43)1 +
9
y = +
3
3
3 3 4
y y y y
2 6
4
9
1 16
y y
Vậy:
y
1 x 1
x y
256
3
4
3 3
x . y .3
3 x y = 256
47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cách 1:
Ta có:
3(a 3b).1.1 a 3b 1 1(a 3b 2)
3
3(b 3c).1.1 b 3c 1 1(b 3c 2)
3
3(c 3a).1.1 c 3a 1 1(c 3a 2)
3
Suy ra:
3a 3b 3b 3c 3c 3a 4(a b c) 6
3
1 4.3 6
3 =
3
Dấu "=" xảy
3 a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1 a = b = c = 14
Cách 2:
Đặt x = 3a 3b x3 = a + 3b; y = 3b 3c y3 = b + 3c; z = 3c 3a z3 = c + 3a
x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4.
3
4 = BĐT cần ch minh x + y + z
Ta có: x3 + + 33 3x 1.1 = 3x; y3 + + 33y 1.13 = 3y; z3 + + 33 3z 1.1 = 3z
3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3) Vậy x + y + z
Dấu "=" xảy
3 3
x y z
3 a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1
a+b+c=
a = b = c =
1
(44)Ta có: x x x2 1
x y y x
4
1
x y y x
4 (1)
Theo BĐT Cơsi ta có:
2
1 1
y x yx yx x y
4 4
1
x y y x
Dấu "=" xảy
2
0 y x x 1
x x 1
y
1
yx
49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Ta có:
2
x y 2 x .1 y x
1 y y
2
y z 2 y .1 z y
1 z z
2
z x 2 z .1 x z
1 x x
Cộng bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:
2 2
x y y z z x x y z
1 y z x
2 2
x y z 3 x y z x y z
1 y z x 4 3(x y z) 34 4
3.3 3
4 4 2 (vì x + y + z 33xyz = 3)
Vậy:
2 2
x y z
1 y z x 2.
50 (Đại học khối A 2006)
Cách 1:
Từ giả thiết suy ra:
2 2
1 1 1
x y x y xy.
Đặt
1 x= a,
1
(45)A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab. Vì ab ≤
2
a b
2 nên a + b ≥ (a + b)2 –
3(a b)
(a + b)2 – 4(a + b) ≤ ≤ a + b ≤ Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16
Với x = y =
1
2 A = 16. Vậy giá trị lớn A 16.
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P Từ giả thiết S, P 0. Ta có: SP = S2 – 3P P =
2
S S
A =
3
1
x y =
3
3
x y
x y =
2 2 3
(x y)(x y xy)
x y =
3
(x y) xy x y =
2
(x y) x y
A =
2
S S
S P
Đk: S2 – 4P S2 –
4S
S 3 S2
S
S
S
S 3 (vì S0)
S
S (*)
Đặt h = f(S) =
S
S h =
3
S < 0, S thoả (*)
Từ bảng biến thiên, ta có: < h h 1, S thoả (*) Mà A = h MaxA = 16 x = y =
1
2 (S = 1, P = 4).
Cách 3:
(x + y)xy =
2
y 3y
x
2 >
1 x y x y xy > 0
A =
3
1
x y =
3
3
x y
x y =
2
1
x y
1 A
(46)Dễ chứng minh được:
3 3
a b a b
2 (với a + b > 0)
dấu "=" xảy a = b Áp dụng với a =
1 x, b =
1
y, ta có:
3
3 1 1
1
x y
x y
2
A A
2
A 16 Dấu "=" xảy 1 2x y Vậy Max A = 16
Cách 4:
A = 2
S
P , suy 2
S 3S
A
P S SP
S2 – 4P S2 – 4
S SP
3
P
S
3 P
S 4 (chia cho S2) Nên: A =
2
S
P 16 Vậy Max A = 16 (khi x = y = 2).
51 (Đại học khối B 2006)
Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y) Do OM + ON ≥ MN nên:
x 1 2y2 x 1 2y2 4y 2 y
Do đó: A ≥ y 2y 2 = f(y)
Với y ≤ f(y) =
1 y + – y f(y) = 2
2y y 1– 1
f(y) = 2y = y
2
y 4y y
y =
1
Do ta có bảng biến thiên Với y ≥ f(y) ≥
2
1 y ≥ 2 5 > + 3. Vậy A ≥ + với số thực x, y
Khi x = y =
1
(47)