Bài viết đề cập đến các chứng minh các định lý cơ bản và cơ sở áp dụng nhiều cho các phần bất đẳng thức

Bài viết đề cập đến chứng minh định lý sở áp dụng nhiều cho phần bất đẳng thức; hình học phẳng ; giải tích ( khơng liên quan đến số học ) cần nắm chứng minh để áp dụng thực tiễn sâu ; lần đầu tơi làm cơng trình ; nên khơng tránh khỏi sai xót ; mong người đóng góp ý kiến ; viết không đề cập đến kỹ sử dụng biến đổi ; kỹ thuật dùng bất đẳng thức hay vấn đề ; ngồi tơi lập lại bảng cơng thức đạo hàm ; tích phân ( khơng chứng minh ) ; vi phân số toán hay ( không đề cập đến công thức lượng giác ) Tùy theo mức độ hay thường sử dụng ; không quy ước chứng minh định lý trước Có số toán hay lồng ghép vào giành cho người đọc viết tự chứng minh 1/ Chứng minh bất đẳng thức AM – GM ( cauchy ) Bất đẳng thức phát biểu dạng : trung bình cộng n số thực khơng âm ln lớn trung bình nhân n số ; đẳng thức xảy tất số Và phát biểu dạng : Cho a1 ; a2 ; .; an không âm số thực ; ta có bất đẳng thức a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 .an n Chứng minh Cách : Nếu số có số khơng ; hiển nhiên bất đẳng thức chứng minh ; ta xét số khác khơng cho tốn Khơng tính tổng quất ; ta giả sử ≤ a1 ≤ a2 ≤ ≤ an Khi ta có a1 + a2 + a3 + + an ≤ an n a a Do : (T − a1 )(an − T ) ≥ a1 + an − T ≥ n ≥ T a2 ; .; an −1 ; a1 + an − T Xét n – số không âm a1 ≤ T = Bây ta giả sử bất đẳng thức với n – số Thì (a2 + a3 + a4 + + (a1 + an − T )) n −1 a a ≥ a2 a3 .an −1 n n −1 T T n −1 ≥ a1.a2 an Hay Bất đẳng thức chứng minh ; đẳng thức xảy tất số Cách : Áp dụng đạo hàm ( chứng minh polyas) Gọi f(x) = e x −1 − x ; ta thấy đạo hàm f’ = e x −1 − đạo hàm  x= từ hàm số đạt giá trị nhỏ x = Xét n số thực không âm a1 ; a2 ; an đặt trung bình cộng u Áp dụng bất đẳng thức nhân vế với vế Ta có : n ∏a i i =1 u n n ≤ exp(∑ i=1 − n) ; số mũ lại u n ∏a Vậy i =1 i ≤ un Bất đẳng thức cho chứng minh ; đẳng thức xảy x = ; tức số u Cách : Muốn có chứng minh cách ; trước hết chứng minh bổ đề Cho số thực a1 ; a2 ; a3 ; ; an không âm với n lớn n ∏a Thỏa mãn i =1 i =1 Khi ta có bất đẳng thức a1 + a2 + a3 + + an ≥ n Ta chứng minh quy nạp Với n = ; bất đẳng thức hiển nhiên ( bất đẳng thức AM – GM cho số ) Có đẳng thức số Giả sử bất đẳng thức với n Ta chứng minh với n + Tức : Nếu có tất số hiển nhiên đẳng thức xảy ; giả sử < tồn số a j > ; chẳng hạn ta giả sử an < 1; an +1 > Áp dụng giả thiết quy nạp ta có : a1 + a2 + + an −1 + an an +1 ≥ n Do : n ∑a i =1 i ≥ n − an an +1 +an + an +1 = n + + (1 − an )(an +1 − 1) > n + Bất đẳng thức hiển nhiên chứng minh Rõ ràng có đẳng thức tất số Bây ta áp dụng bổ đề vào chứng minh AM – GM c = n a1.a2 an Đặt : n ∏c Khi ta có : i =1 =1 Áp dụng bổ đề n a1 ∑c ≥n i =1 Bất đẳng thức hiển nhiên chứng minh ; xảy đẳng thức tất số Cách : Ta áp dụng tính chất hàm lồi Xét bổ đề ( không chứng minh ) : ‘ Nếu f(x) hàm lồi I với n số I ta có : f( x1 + x2 + x3 + + xn f ( x1 ) + + f ( xn ) )≤ n n Xảy đẳng thức số Bây ta xét hàm số f ( x) = e x ; hàm số lồi ( ∞−; +∞ ) Xét n số thực không âm Tồn số thực x1 ; x2 ; xn x Thỏa mãn e = i Theo bổ đề : e x1 + x2 + + xn n e x1 + e x2 + e xn ≤ n Hiển nhiên bất đẳng thức AM – GM chứng minh ; có đẳng thức tất số 2/ Bất đẳng thức cauchy – swhwars ( bunhiacopxki ) Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức ; nêu cách chứng minh hay sử dụng Bất đẳng thức phát biểu dạng ; cho dãy số có n số dạng ; bi ; khơng âm Khi ta có bất đẳng thức (a12 + a2 + + a n )(b 21 + + b n ) ≥ (a1.b1 + + an bn ) Có đẳng thức tồn số thực k không âm dãy tỉ lệ k Cách : Áp dụng đẳng thức Lagrange ( khơng chứng minh ) Ta có : n n n i =1 i =1 i =1 (∑ )(∑ bi ) − (∑ bi ) = ∑ 1≤i < j ≤ n (ai b j + a j bi ) − ∑ 1≤ i < j ≤ n bi a j b j = ∑ 1≤ i < j ≤ n (ai b j − a j bi ) ≥ Rõ ràng bất đẳng thức chứng minh ; có đẳng thức với ≤ i < j ≤ n ta b j = a j bi có : Cách : Áp dụng bất đẳng thức Holder với n = ; bất đẳng thức hiển nhiên chứng minh ; đẳng thức xảy dãy tỉ lệ Cách : Sử dụng tam thức bậc hai Xét hàm số : f ( x) = (a1 x − b1 ) + + (an x − bn ) Rõ ràng hàm số không âm với giá trị thực x Điều tương đương với biệt thức khơng phải số dương ; mà : n n n i =1 i =1 i =1 ∆ ' = (∑ bi ) − (∑ )(∑ bi ) ≤ Bất đẳng thức hiển nhiên chứng minh ; đẳng thức xảy dãy tỉ lệ ( Khai triển hàm số giành cho người đọc ) Cách : Sử dụng bất đẳng thức jensen hàm lồi Xét hàm f ( x) = x hàm lồi R ; theo bất đẳng thức jensen ; áp dụng cho dãy khơng âm ta có: n f( ∑ xi i =1 n ∑ i =1 n )≤ ∑ a f (x ) i =1 i i n ∑a i =1 i Bất đẳng thức hiển nhiên chứng minh ; đẳng thức xảy cặp tỉ lệ Còn cách chứng minh khác áp dụng phương pháp quy nạp toán học sử dụng bất đẳng thức AM – GM xin giành cho người đọc ) 3/ Định lý pitago cho tam giác vuông : Định lý phát biểu sau : Cho tam giác vuông ; tổng bình phương cạnh góc vng bình phương cạnh huyền Tôi xin nêu cách chứng minh phổ biến ; thực tế định lý có tới 300 cách chứng minh ( tham khảo cách chứng minh khác tổ hợp hình học Vũ Hữu Bình phần cắt ghép hình ) Cách : Ta gọi tam giác ABC vng A ; kẻ đường cao AH ; định lý pitago hệ hệ thức lượng tam giác vng ( có chứng minh SGK phổ thông giành cho lớp ) Cách : Ta xét cách phát biểu khác xa xưa định lý : Tổng diện tích hình vng lập hai cạnh góc vng diện tích hình vng lớn dựng cạnh huyền Chứng minh : Gọi tam giác cho ABC ; vuông A Trên cạnh AB ; dựng hình vng ABFG ; cạnh AC dựng hình vng ACMN Trên cạnh huyền BC dựng hình vng BCDE Ta cần chứng minh : S ( BCDE) = S ( ABFG) + S(ACMN) Vẽ đường cao AH ; kéo dài cắt DE K Nối AE ; CF Ta có S ( FBC ) = S ( ABE ) (1) Tam giác FBC hình vng ABFG có chung đáy BF ; đường cao ứng với đáy AB Vậy 2.S ( FBC ) = S ( ABFG ) (2) Chứng minh tương tự : 2.S ( ABE ) = S ( BHKE ) (3) Từ (1) ; (2) ; (3) Ta có : S ( BHKE) = S ( ABFG ) Chứng minh tương tự : S ( CHKD ) = S ( ACMN ) Cộng vế hai đẳng thức tương ứng ; định lý pitago chứng minh 4/ Giải phương trình nghiệm nguyên : x + y = z ( phương trình pitago tiếng ) Trước hết ta giả sử x; y ; z số nguyên tố Thật gọi xo ; yo ; zo số thỏa mãn đẳng thức có ước chung lớn d ; xo yo z0 ; ; nghiệm phương trình d d d Với x ; y ; z ngun tố chúng ngun tố đơi ; số có ước chung d số cịn lại chia hết cho d Trước hết ta có đánh giá : (1) x ; y khơng chẵn ; chúng ngun tố (2) x ; y lẻ ; vế trái chia dư ; vế phải chia hết cho Vậy x ; y có số chẵn số lẻ Bây ; khơng tính tổng quát ; ta giả sử x chẵn y lẻ ; z lẻ Dạng tương đương phương trình : x z+ y z− y ( )2 = 2 Ta thấy vế lúc nguyên x chẵn z ; y lẻ Do z ; y nguyên tố nên z+ y z−y ; nguyên tố ( dễ chứng 2 minh ; giành cho người đọc ) Hai số có tích số phương nên số số phương Đặt : z+ y z−y = m2 ; = n ( lưu ý m ; n nguyên dương x ; y ; z 2 nghiệm trái dấu chúng nghiệm nên ta xét nghiệm dương ) Vậy ta có z = m + n2 ; y = m − n ; m ; n nguyên tố ; chẵn lẻ khác m > n Nên ta tìm x = 2mn Vậy ta có cơng thức nghiệm tổng qt cho phương trình : x = t.2mn y = (m − n ).t z = t (m + n ) Trong m ; n nguyên tố ; chẵn lẻ khác t số nguyên tùy ý 5/ Chứng minh định lý lớn fermat với n = Gợi ý : Sử dụng nguyên lý cực hạn ; bổ đề pitago chứng minh ; giả sử có nghiệm x ; y ; z thỏa mãn phương trình ; nhỏ ; ta tìm nghiệm khác thỏa mãn nhỏ nghiệm ban đầu nên phương trình cho vô nghiệm 6/ Định lý Rolle ; định lý cauchy ; định lý lagrange : Định lý Rolle phát biểu dạng Cho hàm f(x) liên tục [ a ; b ] ( a < b ) ; khả vi ] a ; b [ f(a) = f(b) tồn giá trị x = c f’(c) = Chứng minh : Giả sử không tồn c mà f ‘ (c ) = ; tức f’(x) khác không với giá trị x nằm khoảng [ a ; b ] Khơng tính tổng qt ; giả sử f’ > với x khoảng ; tức hàm số đồng biến [ a ; b ] ; f(a) < f(b) ( trái với giả thiết ) Định lý chứng minh Định lý Cauchy phát biểu dạng ( không chứng minh ) Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [ a ; b ] ; khả vi ] a ; b [ ; đồng thời g(x) khác khơng tồn c khoảng : f (b) − f (a ) f '(c) = g (b) − g (a ) g '(c) Định lý Lagrange phát biểu dạng : Cho f(x) liên tục [ a ; b] khả vi ] a ; b [ Khi tồn c khoảng f (b) − f ( a) = (b − a ) f '(c) Ta dễ thấy hệ định lý cauchy ; ta chứng minh theo cách khác Bây ta xét hàm số : g ( x) = f ( x) − Lần lượt tính g(b) g(a) f (b) − f (a ) x b−a g (b) − g (a ) = f (b) − f (a ) − Xét hiệu : f (b) − f (a ) (b − a ) =0 b−a Ta có g(b) = g(a) ; theo định lý Rolle tồn c để g '(c ) = f '(c ) − Tức tồn c để : f '(c) = f (b) − f (a) =0 b−a f (b) − f (a ) b−a Định lý chứng minh Sau đọc xong chứng minh cho định lý lagrange ; tin bạn tìm cách chứng minh cho định lý cauchy bên Bảng cơng thức đạo hàm tích phân : ( x m ) ' = mx m −1 ( x)' = −1 ( )' = x x (e x ) ' = e x ( x dương ) x (cos x)' = - sin x (ln x) ' = (a x ) ' = a x ln a (s inx)'=cos x (tgx ) ' = sec x (arcsin x)' = x 1 - x2 (arctg x )' = + x2 ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) d ( ∫ f ( x)dx) = f ( x)dx (ctgx) ' = −cosec x (arccos x )' = - x2 -1 (arcctg x)' = + x2 ∫ dF ( x) = F ( x) + C ∫ C f ( x)dx = C.∫ f ( x)dx ∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Nếu : ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ; thay x hàm số u biến x ; ta có: ∫ f (u )du = F (u ) + C Bảng tích phân bất định : ∫ dx = x + C dx ∫ x = ln | x | +C x m +1 ∫ x dx = m + + C với m khác -1 dx ∫ + x = arctgx + C dx ∫ − x = arcsinx+C x x ∫ e dx = e + C m ax +C ln a ∫ s inxdx = −cosx+C x ∫ a dx = ∫ cosxdx = s inx+C ∫ sec xdx = tgx + C ∫ cosec xdx = −ctgx + C 2 Tích phân phần : ∫ udv = uv − ∫ vdu Các tích phân xác định b ∫ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b a ∫ f ( x)dx = a b ∫ a c b f ( x)dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx a c b b b ∫ ( f ( x) + f ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f a a b ( x)dx b a a a ∫ C f ( x)dx = C.∫ f ( x)dx C số Nếu ta tìm số m ; n thỏa mãn bất đẳng thức : m ≤ f ( x) ≤ n Thì ta có bất đẳng thức : b m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ n(b − a ) a Công thức Newton – Leibniz : Cho F nguyên hàm f ta có đẳng thức : b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) ( chứng minh cho người đọc ) a Tích phân phần : Cho hàm u(x) v(x) hàm khả vi liên tục [ a ; b ] biến x b ∫ udv = uv | b b a a − ∫ vdu a a Nếu f(x) hàm lẻ : ∫ f ( x )dx = −a a Nếu f(x) hàm chẵn : ∫ −a a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx Sau học xong bảng công thức ; tìm hiểu vài điều chuỗi số Và tiêu chuẩn so sánh 1/ Nếu chuỗi u1 + u2 + u3 + + un + Hội tụ chuỗi um+1 + um+ + nhận từ chuỗi ban đầu cho sau bớt m số hạng đầu hội tụ 2/ Nếu chuỗi u1 + u2 + u3 + + un + = S Hội tụ chuỗi a.S hội tụ có tổng a.S 3/ Nếu chuỗi u1 + u2 + u3 + v1 + v2 + v3 + Hội tụ có tổng tương ứng S P chuỗi (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) + Cũng hội tụ có tổng S + P 4/ Nếu chuỗi u1 + u2 + u3 + Hội tụ lim u(n) = n → ∞ ; nghĩa số hạng tổng quát chuỗi hội tụ Như lim u(n) khác chuỗi phân kỳ 5/ Chuỗi 1 n S = + + + + + + Được gọi chuỗi điều hòa ; chuỗi phân kỳ Dưới liệt kê số tiêu chuẩn định lý so sánh chuỗi Tiêu chuẩn so sánh thứ Giả sử ta có chuỗi dương u1 + u2 + u3 + + un + v1 + v2 + v3 + + + Gọi chuỗi u (1) chuỗi v (2) Trong số hạng tổng quát tương ứng chuỗi (1) không vượt chuỗi (2) Khi ; chuỗi (1) phân kỳ chuỗi (2) phân kỳ ; chuỗi (2) hội tụ chuỗi (1) hội tụ Tiêu chuẩn so sánh thứ hai u n Nếu tồn giới hạn lim ( n → ∞ ) v = k ; k hữu hạn khác khơng ; n ∞ chuỗi ∑ un n =1 ∞ ∑v n =1 n đồng thời hội tụ đồng thời phân kỳ Tiêu chuẩn cauchy Nếu chuỗi u1 + u2 + u3 + + un + Có lim ( n → ∞ ) n un = C ; chuỗi hội tụ C < phân kỳ C > Tiêu chuẩn Đalambe Nếu chuỗi u1 + u2 + u3 + u n +1 Có lim ( n → ∞ ) u = D ; chuỗi D < phân kỳ D > n Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số f(x) liên tục ; dương giảm đơn điệu x ≥ ; chuỗi un = f(n) hội tụ hay phân kỳ tùy thuộc vào tích phân ∞ ∑u n =1 n ∞ ∫ f ( x)dx hội tụ hay phân kỳ Trong viết không đưa tiêu chuẩn tích phân đầy đủ chuỗi hàm ; mà thẳng vào chuỗi lũy thừa Cho chuỗi hàm dạng a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a) + + an ( x − a ) n + Trong số a; a0 ; a1 ; số thực ; gọi chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa có tính chất sau : chuỗi lũy thừa hội tụ với x = y ( đồng thời hội tụ tuyệt đối ) với giá trị x ; thỏa mãn bất đẳng thức | x – a | < | y – a| Đó gọi định lý abel Đây hệ định lý abel Mọi chuỗi lũy thừa có khoảng hội tụ với tâm điểm a : | x – a | < R hay Là a - R < x < a + R ; bên khoảng chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối ; cịn ngồi khoảng chuỗi phân kỳ ; mút khoảng hội tụ ( điểm x = a + R x = a – R ) chuỗi lũy thừa có tính chất riêng : có số chuỗi hội tụ tuyệt đối hai mút ; số khác hội tụ có điều kiện ; mút phân kỳ ; số phân kỳ hai mút Số R nửa độ dài khoảng hội tụ gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Trong trường hợp đặc biệt ; bán kính hội tụ khơng vơ hạn Nếu R = ; chuỗi lũy thừa hội tụ điểm a ; cịn R vơ hạn chuỗi hội tụ tồn trục số Để tìm khoảng bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa sử dụng phương pháp sau 1/ Nếu tất hệ số an chuỗi khác khơng Lúc ta có a n R = lim ( n → ∞ ) | a | n +1 Trong điều kiện giới hạn tồn ( hữu hạn vô hạn ) 2/ Nếu chuỗi xuất phát có dạng a0 + a1 ( x − a) p + a2 ( x − a ) p + + an ( x − a) np + Trong p số nguyên dương xác định từ trở ; R = p lim | an | an +1 n → ∞ 3/ Nếu hệ số chuỗi có hệ số ; dãy số mũ hiệu x – a lại chuỗi ( tức không lập thành cấp số cộng trường hợp trước ) bán kính hội tụ tính theo công thức R = lim n | a | n → ∞ n Trong sử dụng giá trị khác mẫu thức ( công thức áp dụng cho trường hợp ) 4/ Trong trường hợp ; tìm khoảng hội tụ cách áp dụng trực tiếp tiêu chuẩn đalambe hay tiêu chuẩn cauchy cho chuỗi lập thành từ giá trị tuyệt đối số hạng chuỗi xuất phát Ta viết chuỗi dạng u0 ( x) + u1 ( x) + u2 ( x) + Trong u0 = a0 un ( x) = an ( x − a) N ; phụ thuộc N vào n ; đồng thời an không ký hiệu số ( x − a) n mà hệ số số hạng thứ n chuỗi ta tìm khoảng hội tụ theo bất đẳng thức |u | n +1 Lim ( n → ∞ ) | u | < lim ( n → ∞ ) n | un | < n Ta cần lưu ý tính chất sau chuỗi lũy thừa Các chuỗi nhận cách đạo hàm tích phân từ chuỗi lũy thừa có khoảng hội tụ ; tổng chúng khoảng hội tụ tương ứng đạo hàm tích phân tổng chuỗi ban đầu Do S(x) = Thì S’(x) = ∞ ∞ ∑ a ( x − a) n =0 ∑ na ( x − a) n =1 n n n −1 n an ( x − a ) n +1 n +1 n =0 x ∞ ∫ S ( x)dx = ∑ a Trong –R < x – a < R Các phép tính đạo hàm tích phân từ chuỗi lũy thừa áp dụng vơ số lần Như ; tổng chuỗi lũy thừa khoảng hội tụ hàm khả vi vơ hạn Sau hai ví dụ điển hình Tìm tổng chuỗi + x + 3x + x3 + | x | < Giải ; ta biết công thức tính tổng chuỗi cấp số nhân cơng bội q vơ hạn a a số hạng đầu 1− q Áp dụng ta có đẳng thức + x + x + x3 + = 1− x Đạo hàm đẳng thức ta có đpcm + x + x + x3 + = (1 − x) Tìm tổng chuỗi x x3 x x + + + + ( |x| < ) Như ví dụ trước ; ta tích phân đẳng thức khoảng từ đến x ta có x+ x x3 x + + + = -ln(1 – x) Chuỗi hội tụ khoảng [ -1 ; [ Ngoài lĩnh vực phát triển ; phép tính vi tích phân giải tích ; …… Thì học sinh THCS có nhiều bạn thích làm tốn hình học phẳng ; thật môn rèn luyện tư người ; bắt phải suy nghĩ ; phải tìm tịi có nhiều cách giải hay độc đáo cho toán Ở phần tơi nêu lên vài toán hay cho tất người đọc 1/ Đường thẳng Euler tam giác Chứng minh tam giác tâm đường trịn ngoại tiếp ; trực tâm trọng tâm thẳng hàng Có nhiều cách để chứng minh học sinh THCS từ lớp ; biết đến ; việc chứng minh khơng cịn khó khăn với tất Cơ có cách : C1 : Lấy trung điểm dùng tích chất đường trung bình C2 : Lấy trung điểm dùng tam giác đồng dạng Thấy tốn ; tơi tin chưa học chắn hứng thú bạn công đọc đến ; chứng minh giành cho bạn đọc ; với thạo việc chứng minh ; xin đọc tốn 2/ Định lý Xê va Định lý Xê va ; nhiều người biết đến ; có nhiều người khơng biết đến tính ứng dụng chưa cao Tơi thấy có người nói ; thật lại khơng phải Ít tơi thấy ứng dụng chứng minh đường trung tuyến tam giác đồng quy ; thật nhỏ bé phải không ; đa phần người nghĩ ; cần thiếu chi tiết nhỏ thơi ; lĩnh vực khó mà phát triển Chúng ta phát biểu định lý sau ; để thuận tiện ; bạn nên chép đề theo đề : Cho tam giác ABC ; ba đường AD ; CF ; BE đồng quy điểm O ( tam giác ) ; D thuộc BC ; F thuộc AB ; E thuộc AC Khi ta có khẳng định cho chiều : AF BD CE =1 FB DC EA Ở chứng minh cho chiều thuận ; chiều nghịch giành cho người đọc ; cần tinh ý nho nhỏ dùng tỉ lệ thức làm Chứng minh : Ta dễ dàng có : Và : Vậy ta có : S ( BOD) BD = S (COD) DC S ( BAD) BD = S (CAD) DC BD S ( ABO ) = ( tỉ lệ thức ) DC S (CAO ) Hoàng toàn tương tự ; ta chứng minh CE S ( BCO) = EA S ( ABO) AF S (CAO) = FB S ( BCO) Nhân vế đẳng thức với ; ta thu điều cần chứng minh 3/ Định lý Mê – Nê – La – Uýt Cho tam giác ABC điểm A’ ; B’ ; C’ không trùng đỉnh tam giác cho điểm có điểm điểm nằm ngồi tam giác Khi A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng  A ' B B 'C C ' A =1 A 'C B ' A C ' B Bạn thấy giống định lý Xê va không ; cách tương tự tin bạn không 30 phút để mần mị cách giải tốn ; chứng minh giành cho người đọc 4/ Định lý talet Trong số tất học từ lớp chắn biết đến định lý ; tìm lời giải cho ; họ lấy lý định lý có áp dụng ; không cần chứng minh ; định lý khó ; thời gian làm chi Nhưng có điều mà họ khơng biết lời giải đơn giản mà cần tinh mắt bạn làm ; thật phí Định lý phát biểu dạng : Nếu đường thẳng cắt cạnh tam giác song song với cạnh lại chúng tạo cặp đoạn thẳng tỉ lệ tương ứng cạnh bên Và phát biểu dạng : Cho tam giác ABC ; M N thuộc AB ; AC cho MN // AB đó: AM AM = MB MC Và đẳng thức tương tự suy từ đẳng thức Ta chứng minh định lý phương pháp diện tích Trước hết ta nhận thấy S ( MNB ) = S ( MNC ) ; đáy MN đường cao hạ xuống MN // BC Cộng vế với S (AMN) ta có : S ( ANB ) = S ( AMC ) Chia vế với S ( ABC ) : AM AN = AB AC Ta có dpcm ; đơn giản phải không ? Không phải định lý khó bạn nghĩ ; nghĩ khó chẳng làm Tôi kết thúc phần hình học phẳng để chuyển qua giải số toán khác ; tiếng ứng dụng không 1/ Bất đẳng thức Jensen Cho n số thực không nhỏ n khơng nhỏ ; ta có bất đẳng thức : n ∑ 1+ x i =1 i n ≥ n n + ∏ xi i =1 Ta chứng minh quy nạp Với n = quen thuộc ; cách biến đổi tương đương ; ta có điều phải chứng minh Giả sử bất đẳng thức với n = k Ta cần chứng minh với n = k + : Trước hết theo giả thiết quy nạp ta có : k ∑ 1+ x i =1 i k ≥ k k + ∏ xi i =1 1 Đặt S = + x k +1 + + + x k +1 k +1 Theo giả thiết quy nạp ; ta thu được: k 1 k ≥ S - + x k +1 + ( x k +1 ) k ∏i k +1 i =1 Áp dụng giả thiết quy nạp lần ta có : + (k − 1) + xk +1k +1 k +1 + ∏ xi i =1 ≥ k k −1 1+ k x .xk k −1.xk +12 k Cộng kết có áp dụng bất đẳng thức Jensen cho số vế phải ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tất số không nhỏ 2/ Bất đẳng thức Neisbit ; biến bất đẳng thức tổng quát Trước hết ta xét toán quen thuộc Cho số thực dương a ; b ; c ; chứng minh : a b c + + ≥ b+c a+c a+b Ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cauchy – schwars Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : a2 b2 c2 + + ≥ ab + ac ba + bc ca + cb Vế trái lớn : (a + b + c) 2ab + 2bc + 2ac Thế (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ac) bất đẳng thức quen thuộc Bài toán hiển nhiên chứng minh ; đẳng thức xảy a=b=c Ta xét toán với biến với điều kiện a ; b ; c dương : a b c d + + + ≥2 b+c c+d d +a a+b Bằng cách tương tự ta chứng minh bất đẳng thức Bây ta xét toán tổng quát : an a1 a2 n + + + ≥ a2 + a3 a3 + a4 a1 + a2 Bất đẳng thức thực chất khơng khó ; chứng minh giành cho người đọc Tôi kết thúc viết việc chứng minh công thức Taylor ( định lý taylor ) nói cách phân tích hàm số thành tổng chuỗi số vô hạn Định lý phát biểu sau : Cho hàm số f(x) khả vi n lần [ a ; x ] khả vi n + lần khoảng ( a ; x ) f '(a ) f ''(a ) f ( n ) (a ) ( x − a) + ( x − a) + + ( x − a ) n + Rn ( x) 1! 2! n! Rn ( x ) số dư bậc n ; biểu diễn dạng tích phân chứng minh Trong f ( x) = f (a ) + cách dùng định lý giải tích Chứng minh : Ta giả sử cơng thức đến số n ; ta chứng minh với n + ; trước hết theo giả thiết quy nạp ; ta có f ( x) = f (a ) + f '(a ) f ''(a ) f ( n ) (a ) ( x − a) + ( x − a) + + ( x − a ) n + Rn ( x) 1! 2! n! x ( n +1) −1 n Trong Rn ( x) = ∫ f (t ).n ! ( x − t ) dt a Dùng cơng thức tích phân phần ta có : f ( n +1) (a) ( x − a ) n +1 + ∫ f ( n + 2) (t ).(n + 1)!−1 ( x − t ) n dt (n + 1)! a x Rn ( x ) = Do định lý với n+1 ; định lý chứng minh Dưới số hàm siêu việt ; bạn dùng công thức để tính tích phân bất định với a = công thức cosxdx s inxdx e − kx − x2 ∫ x ; ∫ x ; ∫ e dx; ∫ x dx ;… k số nguyên dương Liên hệ chi tiết facebook cá nhân ( Terence Tao ) email bang1412@gmail.com Tên : Phạm Khoa Bằng Học sinh lớp 8a1 – trường THCS Nguyễn Trực – TT Kim Bài Trú : Thanh Thùy – Thanh Oai – Hà Nội Số điện thoại liên hệ : 0984004226 ... nhiên bất đẳng thức AM – GM chứng minh ; có đẳng thức tất số 2/ Bất đẳng thức cauchy – swhwars ( bunhiacopxki ) Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức ; nêu cách chứng minh hay sử dụng Bất đẳng. .. ràng bất đẳng thức chứng minh ; có đẳng thức với ≤ i < j ≤ n ta b j = a j bi có : Cách : Áp dụng bất đẳng thức Holder với n = ; bất đẳng thức hiển nhiên chứng minh ; đẳng thức xảy dãy tỉ lệ Cách... ta có bất đẳng thức a1 + a2 + a3 + + an ≥ n Ta chứng minh quy nạp Với n = ; bất đẳng thức hiển nhiên ( bất đẳng thức AM – GM cho số ) Có đẳng thức số Giả sử bất đẳng thức với n Ta chứng minh