CHUYÊN đề 3 GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A ln lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biểu thức thuộc khoảng xác định nói Xét biểu thức +) Ta nói A( x) A( x) ≤ M ∀x +) Ta nói có giá trị lớn M, có giá trị x0 cho A( x) A( x) ≥ m∀x A( x) A( x0 ) = M (Chỉ giá trị được) có giá trị nhỏ m, có giá trị x0 cho A( x0 ) = m (Chỉ giá trị được) Như : a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần : - Chứng minh A≥k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần : - Chứng minh A≤k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến Ký hiệu: Min A giá trị nhỏ A Max A giá trị lớn A Ví dụ: Sai lầm A( x) = x − x + = x + ( x − 1)2 + ≥ ⇒ GTNN = Đáp án : ( Không dấu = ) 5 A( x) = 2( x − ) + ≥ ⇒ GTNN = ⇔ x = 2 2 B Các dạng tốn Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai ax + bx + c Phương pháp: Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a c A( x) = x − x + 24 b B( x) = x − 8x + C ( x) = 3x + x − Lời giải a b c A( x) = x − x + 24 = ( x − 2) + 20 ≥ 20∀x ⇒ A( x) = 20 ⇔ x = B ( x) = x − x + = 2( x − x + 4) − = 2( x − 2) − ≥ −7 ⇒ minB = −7 ⇔ x = 13 −13 −1 C ( x) = x + x − = 3( x + ) − ≥ ⇔ x= 12 12 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a A( x ) = −5 x − x + b B ( x) = −3x + x + Lời giải A( x ) = −5 x − x + = −5( x + a b 9 −2 x − ) = −5( x + ) + ≤ ⇔ x = 5 5 5 13 13 B ( x) = −3 x + x + = −3( x − ) + ≤ ⇔ x= 12 12 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN đa thức có bậc cao Phương pháp: Ta đưa dạng tổng bình phương Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a c e g A( x) = x − x3 + 10 x − x + b C ( x) = x − x + x − x + 2017 d E ( x) = x − x3 + x − 20 x + 22 f B ( x) = x − 10 x + 26 x − 10 x + 30 D ( x) = x − x + x + F ( x ) = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) G ( x ) = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) − 2006 Lời giải a A( x) = x − x + 10 x − x + = ( x − x + x ) + ( x − x + 9) = ( x − x) + ( x − 3) ≥ 0∀x  x − 3x = ⇒ A( x ) = ⇔  ⇔ x=3 x − =   x2 − 5x = B ( x ) = x − 10 x + 26 x − 10 x + 30 = ( x − x) + ( x − 5) + ≥ ⇔  ⇔ x=5 x − = b c d e f g 2 2 C ( x) = x ( x + 2) − x( x + 2) + ( x + 2) + 2015 = ( x + 2)( x − 1) + 2015 ≥ 2015 ⇔ x = D ( x ) = x − x + + x + x + + = ( x − 1) + ( x + 1) + ≥ ⇔ x = −1 E ( x) = x − x + x − 20 x + 22 = ( x − x + x ) + 5( x − x + 4) + = ( x − x) + 5( x − 2) + ≥ ⇔ x = x = F ( x) = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) = ( x − x)( x − x + 12) = y − 36 ≥ −36 ⇔ y = ↔  x = x = G ( x) = ( x + x − 6)( x + x + 6) − 2006 = ( x + x) − 2042 ≥ −2042 ⇔   x = −5 Dạng : Đa thức có từ biến trở lên Phương pháp: Đa số biểu thức có dạng F ( x; y ) = ax + by + cxy + dx + ey + h ( a.b.c ≠ ) ( 1) - Ta đưa dần biến vào đẳng thức F ( x; y ) = mK [ x; y ] + nG [ y ] + r ( ) Trong G [ y] , H [ x] (a ± 2ab + b ) = ( a ± b ) sau F ( x; y ) = mK [ x; y ] + nH [ x ] + r ( 3) biểu thức bậc biến, thức bậc hai biến x y K [ x; y ] = px + qy + k biểu Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển dạng (2) sau với Ta có a ≠ 0; 4ac − b ≠ 4a.F ( x; y ) = 4a x + 4abxy + 4acy + 4adx + 4aey + 4ah = 4a x + b y + d + 4abxy + 4adx + 2bdy ( 4ac − b ) y 2 + y ( 2ae − bd ) + 4ah − d = ( 2ax + by + d ) 2 2ae − bd    2ae − bd  + ( 4ac − b )  y + + 4ah − d −  ÷ ÷ 4ac − b    4ac − b  Vậy có (2) với b − 4ac 2ae − bd d ( 2ae − bd ) F ( x; y ) = 2ax + by + d ; n = − ; G( y) = y + ; r = h − − 4a 4a 4ac − b 4a 4a ( 4ac − b ) m= +) Nếu +) Nếu a > 0; 4ac − b > ⇒ m > 0, n > ⇒ ( ) : F ( x; y ) ≥ r ( *) a < 0; 4ac − b > ⇒ m < 0, n < ⇒ ( ) : F ( x; y ) ≤ r ( **) +) Nếu m > 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n +) Nếu F ( x; y ) ≤ r < khơng có ( x; y ) a > 0; 4ac − b < 0; r = ⇒ ( ) : F ( x; y ) thảo mãn F(x; y) = phân tích tích hai nhân tử, giúp ta giải tốn khác Bài 1: Tìm giá trị nhỏ a A = x + y − xy − y + b B = x2 − y2 + y + Lời giải A( x) = x + y − xy − y + = ( x − xy + y ) + ( y − y + ) + = ( x − y ) + ( y − ) + a) Ta có x − y = ⇒ A ≥ 1∀x, y ∈ R ⇒ " = " ⇔  ⇔x= y=2 y − = Vậy A = ⇔ x = y = B = x − y + y + = ( x − xy + y ) + ( x + xy + y ) + y + = ( x − y ) + ( x + y ) + ≥ b) x − y = ⇒x= y=0  x + y = Bài 2: Tìm giá trị nhỏ a c A( x) = x + y − xy − x + b C ( x) = x + y + xy − x − y + 18 d B( x) = x + xy + y − x − y D( x) = x + y + z − 2( x + y + z ) + e g E ( x) = x + xy + 11 y − x − y + f F ( x) = x + y + z − xy + yz − xz + y + z + G ( x) = x + y + z + xy − xz − yz − x − y h H ( x) = x + y − xy − x + y + Lời giải a b A( x) = x + y − xy − x + = ( x − xy + y ) + ( x − x + 1) + = ( x − y ) + ( x − 1) + ≥ ⇔ x = y = B ( x) = ( x − x + 1) + ( y − y + 1) + x( y − 1) − ( y − 1) − = ( x − 1) + ( y − 1) + ( x − 1)( y − 1) − y −1 y −1 y − 1 y − y +  = ( x − 1) + 2( x − 1) .( y − 1) + ( ) −( ) + ( y − 1) − =  x − + − + y − y +1− 2 2   y −1  = x = y −  3( y − 1)  x −1 +  =  x −1 + + − ≥ −3 ⇔  ⇔    y =1  y − = c C ( x ) = x + xy + y + y − x − y + 18 = ( x + y ) − 2( x + y )2 +  + ( y + y + 9) + = 2( x + y − 2) + ( y + 3)2 + ≥ ⇒ A = ⇔ y = −3; x = d D ( x) = x + y + z − 2( x + y + z ) + = 2( x − x) + (3 y − y ) + (4 z − z) + 2  1 1 = 2( x − x + ) + 3( y − y + ) + (2 z ) − z +  + − − −  4 1 11 11 1 = 2( x − ) + 3( y − ) + (2 z − )2 + ≥ ⇒ ( x, y, z ) = ( ; ; ) 2 2 e E ( x) = 2( x + xy + y ) + y − x − y + =  2( x + y ) − 4( x + y ) +  + y + y +  x + y −1 = x = = 2( x + y − 1) + 3( y + 1)2 + ≥ ⇔  ⇔  y +1 =  y = −1 f F ( x) = x + y + z − xy + yz − xz + y + z + 2(kho) F ( x) = x − x(3 y + z ) + 2( 3y + z 3y + z ) + y + z + yz − ( ) + y + 4z + 2 = 2( x − y + z 10 25 2 ) + ( y + yz + z ) + z + y + 4z + 2 = 2( x − 3y + z  5 2 ) +  ( y + z ) + 2( y + z ) +  + ( z + z + ) + 3 3 3 2  3y + z x − = x =  2   = 2( ) + ( y + z + ) + ( x + 1) + ≥ ⇔  y + z + = ⇔  y = ⇒ A = 3 3   z = −1  z +1 =   g h G ( x) = x + y + z + xy − xz − yz − x − y = ( x − 1) + ( y − 2) + ( x + y − z ) − ≥ −5 ⇔ x = 1; y = 2; z = H ( x) = x + y − xy − x + y + ⇒ H ( x) = (2 x) − 2.2 x y + y + y − x + y + = (2 x − y ) − 2(2 x − y ) + y + y + + = (2 x − y − 1) + 3( y + ⇒ A = −1 ⇔ x = ;y = ⇒ A = 3 3 Bài 3: Tìm GTLN biểu thức sau 8 y + 1) = (2 x − y − 1) + 3( y + ) + ≥ 3 a A = −4 x − y +8 xy + 10 y + 12 b − x − y + xy + x + y Lời giải a A = −4 x − y +8 xy + 10 y + 12 = −4 x + xy − y − y + 10 y − 25 + 37 = −4( x − y ) − ( y − 5) + 37 ≤ 37 x = ⇔ y = b A = − x − y + xy + x + y ⇒ A = −4 x − y + xy + x + y A = −4 x + x( y + 2) − ( y + 2) + ( y + 2) − y + y 2 x − y − = x = = −(2 x − y − 2) − 3( y − y ) + = −(2 x − y − 2)2 − 3( y − 2)2 + 16 ≤ 16 ⇒ A ≤ ⇔  ⇔ y − = y = Bài 4: Tìm GTNN biểu thức sau a A = x + y −12 xy + 24 x − 48 y + 82 b B = x + y + z + xy − yz − 3xz − x − y + Lời giải a A = x + y −12 xy + 24 x − 48 y + 82 = y − 12 y ( x + 4) + 4( x + 4) − 4( x + 4) + x + 24 x + 82 = [ y − 2( x + 4) ] + ( x − 4) + ≥ 2∀x, y ∈ R ⇔ x = 4; y = 2 b y   B =  z − ( x + y )  + ( x + − )2 + ( y − 2) + ≥ 3   16 Bài 5: Tìm GTLN A = x + y + z − (x2 + y + 4z ) Lời giải 1 −7 −7 1 − A = ( x − ) + 2( y − )2 + (2 z − )2 − ≥ ⇒ A≤ ⇔ x = ; y = ;z = 4 16 16 16 Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] Tìm GTNN A = x +2 y + xy + x − y + 2013 Lời giải A = x +2 y + xy + x − y + 2013 = x + x( y + 1) + ( y + 1) + ( y − 3) + 2003 ≥ 2003 ⇔ x = −4; y = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm GTNN của: A = x − xy + y + x − 10 y + 17 Hướng dẫn 2   A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x − 2x( y − 1) + ( y − 1) +  2y − 10y + 17− ( y − 1)  ( ) = ( x − y + 1) + y2 − 8y + 16 Bài 2: Tìm của: B = x − xy + y − x − y Hướng dẫn  y + y2 + 4y + 4 y2 B = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y =  x2 − 2.x + + y − y − − y−  4   4B = ( x − y − 2) + 4y2 − 8y − y2 − 4y − Bài 3: Tìm của: C = x + xy + y − 3x − y 10 Lời giải A= 5 −5 = ⇒ maxA = ⇔ x =1 x − x − ( x − 1) − 6 B= 1 ≤ ⇔x=2 x − x + 11 a) b) 2 B Phân thức có mẫu bình phương nhị thức Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm ⇒ A= m+ Ta đưa dạng: C C ( ≥ 0) D D Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a 3x − 8x + A= ( x ≠ 1) x − 2x + C= c E= e b x2 − x + ( x ≠ 2) ( x − 2) d x4 − x2 − ( x + 1)2 x2 − x + B= ( x ≠ 1) ( x − 1) 2 x − 16 x + 41 D= ( x ∈ R) x − x + 22 F= f Lời giải 57 x − 12 x + 10 x2 − 4x + A= a 3x − x + 2( x − x + 1) ( x − x + 4) ( x − 2) ( x ≠ 1) = + = + ≥2⇔ x=2 x2 − x + ( x − 1)2 ( x − 1) ( x − 1) Cách khác: y= Đặt B= b t= c 3( x − x + 1) − ( x − 1) + 3x − x + A= ( x ≠ 1) = = + x − 2x + ( x − 1) x − ( x − 1) 1 ⇒ A = − y + y = ( y − 1) + ≥ ⇒ A = ⇔ y = ⇔ =1⇔ x = x −1 x −1 x2 − x + x − x + x + x + x − x + ( x + 1) 3 ( x ≠ 1) = = + = + ≥ ⇔ x = −1 ( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4 1 1   ⇒ x = + ⇒ A = t 4(2 + ) − 6(2 + ) + 1 = 4(2t + 1) − 6t (2t + 1) + t = 5(t + 1) − ≥ −1 x−2 t t t   ⇔ t = −1 ⇔ x = x − 16 x + 41 2( x − x + 22) − 3 D= ( x ∈ R) = =2− x − x + 22 x − x + 22 ( x − 4) + d ( x − 4) ≥ ⇒ ( x − 4) + ≥ ⇒ Vì D = 2− e 3 ≤ = ( x − 4) + 6 3 ≥ − = ⇒ Amin = ⇔ ( x − 4)2 = ⇔ x = ( x − 4) + 2 x − x − 4( x + x + 1) − 9( x + 1) + E= = = 4− + = 4t − 9t + 4(t = ) 2 2 ( x + 1) ( x + 1) x + ( x + 1) x +1 81 E = (2t − ) − + 4 16 58 t ≤ ⇒ 2t − Ta có: 9 −1 1 17 ≤ 2− = ⇒ (2t − ) ≥ ⇒ A ≥ − = −1 ⇔ t = ⇔ x = 4 4 16 16 16 Lời giải ngắn gọn E +1 = 5x4 + x2 ≥ ⇒ A ≥ −1 ⇔ x = ( x + 1)2 Cách khác: F= f x4 x2 + E= − ≥ − = −1 ⇔ x = ( x + 1)2 ( x + 1)2 3x − 12 x + 10 5 = 3− = 3− ≥ − = −2 x − 4x + x − 4x + ( x − 2) + ( x − 2) + ≥ ⇒ Do −5 ≥ −5 ⇔ x = ( x − 2) + Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a c x + x + 10 A= ( x ≠ 1) x + 2x + b x C= ( x ≠ −5) x + 10 x + 25 d − x + x − 11 B= ( x ≠ 1) x − 2x +1 x + x − 14 D= ( x ≠ 1) x − 2x + Lời giải a 3x + x + 10 3( x + x + 3) 1 A= = + = 3+ x + 2x + x + 2x + ( x + 1) + ( x + 1) + ( x + 1) ≥ ⇒ ( x + 1) + ≥ ⇒ Có: 1 7 ≤ ⇒ A = + = ⇒ Amax = ⇔ x = −1 ( x + 1) + 2 2 59 B= b Đặt − x + x − 11 − x + x − − x + − 11 −( x − 1) − ( x − 1) − 11 11 = = = −1 − − 2 x − 2x +1 ( x − 1) ( x − 1) x − ( x − 1) 1 1 1  = y ⇒ A = −1 − y − 11 y = −(11 y + y + 1) = − 11( y + y + − +  x −1 22 22 22 11  43  −43 −43 −1  = − 11( y + ) +  = − 11( y + )2 ≤ ⇔ y= ⇔ x = −21 22 44  44 22 44 22  C= c x x ( x + 5) − 5 ( x ≠ −5) = = = − = t − 5t (t = ) 2 x + 10 x + 25 ( x + 5) ( x + 5) x + ( x + 5) x+5 ⇒ − A = 5t − t = 5(t − D= d t= −1 1 1 ) − ≥ ⇒ A≤ ⇔t= ⇔ = ⇔ x=5 10 20 20 20 10 x + 10 x + x − 14 ( x ≠ 1) x2 − x + Đặt 1 1   ⇒ x = + ⇒ A = t (1 + ) + 4(1 + ) − 14  = (t + 1)2 + 4t (t + 1) − 14t = −(3t − 1) + ≤ x −1 t t t   D=2⇔t= ⇔ x=4 A= Bài 3: Tìm GTNN, GTLN y − xy x − xy + y Lời giải Điều kiện ( x, y ) ≠ (0, 0) 60 A +1 = +) +) x − xy + y ( x − y)2 = ≥ ⇒ A ≥ −1 ⇔ x = y ≠ ( x − y )2 + y ( x − y)2 + y −( y + xy − x ) −(2 x − y )2 A−4 = = ≤ ⇒ A ≤ ⇔ x = 1; y = ( x − y)2 + y ( x − y)2 + y Bài 4: Tìm GTNN biểu thức x2 + x + x − 3x + A= ( x ≠ −1) ; B = ( x ≠ 1) ( x + 1) ( x − 1) Lời giải A= x + x + ( x + x + 1) − x − + 1 1 = = 1− + = − y + y2 ( y = ) 2 ( x + 1) ( x + 1) x + ( x + 1) x +1 3 A = ( y − )2 + ≥ ⇒ Amin = ⇔ y = ⇔ x = 4 B= +) x − 3x + ( x − x + 1) − x + + 1 1 = = 1− + = y − y + 1( y = ) 2 ( x − 1) ( x − 1) x − ( x − 1) x −1 3 B = (y − ) 2+ ≥ ⇔ y = ⇔ x = 4 A= Bài 5: Tìm GTNN biểu thức x2 + y2 x + xy + y Lời giải Ta có: 1 2 ( x + y ) + ( x − y )  1 ( x − y ) x2 + y2  A= =2 = + ≥ ⇒ minA = ⇔ x = y 2 x + xy + y 2 ( x + y) 2 ( x + y) 61 Bài 6: Tìm GTNN biểu thức x − 10 x − A= ( x ≠ 1) x − 2x + Lời giải Ta có: 2 x − 10 x − ( x − x + 1) − ( x − 1) − 9   A= = = + − = − +  ÷ +3≤3 x − 2x + x − ( x − 1)  x −1  ( x − 1) Vì   − + 1÷ ≤ 0∀x ≠ ⇒ maxA = ⇔ + = ⇔ x = −2 x −1  x −1  62 C Tìm GTLN, GTNN phân thức có dạng khác Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm Bậc tử nhỏ bậc mẫu Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau A= a C= c x + 12 x2 + B= b 4x + x2 + ( x + 2)( x + 8) ( x > 0) x Lời giải A= x + 12 x + x + 16 − x − ( x + 4)2 = = − + ≥ − ⇔ x = −4 x2 + x2 + x2 + B= x + ( x + x + 4) − ( x + 2) ( x + 2)2 = = − ≥ − ⇔ x = −2 x2 + x2 + x +2 C= ( x + 2)( x + 8) ( x − 4) ( x > 0) = + 18 ≥ 18 ⇔ x = x x a b c Bài 2: Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau 63 A= a [ HSG – Thanh Chương – 2011] C= c E= e − 4x x2 + B= 2x + x2 + D= 8x + x2 + b 4x + x2 + d 4x 4x2 + Lời giải a [ HSG – Thanh Chương – 2011] A= − x x − x + − x − ( x − 2) = = − ≥ −1 ⇔ x − = ⇔ x = x2 + x2 + x +1 A= − x x + − x2 − x − (2 x + 1) −1 = = − ≤ ⇒ Amax = ⇔ x = 2 x +1 x +1 x +1 B= 2x +1 4x + = x + 2( x + 2) +) b +) 2x +1 4x + ( x + x + 4) − ( x + 2) ( x + 2) −1 −1 B= = = = − ≥ ⇒ Amin = ⇔ x = −2 2 x + 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) 2 B= +) c 2x +1 4x + − x + x − x + −( x − 1) = = + = + ≤ ⇒ Amax = ⇔ x = x + 2( x + 2) x2 + x +2 x +2 x + x + x + − x − ( x + 2) C= = = − ≥ −1 ⇔ x = −2 x +1 x2 + x +1 64 C= x + −4 x + x − + x + −(2 x − 1) = = +4≤4⇔ x= 2 x +1 x +1 x +1 D= x + (4 x + x + 4) − (4 x + 1) (2 x + 2) = = − + ≥ −1 ⇔ x = − 4x2 + 4x2 + 4x2 + D= x + 16 x + − (16 x − x + 1) (4 x − 1) = = − ≤4⇔ x= 2 4x +1 4x + 4x +1 +) d +) E= 4x x + − x2 − + x (2 x − 1)2 = = − ≤1⇔ x = 2 4x +1 4x +1 4x +1 E= 4x −(4 x + 1) + (4 x + x + 1) (2 x + 1) −1 = = − + ≥ −1 ⇔ x = 2 4x + 4x +1 4x +1 e +) Bài 3: [ HSG – Yên Phong – 14/04/2014 ] A= Tìm GTLN biểu thức 3( x + 1) x + x2 + x + Lời giải A= 3( x + 1) = ≤ ⇔ x = ⇒ Amax = ⇔ x = x + x + x +1 x +1 Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ] Tìm GTNN biểu thức sau D= 2010 x + 2680 ( x ∈ R) x2 + Lời giải 65 D= 2010 x + 2680 335(6 x + 8) 335( x + x + − x − 1) 335( x + 3) ( x ∈ R ) = = = − 335 ≥ −335 ⇔ x = −3 x2 + x2 +1 x2 + x2 +1 A= Bài 5: Tìm GTNN biểu thức sau x + 15 x + 16 x ∈ R+ ) ( 3x Lời giải ( x − ) + 23 ≥ 23 ⇒ minA = 23 ⇔ x = x + 15 x + 16 A= x ∈ R+ ) = ( 3x 3x 3 Ta có: A= Bài 6: Tìm GTLN biểu thức sau xy + y ( y − x ) + x2 y4 + y4 + x2 + ( x, y ∈ R ) Lời giải A= xy + y ( y − x ) + x2 y + y + x2 + ( x, y ∈ R ) = Ta có: y + ≠ 0∀x ( y4 +1 y + 1) ( x + ) Vì y +1 A= nên chia tử mẫu cho x ≥ 0∀x ⇒ x + ≥ 2∀x ⇒ A = Vì ta được: x +2 1 ≤ ⇔ x = 0; y ∈ R x +2 2 A= Bài 7: Tìm GTLN biểu thức sau x2 x4 + x2 + Lời giải +) Xét x =0⇒ A=0 giá trị giá trị lớn A với 66 x ≠ 0⇒ A>0 +) Xét Ta có x≠0 P= đặt ⇒ Amax ⇔ Pmin A x4 + x2 + 1 P= = x + + 1; x + ≥ ( Cosi ) ⇒ P ≥ + = ⇒ Pmin = ⇔ x = ±1 x x x A= Bài 8: Tìm GTNN biểu thức sau −x ( x + 2017 ) Lời giải 67 ( x > 0) Bậc tử bậc mẫu Bài 1: Tìm GTN N biểu thức sau a x2 − x + A= ( x ≠ 0) x2 C= c b x2 + x + x2 + x2 − x + B= ( x ≠ 1) ( x − 1) D= d x − x + 2016 x2 Lời giải A= x2 − 2x + 3( x − x + 3) ( x − 3) 2 2 ( x ≠ 0) = = + ≥ ⇔ x = ⇒ Amin = ⇔ x = 2 x 3x 3x 3 B= x2 − x + x − x + x + x + x − x + ( x + 1) 3 ( x ≠ 1) = = + = + ≥ ⇔ x = −1 ( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4 C= 2( x + x + 3) x + x + x2 + ( x + 2) = + = + ≥ ⇔ x = −2 2 2 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) a b c d x − x + 2016 2016 x − x.2016 + 2016 ( x − 2016) 2015 2015 D= = = + ≥ ⇔ x = 2016 x2 2016 x x2 2016 2016 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a x + x + 19 A= 3x + x + b Lời giải a x + x + 19 2(3 x + x + 7) + 5 A= = = 2+ 2 3x + x + 3x + x + 3x + x + 68 x2 + 2x + B= x2 + Đặt 83 83 −1 60 −1 M = x + x + = 3( x + ) + ≥ ⇔ x= ⇒ Amax = M ⇒ Amax = + =2 ⇔ x= 83 12 12 83 12 x + x + x − x + x + 2( x + 2) − − x + x + ( x − 1) = = = − ≤ ⇔ x =1 x2 + x2 + x2 + x2 + B= b Bài 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau A= a 3x + x + x2 + B= b x2 − 2x − x2 + x + Lời giải A= x + x + 2( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2 = + = + ≥ ⇔ x = −1 x2 + x2 + x2 + x2 + A= x + x + x + ( x − x + 1) ( x − 1) = − = − ≤ ⇔ x =1 x2 + x2 + x2 + x2 + B= x − x − 3x − (2 x + x + 2) 3x = = − ≤ −2 ⇔ x = x2 + x + x2 + x + x2 + x + a +) b x ≠ 0⇒ A= +) Với 1+ Ta lại có: 3x2 −2= −2 1 x + x +1 1+ + x x 1 1 3 −1 + = +( + ) ≥ ⇒ A≥ −2= 2⇒ = ⇔ x = −2 x x x x A= Bài 4: Tìm GTLN x + x + 10 x2 + 2x + 69 Lời giải A = 3+ ⇒ 1 = 3+ ⇒ Amax ⇔ [ ]max ⇔ [( x + 1) + 2]min ⇔ ( x + 1) + = ⇔ x = −1 2 x + 2x + ( x + 1) + ( x + 1) + 2 1 ≤ ⇔ x = −1 ⇒ Amax = ⇔ x = −1 ( x + 1) + 2 A= Bài 5: Tìm GTLN biểu thức sau 3x + x + 10 ( x ∈ R) x2 + 2x + Lời giải A= Ta có: 3x + x + 10 1 = 3+ ≤ + = ⇔ x = −1 2 x + 2x + 2 ( x + 1) + 70 71 ... 12 ( ) ( ) 4G = 4x2 + 4x( y − 3) + ( y − 3) + 4y2 − 12y + 12 − y2 − 6y + 4G = ( 2x + y − 3) + 3y2 − 6y + = ( 2x + y − 3) + 3( y − 1) ≥ 2 Bài 23: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x + y +... + 4x + 8xy = x2y2 + 4x3 + 4y3 + 16xy + 8xy = x2y2 + x3 + y3 + 24xy Ta có : x + y = => x3 + y3 = ( x + y) − 3xy( x + y) = 1− 3xy Do Thay vào C ta : ( ) C = x2y2 + 4( 1− 3xy) + 24xy = x2y2 + 12xy... mãn: 2a + b = - 3c 3a + 4b = 3c + Tìm E = 2a + 3b − 4c Hướng dẫn Cộng theo vế ta : Khi đó:  c ≤ a = − c  a + b = =>  =>  b = 3c − c ≥  E = ( − 3c ) + ( 3c − ) − 4c = − c 38 3 a ≥  b