Tính đối xứng của đồ thị

Tính đối xứng của đồ thị Chúng ta sẽ sử dụng hai bổ đề sau để giải một số bài toán nếu cần.. Bổ đề 1: Khi đó x0 là nghiệm chung của hệ phương trình sau.[r]

Tính đối xứng đồ thị Chúng ta sử dụng hai bổ đề sau để giải số bài toán( cần) Định nghĩa 1: Đường thẳng (d) : x = x0 gọi là trục đối xứng đồ thị (C) : y = f (x) f (x0 − x) = f (x0 + x) với x thuộc tập xác định Bổ đề 1: Khi đó x0 là nghiệm chung hệ phương trình sau ( f (x) = f 000(x) = Định nghĩa 2: Điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) gọi là tâm đối xứng đồ thị (C) : y = f (x) f (x0 − x) + f (x0 + x) = 2y0 với x thuộc tập xác định Bổ đề 2: Khi đó x0 là nghiệm chung hệ phương trình sau ( f 00 (x) = f (4) (x) = Bài Chứng minh đồ thị các hàm số sau nhận Oy làm trục đối xứng b) y = f (x) = sin2 x − cos2x ; a) y = f (x) = x4 − 3x2 + ; c) y = f (x) = 2|x| + m + √ ; d) y = f (x) = ln (x + + x2 ) x2 Bài Chứng minh đồ thị các hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng a) y = f (x) = x3 − x ; c) y = f (x) = ln  b) y = f (x) =  1+x ; 1−x |1 − x| − |1 + x| ; |1 − x| + |1 + x| Bài Chứng tỏ đồ thị (C) các hàm số x2 − 4x + nhận I(4; 4) làm tâm đối xứng x−4 mx − b) y = f (x) = nhận điểm I(−1; m) làm tâm đối xứng với m x+1 c) y = f (x) = mx3 − (2m + 1)x + nhận I(0;2) làm tâm đối xứng a) y = f (x) = Bài Chứng tỏ đồ thị (C) các hàm số a) y = f (x) = x4 + 4x3 + 4x2 − nhận đường thẳng (d) : x = −1 làm trục đối xứng b) y = f (x) = x2 − 2x + có trục đối xứng c) y = f (x) = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x − có trục đối xứng Bài Tìm a để phương trình x4 + 4ax3 − 2x2 − 12ax = có nghiệm lập thành cấp số cộng Bài Tìm a để phương trình x4 − 2x3 − x2 + 2ax = có nghiệm lập thành cấp số cộng Bài Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 − Tìm m để đồ thị hàm số nhận I(1; 0) làm tâm m đối xứng Bài Tìm trục đối xứng các đường cong sau Lop12.net a) y = x4 + 4x3 + 3x2 − 2x; b) y = x2 − 4x + tính đơn điệu và cực trị Bài Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − 2mx + nghịch biến khoảng (1;2) Bài Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài 1 Bài Biết hàm số y = x3 − (m + 2)x2 + 4mx + nghịc biến khoảng (x1; x2 ) và đồng biến trên các khoảng còn lại Nếu |x1 − x2| = thì m bao nhiêu? Bài Tìm m để hàm số y = −mx3 + 2m2 x2 + đạt cực trị x = Khi đó x = là điểm cực đại hay cực tiểu? Bài Cho hàm số y = x4 − mx3 − 2x2 Gọi x1, x2 là hai điểm cực tiểu, tìm m để x31 + x32 < Bài Cho hàm số y = x3 + (cos a − sin a)x2 − 8(cos 2a + 1)x + Giả sử hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2, chứng minh x21 + x22 ≤ 18 Bài Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(m − 1) a) Chứng minh hàm số không thể đồng biến với m b) Tìm m để hàm số đồng biến x ≥ Sự tương quan các đường cong Bài Cho (Hm ) : y = mx − x+m−4 a) Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng xác định b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) với m nguyên vừa tìm c) Tìm trên (H) điểm mà đó tiếp tuyến (H) lập với Ox góc 1350 Viết các phương trình tiếp tuyến đó Bài Cho hàm số y = ax + b x−1 a) Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục tung A(0;-1) và tiếp tuyến với đồ thị A có hệ số góc -3 Khảo sát hàm số vừa tìm b) Xét đường (d) có hệ số góc m qua B(-2;2) , với giá trị nào m thì (d) cắt đồ thị hàm số a) hai điểm M1 , M2 phân biệt c) Các đường thẳng qua M1 , M2 song song với các trục tọa độ tự cắt tạo thành hình chữ nhật Tính các cạnh hình chữ nhật đó theo m, nào thì hình chữ nhật đó là hình vuông? Bài 3.Cho hàm số y = x+1 (C) Tìm trên (C) điểm M cho tổng khoảng cách từ M x−2 đến các trục tọa độ là nhỏ Bài Cho (C) : y = x3 + 3x2 − 9x + và (d) : y = ax + b Tìm điều kiện a và b để (d) cắt (C) điểm phân biệt A, B, C với B là điểm A và C Bài 5.Cho hai hàm số y = −x2 + 2x + 3(1) và y = x2 + 4x + 3(2) Lop12.net a) Tìm m để đường thẳng y=m cắt hai đồ thị vừa kể trên b) Giả sử m thỏa mãn điều kiện câu a), gọi các giao điểm y=m và (1) là A và B, y=m và (2) là C và D Tìm m để AB=CD, tính đoạn AB Bài 6.Cho đường cong (C) : y = x3 − 6x2 +9x Tìm tất đường thẳng qua A(4;4) và cắt (C) điểm phân biệt Bài Cho (Cm ) : y = x3 − 3mx2 + 4m3 a) Tìm m để cực đại và cực tiểu (Cm ) đối xứng qua đường thẳng y = x b) Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn AB=BC Bài Cho (Cm ) : y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 Tìm m để đồ thị (Cm ) tiếp xúc trục hoành hai điểm phân biệt Bài (Cm ) : y = x3 + mx2 + Tìm m để (Cm ) cắt đường thẳng (d) : y = − x điểm phân biệt là A(0;1), B và C cho tiếp tuyến với (Cm ) B và C vuông góc với x Bài 10 Cho hàm số f (x) = x4 − 2x2 − (m − 1)x + m Tìm m để f (x) ≥ , ∀x 6= Bài 11 Tìm tất các giá trị m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt nằm đoạn [−3; 0] x2 + 2x
2 − (m + 1)(x2 + 2x) + m + = Bài 12 Cho (Cm ) : y = x3 + 3x2 + mx + a) Chứng minh với m (Cm ) luôn cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB b) Xác định m để (Cm ) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D và E Tìm m để tiếp tuyến D và E đến (Cm ) vuông góc với Bài 12 Tìm số a nhỏ để bất đẳng thức a(x2 + x − 1) ≤ (x2 + x + 1) thỏa mãn với x ∈ [0; 1] Bài 13 Cho (Cm ) : y = (m + 1)x3 − (2m + 1)x2 + (m − 1)x = Chứng tỏ có đường thẳng là tiếp tuyến chung cho đường cong (Cm ) Bài 14 Xác định m để đường cong y = 3x + cắt đường thẳng y = 2x + m hai điểm x−1 phân biệt A và B Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài bé Bài 15 Xác định m để đường cong y = −x2 + 3x − cắt đường thẳng y = m hai 2(x − 1) điểm phân biệt A và B Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài Lop12.net