3. Giải bài toán dựng hình
4.3. Sáng tạo bài toán quỹ tích nhờ phép đối xứng
Xuất phát từ bài toán cơ bản của N hay bài toán quỹ tích cần tìm những điểm N có tính chất đã giải đƣợc và quỹ tích là bằng phép đối xứng Đ hoặc tích của các phép đối xứng biến điểm N thành M rồi chuyển tính chất của điểm N thành tính chất ' của điểm M sao cho:
N có tính chất M có tính chất '
Lúc đó ta sẽ có bài toán quỹ tích mới là : “ Tìm quỹ tích những điểm M có tính chất '” mà kết quả quỹ tích của M chính là Đ
4.4. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Góc xOy. Tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho tia OM hợp với các tia Ox, Oy những góc bằng nhau.
Lời giải:
Kẻ tia Oz là tia phân
giác của góc xOy. ( hình 4.1)
x P z y O M
38 Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng biến xOM thành yOM Khi đó: (P) (xOy) Oz (P) Với M (P) ta luôn có xOM = yOM
Quỹ tích của M là mặt phẳng (P).
Ví dụ 2 : Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Với mỗi điểm M bất kì trong không gian, ta gọi M1 là điểm đối xứng với M qua (P). M2 là điểm đối xứng với M1 qua (Q) và M3 là điểm đối xứng với M2 qua (P).
Lời giải: Ta có: Đ(P) : M M1 ( MM1 (P) tại I) Đ(Q) : M1 M ( M1M2 (Q) tại J) Đ(P) : M2 M3 ( M2M3 (P) tại K ) Ta thấy: Đ(P): M1 M2 Đ(P): M1M2 M2M3 M2 M3
Hay trung điểm J của M1M2 biến thành J' là trung điểm của MM3. Vì J (Q) J' (Q).
Vậy quỹ tích trung điểm MM3 là ảnh của mặt phẳng (Q) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P).
39
Ví dụ 3 : Cho ∆ABC nội tiếp trong một đƣờng tròn. Gọi M là 1 điểm di động trên đƣờng tròn ấy và M1, M2, M3 theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Tìm tập hợp các điểm M1, M2, M3.
Lời giải: ( Hình 4.2) Dựng (O1) : Đ(BC): (O) (O1) (O2) : Đ(AC): (O) (O2) (O3) : Đ(AB): (O) (O3) O3 O1 O2 O B A C Hình 4.2
40 +) Ta có: Đ(BC): M M1 (O) (O1)
Mà M di động trên đƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC M1 cũng di động trên đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn (O) qua Đ(BC)
Vì Đ(BC): Đ(BC): (O) (O1)
Quỹ tích của M1 là đƣờng tròn (O1) +) Ta có: Đ(AC): M M2
(O) (O2)
Mà M di động trên đƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC M2 cũng di động trên đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn (O) qua Đ(AC).
Vì Đ(AC): (O) (O2)
Quỹ tích của M2 là đƣờng tròn (O2) +) Ta có: Đ(AB): M M3
(O) (O3)
Mà M di động trên đƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC M3 cũng di động trên đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn (O) qua Đ(AB).
Vì Đ(AB): (O) (O3).
Quỹ tích của M3 là đƣờng tròn (O3).
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đƣờng thẳng (d) quay quanh O cắt hai cạnh AD và BC lần lƣợt tại E và F (E và F không trùng với các đỉnh của hình).Từ E và F lần lƣợt kẻ các đoạn thẳng song song với BD và AC cắt nhau tại I.
Tìm quỹ tích điểm I. Lời giải: d F E O D C A I B
41 + Phần thuận: ( hình 4.3)
Ta thấy BD là trục đối xứng của hình vuông ABCD và IE // BD. BD là đƣờng trung trực của IE (1). Tƣơng tự, ta cũng có: AC là đƣờng trung trực của IF (2). Từ (1) và (2): OI = OE = OF
O là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp IEF hay I O;OI . Giới hạn: Khi (d) di động đến AC thì I A
Khi (d) di động đến BD thì I B
Vậy quỹ tích điểm I là đoạn thẳng AB trừ hai điểm A và B. + Phần đảo:
Ta có: O là tâm đối xứng của hình vuông ABCD nên O cũng là tâm đối xứng của EF.
Ta có: BD IF
BD là trục đối xứng của hình vuông ABCD. BD là đƣờng trung trực của IF
42
CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 : Cho tứ diện đều ABCD.
a. Chứng minh rằng : Mặt phẳng trung trực của cạnh AB là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện.
b. Ta lấy điểm K bất kì trong ACD và gọi E là giao điểm của BK với mặt phẳng đối xứng đó.
Chứng minh rằng : EA EK AB 2 3
Lời giải :
a. Gọi M là trung điểm của AB Mặt phẳng đi qua M và CD chính là mặt phẳng trung trực của AB.
(hình 5.1)
Ta có: ĐMCD :A B
C C D D
Vậy mặt phẳng trung trực của cạnh AB là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện.
b. Gọi H là chân đƣờng cao của tứ diện hạ từ B xuống (ACD)
2 BH AB
3
Vì K là điểm bất kì trong ACD nên BK BH.
P A D B K H C M E Hình 5.1
43
E là giao điểm cảu BF với mặt phẳng đối xứng nên AE = BE.
EA EK EB EK BK
Mà 2
BK BH BK AB
3 (đpcm).h
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Gọi (R) là ảnh của (Q) qua phép đối xứng ĐP . Chứng minh rằng: ĐP ĐQ ĐP ĐR
Lời giải:
Đặt Đ ĐP ĐQ ĐP
Theo giả thiết: Đ : QP R
Ta có: + Với M R ta có : ' P ' ' Q ' P Đ : M M Đ : M M Đ : M M Đ:M M
Vậy (R) là mặt phẳng bất động của phép biến đổi Đ.
+ Với M R ta có : Đ :MP M1 ( MM1 P tại I ) Đ :MQ 1 M2 ( M M1 2 Q tại K ) Đ :MP 2 M' (M M2 ' P tại H ). Nhƣ vậy, Đ :MP 1 M M2 M' Do đó : ' 1 2 P Đ :M M MM
44
Vì K Q K' R mà M M1 2 Q nên MM' R
Vậy Đ: M M' ( và MM' R tại trung điểm K’ của MM’ ) Đ có (R) là mặt phẳng bất động.
Đ Đ R ( đpcm).
Bài 3 : Cho 2 điểm phân biệt B, C cố định( BC không là đƣờng kính) trên đƣờng tròn (O), điểm A di động trên (O).
Chứng minh rằng: Khi A di động trên (O) thì trực tâm ABC di động trên một đƣờng tròn.
Lời giải:
Gọi : H là trực tâm của ABC.
I, H’ lần lƣợt là giao điểm của tia AH với đoạn thẳng BC và đƣờng tròn (O). (hình 5.2) Ta có : AMH CNH BAH HCB mà BAH H'CB (2 góc cùng chắn cung BH') HCB H'CB
HCH' là tam giác cân. BC
Đ :H H'
Khi A chạy trên đƣờng tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đƣờng tròn (O)
Khi A di động trên đƣờng tròn (O) thì trực tâm ABC di động trên đƣờng tròn là ảnh của đƣờng tròn (O) qua phép đối xứng trục BC.
H' M N H O A B C D Hình 5.2
45
Bài 4 : Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng :Bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng và đó là mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đó.
Lời giải :
Vì mỗi điểm A, B, C, D đều cách đều 2 đỉểm E và F nên bốn điểm này nằm trên mặt phẳng trung trực của EF A, B, C, D nằm trên cùng 1 mặt phẳng.
Xét phép đối xứng qua mặt phẳng (ABCD). (hình 5.3)
Ta có : ĐABCD :A A B B C C D D E F F E
Vậy (ABCD) chính làm mặt phẳng đối xứng của hình bát diện ABCDEF.
Bài 5 : Cho đƣờng tròn (O;R) và hai điểm A, B thuộc đƣờng tròn. Đƣờng tròn (I,r) tiếp xúc ngoài với đƣờng tròn (O;R) tại A. Một điểm M
F B D C A E Hình 5.3
46
di động trên đƣờng tròn (O;R), tia MA cắt đƣờng tròn (I,r) tại điểm thứ hai C. Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với AB cắt đƣờng thẳng MB tại D. Tìm quỹ tích của điểm D.
Lời giải :
Gọi E là giao điểm của CD với (I;r)
Vẽ tiếp tuyến chung của (O;R) và (I;r) là xt. (hình 5.4) Ta có ABM=xAM; CEA=tAC và xAM=tAC
ABM=EDB do (CD//AB)
CEA=EDB nên tứ giác ABDE là hình thang cân
x d t D E C O I I' A B M
Gọi d là đƣờng trung trực đoạn thẳng AB thi (d) cũng là đƣờng trung trực của đoạn ED
Phép đối xứng Đd: E D
47
Khi M di động trên đƣờng tròn (O; R) thì E di động trên đƣờng tròn (I;r) nên quỹ tích điểm D là đƣờng tròn (I'; r) ảnh của đƣờng tròn (I; r) qua phép đối xứng Đd. Do đƣờng tròn (I; r) tiếp xúc với đƣờng tròn (O; R) tại A nên đƣờng tròn (I'; r) tiếp xúc với đƣờng tròn (O; R) tại B.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O và SO vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lƣợt là trung điểm của các cạnh SA và SC. Trên BM và DN ta lần lƣợt lấy hai điểm H và K sao cho
BH DH
BM DN. Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh rằng : S, I, O
thẳng hàng.
Lời giải:
Xét phép đối xứng ĐSO qua đƣờng thẳng SO. Ta có : Đ :ASO C B D M N BM DN mà BH DK BM DN BH = DK Giả sử ĐSO : H H’, ta cần đi chứng minh H K
Do H nằm giữa B và M nên H’ nằm giữa D và N và ta có BH = DH’ Suy ra H’ K hay ĐSO : H K I N M O C A D S B H K Hình 5.5
48
Vậy H, K là 2 điểm tƣơng ứng của nhau qua phép đối xứng ĐSO nên trung điểm I của HK phải thuộc SO
49
PHẦN III: KẾT LUẬN
Việc đƣa phép biến hình vào chƣơng trình Toán phổ thông, đặc biệt việc đƣa phép biến hình vào hình học không gian giúp học sinh nhận biết đƣợc các mối quan hệ mới giữa hình học phẳng và hình học không gian. Nó cung cấp một công cụ hữu hiệu để giải lớp các bài toán về hình học không gian, phát triển tƣ duy cho học sinh.
Luận văn đã đƣa ra hệ thống lý thuyết, các ví dụ minh họa về việc áp dụng phép đối xứng qua siêu phẳng, hệ thống bài tập minh họa cho các dạng bài tập đã bƣớc đầu thể hiện tính ƣu việt của phƣơng pháp biến hình trong việc giải quyết các bài toán biến hình trong không gian.
Nhƣ vậy, đề tài “ Đối xứng qua siêu phẳng và bài tập” đã hoàn thành nội dung và đạt đƣợc mục đích nghiên cứu.
Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong muốn các thầy cô, các bạn sinh viên, độc giả đóng góp ý kiến, trao đổi để luận văn hoàn thiện hơn và thực sự sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích.
50
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993.
[2] Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993. [3] Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình trong không gian, NXB Giáo dục, 2005.
[4] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2000.
[5] Văn Nhƣ Cƣơng - Tạ Mân, Hình học afin và hình học Ơclit, NXB Giáo dục, 2000.