Khoá luận tốt nghiệp toán Rèn luyện tư duy cho học sinh qua giải bài tập Đại số ở THPT

ĐỀ TÀI Rèn luyện tư cho học sinh qua giải tập Đại số THPT A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn bậc học phổ thông việc cấp thiết Tuy vậy, công đổi phương pháp dạy học giai đoạn đầu nên chưa có thay đổi nhiều Do đó, địi hỏi người giáo viên cần nghiên cứu sâu sắc Với cách dạy học theo lối truyền thống, lối tư thụ động ăn sâu nhiều vào hệ học sinh thân giáo viên Rất nhiều học sinh bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư duy: nhìn đối tượng tốn học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố tốn học, khơng linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng cách máy móc kinh nghiệm có vào hồn cảnh mới, điều kiện chứa đựng yếu tố thay đổi; học sinh chưa có tính độc đáo tìm lời giải tốn Từ dẫn đến hệ nhiều học sinh gặp khó khăn giải tốn, đặc biệt toán Đại số Trong đó, Đại số lại mơn học quan trọng chương trình phổ thơng, cung cấp cho học sinh nhiều kiến thức kỹ cần thiết Do vậy, việc rèn luyện tư cho học sinh nói chung rèn luyện tư cho học sinh phổ thơng qua giải tập Đại số nói riêng yêu cầu cấp thiết để đáp ứng nhu cầu thời đại Nhận thức tầm quan trọng vấn đề nêu trên, tô i đ ã chọn “Rèn luyện tư cho học sinh qua giải tập Đại số THPT” làm đề tài khóa luận Lịch sử nghiên cứu Qua tìm hiểu, tơi thấy có nhiều tài liệu nghiên cứu việc rèn tư sáng tạo cho học sinh dạy học môn, công trình khoa học nghiên cứu giảng dạy đại số trường trung học phổ thơng khơng có cơng trình nghiên cứu rèn luyện tư cho học sinh phổ thông thông qua giải tập Đại số Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề tư vấn đề rèn luyện giải tốn để từ đề xuất biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện lực tư cho học sinh trung học phổ thông qua giải tập Đại số, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo nhà trường Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ số vấn đề sau: - Làm sáng tỏ số vấn đề tư - Làm sáng tỏ số quan niệm vấn đề rèn luyện giải toán - Đề xuất biện pháp cần thiết để rèn luyện tư cho học sinh phổ thơng qua giải tập tốn Đại số Phương pháp nghiên cứu Trong khóa luận, tơi sử dụng chủ yếu hai phương pháp nghiên cứu sau: + Phương pháp nghiên cứu lí luận Nghiên cứu lí luận dựa vào tài liệu có sẵn, văn kiện Đảng Nhà nước vấn đề liên quan đến giáo dục như: thực trạng giáo dục, chương trình đổi sách giáo khoa, cách thức vận dụng đổi phương pháp dạy học nay,… Nghiên cứu tài liệu có sẵn liên quan đến thành tựu nhân loại lĩnh vực khác nhau: Giáo dục học, Tâm lí học, Tốn học,… Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa mơn tốn trường trung học phổ thông tài liệu tham khảo có liên quan + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với thầy cô giáo trường trung học phổ thông - Tham khảo ý kiến giáo viên có nhiều kinh nghiệm giảng dạy tốn bậc trung học phổ thông - Tiếp thu nghiên cứu ý kiến giảng viên hướng dẫn, thầy cô Khoa Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi thời gian: từ 10/2013 đến 5/2014 - Phạm vi nội dung: số phương pháp rèn tư cho học sinh Giả thuyết khoa học Nếu thường xuyên quan tâm, ý coi trọng mức: “Rèn luyện tư cho học sinh qua giải tập Đại số THPT” góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán, theo yêu cầu mơn Đóng góp khóa luận - Về lí luận: Góp phần làm sáng tỏ nội dung “Rèn luyện tư cho học sinh qua giải tập Đại số THPT” - Về thực tiễn: + Xây dựng số biện pháp “Rèn luyện tư cho học sinh qua giải tập Đại số THPT” Với hai đóng góp nhỏ trên, hy vọng khóa luận tài liệu tham khảo cho bạn muốn rèn luyện tư giải tốt tập Đại số bậc phổ thông Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu kết luận, khóa luận trình bày chương: Chương 1: Cơ sở lí luận sở thực tiễn Chương 2: Rèn luyện tư cho học sinh phổ thông qua việc giải tập Đại số Chương 3: Một số toán minh họa tổng hợp B PHẦN NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Một số vấn đề tư 1.1.1 Khái niệm Tư gì? Đây vấn đề thu hút quan tâm nhiều ngành khoa học nhiều nhà khoa học nghiên cứu Triết học nghiên cứu tư góc độ lý luận nhận thức Logic học nghiên cứu tư quy tắc tư Xã hội học nghiên cứu tư phát triển trình nhận thức chế độ xã hội khác Sinh lý học nghiên cứu chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách tảng vật chất trình tư người Điều khiển học nghiên cứu tư để tạo “Trí tuệ nhân tạo” Tâm lý học nghiên cứu diễn biến trình tư duy, mối quan hệ qua lại cụ thể tư với khía cạnh khác nhận thức Ngày nay, người ta nói tới tư người máy Theo Spieecskin lại cho rằng: “Tư người, phản ánh thực, chất trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một mặt, người hướng vật chất, phản ánh nét đặc trưng mối liên hệ vật với vật khác, mặt khác người hướng xã hội để truyền đạt kết tư mình” Từ cách tiếp cận mơ hình xử lý thơng tin, tác giả Đặng Phương Kiệt quan niệm: “Tư trình tâm trí phức tạp, tạo biểu tượng cách làm biến đổi thơng tin có sẵn” Dựa sở mối liên hệ, quan hệ vốn có vật, tượng giới khách quan lý thuyết phản ánh, tác giả Mai Hữu Khuê cho rằng: “Tư trình tâm lý phản ánh mối liên hệ quan hệ đối tượng hay tượng thực khách quan” Với việc xem tư q trình phân tích, tổng hợp… Nguyễn Đình Trãi cho rằng: “Tư q trình phân tích, tổng hợp, khái quát tài liệu thu qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút chung, chất vật” Với tư cách trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, Nguyễn Quang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Loan, coi “Tư trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ có tính quy luật vật tượng mà trước ta chưa biết” Theo tâm lý học: “Tư q trình tâm lý phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật, tượng thực khách quan mà trước ta chưa biết.” Từ điển tiếng Việt (Hoàng Phê (chủ biên), nhà xuất Khoa học Xã hội, Hà Nội, 1998) nêu rõ: “Tư giai đoạn cao trình nhận thức, sâu vào chất phát tính quy luật vật hình thức biểu tượng, khái niệm, phán đoán suy lý” Trong tâm lý học, nghiên cứu tương đối đầy đủ tư trình bày cơng trình X L Rubinstein Theo Rubinstein: “Tư – khơi phục ý nghĩ chủ thể khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện so với tư liệu cảm tính xuất tác động khách thể” (dẫn theo Đavưđov) Trong “Rèn luyện tư dạy học tốn”, PGS.TS Trần Thúc Trình có định nghĩa: “Tư q trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính quy luật vật tượng mà trước chủ thể chưa biết” Phân tích số quan niệm tư để hiểu sâu thêm định nghĩa tư duy: “Tư trình tâm lý phản ánh thực khách quan cách gián tiếp khái quát, phản ánh thuộc tính chung chất, tìm mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật vật, tượng mà ta chưa biết.” 1.1.2 Đặc điểm tư 1.1.2.1 Tính có vấn đề Khi gặp tình mà vấn đề hiểu biết cũ, phương pháp hành động biết không đủ giải quyết, lúc rơi vào “tình có vấn đề”, phải cố vượt khỏi phạm vi hiểu biết cũ để tới mới, hay nói cách khác phải tư 1.1.2.2 Tính khái qt Tư có khả phản ánh thuộc tính chung, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật hàng loạt vật tượng Do đó, tư mang tính khái qt 1.1.2.3 Tính độc lập tương đối Trong q trình sống người ln giao tiếp với nhau, tư người vừa tự biến đổi qua trình hoạt động thân vừa chịu tác động biến đổi từ tư đồng loại thơng qua hoạt động có tính vật chất Do đó, tư khơng gắn với não cá thể người mà gắn với tiến hóa xã hội, trở thành sản phẩm có tính xã hội trì tính cá thể người định Mặc dù tạo thành từ kết hoạt động thực tiễn tư có tính độc lập tương đối Sau xuất hiện, phát triển tư chịu ảnh hưởng toàn tri thức mà nhân loại tích lũy trước Tư chịu ảnh hưởng, tác động lý thuyết, quan điểm tồn thời với Mặt khác, tư có logic phát triển nội riêng nó, phản ánh đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với người Đó tính độc lập tương đối tư 1.1.2.4 Mối quan hệ tư ngôn ngữ Nhu cầu giao tiếp người điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ Kết tư ghi lại ngôn ngữ Ngay từ xuất hiện, tư gắn liền với ngôn ngữ thực thơng qua ngơn ngữ Vì vậy, ngơn ngữ vỏ hình thức tư Ở thời kỳ sơ khai, tư đuợc hình thành thông qua hoạt động vật chất người bước ghi lại ký hiệu từ đơn giản đến phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tượng Hệ thống ký hiệu thơng qua q trình xã hội hóa trở thành ngơn ngữ Sự đời ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển nhảy vọt tư tư bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ Ngôn ngữ với tư cách hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành cơng cụ giao tiếp chủ yếu người với người, phát triển với nhu cầu sản xuất xã hội xã hội hóa lao động 1.1.2.5 Mối quan hệ tư nhận thức Tư kết nhận thức đồng thời phát triển cấp cao nhận thức Xuất phát điểm nhận thức cảm giác, tri giác biểu tượng phản ánh từ thực tiễn khách quan với thơng tin hình dạng, tượng bên phản ánh cách riêng lẻ Giai đoạn gọi tư cụ thể Ở giai đoạn sau, với hỗ trợ ngôn ngữ, hoạt động tư tiến hành thao tác so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp thông tin đơn lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ ngẫu nhiên, khơng việc để tìm nội dung chất vật, tượng, quy nạp thành khái niệm, phạm trù, định luật Giai đoạn gọi giai đoạn tư trừu tượng 1.1.3 Phân loại tư Cho đến nay, chưa có thống phân loại tư Tuy nhiên, có hai cách phân loại tư phổ biến nhất, là: 1.1.3.1 Phân loại tư theo đối tượng (của tư duy): Với cách phân loại này, ta có loại tư sau: - Tư kinh tế - Tư trị - Tư văn học - Tư toán học - Tư nghệ thuật, … 1.1.3.2 Phân loại tư theo đặc trưng tư duy: Với cách phân loại này, ta có loại tư sau: - Tư cụ thể - Tư trừu tượng - Tư logic - Tư biện chứng - Tư sáng tạo - Tư phê phán, … 1.1.4 Quá trình tư Tư hoạt động trí tuệ với q trình gồm bước bản: Bước 1: Xác định vấn đề, biểu đạt thành nhiệm vụ tư Nói cách khác tìm câu hỏi cần giải đáp Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết cách giải vấn đề, cách trả lời câu hỏi Bước 3: Xác minh giả thuyết thực tiễn, giả thuyết qua bước sau, sai phủ định hình thành giả thuyết Bước 4: Quyết định đánh giá kết quả, đưa sử dụng Sau sơ đồ K K Platônôp: Nhận thức vấn đề Câu hỏi Xuất liên tưởng Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thuyết Giả thuyết Kiểm tra giả thuyết Xác minh Khẳng định Phủ định Chính xác hóa Tìm giả thuyết Giải vấn đề Hoạt động tư Quyết định Quá trình tư diễn cách chủ thể tiến hành thao tác trí tuệ Các thao tác trí tuệ là: - Phân tích, tổng hợp - So sánh - Trừu tượng hóa khái quát hóa - Cụ thể hóa, đặc biệt hóa - Tưởng tượng - Suy luận - Chứng minh 1.1.5 Một số nguyên tắc tư 1.1.5.1 Tập trung suy nghĩ vào mục đích Tập trung suy nghĩ vấn đề cần xác định mục đích vấn đề tập trung suy nghĩ vào mục đích Muốn chứng minh định lý phải tập trung suy nghĩ vào kết luận định lý Từ dùng thao tác tư để vạch đường tời kết luận hay vạch chương trình thực để chứng minh định lý Khi giải toán cần tập trung suy nghĩ vào yêu cầu toán, huy động kiến thức, vận dụng giả thiết cho toán để giải toán 1.1.5.2 Đặt câu hỏi tìm cách trả lời câu hỏi Khi cần tìm hiểu vấn đề giải toán ta nên đặt câu hỏi liên tiếp suy nghĩ tìm câu trả lời cho chúng Chẳng hạn: Mục đích vấn đề gì? u cầu tốn gì? Để đạt mục đích, u cầu cần có cần biết gì? Những điều cần có cần biết có chưa hay hay suy từ đâu? Đặt câu hỏi tìm cách trả lời câu hỏi nguyên tắc tư phương pháp rèn luyện phát triển tư Quá trình tư để tìm hiểu vấn đề để giải toán thể câu hỏi đặt liên tiếp việc huy động kiến thức kinh nghiệm để trả lời câu hỏi 1.1.5.3 Đánh giá khả phương án giải Để giải vấn đề đặt (có thể tốn, định lý cần chứng minh hay điều dự đoán cần khẳng định) ta có nhiều phương án Cần suy xét thấu đánh giá phương án có nhiều khả năng, phương án sát với đích Muốn làm điều cần có kiến thức vững vàng, cần có kinh nghiệm qua rèn luyện nhiều thường xuyên, cần có kỹ vận dung thao tác tư 1.1.5.4 Phải biết thăm dị Đối với tốn tổng qt phải biết cách thử trường hợp riêng, từ hi vọng rút điều chung Đối với vấn đề đề nhiều phương án giải chưa khẳng định phương án có nhiều triển vọng cần biết cách thăm dị để phát khả thực trở ngại vượt qua Trong trường hợp vấn đề có liên quan đến nhiều kiến thức phải biết thăm dò vùng kiến thức gần với mục đích vấn đề, phải thử vận dụng kiến thức hay kiến thức khác Đối với toán hay định lí có nhiều giả thiết cần thử để sử dụng giả thiết trước, giả thiết sau 1.1.5.5 Phải biết nghi ngờ Khi phương án đề chưa thể triển vọng rõ ràng suy nghĩ nhiều mà chưa có phương án nghi ngờ, lật ngược vấn đề suy nghĩ toán lật ngược Rất ta phát điều vơ lí toán lật ngược nhiều nhờ phương án giải toán đặt 1.1.5.6 Phải kiên trì mềm dẻo Khi có phương án giải mà ta cho hợp lí cần kiên trì theo đuổi gặp trở ngại ngăn cẳn bước tiến ta cần suy nghĩ để tìm thiếu sót, nhược điểm để hồn thiện dần phương án Ở trường hợp phương án gặp trở ngại mà vô phương khắc phục ta cần mềm dẻo, tạm bỏ qua phương án gạt bỏ hồn tồn để tìm phương án khác; chí tạm gác lại tốn thời gian để tránh đường mòn tư cũ 1.1.5.7 Những quy tắc ưu tiên tư vấn đề Pôlya kết thành quy tắc ưu tiên tư vấn đề sau: • Cái dễ trước khó Khâu dễ vấn đề ta giải trước; kiến thức dễ vận dụng ta dùng trước Rất từ chỗ giải xong khâu dễ ta lại có gợi ý để giải khâu khó • Cái quen biết trước xa lạ • Cái tồn trước trước phận Khi nghiên cứu cách giải vấn đề ta cần nghiên cứu cách tổng thể trước, không để chi tiết làm ta phân tán tập trung vào mục đích vấn đề Sau thấu hiểu vấn đề, ta suy nghĩ chi tiết để đặt trình tự nghiên cứu chúng, tìm hiểu vai trị chi tiết vấn đề đặt Người giáo viên phải luôn quan tâm rèn luyện cho học sinh có thói quen tư theo nguyên tắc quy tắc nêu Đó trình rèn luyện khổ tâm, khổ não Giáo viên cần có phương pháp dạy phù hợp cho học sinh biết tư duy, say sưa suy nghĩ tốn hay đến mức khơng dứt chúng mà chưa tìm lời giải Nên có tập khó hay để học sinh suy nghĩ thời gian dài (có thể vài tuần tháng) mà không cần chữa 1.2 Quan niệm vấn đề rèn luyện giải toán Việc rèn giải toán bao gồm hai nội dung chủ yếu: - Rèn luyện việc tìm lời giải tốn - Rèn luyện việc giải tốn 10 Từ ta suy ra: hệ bất phương trình có nghiệm nghiệm hệ điểm ( x, y ) thuộc miền D (hình 13a) + Khi −4 = − a ⇔ a = loại, đường cong y1 tiếp xúc với trục Ox nên miền nghiệm hệ chứa đoạn [ −2; −1] + Khi −a < −4 ⇔ a > loại, miền nghiệm hệ khơng chứa đoạn [ −2; −1] (hình 13b) + Khi −a > −4 ⇔ a < , hình ảnh hình học đảm bảo điều kiện đủ để miền nghiệm D hệ cho chứa đoạn [ −2; −1] cho hình 13c Khi đó, từ hình vẽ ta suy điều kiện đủ để toán thỏa mãn hệ sau: Phương trình y1 = y2 có hai nghiệm phân biệt ( *) - a³ - 2a + ³ - x0 = 2a + giao điểm đường thẳng y2 với trục Ox * Phương trình y1 = y2 ⇔ x + ( a + ) x + 4a = −3x + 2a + ⇔ x + ( a + ) x + ( 2a − ) = Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: ∆ ≥ ⇔ ( a + ) − ( 2a − ) > ⇔ a + 6a + 65 > ⇔ ∀a * −a ≥ −1 ⇔ a ≤ * 2a + ≥ −1 ⇔ a ≥ − Vậy ta được: ( *)  ∀a  ⇔ a ≤ ⇔ − ≤ a ≤  − ≤ a  CHÚ Ý: Ở toán ta dùng ý nghĩa hình học để mơ tả: - Miền nghiệm hệ - Các khả toán vơ nghiệm - Hình ảnh hình học đảm bảo điều kiện đủ để toán thỏa mãn để từ ta xây dựng hệ điều kiện đủ đại số 53 Hình 13a Hình 13b Hình 13c Bài tốn Cho biết: x − yz y − zx z − xy = = a b c Hãy chứng minh rằng: a − bc b − ca c − ab = = x y z Nhận xét hướng dẫn giải Ta tìm cách tính a − bc x Khó khăn mà gặp phải a, b, c mẫu số tỉ số giả thiết cho Để sử dụng chúng với vai trò tử số, ta biến đổi giả thiết dạng: a b c = = = k x − yz x − yz z − xy Khi đó, để phân số mà tử số a − bc ta biến đổi sau (theo tính chất tỉ lệ thức): a2 bc a − bc = = = k2 2 2 2 ( x − yz ) ( y − zx) ( z − xy ) ( x − yz ) − ( y − zx) ( z − xy ) ⇒ a − bc = k 3 x ( x + y + z − 3xyz ) Từ ta được: a − bc = k ( x + y + z − 3xyz ) x Do vế phải bình đẳng với x, y, z nên ta suy ra: 54 a − bc b − ca c − ab = = = k ( x + y + z − 3xyz ) x y z Bài toán giải Bài tốn Giải hệ phương trình:  x2 1 + x = y   y3 =z  y + y2 +1   4z =x   z + z4 + z2 +1 Lời giải Hệ cho có nghiệm: ( 0;0;0 ) , ( 1;1;1) nghiệm ( x, y, z ) phải thỏa điều kiện x > 0, y > 0, z > Việc tìm nghiệm cịn lại thu từ lời giải Cộng ba phương trình theo vế chuyển vế ta thu phương trình sau:     x2   y3 4z x− + y− +z −  ÷ ÷ = ÷ 1+ x   y + y +1  z + z + z +1  Gọi số hạng vế trái A, B C, ta biến đổi chúng dạng sau: x ( x − 1) A= x2 + B= C= y ( y + y + 1) − y y4 + y2 + = y ( y − 1) y4 + y2 + z ( z + z + z + 1) − z z6 + z4 + z2 +1 z ( z − 1) + ( z − 1) z = z6 + z4 + z2 +1 Rõ ràng A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ Do đó, phương trình thỏa mãn A = B = C = Tức x = y = z = x = y = z = Hiển nhiên hai nghiệm thỏa mãn toán hệ có hai nghiệm 55 Lời giải Do x, y, z số dương (sau nhận xét ( 0;0;0 ) nghiệm) mẫu số vế trái dương, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: x + ≥ x, đẳng thức xảy x = y + y + ≥ 3 y = y , đẳng thức xảy y = z + z + z + ≥ 4 z12 = z , đẳng thức xảy z = Từ ta được: x2 2x2 ≤ = x, + x2 x đẳng thức xảy x = 3y2 3y2 z= ≤ = y, y + y2 +1 3y đẳng thức xảy y = y= x= 4z4 4z4 ≤ = z, z6 + z4 + z2 + 4z đẳng thức xảy z = Như ta được: 0 < y ≤ x  0 < z ≤ y 0 < x ≤ z  ⇔ x = y = z = Vậy hệ cho có hai nghiệm ( 0;0;0 ) ( 1;1;1) Bài tốn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ u = x + y biết x y thỏa mãn phương trình: (x − y + 1) + x y − x − y + = Lời giải Biến đổi hệ thức (1) dạng: ⇔ (x ⇔ ⇔ ( 1) − y2 ) + + ( x2 − y ) + 4x2 y − 5x2 − y + = (x − y ) − ( x2 + y ) + + x2 = (x − y2 ) − ( x2 + y ) + = − x2 2 Do − x ≤ với x, đẳng thức xảy x = Từ ta thu được: u − 4u + ≤ ⇔ ≤ u ≤ 56 (1) Để tìm cặp ( x, y ) làm cho đẳng thức xảy ra, từ x = 0, thay vào hệ thức (1) ta thu phương trình để xác định y: y4 − y2 + = ⇔ y = y = Vậy ta thu kết luận: x =  umax = đạt  y = ±  x = umin = đạt   y = ±1 Bài tốn Giải phương trình: x + x + 12 x + = 36 (1) Lời giải Điều kiện x ≥ −1 Đặt u = x + ≥ Ta có u = x + ⇒ x = u − 1, x = ( u − 1) Ta biến đổi được: ( 1) ⇔ ( u − ) ( u + 2u + 3u + 18 ) = (do u + 2u + 3u + 18 > ) ⇔ u = Từ x = Lời giải Biến đổi ( 1) ⇔ ( x + 1) ( = − x +1 ) x +1 = − x +1 ⇔  x +1 = x +1 −  x +1+ x +1 − = ⇔  x +1− x +1 + =   x +1 = ⇔   x + = −3  ⇔ (vô nghiệm) (loại) x = Lời giải Xem f ( x ) = x + x + 12 x + − 36 Nhận xét rằng: f ( 3) = 0, x = nghiệm phương trình (1) 57 f '( x) = 2x +1+ Mặt khác: 12 > 0, x +1 ∀x > −1 Biến thiên hàm f ( x ) tập xác định x ≥ −1 cho bảng: Từ bảng biến thiên ta suy x = nghiệm phương trình Bài tốn 10 Chứng minh đẳng thức sau: Cn + ( Cn − C1 ) + ( Cn − C2 ) + + ( Cn − Cn −1 ) = n 2 1 1 Trong C1 = 1, C2 = + , C3 = + + , , Cn = + + + + 2n − Nhận xét hướng dẫn giải Gọi A vế trái đẳng thức Thay trị số biểu thức C1 , C2 , , Cn vào ta thu được: 2 2     1 1 1   A = 1 + + + + ÷ +  + + + ÷ +  + + + ÷ + +  ÷ 2n −  2n −  2n −   3 5  2n −1  Nhận xét rằng, biểu thức dấu ngoặc có số số hạng bé so với số số hạng biểu thức đứng liền trước Vì ta cố gắng tạo hiệu a − b cho a − b số hạng Khi cách thêm bớt cách thích hợp, ta biến đổi A dạng sau: 2  1  1 1   A = 1 + + + + −  + + + ÷ ÷ n −1   2n −1      2  1  1 1   +3  + + + ÷ −  + + + ÷ 2n −   2n −      2  1  1 1   +5  + + + ÷ −  + + + ÷ 2n −   2n −      +   + ( 2n −1)  ÷  2n −1  Sau khai triển biểu thức chứa ngoặc vuông, ta được: 58 2   2 A = 1 + + + + + ÷ n − 2n −   1 2 2  +3  + + + + + ÷ 3 2n − n −  1 2  +5  + + + + ÷ 5 n − 2n −  + ( 2n − )  1  +  ÷ n −  n − 2n −  + ( 2n − 1)    ÷ 2n −  2n −  Các thừa số đứng dấu ngoặc Ta cộng số hạng A theo hàng dọc xếp trên, có thảy n cột, cột có số hạng cuối có tử số 1, số hạng lại có tử số Vì sau cộng ta được: 2 1 2 1 2 2  A = +  + ÷+  + + ÷+  + + + 1÷  3  5 5  7  + 2   + + + + + ÷  24 − 34 4n4 2n 4 n −4  n − 44 − 24 có n − số hạng, (trong n − số hạng có tử số 2) 2   + + + + + ÷  24 − 2n4 2n 4 n −3  n 4 −4 −4 24 có n số hạng, (trong n − số hạng có tử số 2) Mỗi số hạng A có n số hạng Vậy A = n Bài toán 11 Chứng minh hàm số: y = x2 − x + + x2 + x + có giá trị nhỏ x = Nhận xét hướng dẫn giải Một số lời giải thu cách khai thác tính chất khác hàm số y Lời giải 59 Do x − x + x + x + dương với x y > với x Ta xét hàm số y (vì hàm y y đồng thời có giá trị nhỏ nhất) Ta có y = ( x + 1) + x + x + Bởi x + ≥ 1, x + x + ≥ Và đẳng thức đồng thời xảy x = Từ y ≥ 4, đẳng thức xảy x = Và y ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy ymin = y ( ) = Lời giải Nhận thấy y ( x ) = y ( − x ) tập xác định R miền đối xứng nên y hàm số chẵn, mà: y ( ) = Với x > 0, ta có: y'= 2x +1 x + x +1 y'> Từ + 2x −1 x2 − x + 2x +1 x2 − x + + 2x −1 x2 − x + = 2x x2 − x +1 > Do với x > hàm y đồng biến Từ tính chẵn hàm số y ta suy ra: Khi x < hàm y nghịch biến Vậy y đạt cực tiểu điểm ( 0; ) Vì ta kết luận được: yct = ymin = y ( ) = Lời giải Do y tổng hai biểu thức nhận giá trị dương, ta dùng bất đẳng thức Côsi, ta được: y ≥ ( x + x + 1) ( x − x + 1) = x + x + ≥ Đẳng thức xảy khi:  x2 + x + = x2 − x +   x + x +1 =  Từ ta kết luận được: 60 ⇔ x = y ≥ 2, đẳng thức xảy x = ymin = y ( ) = Vậy Lời giải Do y hàm số chẵn, ta xét hàm y với x ≥ Khi x = y ( ) = 2; y ( ) = 2; với x ≥ , ta biểu diễn: x − x + = x + 12 − 2.x.1.cos 600 = MA2 x + x + = x + 12 − 2.x.1.cos1200 = MB Khi đó: y = MA + MB MA + MB ≥ AB = Đẳng thức xảy M trùng với O Vậy: ymin = y ( ) = Hình 14 Kết luận chương 3: Những toán minh họa chương đa dạng chương trước Đặc điểm tốn chọn khơng phải mặt khó mà chủ yếu tốn có nhiều cách khác để tìm lời giải, qua góp phần rèn luyện tư cho học sinh THPT C PHẦN KẾT LUẬN Tơi trình bày khóa luận gồm phần: mở đầu, nội dung kết luận Trong đó, phần nội dung chia làm chương, kết nêu chương chương 61 Chương 1, nêu số kiến thức cần thiết cho việc tìm hiểu chương Chương 2, tơi trình bày rõ yêu cầu cấp thiết để rèn luyện tư qua giải tập Đại số Trong trình bày riêng yêu cầu, đề cập chi tiết nguồn gốc, sở yêu cầu xác lập quy trình để thực Việc làm sáng tỏ tư tưởng yêu cầu minh họa yêu cầu thể toán cụ thể Các toán đưa vào để minh họa cho yêu cầu cần rèn luyện nói chung có chọn lọc Chương 3, tơi đưa vào toán minh họa tổng hợp Khác với chương trước đó, tốn đưa vào chương đa dạng Đặc điểm tốn chọn khơng phải mặt khó giải mà chủ yếu tốn có nhiều cách khác để tìm lời giải Về cách trình bày toán minh họa cho yêu cầu chương toán minh họa tổng hợp chương bao gồm hai phần: Các nhận xét để tìm lời giải lời giải Hai phần tách rời kết hợp với làm cơng việc cần tìm lời giải tốn khơng phải khâu định hướng đường lối mà có khâu kĩ thuật, thể chi tiết bước q trình giải Có số tốn có phần lời giải với tốn đó, lời giải tốt tốn rõ ln phương pháp tìm lời giải tốn Lại có số tốn trình bày phương pháp tìm lời giải với tốn có phần tìm lời giải việc giải tốn trở nên rõ ràng đơn giản Ở số phần, khóa luận có bổ sung số điều thích ghi nhớ giúp ích cho người giải tốn Một lần nữa, xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy giáo Th.s Nguyễn Kế Tam hết lòng giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu Trong khóa luận này, tổng quan vấn đề rèn luyện tư cho học sinh phổ thông thông qua giải tập Đại số cố gắng trình bày chi tiết ví dụ cụ thể để người đọc nắm vấn đề Tuy nhiên, thời gian có hạn nên khóa luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý, nhận xét q thầy bạn để khóa luận hoàn thiện D TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục đào tạo Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học phổ thơng mơn tốn Nhà xuất Giáo dục, 2007 62 Bộ giáo dục đào tạo Đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trung học sở nhằm hình thành phát triển lực sáng tạo cho học sinh Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2007 Bộ giáo dục đào tạo Phát triển tư toán học học sinh Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2007 Đảng Cộng Sản Việt Nam Văn kiện Hội nghị lần thứ Ban chấp Hành Trung ương khóa VIII Nhà xuất trị quốc gia, Hà Nội, 1997 Viện ngôn ngữ học Từ điển Tiếng Việt Nhà xuất thành phố Hồ Chí Minh, 2005 G Pơli, Giải tốn nào, Bản dịch tiếng Việt Hồ Thuần Bùi Tường, Nhà xuất Giáo dục Phạm Minh Hạc, Lê Khanh, Trần Trọng Thủy, Tâm lý học Nhà xuất Đại Học Sư phạm, 1988 Nguyễn Thái Hòe Rèn luyện tư qua việc giải tập toán Nhà xuất Giáo dục, 1995 Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2002 10 Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2004 11 Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2007 12 Phạm Đình Khương Rèn luyện tư học toán cho học sinh qua giải tập toán Nghiên cứu giáo dục, 1998 13 Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thị Kim Thoa, Trần Văn Tính Tâm lý học giáo dục Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2009 14 Hoàng Phê (chủ biên) Từ điển Tiếng Việt Nhà xuất Khoa học xã hội, Hà Nội, 1998 15 Nguyễn Cảnh Toàn Phương pháp vật biện chứng với việc dạy học nghiên cứu Toán học, tập Nhà xuất Giáo dục, 1978 16 Trần Thúc Trình Rèn luyện tư dạy học toán Viện khoa học giáo dục, 2003 17 Trần Thúc Trình Tư hoạt động toán học Viện khoa học giáo dục, 1998 18 Đào Văn Trung Làm để học tốt Toán phổ thông Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 63 MỤC LỤC Lịch sử nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG Chương .4 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN .4 64 CƠ SỞ LÍ LUẬN .4 1.1 Một số vấn đề tư 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Đặc điểm tư 1.1.3 Phân loại tư .7 1.3 Quy trình giải tốn 12 2.2 Đánh giá chung thực trạng 13 Chương 15 RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG 15 QUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 15 Rèn luyện khả chọn lựa phương pháp công cụ 37 Rèn luyện khả kiểm tra giải 42 Rèn luyện khả tìm toán liên quan sáng tạo toán .42 Chương 47 MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA TỔNG HỢP .47 C PHẦN KẾT LUẬN .61 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỤC LỤC 64 65 ... dung ? ?Rèn luyện tư cho học sinh qua giải tập Đại số THPT? ?? - Về thực tiễn: + Xây dựng số biện pháp ? ?Rèn luyện tư cho học sinh qua giải tập Đại số THPT? ?? Với hai đóng góp nhỏ trên, hy vọng khóa luận. .. thông qua giải tập Đại số chương 14 Chương RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Rèn luyện khả phân tích tốn Đây việc xem xét, nghiên cứu toán cho mà vấn đề quan... sau: - Làm sáng tỏ số vấn đề tư - Làm sáng tỏ số quan niệm vấn đề rèn luyện giải toán - Đề xuất biện pháp cần thiết để rèn luyện tư cho học sinh phổ thông qua giải tập toán Đại số Phương pháp nghiên