Một vài cơ sở và khung trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- VÕ THỊ NGA MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VÕ THỊ NGA MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Nhụy Đà Nẵng - Năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 06 năm 2018 Tác giả Võ Thị Nga LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Nhụy tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình thực để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Toán giải tích K32-Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Võ Thị Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT VÀI KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 XẤP XỈ CÁC HÀM THỰC TRÊN MỘT ĐOẠN BỞI ĐA THỨC 1.2 DÀN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHÔNG GIAN COMPACT 1.3 ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC 1.4 ĐỊNH LÝ STONE-WEIERSTRASS PHỨC 11 1.5 XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN LP [a, b](−∞ < a < b < +∞) 13 1.6 XẤP XỈ HÀM TRONG Lp (R) BỞI CÁC HÀM LIÊN TỤC CÓ GIÁ COMPACT 16 1.7 MỘT ĐẶC TRƯNG VỀ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 18 CHƯƠNG CƠ SỞ HAAR VÀ CƠ SỞ GABOR CỦA L2 (R) 21 2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 21 2.2 WAVELETS TRỰC CHUẨN VÀ BIẾN ĐỔI WAVELETS TRỰC CHUẨN 2.3 KHOẢNG NHỊ PHÂN VÀ HỆ TRỰC CHUẨN HAAR 23 24 2.4 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN HAAR CỦA KHÔNG GIAN L2 (R) 2.5 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN GABOR CỦA KHÔNG GIAN L2 (R) 26 32 CHƯƠNG KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 36 3.1 KIẾN THỨC CHUNG 36 3.2 KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT HỮU HẠN CHIỀU 38 3.2.1 Mối liên hệ bao tuyến tính khung tồn không gian 38 3.2.2 Toán tử tổng hợp, toán tử phân tích tốn tử khung 41 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần Lý thuyết sóng nhỏ (Theory of Wavelets) phát triển mạnh mẽ, trở thành tảng cho việc xây dựng Lý thuyết truyền tin lí thuyết ứng dụng khác Không gian sở mà Lý thuyết xây dựng L2 (R), không gian hàm bình phương khả tích R Do phần tử thuộc L2 (R), biểu diễn qua sở nên người ta phải quan tâm đến sở không gian Trong số sở L2 (R) có loại sở đặc biệt sở wavelets trực chuẩn Luận văn giới thiệu loại sở wavelets trực chuẩn thường dùng đến sở Gabor sở Haar, hai sở cho nhiều ứng dụng Tuy nhiên phát triển lí thuyết đòi hỏi thực tiễn áp dụng người ta dần thấy đòi hỏi khái niệm sở trực chuẩn L2 (R) chặt chẽ nên tìm cách mở rộng thành khái niệm Khung (Frame) cho không gian Hilbert tổng quát Bởi lý với định hướng thầy giáo PGS.TS Nguyễn Nhụy, định chọn đề tài: "MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT" làm đề tài luận văn thạc sĩ cho Mục đích nghiên cứu Do khơng gian hàm bình phương khả tích L2 (R) tảng để xây dựng sở wavelets Haar sở truyền tin Gabor, nên L2 (R) cần nghiên cứu cách chi tiết với tư cách không gian Hilbert Mặt khác để ứng dụng có hiệu khơng gian L2 (R) việc thực phép toán, ta cần xấp xỉ L2 (R) khơng gian khác có nhiều tính "tốt" hơn, liên tục, có giá compact, đạo hàm, Ta cần xấp xỉ khơng gian khơng gian hàm liên tục có giá compact, đa thức Từ hàm L2 (R) có đạo hàm cấp theo nghĩa suy rộng, nhờ ta lấy đạo hàm chúng (theo nghĩa suy rộng) thực phép tính đạo hàm Từ ta xây dựng hàm sinh sở trực chuẩn Gabor Haar Hai sở đóng vai trị quan trọng Lí thuyết sóng nhỏ đặc biệt Lí thuyết truyền tin Khi có sở ta tổng quát hóa lên xây dựng khái niệm Khung tính chất Khung không gian Hilbert hữu hạn chiều không gian Hilbert tổng quát Đối tượng nghiên cứu Các hàm thực liên tục, tập hàm thực liên tục, dãy hàm số thực, đa thức thực, đa thức hệ số phức, hàm phức, phép toán tập hàm phức liên tục Dàn hàm thực liên tục, vectơ mối liên hệ vectơ, phép tốn khơng gian Hilbert Phạm vi nghiên cứu Dàn hàm thực không gian compact, khơng gian Metric compact, phép tốn mối tương quan phần tử không gian Hilbert hữu hạn chiều Họ hàm từ không gian Metric compact vào khơng gian hàm phức bình phương khả tích R Khơng gian hàm phức p tuyệt đối khả tích Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, báo cáo khoa học, sách có liên quan đến đề tài làm luận văn, tìm hiểu chúng tóm tắt kết thu theo hiểu biết cách ngắn gọn, hệ thống khoa học chứng minh chi tiết đưa kết phù hợp nhất, đắn cho luận văn Thường xuyên trao đổi thảo luận với người hướng dẫn làm Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lí thuyết dùng tham khảo cho sinh viên học viên khoa Tốn q trình nghiên cứu học tập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia làm chương Chương vài kiến thức chuẩn bị với mục đích tạo liệu cần thiết cho chương sau Kết mong muốn thu chương hàm bình phương khả tích R xấp xỉ hàm liên tục có giá compact Chương giới thiệu sở trực chuẩn wavelets L2 (R) Đó sở Haar sở Gabor Chương dành cho việc xây dựng Khung tính chất Khung khơng gian Hilbert hữu hạn chiều ... 24 2.4 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN HAAR CỦA KHÔNG GIAN L2 (R) 2.5 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN GABOR CỦA KHÔNG GIAN L2 (R) 26 32 CHƯƠNG KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT ... toán không gian Hilbert Phạm vi nghiên cứu Dàn hàm thực không gian compact, không gian Metric compact, phép toán mối tương quan phần tử không gian Hilbert hữu hạn chiều Họ hàm từ không gian Metric... "MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT" làm đề tài luận văn thạc sĩ cho Mục đích nghiên cứu Do khơng gian hàm bình phương khả tích L2 (R) tảng để xây dựng sở wavelets Haar sở truyền