Bài toán bù trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ ANH TUẤN BÀI TOÁN BÙ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ ANH TUẤN BÀI TOÁN BÙ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trường ĐHSP Hà Nội II hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cám ơn Thầy cô giảng viên trường ĐHSP Hà Nội truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập trường vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đỗ Anh Tuấn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Các thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đỗ Anh Tuấn MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Lời cảm ơn ii CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG v Phần mở đầu vi Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.2 Tôpô yếu không gian Hilbert 1.3 Toán tử không gian Hilbert Chương Bài toán bù không gian Hilbert hữu hạn chiều 2.1 10 Khái niệm toán bù không gian Hilbert hữu hạn chiều 10 iii 2.2 Sự tồn nghiệm cho toán bù không gian Hilbert hữu hạn chiều 12 2.3 Tính chất tập nghiệm toán bù không gian Hilbert hữu hạn chiều 16 2.4 Bài toán bù tuyến tính không gian Hilbert hữu hạn chiều 20 Chương Bài toán bù không gian Hilbert 23 3.1 Khái niệm toán bù không gian Hilbert 23 3.2 Sự tồn nghiệm cho toán bù không gian Hilbert 3.3 Tính chất tập nghiệm cho toán bù không gian 24 Hilbert 29 3.4 Bài toán bù tuyến tính không gian Hilbert 35 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iv CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG A toán tử A∗ toán tử liên hợp toán tử A K nón K∗ nón đối ngẫu K H không gian Hilbert H∗ không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục Rn không gian Hilbert n chiều · chuẩn không gian Hilbert x, y tích vô hướng hai vector x y xT y tích vô hướng hai vector x y x⊥y x trực giao với y S⊥ phần bù trực giao S x⊥y x trực giao với y ∂(E) biên tập E ∂K (E) biên tập E K int(C) phần C intK (C) phần C K Ec phần bù E v Mở đầu Lý chọn đề tài Nhiều toán xuất số lĩnh vực (ví dụ như: Kinh tế, Lý thuyết trò chơi, Quy hoạch toán học, Cơ học, Lý thuyết đàn hồi, Kĩ thuật, Những toán cân bằng) phát biểu dạng sau: Cho H không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · K nón lồi đóng H với nón đối ngẫu K ∗ = {y ∈ H : x, y ≥ 0, ∀x ∈ K} Bài toán bù N CP (f, K) xác định ánh xạ f từ K vào H tìm x ∈ K cho f (x) ∈ K ∗ f (x) , x = Bài toán gọi toán bù (hình như) có nguồn gốc từ Định lý Kuhn-Tucker (về điều kiện cần cực trị) tối ưu phi tuyến Vì toán bù có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế, nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng, nhiều khía cạnh Sau học kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Tôi chọn đề tài nghiên cứu “Bài toán bù không gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số nội dung toán bù không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số nội dung định tính Bài toán bù không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán bù không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Dùng phương pháp giải tích hàm giải tích biến phân Giả thuyết khoa học Nếu nghiên cứu làm rõ khái niệm toán bù tổng hợp, hệ thống số kết nhà khoa học nghiên cứu công bố toán bù không gian Hilbert có thêm hiểu biết Toán giải tích vii Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương bao gồm số kiến thức sở không gian Hilbert số toán tử không gian Hilbert Những kiến thức chương lấy từ [1], [2] 1.1 Khái niệm không gian Hilbert Cho H không gian vector trường số thực R Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi ánh xạ , : H × H → R; (x, y) → x, y tích vô hướng H điều kiện sau thỏa mãn với ∀x, y, z ∈ H, α ∈ R i) x, y = y, x ii) αx, y = α x, y iii) x + y, z = x, z + y, z 3.4 Bài toán bù tuyến tính không gian Hilbert Định nghĩa 3.4.1 ([3], tr.4) Cho H không gian Hilbert, K nón lồi H Bài toán, tìm x ∈ K cho T x + q, k ≥ 0, (∀k ∈ K) T x + q, x = 0, T toán tử tuyến tính H q phần tử H , gọi toán bù tuyến tính không gian Hilbert kí hiệu, LCP (T, K, q) Định nghĩa 3.4.2 ([3], tr.7) Bài toán LCP (T, K, q) gọi chấp nhận tồn x ∈ K cho T x + q ∈ K ∗ , K ∗ = {x ∈ H : x, k ≥ 0, ∀k ∈ K ∗ } Nếu x ∈ K cho T x + q ∈ K ∗ ta nói x chấp nhận toán LCP (T, K, q) Ta nghiên cứu tồn nghiệm tính chất ổn định toán bù tuyến tính không gian Hilbert Định lý 3.4.3 ([3], tr.12) Cho K đa diện T toán tử đồng dương tăng cường K Nếu toán bù tuyến tính LCP (T, K, q) chấp nhận có nghiệm Chứng minh Nếu dimH < ∞ cách sử dụng phép biến đổi bảo toàn tích có hướng, ta giả sử H = Rn với n sử dụng tích vô hướng thông thường Rn 35 Vì K nón đa diện, tồn số nguyên dương m ánh xạ tuyến tính B : Rm −→ Rn cho B(Rm + ) = K Dễ thấy Tˆ = B ∗ T B toán tử đồng dương cộng Rm + Vì toán bù tuyến tính LCP (T, K, q) chấp nhận được, nên tồn x0 ∈ K cho T x0 + q, k với k ∈ K Với phần tử x ˆ0 ∈ Rm + thỏa mãn, B xˆ0 = x0 , ta có: Tˆxˆ0 + B ∗ q, x = B ∗ (T x0 + q) , x = (T x0 + q) , Bx ≥ 0, với x ∈ Rm + Như vậy, LCP Tˆ, R∗+ , B ∗ q chấp nhận Vậy tồn x ˆ ∈ Rm + cho, Tˆxˆ + B ∗ q, x ≥ 0, x ∈ Rm + Tˆxˆ + B ∗ q, xˆ = Rút gọn công thức ta 36 ˆ + q) , B xˆ = T (B xˆ + q), Bx) ≥ 0, x ∈ Rm + T (B x Như B x ˆ nghiệm LCP Định lý 3.4.4 ([3], tr.13) Giả sử i) T toán tử đồng dương cộng K, ii) Ánh xạ x → T x, x nửa liên tục yếu K , iii) K nón mỏng, iv) {k ∈ K| T k ∈ K ∗ , T k, k = q, k = 0} = {0} Khi đó, LCP (T, K, q) chấp nhận tập nghiệm LCP (T, K, q) khác rỗng compact yếu Chứng minh Trước tiên tồn nghiệm Lấy x0 chấp nhận LCP (T, K, q) Ta giả sử x0 = 0, K = Vì nghiệm toán Khi đó, theo (iii), tập {x0 ∈ K| x = 1} khác rỗng khả li Kí hiệu {ε0 , ε1 , ε2 , } tập trù mật {x0 ∈ K| x = 1} x0 với ε0 = kí hiệu Kn nón lồi đóng sinh {ε0 , ε1 , ε2 , , εn } Ta x0 có Kn nón đa diện chứa x0 Vì Kn ⊂ K , theo i) T đồng dương cộng Kn với n = 1, 2, 3, Bây ta cố định n Vì x0 chấp nhận LCP (T, Kn , q), theo Định lý 3.4.3 tồn xn ∈ Kn cho T xn + q, k ≥ với k ∈ Kn T xn + q, xn = Ta khẳng định rằng, dãy {xn } bị chặn n → ∞ Thật vậy, {xn } không bị chặn thì, không giảm tổng quát, ta giả sử xn → ∞ 37 Khi ta có: T un + qn , un = với (n = 1, 2, 3, ) qn xn qn := Trong un := xn qn Vì {u ∈ K| xn ≤ 1} tập lồi đóng, bị chặn không gian Hilbert H , ta có {un } (hoặc dãy nó) hội tụ yếu đến phần tử d ∈ K Theo ii), ta nhận T d, d ≤ theo i), suy T d = −T ∗ d Bây theo i), suy q, xn = −T xn , xn ≤ Do q, d ≤ Vì k ∈ K viết dạng: k = lim kn với n→∞ kn ∈ Kn , ta có T d, k ≥ 0, với k ∈ K , nghĩa T d ∈ K ∗ Vì LCP (T, K, q) chấp nhận được, ta suy T x0 + q, d ≥ Từ ta có q, d ≥ − T x0 , d = − xo , T T d ≥ Ta nhận q, d = Như vậy, d ∈ {x ∈ K|T x ∈ K ∗ , q, x = 0} Theo iv) điều suy d = 0, nghĩa thuộc bao đóng yếu {x ∈ K : x = 1} Điều mâu thuẫn với iii) Như vậy, dãy {xn } (hoặc dãy nó) bị chặn Không giảm tính tổng quát, ta giả 38 sử dãy {xn } hội tụ yếu đến phần tử x0 ∈ K Bây theo ii), ta có T x0 + q, x0 ≤ Hơn nữa, sử dụng cách viết k = lim kn với kn ∈ Kn , ta T x0 + q, k ≥ với tùy ý k ∈ K Vì vậy, x0 nghiệm toán LCP (T, K, q) Cuối cùng, cách lập luận tương tự ta tập nghiệm toán LCP (T, K, q) bị chặn: Giả sử không bị chặn, cách tương tự thực hiện, ta xây dựng phần tử d ∈ K thỏa mãn: T un + qn , un = với n = 1, 2, 3, , theo iii) dẫn đến mâu thuẫn Vì tập nghiệm LCP (T, K, q) đóng yếu K ta suy tập compact yếu Định lý 3.4.5 ([3], tr.14) Cho dimH < ∞ giả sử T, K, q thỏa mãn: i) T tự liên hợp ii) T đồng dương cộng K iii) (T + q ⊗ q) (K) đóng Nếu toán LCP (T, K, q) chấp nhận có nghiệm Chứng minh Đặt M := KerT ∩ {q}⊥ Nếu M = {0} theo Định lý 3.4.3 ta có điều phải chứng minh Vậy giả sử M = {0} Kí hiệu P phép chiếu trực giao từ H lên M ⊥ = RanT + Span {q} Vì T x + q, k = T P x + q, P k 39 (x, k ∈ K) , ta nhận thấy tồn nghiệm LCP (T, P (K), q) Theo iii) tập K + Ker(T + q ⊗ q) = K + KerT ∩ q ⊥ = K + KerP đóng, P (K) đóng Từ ii) dễ thấy T đồng dương cộng P (K) cuối ta có P (K) ∩ KerT ∩ q ⊥ ⊂ RanP ∩ KerP = {0} Như vậy, tất điều kiện Định lý (3.4.3) thỏa mãn cho toán LCP (T, P (K), q) có nghiệm Do toán LCP (T, K, q) có nghiệm Ví dụ 3.4.6 ([3], tr.17) Ví dụ rằng, bỏ qua điều kiện iii) Định lý (3.4.5) LCP (T, K, q) nghiệm Lấy ∞ H= = x2n < ∞ x = (x1 , x2 , x3 , ) |xn ∈ R, n=1 ∞ với tích vô hướng cho bởi: x, y = + xn y n Lấy n=1 (nghĩa là, xn ≥ với x = (x1 , x2 , ) ∈ 1 v = α 1, , , + ⊂ nón dương ) Đặt 1 u = β γ, , , , α, β , γ chọn cho α, β > 0, u = v = u, v > Chúng ta xác định toán tử chiếu P : → x, u v Vì phép chiếu P đơn điệu P đồng dương cộng P : x → x, u u + + Cũng từ tính đơn điệu P suy tính nửa liên tục yếu toán tử x → P x, x Nếu = x ∈ KerP u, v = thành phần x phải phủ số âm Điều 40 ∩ KerP = {0} Tuy + khả li, ta có: thuộc bao đóng yếu x ∈ Kí hiệu en phần tử + 2| x =1 với thành phần thứ n, thành phần n lại Đặt q := −u Khi với n > ta có, SP en = β n α1 n en , u u + en , v v = u + v.V v∈ ∗2 (= ) ta có, β β βn P Như LCP (P, + , q) n en + q ∈ β + ∗ chấp nhận ta kiểm tra tất điều kiện Định lý 3.4.5 ngoại trừ tính mỏng nón + Giả sử có a ∈ với P a + q, x + ≥ với tất x ∈ P a + q, a = Bất đẳng thức: P P a + q, n en β ≥ (n = 1, 2, 3, ) cho ta a, u + α1 a, u u − ≥ (n = 2, 3, ) βn vậy, a, u ≥ Bây P a + q, a = 0, trở thành | a, u |2 + | a, v |2 − a, u = 0, 41 + và a, u ≥ 1, nên ta có a, v = Định lý 3.4.7 ([3], tr.18) Với dimH < ∞ mệnh đề sau tương đương i) Tồn toán tử S : H → H cho S(H) không đóng; ii) Tồn phép chiếu trực giao P : H → H cho P(K) không đóng; iii) Tồn toán tử P : H → H đồng dương cộng K q ∈ K cho LCP(T,K,q) chấp nhận nghiệm; iv) K đa diện; v) Tồn toán tử chiếu P : H → H với dim(RanP)=2 mà P(K) không đóng Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử i) Vì H/KerS đẳng cấu với RanS (vì dimH < ∞) pi : H → H/KerS ánh xạ thương nên tập K + KerS không đóng H Kí hiệu P phép chiếu trực giao lên (KerS)⊥ Vì KerP = KerS nên K + KerP không đóng Vì P (K) không đóng H Ta có ii) ii) ⇒ iii) Giả sử P phép chiếu lên H cho P (K) không đóng 42 H Kí hiệu u điểm giới hạn P (K) mà không thuộc P (K) Đặt q = −u kí hiệu I toán tử đồng H Ta P (K)∗ − P (K) = H Kí hiệu L nón lồi đóng (không thiết P (K)) Giả sử phản chứng L∗ − L = H Lấy x ∈ H mà x∈ / L∗ − L theo định lý tách tồn a = 0, a ∈ H α ∈ R cho a, x ≤ α ≤ a, ω − a, v v ∈ L, ω ∈ L∗ Vì L∗ − L nón ta lấy α = Cho ω = ta nhận ≤ − a, v v ∈ L suy −a ∈ L∗ Cho ω = −a, v = nhắc lại ta lấy α = 0, cho ta ≤ a, −a , suy a = 0, mâu thuẫn với a = Như P (K ∗ ) − P (K) = H với toán LCP (I, P (K), q) chấp nhận Giả sử LCP (I, P (K), q) có nghiệm Khi tồn p ∈ P (K) cho p + q, v ≥ 0, với v ∈ P (K) p + q, p = Với q = −u, ta có với v ∈ P (K): v−v = v−p + p−u 43 + v − p, p − u ≥ p − u , v − p, p − u = v, p − u − p, p − u ≥ Vì u thuộc bao đóng tập [P (K)] \P (K), điều xảy ra, LCP (I, P (K), q) có nghiệm Vì q ∈ RanP P phép chiếu , toán LCP (I, P (K), q) chấp nhận (tương ứng có nghiệm) tương đương toán LCP (P, K, q) chấp nhận (tương đương có nghiệm) Như ta thấy toán LCP (P, K, q) chấp nhận nghiệm Cuối cùng, P đồng dương cộng K phép chiếu đơn điệu iii) ⇒ iv) suy từ Định lý 3.4.3 iv) ⇒ v) theo kết Định lý 3.4.3 v) ⇒ i) hiển nhiên Kết luận Trong chương 3, trình bày số kết toán bù không gian Hilbert 44 Kết luận Luận văn trình bày cách hệ thống số kết cho toán bù không gian Hilbert hữu hạn chiều không gian Hilbert vô hạn chiều Một số kết tổng quát diễn giải tính toán lại cách chi tiết, bao gồm: 1) Trình bày kiến thức kết liên quan đến không gian Hilbert 2) Trình bày số kết toán bù không gian Hilbert 3) Trình bày số ví dụ minh họa cho kiến thức liên quan TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển, Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội năm 2014 Tài liệu tiếng Anh [3] M S Gowda, T I Seidman (1990), Generalized Linear Complementarity Probrems, Mathamatic Programming 46, p.329-340 [4] Patrick T HARKER and Jong-Shi PANG Finite-dimensional variational inequality and nonlinear, algorithms and applications Mathematical Programming 48 (1990) 161-220 [5] S Karamardian Generalized Complementarity Problem 1, No 3, 1971 [6] N D Yen, G M Lee N N Tam, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities, Springer Verlag, 2005 [7] R.W Cottle and J C Yao Pseudo-Monotone Complementarity Problems in Hilbert Space, November 1992 46 Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner [...]... chiều Một số kết quả về không gian Hilbert vô hạn chiều sẽ được trình bày ở chương 3 22 Chương 3 Bài toán bù trong không gian Hilbert Chương 3 sẽ trình bày một số kết quả về bài toán bù trong không gian Hilbert Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ [3], [7] 3.1 Khái niệm về bài toán bù trong không gian Hilbert Định nghĩa 3.1.1 ([7], tr.281 − 282) Cho H là một không gian Hilbert với tích vô... tập trong không gian Hilbert H M được gọi là khả ly nếu M chứa một tập con đếm được trù mật trong M 8 Kết luận Trong chương 1 đã trình bày một số khái niệm về không gian Hilbert, toán tử trong không gian Hilbert, định nghĩa về tập lồi, nón, nón lồi đóng các kết quả sẽ dùng trong các chương sau 9 Chương 2 Bài toán bù trong không gian Hilbert hữu hạn chiều Chương 2 sẽ trình bày một số kết quả về bài toán. .. Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu 1.3 Toán tử trong không gian Hilbert Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H Với mỗi y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau: f (x) = Ax, y , x ∈ H 6 Định nghĩa 1.3.1 Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H , ánh xạ A∗ : H → H được xác định như sau: ∀y ∈ H, A∗ y = y ∗ trong đó Ax, y =... từ Rn vào chính nó Bài toán tìm vector x∗ ∈ X sao cho F (x∗ ) ∈ X ∗ và F (x∗ )T x∗ = 0 được gọi là bài toán bù tổng quát trong không gian Hilbert hữu hạn chiều, kí hiệu GCP (X, F ) Ở đó, X ∗ là nón đối ngẫu của X, cho bởi công thức X ∗ = {y ∈ Rn : y T x ≥ 0} 2.2 Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bù trong không gian Hilbert hữu hạn chiều Mệnh đề 2.2.1 ([4], tr.166) Cho X là một nón lồi trong Rn và cho F... tích vô hướng ·, · , với chuẩn và K là một nón lồi đóng trong H với nón đối ngẫu K ∗ = {y ∈ H : x, y ≥ 0, ∀x ∈ K} Bài toán N CP (f, K) xác định bởi ánh xạ f : K → H là tìm x ∈ K sao cho f (x) ∈ K ∗ và f (x) , x = 0, được gọi là bài toán bù trong không gian Hilbert 23 Lưu ý rằng, một vấn đề liên quan chặt chẽ đến bài toán bù trong không gian Hilbert N CP (f, K) là bất đẳng thức biến phân V I(f, K):... hữu hạn chiều Chương 2 sẽ trình bày một số kết quả về bài toán bù trong không gian Hilbert hữu hạn chiều Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ [4], [6] 2.1 Khái niệm về bài toán bù trong không gian Hilbert hữu hạn chiều Định nghĩa 2.1.1 ([4], tr.164) Cho X là tập con khác rỗng của Rn và cho F là ánh xạ từ Rn vào chính nó Bài toán tìm vector x∗ ∈ X sao cho F (x∗ )T (y − x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ X... Rn và q ∈ Rn Bài toán tìm vector x∗ ∈ Rn+ sao cho, F (x∗ ) ∈ Rn+ và F (x∗ )T x∗ = 0, được gọi là bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert hữu hạn chiều được xác định bởi M và q , kí hiệu LCP (M, q) Chúng ta viết lại LCP (M, q) như sau x∗ ≥ 0, M x∗ + q ≥ 0, x∗ T (M x∗ + q) = 0 (2.8) Do vậy, bài toán LCP (M, q) là trường hợp đặc biệt của bài toán N CP , ở đó ∆ = Rn+ và F là một toán tử affine... gọi là toán tử liên hợp của toán tử A Định lý 1.3.2 Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ H vào H Khi đó: A∗∗ = A và A∗∗ = A Định lý 1.3.3 Giả sử H là một không gian Hilbert và A, B là một toán tử liên tục từ H vào H, λ ∈ R Khi đó: (A + B)∗ = A∗ + B ∗ (λA)∗ = λA∗ (B ◦ A)∗ = A∗ ◦ B ∗ I ∗ = I (I là toán tử đồng nhất trên H) Định lý 1.3.4 Giả sử H là một không gian Hilbert. .. Phép chiếu trực giao p từ không gian Hilbert H lên không gian con đóng S = {0} là một toán tử tuyến tính liên tục Định lý 1.1.15 (Định lý F.Riesz) Với mỗi vector a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức: f (x) = a, x (1.1) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H, với f = a (1.2) Ngược lại bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian Hilbert H cũng có thể biểu... do đó bài toán (2.8) vô nghiệm Ta có v = {v : M v ≥ 0} ∩ {v : v ≥ 0} = {v = (0, v2 ) ∈ R2 : v2 ≥ 0} Kiểm tra điều kiện ii) trong Mệnh đề 2.4.2, không mất tính tổng quát, ta giả sử v = (0, 1) Dễ thấy rằng, không tồn tại u0 ≥ 0 thỏa mãn (M u0 +q)T v = 0 và M v, u0 = 0 Theo Mệnh đề 2.4.2, Sol(M, q) là tập compact Kết luận Trong chương 2, đã trình bày một số kết quả về bài toán bù trong không gian Hilbert