Một số bất đẳng thức thường gặp trong lý thuyết xác suất và thống kê

1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ĐỐI VỚI BIẾN CỐ XÁC SUẤT 1.1 Các bất đẳng thức từ công thức cộng xác suất 1.2 Các bất đẳng thức hiệu đối xứng CHƢƠNG II 12 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI 12 HÀM PHÂN PHỐI 12 2.1 Các bất đẳng thức phân phối chuẩn tắc 13 2.2 Bất đẳng thức kiểu Slepian 16 2.3 Bất đẳng thức kiểu Anderson 21 2.4 Bất đẳng thức kiểu Khatri-Sidak 21 2.5 Xác suất góc vectơ chuẩn tắc 23 2.6 Xấp xỉ chuẩn phân phối Binomial Poison 24 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 MỞ ĐẦU Trong hầu hết ngành khoa học định lượng, bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng việc phát triển coi quan trọng đẳng thức Điều thực lĩnh vực xác suất thống kê Chẳng hạn như, bất đẳng Chebyshev, bất đẳng thức Schwarz Jensen thường sử dụng lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Cramer-Rao đóng vai trị Toán học thống kê Lựa chọn thiết lập bất đẳng thức thích hợp thường bước đột phá quan trọng lời giải tốn, vấn đề, ví dụ bất đẳng thức Berry-Esseen mở cách để đánh giá tốc độ hội tụ xấp xỉ chuẩn Người bắt đầu nghiên cứu thường gặp hai khó khăn là: lựa chọn bất đẳng thức thích hợp trích dẫn tài liệu tham khảo xác Hầu tác giả không nêu rõ tài liệu tham khảo cho bất đẳng thức thường sử dụng, chẳng hạn bất đẳng thức Jensen Schwarz, bổ đề Fatou,… Rắc rối cho người bắt đầu nghiên cứu bất đẳng thức có nhiều tên gọi khác nguồn tài liệu tham khảo khác Chẳng hạn như, bất đẳng thức Schwarz gọi bất đẳng thức Cauchy, Cauchy Schwarz bất đẳng thức Minkoveski-Bnyakovski Các bất đẳng thức Bennet, Hoeffding Bernstein có mối quan hệ gần gũi chặt chẽ trích dẫn số tài liệu tác giả sử dụng bất đẳng thức Điều tác giả sử dụng bất đẳng thức tác giả đơn giản chép dạng bất đẳng thức sử dụng mà khơng kiểm tra tài liệu tham khảo ban đầu Tất điều gây trở ngại lớn cho việc nghiên cứu Mục đích khóa luận trình bày số bất đẳng thức thường dùng lý thuyết xác suất Với mục đích chúng tơi chọn tên đề tài khóa luận ”Một số bất đẳng thức thƣờng gặp Lý thuyết xác suất thống kê” Khóa luận chia làm chương Chƣơng Bất đẳng thức biến cố Chƣơng Bất đẳng thức hàm phân phối Mặc dù cố gắng, hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Người viết khóa luận mong nhận góp ý q thầy người đọc để khóa luận hồn thiện tác giả có nhìn sâu sắc vấn đề nghiên cứu Nghệ An, ngày tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thu Uyên CHƢƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ĐỐI VỚI BIẾN CỐ XÁC SUẤT Trong chương này, giới thiệu số bất đẳng thức đề cập nhiều sách lý thuyết xác suất Feller (1968), Loéve (1977),…Chúng sử dụng ký hiệu sau:  không gian biến cố sơ cấp,   -đại số tập hợp  ,  độ đo xác suất biến cố  (  , , ) gọi không gian xác suất Các biến cố  ký hiệu A1, A2 , A, B Với hai biến cố A, B , ky hiệu A B , AB (hoặc A B ), A  B AB hợp, giao, hiệu hiệu đối xứng A B Ac biến cố đối biến cố A  ký hiệu biến cố 1.1 Các bất đẳng thức từ công thức cộng xác suất Mệnh đề 1.1.1 Giả sử A1, A2 , , An n biến cố Khi đó,  n  n P  Ai    P( Ai )   P( Ai Aj )   (1) k 1  P( Ai1 Aik ) 1i  j n 1i1  ik n  i1  i1   (1) n1 P  A1 An  Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp Với n  ta có: P  A1 A2   P  A1   P  A2   P  A1 A2  (1) Giả sử cơng thức với n , ta chứng minh cúng với n  Từ (1) giả thiết ta có:  n 1   n   n  P  Ai   P  Ai   P  An 1   P  Ai An 1   i 1   i 1   i 1  n 1 =  P  Ai   i 1  P  A A   (1) i 1i  j  n n 1 j P  A1 An   n   P  Ai An 1    P  Ai Aj An 1  1i  j  n  i 1   ( 1) n 1 P  A1 An An 1  n 1 =  P  Ai   i 1  1i  j  n 1 P  Ai A j    (1) n P  A1 An 1  Từ suy mênh đề với n  Vậy ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp biến cố  A1, , An  gọi hoán đổi xác suất giao biến cố phụ thuộc vào số biến cố có phép giao, có nghĩa với số nguyên  i1   i j  n  i j  n ,   P Ai1 Ai2 Ai j  p j Hệ 1.1.3 Từ cơng thức cộng xác suất, ta có đẳng thức sau i) Khi A1, An hoán đổi được, ta có: n  n  n P  Ai    (1)i1   P  A1, , Ai   i1  i1 i  ii) Khi A1, , An độc lập p  P( Ai ) , ta có: n  n  n P  Ai    (1)i1   pi  i1  i1 i  Mệnh đề 1.1.4 Giả sử A1, A2 , , An n biến cố Khi ta có bất đẳng thức  n  n P  Ai    P  Ai Aj   P  Ai    P  Ai   i 1 1i j n  i1  i1 n Đặc biệt, bất đẳng thức thứ hai đánh giá chặt bất đẳng thức sau: n  n  n P  Ai    P  Ai    P  A1 Ai  i 2  i1  i1 Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp Khi n  , theo cơng thức cộng xác suất, ta có P( A1 A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P  A1 A2   P( A1 )  P( A2 ) Giả sử bất đẳng thức đến n  k , ta phải chứng minh bất đẳng thức với n  k  Thật vậy,  k   k 1   k  P  Ai   P  Ai   P  Ak 1   P   Ai   i1   i1    i1  k k i 1 i 2  Ak 1     P  Ai    P  A1 Ai   P  Ak 1   P  A1 Ak 1  k 1   P  Ai  i 1 Vậy bất đẳng thức bên phải chứng minh Tương tự, phương pháp quy nạp, ta có:  n   n 1   n  P  Ai   P  Ai   P  An 1   P   Ai   i 1   i 1    i 1  n   P  Ai   i 1  i j n  An 1   P  Ai Aj   P  An 1    P  Ai An 1  n i 1 Do đó, bất đẳng thức bên trái chứng minh Mệnh đề 1.1.5 Giả sử A, B biến cố Khi ta có bất đẳng thức ii ) P  A   P  B   P  AB  , i ) P  AB   P  A  P  B    AB   A  B   B  A   iii ) P  AB    P  Ac   P  B c  iv) Nếu P  A    , P  B     với    P  AB    2 Chứng minh Trước hết ta chứng minh i) Ta có: P  AB   P  A P  B   P  A P  AB   P  Ac  P  AB   P  A  P  AB   P  A  P  Ac B   P  Ac  P  AB   P  A P  Ac B  Vì Ac AB xung khắc, P  Ac  P  AB   1/ (vì max p 1  p   1/ ) Tương tự, 0 p1 P  A P  Ac B   1/ ta có điều phải chứng minh Chứng minh ii) Từ mệnh đề 1.1.4 ta có P  AB   P  A  B   P  A  P  AB   P  A  P  AB  Do tính đối xứng A B nên ii) chứng minh Chứng minh iii) Ta có P  AB   P  B c   P  AB   P( AB c )  P( A)   P  Ac  suy ra, P  AB    P  Ac   P  Bc  Chứng minh iv) Ta có P  AB   P  A  P  B   P  A  B    2 Mệnh đề 1.1.6 Giả sử  An  dãy biến cố limsup An  n   An , liminf An  n N 1 n N   N 1 n N An Khi đó,   P liminf An  liminf P  An   limsup P( An ) n n  n    P limsup An  lim  P  An  n N  n N Chứng minh Với số nguyên dương N ta có:  n N An  AN   An n N        Dễ dàng suy ra: P  An   P  AN   P  An    P  An   n N   n N  n N Khi N   ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Mệnh đề 1.1.7 (Bất đẳng thức Bonferroni) Giả sử P[m] xác suất có m biến cố số biến cố A1, , An đồng thời xảy ra; Pm xác suất có m biến cố số biến cố A1, , An đồng thời xảy Đặt: Sm   1i1  im n   P Ai1 Aim Khi đó, Sm   m  1 Sm1  Pm  Sm , Sm  mSm1  Pm  Sm Chứng minh Giả sử Am biến cố có m biến cố số biến cố A1, , An đồng thời xảy ra; A( m ) biến cố có m biến cố số biến cố A1, , An đồng thời xảy Khi ta có: Am  A m  1i1  im n Ai1 Aim Vế phải bất đẳng thức phía suy từ việc sử dụng tính chất nửa cộng tính độ đo xác suất Mặt khác, ta có: Am  1i1  im  n Ai1 Aim  1i1  im1  n Ai1 Aim1 Từ suy pm  pm  Sm1 Đối với i1   im1, xác suất  P Ai1 Aim1   chứa tập giá trị P Ai '1 Ai 'm  S m ,  i '1, i 'm  tập (i1, , im1 ) Trong số m  phải có giá trị bổ sung vào pm Khi Sm  pm  mSm1 Như bất đẳng thức bên trái mệnh đề 1.1.6 chứng minh 1.2 Các bất đẳng thức hiệu đối xứng Mệnh đề 1.2.1 Giả sử  An n1 ; Bn n1 dãy biến cố Khi ta có bất  đẳng thức sau   P     An      n n   Bn    P      AnBn     P  AnBn   n n Chứng minh Bất đẳng thức bên phải suy từ    n   An      n  Bn     AnBn  n định nghĩa hiệu đối xứng Bất đẳng thức bên phải suy từ Mệnh đề 1.1.4) Mệnh đề 1.2.2 Giả sử A1 , A2 , B1 , B2 biến cố Khi ta có P  A1  A2    B1  B2   P  A1B1   P  A2 B2  Chứng minh Ta có,  A1  A2    B1  B2    A1B1   A2B2  Từ suy ra, P  A1  A2    B1  B2   P  A1B1   P  A2 B2  Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2.3 Giả sử  An  dãy biến cố độc lập Khi đó: i)  n   n   P  Ak   exp  P  Ak   ,  k 1   k 1  ii)    n   P  Ak   limexp  P  Ak    k 1   k 1  n Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức sơ cấp  x  e x với x  , ta có  n   n c n  P  Ak   P  Ak    1  P  Ak    k 1   k 1  k 1 n  n    exp   P( Ak )   exp  P( Ak )   k 1  k 1 Vậy bất đẳng thức i) chứng minh Bất đẳng thức ii) suy từ bất đẳng thức i) lấy giới hạn n   Mệnh đề 1.2.4 Giả sử A B hai biến cố độc lập AB  D Ac Bc  Ac Khi đó, 10 P  AD   P  A P  D  Chứng minh Ta có P  AD   P  ADB   P  ADB c   P  AB   P  AB c   P  AD c B c  =P  A  P  B   P  AB c   P  D c B c   P  Ac D c B c  =P  A  P  B   P  AB c   P  D c B c   P  Ac B c  =P  A  P  B   P  B c   P  D c B c   P  A  P  BD   P  A  P  B c D   P  A  P  D  Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2.5 Giả sử A0   ,  An  Bn  hai dãy biến cố Nếu có hai điều kiện sau: c c a) Bn độc lập với An An1 Ao với n  c c c b) Bn độc lập với  An , An An1, An An1 An2 ,  với n      P  An Bn   inf P  Bn  P  An   n1  n1  n1  Chứng minh Với trường hợp a), n 1 n 1   c c       P  An Bn   P  Bn An  B j Aj     P  Bn An  B j A j   j 0 j 0  n 1   n 1  n 1   n 1     n 1 c  c   P  Bn An Aj    P  Bn  P  An Aj  n 1 j 0   n 1  j 0      inf P  Bn  P  An  n 1  n 1  Với trường hợp b), n n n   c  n  n  P  Aj B j     Aj B j  Aj B j     P  Aj B j Aic  i  j 1 i  j 1  j 1  j 1   j 1   n n    n    P  B j  P  Aj Aic   inf P  B j  P  Aj  1 j  n j 1  i  j 1   j 1  Vậy mệnh đề chứng minh 13 n  b  k ; n, p     p k q n k , k  0,1, , n,  p  1, q   p  p Phân phối Poisson với tham số  cho hàm xác suất sau p  k;     k e  k! , k  0,1, ,  >0 2.1 Các bất đẳng thức phân phối chuẩn tắc Mệnh đề 2.1.1 Giả sử a, b số thực (a