Đang tải... (xem toàn văn)
NÉT ĐẸP CỦA MỘT DÃY BẤT ĐẲNG THỨCĐỒNG BẬC BACao Minh QuangTHPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long1 Dãy bất đẳng t hức đồng bậc bậc 3Với hai số thực dương, ta chứng minh đượcx y ( x + y )2 ≤ x +2 y 3 ≤ ( x + y ) x 26+ x y + y2 ≤ x3 +2 y3 ≤ ( xx2 + y2)3 3 (1)
NÉT ĐẸP CỦA MỘT DÃY BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC BA Cao Minh Quang THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long 1 Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc 3 Với hai số thực dương, ta chứng minh được xy ( x + y ) 2 ≤ x + y 2 3 ≤ ( x + y ) x 2 + x y + y 2 6 ≤ x 3 + y 3 2 ≤ x 2 + y 2 3 ( x + y ) 3 (1). Đây là một dãy bất đẳng thức rất đơn giản dành cho học sinh THCS. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy nó nhiều ứng dụng giá trị trong chứng minh bất đẳng thức. Trước hết ta sẽ chứng minh dãy bất đẳng thức này. • x + y 2 3 ≥ xy ( x + y ) 2 ⇔ ( x + y ) ( x −y ) 2 ≥ 0. • x 3 + y 3 2 = ( x + y ) 2 ( x −y ) 2 + x 2 + x y + y 2 6 ≥ ( x + y ) x 2 + x y + y 2 6 . • ( x + y ) x 2 + x y + y 2 6 = ( x + y ) 4x 2 + 4xy + 4y 2 24 ≥ x + y 2 3 . • Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có x 3 + y 3 = ( x + y ) 4 4x 2 −4xy + 4y 2 4 ( x + y ) 3 ≤ ( x + y ) 2 + ( x + y ) 2 + 4x 2 −4xy + 4y 2 3 27.4 ( x + y ) 3 = 2 x 2 + y 2 3 ( x + y ) 3 . Dễ dàng thấy rằng (1) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi x = y. 2 Một số ứng dụng Sau đây ta sẽ nêu một số ví dụ minh họa việc ứng dụng dãy bất đẳng thức (1). Bài toán 2.1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 3 ≥ a + b + c 3 3 (2) 2. Một số ứng dụng 109 Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức (1), với mọi số thực dương d, ta có a 3 + b 3 2 ≥ a + b 2 3 , c 3 + d 3 2 ≥ c + d 2 3 . Cộng hai bất đẳng thức trên, và tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (1) ta nhận được a 3 + b 3 + c 3 + d 3 2 ≥ a + b 2 3 + c + d 2 3 ≥ 2. 1 2 a + b 2 + c + d 2 3 = 1 32 ( a + b + c + d ) 3 . Với d = a + b + c 3 , từ bất đẳng thức trên, ta nhận được a 3 + b 3 + c 3 + a + b + c 3 3 2 ≥ 1 32 a + b + c + a + b + c 3 3 = 2 a + b + c 3 3 hay a 3 + b 3 + c 3 + a + b + c 3 3 ≥ 4 a + b + c 3 3 hay a 3 + b 3 + c 3 3 ≥ a + b + c 3 3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2.2 (Panos E. Tsaoussoglou, Athens, Greece, Crux Mat hematicorum). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 3abc + 8abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 2. Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, từ bất đẳng thức (2) ta có a 3 + b 3 + c 3 3 ≥ a + b + c 3 3 = ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) 6 3 ≥ 1 6 3 . 3 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 3 = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8 . Do đó, kết hợp việc sử dụng bất đẳng thức x y + y x ≥ 2, với mọi x, y > 0, ta được a 3 + b 3 + c 3 3abc + 8abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8abc + 8abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2.3 (José Luis Díaz – Barrero, Mathematical Reflection). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng b + c a + 3 4 ( b 3 + c 3 ) + c + a b + 3 4 ( c 3 + a 3 ) + a + b c + 3 4 ( a 3 + b 3 ) ≤ 2. Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức (1), ta có 3 4 ( b 3 + c 3 ) ≥ b + c. Do đó a + 3 4 ( b 3 + c 3 ) ≥ a + b + c. Suy ra b + c a + 3 4 ( b 3 + c 3 ) ≤ b + c a + b + c . Chứng minh tương tự, ta cũng có 2. Một số ứng dụng 110 c + a b + 3 4 ( c 3 + a 3 ) ≤ c + a a + b + c , a + b c + 3 4 ( a 3 + b 3 ) ≤ a + b a + b + c . Cộng các bất đẳng thức trên, ta thu được b + c a + 3 4 ( b 3 + c 3 ) + c + a b + 3 4 ( c 3 + a 3 ) + a + b c + 3 4 ( a 3 + b 3 ) ≤ 2 ( a + b + c ) a + b + c = 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2.4 (Đề dự bị 1, Khối A-2007). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 4 ( x 3 + y 3 ) + 3 4 ( y 3 + z 3 ) + 3 4 ( z 3 + x 3 ) + 2 x y 2 + y z 2 + z x 2 . Lời giải. Từ bất đẳng thức x 3 + y 3 2 ≥ x + y 2 3 , suy ra 3 4 ( x 3 + y 3 ) ≥ x + y. Do đó P ≥ 2 x + x y 2 + 2 y + y z 2 + 2 z + z x 2 ≥ 4 x y + y z + z x ≥ 12. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 12. Bài toán 2.5 (USA 1997). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 a 3 + b 3 + abc + 1 b 3 + c 3 + abc + 1 c 3 + a 3 + abc ≤ 1 abc . Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức (1), ta có a 3 + b 3 ≥ ab ( a + b ) . Do đó a 3 + b 3 + abc ≥ ab ( a + b + c ) . Suy ra 1 a 3 + b 3 + abc ≤ 1 ab ( a + b + c ) . Chứng minh tương tự, ta nhận được 1 b 3 + c 3 + abc ≤ 1 bc ( a + b + c ) , 1 c 3 + a 3 + abc ≤ 1 ca ( a + b + c ) . Cộng các bất đẳng thức trên, ta được 1 a 3 + b 3 + abc + 1 b 3 + c 3 + abc + 1 c 3 + a 3 + abc ≤ 1 a + b + c 1 ab + 1 bc + 1 ca = 1 abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2.6 (Romania 1997). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng x 9 + y 9 x 6 + x 3 y 3 + y 6 + y 9 + z 9 y 6 + y 3 z 3 + z 6 + z 9 + x 9 z 6 + z 3 x 3 + x 6 ≥ 2. Lời giải. Bằng cách đặt a = x 3 , b = y 3 , c = z 3 thì abc = 1. Bất đẳng thức trên trở thành a 3 + b 3 a 2 + ab + b 2 + b 3 + c 3 b 2 + bc + c 2 + c 3 + a 3 c 2 + ca + a 2 ≥ 2. Sử dụng bất đẳng thức (1), ta có x 3 + y 3 x 2 + x y + y 2 ≥ x + y 3 , suy ra a 3 + b 3 a 2 + ab + b 2 + b 3 + c 3 b 2 + bc + c 2 + c 3 + a 3 c 2 + ca + a 2 ≥ a + b 3 + b + c 3 + c + a 3 = 2 3 ( a + b + c ) ≥ 2 3 .3 3 √ abc = 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1. Bài toán 2.7 (Poland 2007). Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 a + 1 b + 1 c + 1 d = 4. Chứng minh rằng 3 a 3 + b 3 2 + 3 b 3 + c 3 2 + 3 c 3 + d 3 2 + 3 d 3 + a 3 2 ≤ 2 ( a + b + c + d ) −4. (3) 3. Một số bài tập tự luyện 111 Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức (1), ta có 3 x 3 + y 3 2 ≤ x 2 + y 2 x + y . Do đó 3 a 3 + b 3 2 + 3 b 3 + c 3 2 + 3 c 3 + d 3 2 + 3 d 3 + a 3 2 ≤ a 2 + b 2 a + b + b 2 + c 2 b + c + c 2 + d 2 c + d + d 2 + a 2 d + a . Vì vậy, để chứng minh (3), ta cần chứng minh a 2 + b 2 a + b + b 2 + c 2 b + c + c 2 + d 2 c + d + d 2 + a 2 d + a ≤ 2 ( a + b + c + d ) −4. (4) Ta lưu ý rằng a + b − a 2 + b 2 a + b = 2ab a + b = 2 1 a + 1 b . Do đó, nếu đặt x = 1 a , y = 1 b , z = 1 c , t = 1 d thì x + y + z + t = 4 và khi đó, (4) được viết lại dưới dạng 1 x + y + 1 y + z + 1 z + t + 1 t + x ≥ 2. Sử dụng bất đẳng thức ( a 1 + a 2 + + a n ) 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a n ≥ n 2 , a i > 0, i = 1, 2, , n, ta được 1 x + y + 1 y + z + 1 z + t + 1 t + x ≥ 4 2 ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + t ) + ( t + x ) = 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 1 hay a = b = c = d = 1. 3 Một số bài t ập tự luyện Bài t ập 3.1 (Trần Tuấn Anh). Cho a, b, c là các số thực dương và k ≥ 2 3 . Chứng minh rằng a b + c k + b c + a k + c a + b k ≥ 3 2 k . Bài tập 3.2 (Thái Nhật Phượng). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng x 2 x + y + y 3 z + y 2 y + z + z 3 x + z 2 z + x + x 3 y ≥ 3. Bài tập 3.3 (Nguyễn Bá Nam). Cho a, b , c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 1 a 3 + 1 b 3 + 1 c 3 ≥ 3 2 b + c a + c + a b + a + b c . Bài tập 3.4 (JBMO 2002, Shortlist). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b 2 + b 3 c 2 + c 3 a 2 ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a . Bài tập 3.5 (Mildorf). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 4a 3 + 4b 3 + 3 4b 3 + 4c 3 + 3 4c 3 + 4a 3 ≤ 4a 2 a + b + 4b 2 b + c + 4c 2 c + a . 3. Một số bài tập tự luyện 112 Hướng dẫn giải các bài toán tự luyện Bài 3.1. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 2 3 ( a + b + c ) = 2a + ( b + c ) + ( b + c ) 3 ≥ 3 2a. ( b + c ) 2 hay a b + c 2 3 ≥ 3 3 √ 4 . a a + b + c . Do đó, a b + c k + b c + a k + c a + b k ≥ 3 2 k , k = 2 3 . Nếu k > 2 3 , ta đặt m = 3 2 k thì m > 1. Với mọi x, y, z > 0, ta chứng minh được x m + y m + z m 3 ≥ x + y + z 3 m . Do đó, với x = a b + c 2 3 , y = b c + a 2 3 , z = c a + b 2 3 thì a b + c k + b c + a k + c a + b k ≥ 3 2 k . Bài 3.2. Ta có x 2 x + y + y 3 z = x 3 x 2 + x y + xy 3 z = x 3 x 2 + x y + y 2 . Do đó, ta cần chứng minh x 3 x 2 + x y + y 2 + y 3 y 2 + yz + z 2 + z 3 z 2 + zx + x 2 ≥ 1. Ta chú ý rằng x 3 − y 3 x 2 + x y + y 2 + y 3 − z 3 y 2 + yz + z 2 + z 3 − x 3 z 2 + zx + x 2 = ( x −y ) + ( y −z ) + ( z −x ) = 0. Do đó để chứng minh bất đẳng thức trên, ta chứng minh x 3 + y 3 x 2 + x y + y 2 + y 3 + z 3 y 2 + yz + z 2 + z 3 + x 3 z 2 + zx + x 2 ≥ 2. Bất đẳng thức này chính là bài toán Romania 1997 đã được chứng minh. Bài 3.3. Sử dụng bất đẳng thức x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) , ta suy ra 2 a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) . Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 1 a 3 + 1 b 3 + 1 c 3 ≥ 3 abc . Do đó a 3 + b 3 + c 3 1 a 3 + 1 b 3 + 1 c 3 ≥ 3 2 ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) abc = 3 2 b + c a + c + a b + a + b c . Bài 3.4. Sử dụng bất đẳng thức x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) , suy ra x 3 ≥ x 2 y + xy 2 −y 3 . Chia hai vế cho y 2 thì ta được x 3 y 2 ≥ x 2 y + x − y. Do đó a 3 b 2 + b 3 c 2 + c 3 a 2 ≥ a 2 b + a − b + b 2 c + b − c + c 2 a + c − a = a 2 b + b 2 c + c 2 a . Bài 3.5. Sử dụng bất đẳng thức (1), ta có 3 4x 3 + 4y 3 ≤ 2 x 2 + y 2 x + y . Do đó 3 √ 4a 3 + 4b 3 + 3 √ 4b 3 + 4c 3 + 3 √ 4c 3 + 4a 3 ≤ 2 a 2 + b 2 a + b + 2 b 2 + c 2 b + c + 2 c 2 + a 2 c + a . Để hoàn tất việc chứng minh bài toán , ta chỉ cần kiểm tra 2 a 2 + b 2 a + b + 2 b 2 + c 2 b + c + 2 c 2 + a 2 c + a = 4a 2 a + b + 4b 2 b + c + 4c 2 c + a . Điều này đúng vì a 2 − b 2 a + b + b 2 − c 2 b + c + c 2 − a 2 c + a = ( a −b ) + ( b −c ) + ( c −a ) = 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. TÀI LIỆU 113 Tài liệu [1] Hojoo Lee, Topics in Inequalities, unpublished, 2006. [2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Secrets in Inequalities, Nhà xuất bản tri thức, 2006. [3] Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp Bất đẳng thức trong các kì thi Olympic Toán học, NXBĐHQG Hà Nội, 2010. [4] Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New In- equalities, Gil publishing House, 2004. [5] Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, Gil publishing House, 2006. . NÉT ĐẸP CỦA MỘT DÃY BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC BA Cao Minh Quang THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long 1 Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc 3 Với hai số thực dương, ta. là một dãy bất đẳng thức rất đơn giản dành cho học sinh THCS. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy nó nhiều ứng dụng giá trị trong chứng minh bất đẳng thức. Trước hết ta sẽ chứng minh dãy bất đẳng thức. y ) 3 . Dễ dàng thấy rằng (1) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi x = y. 2 Một số ứng dụng Sau đây ta sẽ nêu một số ví dụ minh họa việc ứng dụng dãy bất đẳng thức (1). Bài toán 2.1. Cho a, b, c là