MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC BA BIẾN

Së gi¸o dôc & ®µo t¹o vÜnh phóc Trêng THPT Ng« gia tù ------o0o------ ¬ NGƯỜI THỰC HIỆN: HÀ TRỌNG ĐẠT ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ 1 N¨m häc 2013 - 2014 2 PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Thời đại ngày nay, trong giáo dục đào tạo, người ta yêu cầu cao về việc rèn óc thông minh sáng tạo, tính năng động thích nghi với những thay đổi nhanh, nên toán học, vốn đã được coi là “ thể dục của trí não”, là “ nữ hoàng của các khoa học”, càng phải phát huy vai trò đó. Là những giáo viên giảng dạy toán trong trường phổ thông chúng tôi rất ý thức được điều đó và muốn đóng góp một chút kinh nghiệm của mình vào để nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. Thực hiện kế hoạch công tác năm học 2013 - 2014; Ban chuyên môn trường THPT Ngô Gia Tự – Lập Thạch – Vĩnh Phúc, cử tôi viết chuyên đề: MéT PH¦¥NG PH¸P chøng minh bÊt ®¼ng thøc ba biÕn (Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ qua tæng ®èi xøng s¬ cÊp bËc hai) 2. Mục đích nghiên cứu Việc phân loại bài tập este theo hướng tổng quát có thể nâng cao chất lượng học học tập môn Hóa học của học sinh lớp 12A2 và 12A4 trường THPT Ngô Gia Tự hay không? 3. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Sáng kiến “MéT PH¦¥NG PH¸P chøng minh bÊt ®¼ng thøc ba biÕn” đã được áp dụng trong năm 3 học 2013 – 2014 tại trường THPT Ngô Gia Tự. Năm học này tôi được phân công giảng dạy các lớp 11A1, 12A4. Tôi đã áp dụng chuyên đề trong giảng dạy lớp 12A4. 4. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu Chương trình được thực hiện lồng ghép trong giờ dạy ôn thi đội tuyển học sinh giỏi trên lớp và trong dạy ôn thi đại học cho khối 12 của trường THPT Ngô Gia Tự. 4 PHẦN II. NỘI DUNG BÊt ®¼ng thøc(B§T) mét chuyªn ®Ò ®îc nhiÒu ngêi quan t©m. RÊt nhiÒu tµi liÖu, s¸ch b¸o ®Ò cËp tíi vÊn ®Ò nµy, ph¬ng ph¸p chøng minh B§T ngµy mét nhiÒu. Song víi mçi ph¬ng ph¸p bªn c¹nh nh÷ng ®iÓm m¹nh ®Òu cã nh÷ng h¹n chÕ v× vËy t×m ph¬ng ph¸p míi lµ ®iÒu cÇn thiÕt. ë bµi viÕt nµy, t«i ®a ra mét híng chøng minh B§T ®èi xøng ba biÕn, t«i t¹m gäi lµ “Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ qua tæng ®èi xøng s¬ cÊp bËc hai”. Gi¶ sö cÇn chøng minh B§T f ( a, b, c ) ≥ 0 víi f ( a, b, c ) lµ biÓu thøc ®èi xøng cña a, b, c; trong ®ã a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n a + b + c = s cho tríc kh«ng ®æi. V× f ( a, b, c ) lµ biÓu thøc ®èi xøng nªn lu«n biÓu thÞ ®îc f ( a , b, c ) a+b+c = s qua c¸c biÓu thøc s = a + b + c , kh«ng ®æi, vËy nÕu íc lîng ®îc p = ab + bc + ca, q = abc . q = abc qua Do p = ab + bc + ca th× viÖc chøng minh f ( a, b, c ) ≥ 0 cã thÓ dÉn tíi viÖc chøng minh B§T mét biÕn g ( p ) ≥ 0 ( trong ®ã g ( p ) lµ hµm sè cña biÕn p ). Tríc khi vµo vÝ dô ta lu ý c¸c ®¸nh gi¸ ®¬n gi¶n sau: * ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) ⇔ p ≤ 2 s2 ( 1) 3 * ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) ⇔ abc ≤ 2 p2 ( 2) 3s * abc ≥ ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) ⇔ abc ≥ VÝ dô 1. Cho a , b, c 4 sp − s 3 ( 3) 9 lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 3. Chøng minh 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc ≥ 13 .(SP 5 Vinh 2001) Gi¶i: Gi¶ thiÕt (3) s = a +b + c = 3, suy ®Æt ra p = ab + bc + ca ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = 9 − 2 p , abc ≥ 4 p −3. 3 4  45 − 2 p 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc ≥ 3 ( 9 − 2 p ) + 4  p − 3 ÷ = 3 3  Khi tõ ®ã 45 − 2 p ≤ 13 ⇔ p ≤ 3 3 . Ta thÊy lu«n ®óng theo (1). VËy B§T ®îc chøng minh. VÝ dô 2. Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n a + b + c = 1 . Chøng minh ab + bc + ca − 2abc ≤ GI¶I: §Æt Khi ®ã p = ab + bc + ca , 7 27 (IMO 1984). tõ (3) suy ra abc ≥  4 p −1  p + 2 ab + bc + ca − 2abc ≤ p − 2  , ÷= 9  9  v× 4 p −1 . 9 p+2 7 1 ≤ ⇔ p≤ 9 27 3 ®iÒu nµy lu«n ®óng theo (1), vËy B§T ®îc chøng minh. VÝ dô 3. Cho a , b, c > 0 tho¶ m·n a +b+c = 3. Chøng minh 1 1 1 + 2 + 2 ≥ a 2 + b2 + c2 2 a b c Gi¶i: §Æt 1 1 1 2 2 2 2 + 2 + 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 ⇔ ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) ≥ ( abc ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 a b c p = ab + bc + ca ⇒ ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) = p 2 − 6abc, a 2 + b 2 + c 2 = 9 − 2 p 2 ⇒ ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) ≥ ( abc ) 2 ra abc ≤ 2 p2 9 p2 ≥ ( 9 − 2 p ) 2 2 2 (a 2 2 + b 2 + c 2 ) ⇔ p 2 ≥ ( 9 − 2 p ) ( abc ) + 6abc . 2 . VËy ta chØ cÇn chøng minh p4 p2 2 +6 ⇔ ( p − 3) ( 2 p + 3) ≥ 0 81 9 p2 ≥ ( 9 − 2 p ) Tõ (2) suy p4 p2 +6 81 9 thËt vËy lu«n ®óng, vËy B§T ®îc chøng minh. Qua ba vÝ dô trªn ®©y ta thÊy: 6 §Ó chøng minh B§T theo ph¬ng ph¸p nµy lµ t×m c¸ch ®a B§T ®· cho vÒ B§T míi cña biÕn p mµ viÖc chøng minh B§T cña biÕn p thêng lµ ®¬n gi¶n h¬n. Khi ®a B§T ®· cho vÒ B§T cña biÕn p ta cÇn sö dông mét sè phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt vµ nh÷ng ®¸nh gi¸ ( 1) , ( 2 ) , ( 3) ; ®Æc biÖt ®¸nh gi¸ ( 2 ) , ( 3) cho ta íc lîng theo hai híng kh¸c nhau cña abc , ®©y lµ ®iÒu cÇn lu ý! Khi sö dông ph¬ng ph¸p nµy cÇn ph¶i cã gi¶ thiÕt a + b + c = s kh«ng ®æi cho tríc. VËy ph¶i ch¨ng nh÷ng B§T cã gi¶ thiÕt nh thÕ kh«ng nhiÒu! Song thùc tÕ th× kh«ng h¼n nh vËy, bëi ta vÉn thêng gÆp B§T ®èi xøng 3 biÕn ®ång bËc, v× thÕ gi¶ thiÕt a + b + c = s kh«ng ®æi, sÏ cã ®îc sau khi chuÈn ho¸. VÝ dô 4. Cho a , b, c > 0 . Chøng minh ( a + b + c) 2 1  a 3 + b3 + c 3 a 2 + b 2 + c 2  + −  ÷≥ 4 a 2 + b2 + c2 2  abc ab + bc + ca  Gi¶i: B§T ®· cho ®ång bËc nªn chØ cÇn chøng minh B§T trong trêng hîp a, b, c > 0 tho¶ m·n a + b + c = 3 . a + b + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) ⇒ a + b + c = 27 − 9 p + 3abc V× víi p = ab + bc + ca . DÔ thÊy B§T ®· cho t¬ng ®¬ng víi 3 3 3  9 1  27 − 9 p 9 +  − + 5 ÷≥ 4 , 9 − 2 p 2  abc p  2 2 2 do 3 abc ≤ p2 9 3 3 suy   9 1  27 − 9 p 9 9 1  243 − 81 p 9 +  − + 5 ÷≥ +  − + 5 ÷ta 2 9 − 2 p 2  abc p p p  9−2p 2   9 1  243 − 81 p 9 +  − + 5 ÷ ≥ 4 ⇔ ( p − 3) ( 2 p 2 + 63 p − 243 ) ≥ 0 2 9−2p 2 p p  ra thÊy víi lu ý 0 < p ≤ 3, hai sè 0 vµ 3 n»m trong kho¶ng hai nghiÖm cña tam thøc 2 p + 63 p − 243 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 2 7 VÝ dô 5. Cho B§T sau: a , b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh ( b + c − a) ( a + c − b) + ( a + c − b) ( a + b − c) + ( a + b − c) ( b + c − a ) ≤ abc ( a+ b+ c ) (Rumany 1999) Gi¶i: Khai triÓn vµ ®Æt x = a, y = b, z = c ta ®îc B§T: x 4 + y 4 + z 4 + xyz ( x + y + z ) ≥ 2 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) , B§T nµy ®ång bËc nªn ta chØ cÇn chøng minh trong trêng hîp x + y + z = 3 . §Æt p = ab + bc + ca x y + y z + z x = p − 6 xyz , khi ®ã 2 2 2 2 x 4 + y 4 + z 4 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) = 2 p 2 − 36 p + 81 + 12 xyz 2 chøng minh t¬ng ®¬ng 2 2 2 B§T cÇn 2 p 2 − 36 p + 81 + 12 xyz + 3 xyz ≥ 2 p 2 − 12 xyz ⇔ xyz ≥ 4 p −3 3 lu«n ®óng theo (3), vËy B§T ®îc chøng minh. VÝ dô 6. Cho a , b, c > 0 . Chøng minh a4 + b4 + c4 3abc 2 + ≥ ( a 2 + b2 + c2 ) . ab + bc + ca a + b + c 3 Gi¶i: Tng tù c¸c vÝ dô trªn ta xÐt trêng hîp p = ab + bc + ca chó ý B§T viÕt vÒ d¹ng abc ≥ p2 9 ta a +b+c = 3, ®Æt 2 p 2 − 36 p + 81 + 12abc 2 + abc ≥ ( 9 − 2 p ) , p 3 víi chØ 2  4p −9  4p −9p 2p 2 p 2 − 36 p + 81 + 12  + ≥ ( 9 − 2 p) . ÷ 3 3  3  cÇn minh ThËt vËy B§T nµy t¬ng ®- ¬ng víi ( p − 3) ( 14 p − 45) ≥ 0 , lu«n ®óng khi minh. 8 chøng p ≤3. B§T ®îc chøng Mong r»ng qua nh÷ng vÝ dô trªn phÇn nµo gióp c¸c b¹n cã thªm mét híng chøng minh B§T. §Ó kÕt thóc bµi viÕt xin nªu ra c¸c bµi tËp cã thÓ gi¶i theo ph¬ng ph¸p trªn: Bµi 1. Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n a + b + c = 1 chøng minh: a/ 5 ( a + b + c ) ≤ 6 ( a + b + c ) + 1 ; (Mihai Piticari, Dan Popescu, Old & New Inequalities). b/ 7 ( ab + bc + ca ) ≤ 2 + 9abc ; (BMO 1979) 2 2 2 3 3 3 c/ 1 1 1 27 + + ≤ ; 1 − ab 1 − bc 1 − ca 8 d/ a 3 + b3 + c 3 + 6abc ≥ 1 ; 4 (CRUX MATHS) (USAMO 1979) Bµi 2. Cho a, b, c > 0 chøng minh a/ 7 ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9abc + 2 ( a + b + c ) . 3 b/ a2 + b2 + c2 8abc + ≥ 2. ab + bc + ca ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 9  ... hoch cụng tỏc nm hc 2013 - 2014; Ban chuyờn mụn trng THPT Ngụ Gia T Lp Thch Vnh Phỳc, c tụi vit chuyờn : MộT PHƯƠNG PHáP chứng minh bất đẳng thức ba biến (Phơng pháp đánh giá qua tổng đối xứng... 12A4 trng THPT Ngụ Gia T hay khụng? i tng v phng phỏp nghiờn cu Sỏng kin MộT PHƯƠNG PHáP chứng minh bất đẳng thức ba biến ó c ỏp dng nm hc 2013 2014 ti trng THPT Ngụ Gia T Nm hc ny tụi c phõn... ta cần chứng minh p4 p2 +6 ( p 3) ( p + 3) 81 p2 ( p ) Từ (2) suy p4 p2 +6 81 đúng, BĐT đợc chứng minh Qua ba ví dụ ta thấy: Để chứng minh BĐT theo phơng pháp tìm cách đa BĐT cho BĐT biến