TNU Journal of Science and Technology 227(16) 37 44 http //jst tnu edu vn 37 Email jst@tnu edu vn MACHINE LEARNING PROBLEM TO STUDY THE CONVERGENCE OF A SERIES BASING ON SUB SERIES OF THE HAMONIC SERI[.]
TNU Journal of Science and Technology 227(16): 37 - 44 MACHINE LEARNING PROBLEM TO STUDY THE CONVERGENCE OF A SERIES BASING ON SUB-SERIES OF THE HAMONIC SERIES Dinh Van Tiep1*, Hoang Van Ta2 TNU - University of Technology, College of Technology and Trade ARTICLE INFO Received: 13/8/2022 Revised: 07/10/2022 Published: 07/10/2022 ABSTRACT In this article, we construct a machine learning approach to implement the procedure of evaluating the convergency of a series in refering to a sub-series of the hamonic series This approach based on the theory of machine learning creates an automation procedure for the related problem The results obtained in this article with the clear proofs are helpful They are developed from the main results about the criteria of convergence for a subseries of the hamonic series which was first proposed by V.T Dinh et al This development is directed in the way that the application for such critera become more practical and easier to implement Therefore, the implementation constructed in the article with the reference to these results is feasible and more efficient The application could be extended to study the behavior of the approximate solution to ordinary differential equations or partial differential equations with the machine learning approach, as well as the combination of some inovation numerical approaches, such as the Monte-Carlos method KEYWORDS Machine learning Harmonic series Sub-series of harmonic series Convergence of a series Distribution of terms of a series BÀI TOÁN HỌC MÁY CHO KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DỰA TRÊN LỚP CHUỖI CON CỦA CHUỖI ĐIỀU HÕA Đinh Văn Tiệp1*, Hoàng Văn Tá2 Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên Trường Cao đẳng Cơng nghệ Thương mại THƠNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 13/8/2022 Ngày hoàn thiện: 07/10/2022 Ngày đăng: 07/10/2022 TỪ KHĨA Học máy Chuỗi điều hịa Chuỗi chuỗi điều hòa Hội tụ chuỗi số Phân bố số hạng chuỗi số TÓM TẮT Bài báo đưa toán khảo sát hội tụ chuỗi số dựa kết gần tiêu chuẩn hội tụ chuỗi chuỗi điều hòa quan điểm lĩnh vực học máy Trong đó, so sánh tính tương đồng mặt hội tụ hay phân kỳ chuỗi số dương với chuỗi chuỗi điều hòa đưa làm sở cho nguyên lý đưa kết luận thuật toán Hướng tiếp cận lĩnh vực học máy xây dựng sở lý thuyết chứng minh chặt chẽ, mang đến cho lớp tốn quy trình khảo sát thực tự động Các kết nhận báo hữu ích với chứng minh rõ ràng Đó mở rộng từ kết tiêu chuẩn hội tụ chuỗi chuỗi điều hòa, đề xuất tác giả Đinh Văn Tiệp cộng Sự mở rộng theo hướng thực hành dễ dàng để thực thi Do đó, trình thực thi xây dựng báo áp dụng kết khả thi hiệu Các ứng dụng hy vọng tiền đề sử dụng việc mở rộng theo hướng tối ưu hóa tốc độ khả tính tốn khối lượng lớn, hướng tiếp cận xấp xỉ đại, chẳng hạn phương pháp Monte-Carlo DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.6362 * Corresponding author Email: tiepdinhvan@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn 37 Email: jst@tnu.edu.vn 227(16): 37 - 44 TNU Journal of Science and Technology Giới thiệu Ta xem xét chuỗi dương chuỗi chuỗi điều hòa ∑ biểu diễn dạng ∑ (1) Các kết báo [1] đưa số công cụ áp dụng tính chất đẹp chuỗi (1) việc khảo sát hội tụ hay phân kỳ chuỗi số Các kết xem xét mật độ phân bố số hạng chuỗi số đánh giá khoảng cách mật độ phân bố số hạng chuỗi với chuỗi khác nhằm kết luận tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số thứ hai Khoảng cách hai nghịch đảo hai số hạng liên tiếp chuỗi (1) xét dựa vào dãy số hạng k : nk 1 nk , k 1, 2, Một kết quan trọng (Định lý 1) báo [1] tiêu k Dạng (k 1) k mở rộng kết sử dụng chuỗi so sánh chuỗi dương tổng quát, với số hạng dãy đơn điệu giảm khơng (Định lý 2, [1]) Bài tốn học máy khảo sát hội tụ hay phân kỳ chuỗi số tiền đề cho toán xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân [2], phương trình đạo hàm riêng, chuỗi hàm xấp xỉ giá trị nghiệm phương trình điểm Trong báo này, ta xem xét tốn hướng tiếp cận học máy, nhằm tự động cách hệ thống trình khảo sát tính kỳ dị nghiệm phương trình vừa đề cập thời điểm cụ thể [3] – [9] Đây hướng tiếp cận sở kết lý thuyết thu báo ứng dụng hội tụ chuỗi chuỗi điều hòa Các kết lý thuyết mở rộng theo hướng ứng dụng kết đặc sắc báo [1] Tuy nhiên, để xây dựng trình thực thi dựa sở kết báo gặp khó khăn từ q trình xem xét giới hạn cho tiệm cận tỷ số phân bố số hạng tổng quát chuỗi khảo sát chuỗi chuỗi điều hòa tham chiếu Sự mở rộng báo giúp cho việc xây dựng trình thực thi trình khảo sát hội tụ chuỗi số theo quan điểm lĩnh vực học máy trở lên khả thi hiệu việc tham chiếu đến tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi chuỗi điều hòa Các kết thu từ mở rộng trình bày mục 2.1 với ví dụ minh họa Trong đó, Hệ sử dụng cho việc xây trình thực thi theo quan điểm học máy tính khả thi dễ dàng áp dụng Đây kết đặc sắc báo Bài toán khảo sát chuỗi hội tụ chuỗi số theo hướng tiếp cận lý thuyết học máy trình bày mục 2.2 Song song với đó, trình thực thi xây dựng để khảo sát chuỗi số sở tiêu chuẩn hội tụ phân kỳ Kết thực nghiệm cho trình thực thi đề cập mục báo chuẩn hội tụ chuỗi (1) tìm số thực cho lim inf k Ứng dụng hội tụ chuỗi chuỗi điều hòa Bài toán học máy khảo sát chuỗi số 2.1 Một số áp dụng hội tụ, phân kỳ chuỗi chuỗi số điều hịa Tác giả trình bày số áp dụng sử dụng kết báo [1] Những áp dụng có ý nghĩa toán học máy cho khảo sát hội tụ chuỗi số Trong bốn kết đây, ta giả sử dãy số dương {ak }k 1 hội tụ đến 0, đặt k : hệ sau thể áp dụng Định lý Giả sử chuỗi (1) hội tụ, chuỗi dương ∑ Chứng minh Nếu với tồn http://jst.tnu.edu.vn ta suy tồn cho 38 1 Các định lý ak 1 ak hội tụ cho Nếu Do vậy, ta quy trường Email: jst@tnu.edu.vn 227(16): 37 - 44 TNU Journal of Science and Technology hợp trường hợp cách thay số trường hợp đầu số hợp sau Vậy, từ ta cần xét trường hợp Khi đó, ( ( Mặt khác, chuỗi ∑ ) ) hội tụ, chuỗi (1) hội tụ, tiêu chuẩn so sánh ta suy chuỗi hội tụ Do chuỗi số ∑ số ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Định lý Giả sử chuỗi (1) phân kỳ Khi đó, chuỗi ∑ lim sup k L k k Chứng minh Áp dụng Định lý Stolz – Cesàro, ta tồn Nếu trường phụ thuộc phân kỳ Do đó, cho Từ ta có điều phải chứng minh Hệ a) Giả sử chuỗi (1) hội tụ chuỗi số dương ∑ thỏa mãn Khi đó, chuỗi thứ hai hội tụ ( b) Giả sử chuỗi (1) phân kỳ chuỗi số dương ∑ thỏa mãn đó, chuỗi thứ hai phân kỳ Ví dụ [8] Xét hội tụ chuỗi số ∑ ( ) ) Sử dụng Hệ 3, xét dãy ( [( Mặt khác, ( ⌊ ⌋ Khi ) ] ( chuỗi ∑ ) ) ) Ta có, ) cho hội tụ Hệ a) Giả sử chuỗi dương ∑ đó, chuỗi ∑ ( ( ) hội tụ Do đó, chuỗi ∑ hội tụ, thỏa mãn ( √ ( ) chuỗi ) Khi hội tụ b) Giả sử chuỗi dương ∑ phân kỳ dãy ( ) đơn điệu giảm 0, thỏa mãn ( ) Khi đó, chuỗi ∑ phân kỳ ⌊ ⌋ Chứng minh a) Bởi định nghĩa phần nguyên ta có: Khi đó, tồn ⌊ phụ thuộc ⌋ ⌊ ⌋ Do đó, b) Tương tự trên, ta tìm http://jst.tnu.edu.vn ⌊ ⌋ cho Áp dụng Định lý 1, ta suy điều phải chứng minh cho 39 ta có Email: jst@tnu.edu.vn 227(16): 37 - 44 TNU Journal of Science and Technology ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ Do đó, Áp dụng Định lý [1], ta điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh chuỗi sau hội tụ ∑ ⌊( ) ⌋ Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện Hệ 4.a Thật vậy, xét chuỗi số ∑ ( ]( ( Vì ) ) ( Do đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ] ) ) ( [ ) ] Điều thỏa mãn điều kiện Hệ 4.a Từ ta suy ) điều phải chứng minh Ví dụ [2] Chứng minh chuỗi số sau phân kỳ: ∑ □ ⌊ √ ⌋ Chứng minh Đầu tiên, tiêu chuẩn tích phân, chuỗi số ∑ rộng ∫ (√ √ Hệ 4.b Thật vậy, ta có ( )√ ( ( √ ( ) ) ( ) ) [ ) ( ( ) ( [( ∑ ) ) ) √ Ta chuỗi số cho thỏa mãn điều kiện ) √ phân kỳ tích phân suy √ √ (√ ( √ ( ) ( ) √ ( Do đó, 4.b Điều kéo theo chuỗi phân kỳ ) ) ( √ ) √ ( ) ) Tức chuỗi số cho thỏa mãn Hệ 2.2 Bài toán học máy khảo sát hội tụ chuỗi số Bài toán học máy cho việc khảo sát chuỗi số giúp cho trình khảo sát hội tụ chuỗi số trở thành trình tự động áp dụng cho việc xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Bài tốn học máy đặt ứng dụng ý nghĩa thực tiễn lớn với nhiều ứng dụng giá trị [6]-[8] Trong báo này, ta xem xét toán học máy cho việc khảo sát chuỗi số với chủ đề khả mở rộng vấn đề Đối với toán khảo sát hội tụ hay phân kỳ chuỗi số, để đưa kết luận xác tính chất chuỗi số phép xấp xỉ sử dụng trình tự động với hữu hạn tính tốn, ta cần xem xét kết khảo sát cho nhiều trường hợp cụ thể (tức với số số hạng chuỗi hữu hạn lớn) [8], [9] Sau đó, cơng cụ suy luận thống kê, ta đưa định sau với độ tin cậy cao nhiều Trong toán đề http://jst.tnu.edu.vn 40 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(16): 37 - 44 cập báo này, ta xét việc khảo sát thực cho trường hợp cụ thể số số hạng có chuỗi Phần suy luận thống kê không đề cập Ta chia nhỏ toán học máy khảo sát chuỗi số theo chủ đề sau 2.2.1 Xây dựng số hạng chuỗi Vấn đề xây dựng số hạng chuỗi với toán học máy bị hạn chế số lượng hữu hạn phần tử dãy vơ hạn lý thuyết Bộ nhớ máy tính hữu hạn làm cho trình sinh phần tử chuỗi hữu hạn Việc xây dựng số hạng chuỗi gồm hai phương thức sử dụng biểu thức toán học sử dụng dãy số thực Phương thức thứ có ưu điểm giúp biểu diễn chuỗi số dễ dàng theo lý thuyết chuỗi, song bị hạn chế thời gian thực tính tốn Phương thức thứ hai sinh dãy số theo số hạng riêng giẽ lặp lại q trình nhiều lần Phương thức khơng thể tạo đồng loạt số hạng, trình lặp làm chậm việc sinh chuỗi, nhiên phương thức thực thi đơn giản Đoạn code Python sau mô tả hai phương thức (Method 1, Method 2) sinh số hạng chuỗi đề cập import numpy as np import math term = input("Enter the general term n-th of the series:") # Method # e.g: Enter the general term n-th of the series:100/n*np.sin(n) nlimit = np.arange(1,100000) f = lambda x: eval(term) xdat = f(nlimit) Enter the general term n-th of the series:1/x xdat0 = np.array([]) # define a special series for i in range(1,100000): xdat0 = np.append(xdat0,1/(3*i-1+np.sqrt(i))) # Method Xây dựng chuỗi số từ dãy số hạng tổng quát thực thi hàm myseries sau def myseries(n,xdat): return xdat[0:n].sum() 2.2.2 Xây dựng hàm thực thi kiểm tra hội tụ dãy số hạng chuỗi Mục ta đưa trình thực thi kiểm tra tiêu chuẩn hội tụ đến giới hạn L dãy số hạng tổng quát chuỗi Hàm isconverge2L dùng để xây dựng trình kiểm tra độ lệch số hạng (biến termn) dãy số hạng tổng quát so với giá trị giới hạn kỳ vọng (mong muốn) L Giá trị n số số hạng xem xét dãy Biến tol mức chênh lệch tối đa phép Biến max_count cho phép số lần điều kiện mức chênh lệch tối đa bị vi phạm Nếu vượt số lần vi phạm đó, dãy số hạng chuỗi phân loại thành khơng có giới hạn L Hàm islimit_L dùng để xây dựng trình kiểm tra hội tụ dãy đến giá trị L thông qua nhiều độ tin cậy với cấp độ khác theo mức tăng dần độ mịn mức chênh lệch phép số hạng cụ thể dãy giá trị L def isconverge2L(n,termn,tol,max_count,L): # termn is an array count = # tol is the tolerance epsilon which is a small positve number outp = True # n is the max number of terms of consideration i=1 # max_count used to limit the number of times the sequence while i < n: # L is the limit value of the sequence if abs(termn[i]-L) >= tol: count += if count > max_count: outp = False break j=i while (j < n) and (abs(termn[j]-L) >= tol): j +=1 http://jst.tnu.edu.vn 41 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(16): 37 - 44 if j < n: i=j else: outp = False break else: i += return outp def islimit_L(n,termn,ntol,max_count,isconverge2L,L): outp = True # ntol = max number of power of tolerance k=1 while k