Khảo sát sự hội tụ của một số dãy truy hồi hữu tỷ bằng phương pháp sai phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NHƯ Ý KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ DÃY TRUY HỒI HỮU TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NHƯ Ý KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ DÃY TRUY HỒI HỮU TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Đinh Cơng Hướng Bình Định - 2021 Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm tính chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân cấp cao 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Ổn định hóa tuyến tính hóa 1.2.3 Kết so sánh 1.2.4 Định lý hội tụ 1.3 Lý thuyết ổn định hệ sai phân 1.3.1 Hệ sai phân cấp hai 1.3.2 Hệ sai phân cấp bốn 1.4 Dáng điệu tiệm cận dãy số 6 8 10 11 11 12 12 14 16 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA MỘT SỐ DÃY TRUY HỒI HỮU TỶ 17 2.1 Tính bị chặn, tính bền vững tính ổn định dãy truy hồi hữu tỷ cấp 17 2.1.1 Tính bị chặn, tính bền vững 17 2.1.2 Tính ổn định 18 2.1.3 Tốc độ hội tụ 24 2.2 Tính bị chặn, tính bền vững tính ổn định dãy truy hồi hữu tỷ cấp 25 2.2.1 Tính bị chặn bền vững 26 2.2.2 Tính ổn định 28 2.2.3 Tốc độ hội tụ 32 2.3 Dáng điệu tiệm cận dãy số truy hồi hữu tỷ cấp 33 MỘT SỐ VÍ DỤ SỐ 3.1 Dãy truy hồi hữu tỷ cấp 37 37 3.2 Dãy truy hồi hữu tỷ cấp 40 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) Danh mục ký hiệu N Z Z+ R R+ Rk { xn }∞ n=−k x¯ JF x lim xn n→∞ : : : : : : : : : : : Tập số tự nhiên Tập số nguyên Tập số nguyên không âm Tập số thực Tập số thực không âm Không gian véc-tơ thực k chiều Dãy số thực Điểm cân Ma trận Jacobian hàm F Chuẩn véc-tơ x Giới hạn dãy số thực xn MỞ ĐẦU Luận văn nghiên cứu tính chất định tính dãy số nói chung dãy số truy hồi hữu tỷ nói riêng tốn hay, khó, thường gặp chương trình tốn bậc Phổ thơng trung học Bài tốn xem trường hợp riêng toán nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình sai phân phi tuyến Khi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mơ hình y học, sinh học, kinh tế học mô tả phương trình tốn học nói chung, phương trình sai phân phi tuyến nói riêng người ta cần nghiên cứu tính chất định tính hệ thống Bài tốn nghiên cứu tính chất định tính phương trình sai phân phi tuyến mô tả hệ động lực thực tế phương trình sai phân phiên rời rạc phương trình vi phân mơ tả hệ động lực thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học (xem [1-14] tài liệu trích dẫn từ tài liệu này) Luận văn tập trung nghiên cứu số tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình sai phân phi tuyến, đồng thời khai thác số ứng dụng chúng việc giải số toán sơ cấp dãy số chương trình tốn bậc phổ thơng trung học Luận văn ngồi phần Mở đầu, nội dung, Kết luận tài liệu tham khảo Ngoài nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số tính chất định tính số dãy truy hồi hữu tỷ Chương 3: Một số ví dụ số Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến PGS TS Đinh Cơng Hướng, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn Thống kê Trường Đại Học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ q trình học tập trường Nhân đây, tơi xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 22, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày 17 tháng năm 2021 Học viên thực Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm kết quan trọng sử dụng chương sau Các khái niệm kết chương trình bày [1], [14] 1.1 Một số khái niệm tính chất sai phân Định nghĩa 1.1 Giả sử f : R → R hàm số cho trước Ta gọi sai phân cấp hàm f đại lượng ∆ f ( x ) = f ( x + 1) − f ( x ) Giả sử với n > ta định nghĩa sai phân cấp n − hàm f Khi sai phân cấp n hàm f định nghĩa sau ∆n f ( x ) = ∆ ∆n−1 f ( x ) , n ≥ 1, ∆0 f ( x ) := f ( x ) Từ định nghĩa trên, ta có kết sau Định lý 1.1 (a) Sai phân số (b) Sai phân cấp tốn tử tuyến tính (c) n (xn ) = n! m ( x n ) = 0, m > n; m, n ∈ Z Chứng minh (a) Sai phân số Thật vậy, ta có (C ) = C − C = (b) Ta chứng minh sai phân cấp tốn tử tuyến tính phương pháp quy nạp Với f , g : R −→ R, ∀α, β ∈ R, ∀ x ∈ R, ta có ∆ α f + βg ( x ) = α f + βg ( x + 1) − α f + βg ( x ) = α f ( x + 1) + βg ( x + 1) − α f ( x ) − βg ( x ) α f ( x + 1) − α f ( x ) + βg ( x + 1) − βg ( x ) = = α f ( x + 1) − f ( x ) + β g ( x + 1) − g ( x ) = α∆ f ( x ) + β∆ g ( x ) Do đó, ∆ α f + βg = α∆ f + β∆ g Vậy sai phân cấp toán tử tuyến tính Giả sử n tốn tử tuyến tính Ta cần chứng minh tử tuyến tính n +1 toán Thật vậy, ∀ f , g : R → R, ∀α, β ∈ R, ta có n +1 (α f + βg) = n ( (α f + βg)) (α n (f) + β = α ( n ( f )) + β ( = = α n +1 (f) + β n ( g)) (theo giả thiêt quy nạp) n +1 n ( g)) ( g ) Vậy sai phân cấp n + tốn tử tuyến tính Do đó, theo ngun lý quy nạp ta có (c) Ta có n tốn tử tuyến tính ( x ) = ( x + 1) − x = Giả sử k( x k ) = 1k · k!, ∀k ≤ n Ta cần chứng minh n +1 n +1 ( x k ) (xk ) = n = n = n = (n + 1)! Thật vậy, (xk ) [( x + 1)n+1 − x n+1 ] n +1 ∑ Cnk +1 xk − xn+1 k =0 = n +1 n +1 Cnn+ 1x n + ∑ Cnk +1 xk − xn+1 k =0 n = n ∑ Cnk +1 xk k =0 n = ∑ Cnk +1 k =0 n = ∑ Cnk +1 n n−k k =0 n = = = ∑ Cnk +1 k =0 Cnk +1 x k (do tính chất tuyến tính) n−k k k x (k!) · x n (vì với n − k ≥ (k!) = 0) ( n + 1) ! (n!) n!(n + − n)! = (n + 1)! Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có, n (xn ) = n! Đặc biệt, với m > n ta có m Vậy 1.2 1.2.1 m (xn ) (xn ) = m−n = m−n n (xn ) (n!) = = Phương trình sai phân cấp cao Các định nghĩa Phương trình sai phân cấp k + phương trình dạng xn+1 = F xn , xn−1 , , xn−k , n = 0, 1, 2, (1.1) F hàm số liên tục từ J k+1 vào J Tập J thường khoảng tập số thực, hợp khoảng , tập rời rạc tập số nguyên Z Mỗi nghiệm phương trình (1.1) dãy { xn }n≥1 thỏa mãn phương trình (1.1) với n ≥ Nếu ta cho biết tập (k + 1) giá trị ban đầu x−k , x−k+1 , , x0 ∈ J, x = F x − k , x − k +1 , , x 32 Kết hợp (2.34) (2.35), ta nhận ( a1 + b1 L2 )2 ( a2 + b2 L1 )2 − α1 b1 + β a1 + 2β b1 U2 α2 b2 + β a2 + 2β b2 U1 ( M1 − m1 ) ≤ (2.36) Từ đây, ta nhận m1 = M1 Tương tự, ta có m2 = M2 Vì vậy, từ Bổ đề2.4, điểm cân hệ (2.13) hấp dẫn toàn cục Từ Định lý 2.7 Định lý 2.8, ta có kết sau Bổ đề 2.5 Với điều kiện Định lý 2.7 Định lý 2.8, điểm cân dương (2.13) ổn định tiệm cận toàn cục 2.2.3 Tốc độ hội tụ Trong mục này, xem xét tốc độ hội tụ nghiệm hệ (2.13 đến điểm cân hệ Giả sử xn , yn nghiệm tùy ý hệ (2.13) thỏa mãn ¯ lim xn = x¯ lim yn = y, n→∞ n→∞ x¯ ∈ [ L1 , U1 ] y¯ ∈ [ L2 , U2 ] Từ hệ (2.13), ta có α1 + β y n α + β y¯ − a1 + b1 yn−1 a1 + b1 y¯ β1 b1 x¯ = yn − y¯ − y − y¯ , a1 + b1 yn−1 a1 + b1 yn−1 n−1 xn+1 − x¯ = α2 + β x n α + β x¯ − a2 + b2 xn−1 a2 + b2 x¯ β2 b2 x¯ = − x¯ ) ( xn − x¯ ) − (x a2 + b2 xn−1 a2 + b2 xn−1 n−1 yn+1 − y¯ = ¯ ta có Đặt e1n = xn − x¯ e2n = yn − y, e1n+1 = an e2n + bn e2n−1 , e2n+1 = cn e1n + dn e1n−1 , β1 , a1 + b1 yn−1 b1 x¯ = − , a1 + b1 yn−1 an = bn 33 β2 , a2 + b2 xn−1 b2 y¯ = − a2 + b2 xn−1 cn = dn Hơn nữa, β1 b1 x¯ , lim bn = − n→∞ a1 + b1 y¯ n→∞ a1 + b1 y¯ β2 b2 y¯ lim cn = , lim dn = − n→∞ a2 + b2 x¯ n→∞ a2 + b2 x¯ lim an = Như vậy, véc-tơ sai số nghiệm xn , yn xác định   ¯ b x β     1 − 0   e1n+1 e a1 + b1 y¯ a1 + b1 y¯      1n    e n −1  0  en     = β    e2  b2 y¯  e n +1   n   − 0 2   a2 + b2 x¯ a2 + b2 x¯ e n −1 en 0 Kết hợp với Mệnh đề 1.3 1.4, có kết sau Định lý 2.9 Giả sử xn , yn nghiệm dương hệ (2.13) thỏa mãn ¯ x¯ ∈ [ L1 , U1 ] y¯ ∈ [ L2 , U2 ] Khi đó, véclim xn = x¯ lim yn = y, n→∞ n→∞  e1n   e  tơ sai số en =  n−  nghiệm hệ (2.13) thỏa mãn quan hệ tiệm  e2n  e2n−1 cận sau ¯ y¯ lim ( en ) n = λ1,2,3,4 FJ x, n→∞ , lim n→∞ e n +1 ¯ y¯ = λ1,2,3,4 FJ x, en , ¯ y¯ nghiệm đặc trưc ma trận Jacobi FJ x, ¯ y¯ λ1,2,3,4 FJ x, 2.3 Dáng điệu tiệm cận dãy số truy hồi hữu tỷ cấp Trong [3], L Berg nghiên cứu phương trình sai phân x n −3 , n = 0, 1, 2, xn = + x n −1 x n −2 (2.37) với giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 ∈ (0; +∞) Tác giả tồn nghiệm phương trình (2.37) hội tụ khơng n → ∞ xác định dáng điệu tiệm cận 34 Dựa phương pháp tiệm cận L.Berg, phần tập trung xem xét phương trình sai phân sau xn = x n −3 − ( x n + x n −1 )3 , + x n x n −1 + x n x n −2 + x n −1 x n −2 n = 0, 1, 2, (2.38) Rõ ràng, điểm cân phương trình (2.38) x¯ = Chúng ta dáng tiệm cận nghiệm phương trình (2.38) hội tụ x¯ = Để nghiệm phương trình (2.38) hội tụ n → ∞, đầu tiên, giả sử tồn nghiệm với đối số liên tục n = t hàm khả vi vơ hạn lần Với xn = x (t), ta xấp xỉ x n −1 = x ( t − ), x n −2 = x ( t − ), x n −3 = x ( t − ) Từ Taylor, có kết sau: x (t − 1) = x − x , x (t − 2) = x − 2x , x (t − 3) = x − 3x xác x (t − 3) = x − 3x + x Sau đó, xấp xỉ phương trình (2.38) phương trình vi phân sau x + x2 ( x − x ) + x ( x − x )( x − 2x ) + x3 + ( x − x )3 + 3x2 ( x − x ) + 3x ( x − x )2 = x − 3x + x Lược bỏ phần tử 8xx − x từ phương trình trên, ta có phương trình tương đương 11x3 − 18x2 x = −3x + x (2.39) 11 mà từ ta có xấp xỉ x = − x3 , x = −11x2 x x = 22t Từ (2.39), ta nhận 11x3 − 18x2 x = −3x − 99 x x Lấy tích phân cho hai vế , ta nhận x= 22t + 63 ln x 35 ta bỏ qua số thu từ phép lấy tích phân 22t nêu Do đó, việc lặp lặp lại bước trên, ta có cơng thức x sau 63 ln t x= 1+ (2.40) 22t 88 t Rõ ràng, nghiệm x thu hội tụ thoả mãn x ∼ x nhỏ dần n tiến vô Từ kết này, kỳ vọng nghiệm phương trình (2.38) có dạng sau x=√ n b ln n c ln2 n + d ln n + e a+ + n n2 (2.41) n tăng x giảm Thay cơng thức vào phương trình (2.38) từ (2.40), tìm giá trị a, b, c, d, e sau: √ √ √ √ 66 63 66 11907 66 3969 66 ,b = ,c = ,d = − ,e = (2.42) a= 22 1936 340736 81584 Dựa Định lý 1.6, ta chứng minh kết sau Định lý 2.10 Phương trình (2.38) có nghiệm với khai triển tiệm cận hữu hạn (2.41) n → ∞ với hệ số (2.42) Chứng minh Bằng cách đặt F ( x n , x n −1 , x n −2 , x n −3 ) = f ( x n , x n −1 , x n −2 ) − x n −3 với f ( x n , x n −1 , x n −2 ) = x n (1 + x n x n −1 + x n x n −2 + x n −1 x n −2 ) + ( x n + x n −1 )3 − x n −3 Phương trình sai phân (1.16) trở thành F ( x n , x n −1 , x n −2 , x n −3 ) = (2.43) từ bất đẳng thức (1.15), ta có F ( z n , z n −1 , z n −2 , z n −3 ) ≤ ≤ F ( y n , y n −1 , y n −2 , y n −3 ) (2.44) Những bất đẳng thức phương trình (2.43) biểu diễn tính chất giá trị trung gian định hàm số F ( xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 ) Khi giả thiết biến hàm f thoả mãn Thế (2.41) vào phương trình sau F ( x n , x n −1 , x n −2 ) = x n (1 + x n x n −1 + x n x n −2 + x n −1 x n −2 ) + ( x n + x n −1 )3 − x n −3 36 lần dựa vào hệ DERIVE, n → ∞ a F ∼ (22a2 − 3) √ n3 xét hệ số (1.15) : √ 63 66 F ∼ 12 b − 1936 √ 11907 66 F ∼ −12 c − 340736 √ 3969 66 F ∼ −12 d + 81584 √ n5 √ n7 (2.45) √ n7 F ∼ −12 (e + 0) √ n7 √ 35721 66 ln3 n √ F∼ 7496192 n9 Chọn yn = xn − p , z = xn + 5/2 n p n n5/2 với số p > đó, ta thấy từ (2.45) thay e e − p hay e + p bất đẳng thức (2.44) thoả mãn n đủ lớn Do đó, sử dụng hệ số (2.42) ta xét p > Chương MỘT SỐ VÍ DỤ SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày số ví dụ minh họa cho kết chương trước Hàm vẽ đồ thị phương trình đưa với hình ảnh tương ứng chạy phần mềm MATLAB 2009a 3.1 Dãy truy hồi hữu tỷ cấp Trước hết, xem xét hệ phương trình sai phân (2.1) Hàm để vẽ đồ thị hệ phương trình (2.1) cho đoạn code sau function [x,y]=hptbac1(n,alpha1,beta1,a1,b1,alpha2,beta2,a2,b2,x0,y0) %close all x(1)=x0; y(1)=y0; for i = 2:n x(i)=(alpha1+ beta1*exp(-y(i-1)))/(a1+b1*x(i-1)); y(i)=(alpha2+ beta2*exp(-x(i-1)))/(a2+b2*y(i-1)); end end Ví dụ 3.1 Cho α1 = 0.1, β = 90, a1 = 37, b1 = 90, α2 = 0.1, β = 2, a2 = b2 = Khi đó, hệ phương trình (2.1) có dạng x n +1 0.1 + 90e−yn 0.1 + 2e− xn = , y n +1 = , 37 + 90xn + 2yn (3.1) Trong ví dụ trên, điểm cân hệ (3.1) ¯ y¯ = (0.723703; 0.198259) x, Hơn nữa, Hình 3.1, đồ thị xn biểu diễn Hình 3.1(a), đồ thị yn biểu diễn Hình 3.1(b) điểm hút hệ (3.1) biểu diễn Hình 3.1(c) 37 38 (a) Đồ thị xn (b) Đồ thị yn (c) Điểm hút hệ (3.1) Hình 3.1: Đồ thị hệ (3.1) Ví dụ 3.2 Cho α1 = 66, β = 35, a1 = 1.7, b1 = 80, α2 = 23.8, β = 350, a2 = 55 b2 = 14 Khi đó, hệ phương trình (2.1) có dạng x n +1 = 66 + 35e−yn 23.8 + 350e− xn , y n +1 = , 1.7 + 80xn 55 + 14yn (3.2) Trong ví dụ trên, điểm cân hệ (3.2) không ổn định 39 Hơn nữa, Hình 3.1, đồ thị xn biểu diễn Hình 3.2(a), đồ thị yn biểu diễn Hình 3.2(b) tranh pha hệ (3.2) biểu diễn Hình 3.2(c) (a) Đồ thị xn (b) Đồ thị yn (c) Bức tranh pha hệ (3.2) Hình 3.2: Đồ thị hệ (3.2) 40 3.2 Dãy truy hồi hữu tỷ cấp Trước hết, xem xét hệ phương trình sai phân (2.13) Hàm để vẽ đồ thị hệ phương trình (2.13) cho đoạn code sau function [x,y]=he21(n,alpha1,beta1,a1,b1,alpha2,beta2,a2,b2 ,x_1,x_0,y_1,y_0) %close all x(1)=x_1; x(2)=x_0; y(1)=y_1; y(2)=y_0; for i = 3:n x(i)=(alpha1+ beta1*y(i-1))/(a1+ b1*y(i-2)); y(i)=(alpha2 + beta2*x(i-1))/(a2 + b2*x(i-2)); end end Ví dụ 3.3 Cho α1 = 1, β = 4, a1 = 4.5, b1 = 0.002, α2 = 1, β = 5, a2 = 5.1 b2 = 0.01 Khi đó, hệ phương trình (2.13) có dạng x n +1 = + 5xn + 4yn , y n +1 = 4.5 + 0.002yn−1 5.1 + 0.01xn−1 (3.3) Trong ví dụ này, điểm cân dương ¯ y¯ = (2.932380; 3.053405) x, Hơn nữa, Hình 3.2, đồ thị xn biểu diễn Hình 3.3(a), đồ thị yn biểu diễn Hình 3.3(b) điểm hút hệ (3.3) biểu diễn Hình 3.3(c) Ví dụ 3.4 Cho α1 = 2, β = 2015, a1 = 2015, b1 = 2, α2 = 1945, β = 9, a2 = 10 b2 = 90 Khi đó, hệ phương trình (2.13) có dạng x n +1 = 1945 + 9xn + 2015yn , y n +1 = , 2015 + 2yn−1 10 + 90xn−1 (3.4) với giá trị ban đầu x−1 = x0 = y−1 = y0 = Trong ví dụ này, điểm cân dương không ổn định Đồ thị xn biểu diễn Hình 3.4(a), đồ thị yn biểu diễn Hình 3.4(b) tranh hệ (3.4) biểu diễn Hình 3.4(c) Ví dụ 3.5 Cho α1 = 0.5, β = 19.1, a1 = 22, b1 = 0.003, α2 = 1.5, β = 21.9, a2 = 20 b2 = 0.002 Khi đó, hệ phương trình (2.13) có dạng x n +1 = 0.5 + 19.1yn 1.5 + 22.9xn , y n +1 = 22 + 0.003yn−1 20 + 0.002xn−1 (3.5) 41 (a) Đồ thị xn (b) Đồ thị yn (c) Điểm hút hệ (3.3) Hình 3.3: Đồ thị hệ (3.3) Trong ví dụ này, điểm cân dương ¯ y¯ = (1.764273; 2.006519) x, Hơn nữa, Hình 3.2, đồ thị xn biểu diễn Hình 3.5(a), đồ thị yn biểu diễn Hình 3.5(b) điểm hút hệ (3.5) biểu diễn Hình 3.5(c) 42 (a) Đồ thị xn (b) Đồ thị yn (c) Bức tranh pha hệ (3.4) Hình 3.4: Đồ thị hệ (3.4) 43 (a) Đồ thị xn (b) Đồ thị yn (c) Điểm hút hệ (3.5) Hình 3.5: Đồ thị hệ (3.5) KẾT LUẬN Luận văn "Khảo sát hội tụ số dãy truy hồi hữu tỷ phương pháp sai phân" hệ thống, làm rõ số vấn đề sau Tính bị chặn, tính bền vững tính ổn định lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp Tính bị chặn, tính bền vững tính ổn định lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp Sử dụng Matlab để kiểm chứng số ví dụ minh họa cho kết Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Đinh Công Hướng, Sai phân áp dụng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2014 [2] L Berg, Inclusion theorems for nonlinear difference equations with applications, J Differ Equations Appl, 10, pp 399- 408 (2004) [3] L Berg, On the asymptotics of the difference equation xn−3 = xn (1 + xn xn−2 ), J Differ Equations Appl, 14(1), pp 105- 108 (2008) [4] D.C Huong, Persistence and global attractivity for a discretized version of a general model of glucose-insulin interaction, Demonstratio Mathematica, 49(3)(2016), 302-318 [5] D.C Huong, On Asymptotic stability and strict boundedness for nonautonomous nonlinear difference equations with time-varying delay, Vietnam Journal of Mathematics, 44(4) (2016), 789-800 [6] A Ardjouni, A Djoudi, Stability in nonlinear neutral differential equations variable delays using fixed points theory, TJMM (2013), 1–10 [7] Y.N Rafoul, Stability and periodicity in discrete delay equations, J Math Anal.Appl 324 (2006), 1356–1362 [8] D.V Giang, D.C Huong, Nontrivial Periodicity in discrete delay models of Population Growth, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 305(2005), 291-295 [9] D.V Giang, D.C Huong, Extinction, Persistence and Global stability in model of Population Growth, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 308(2005), 195-207 [10] D.L Jagerman (2000), Difference Equations with Applications to Queues, Marcel Dekker Ine 45 [11] R.P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker Ine [12] S Stevíc (2006), On positive solutions of a (k +1)th order difference equation, Appl Math Lett 19, pp 427-431 [13] T H Thai, V V Khuong, Stability analysis of a system of second-order difference equations, Math Methods Appl Sci., 39(2016), 3691-3700 [14] T H Thai, V V Khuong, On the asymptotics of the difference equax n −3 − ( x n + n n −1 )3 tion xn = , Commun Appl Anal., + x n x n −1 + x n −1 x n −2 + x n x n −2 14(2016), 443-446 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NHƯ Ý KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ DÃY TRUY HỒI HỮU TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... độ hội tụ 32 2.3 Dáng điệu tiệm cận dãy số truy hồi hữu tỷ cấp 33 MỘT SỐ VÍ DỤ SỐ 3.1 Dãy truy hồi hữu tỷ cấp 37 37 3.2 Dãy truy hồi hữu tỷ cấp... LUẬN Luận văn "Khảo sát hội tụ số dãy truy hồi hữu tỷ phương pháp sai phân" hệ thống, làm rõ số vấn đề sau Tính bị chặn, tính bền vững tính ổn định lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp Tính bị