Đại lượng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối potx

VD: Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A khi được nhân viên chào mời là 20%.. VD: Tại một công ty liên doanh, theo số liệu các năm vừa qua trung bình một nă

ĐẠI LƯỢNG NGẪUNHIÊN

VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

1.KHÁI NIỆM

2.ĐLNN RỜI RẠC-ĐLNN LIÊN TỤC

3.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

4.CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

1.KHÁI NIỆM ĐLNN.

1.1.ĐLNN RỜI RẠC

X Chỉ nhận một số hửu hạn các giá

trị, hoặc một số vô hạïn đếm được các giá trị.

1.2.ĐLNN LIÊN TỤC

Tập hợp các giá trị mà X nhận lấp

đầy một khoảng của trục số hoặc

toàn bộ trục số.

X là ĐLNN liên tụïc thì xác suất tại

một điểm bằng 0

P(X=a)=0

2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

, 1

; )

p p

n i

p x

X P

P

X

VD: Một lô hàng có 25 sp tốt, 5 sp xấu.

Một người mua 3 sp, gọi X là số sp tốt trong 3

sp mua, lập bảng phân phối xác suất của X NX: X là một ĐLNN rời rạc,

X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.

Bảng phân phối xs của X:

369458 ,

0 )

2 (

002463 ,

0 )

0 (

3 30

1 5

2 25

3 30

3 5

P

C

C X

P

566503 ,

0 )

3 (

061576 ,

0 )

1 (

3 30

3 25

3 30

2 5

1 25

P

C

C

C X

P

X 0 1 2 3

P 0,002463 0,061576 0,369458 0,566503

Một trò chơi:

Tung một con xúc xắc 3 lần.

Nếu xuất hiện 3 mặt 1 được 100 ngàn đồng.

Nếu xuất hiện 2 mặt 1 được 50 ngàn đ.

Nếu xuất hiện 1 mặt 1 được 10 ngàn đ.

Nếu không có mặt 1 xuất hiện thì mất 20

ngàn đ.

Gọïi X là số tiền được thua trong trò chơi trên Tìm quy luật phân phối xác suất của X

X nhận các giá trị: -20, 10, 50, 100

Quy luật phân phối xác suất của X là:

216

75 )

10 (

216

1 )

100 (

X P

216

125)

20(

216

15)

50(

X P

P 125/216 75/216 15/216 1/216

2.2.HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT.

Hàm số f(x) xác định trên toàn trục số, được gọi là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X nếu:

CHÚ Ý:X là ĐLNN liên tục thì:

f b

X a

P iii

dx x

f ii

R x

x f i

) ( )

( )

1 )

( )

; 0 )

( )

)(

)(

)(

)(

0)

()

(

b X

a P b

X a

P b

X a

P b

X a

P

b X

P a

VD: Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

; 0

] 2 , 0 [

; 2

1 )

(

x

x x

f

1 2

1 )

(

0 )

x f

R x

x f

VD: Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

; 0

] 3 , 1 [

; )

f

26

3 1

3

)

1 3 3

a dx

ax dx

x f

26

19 26

3 )

( )

3 2

(

3

2

2 3

2.3.HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN LIÊN TỤC.

Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là f(x) thì hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục

f x

) (

) ( x F , x

VD: X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

thì hàm phân phối xác suất của X là:

; 0

] 1 , 0 [

;

1 )

(

x

x x

f

1 1

; 1

0

;

0

; 0 )

x x

F

TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN PHỐI:

x

F ≤ ∀ ∈

≤ ( ) 1 ; 0

) (

( lim

1 )

( lim

x F

x x

3.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN 3.1.KỲ VỌNG

.X là ĐLNN rời rạc

.X là ĐLNN liên tục

TÍNH CHẤT KỲ VỌNG:

i) E(C)=C (C: hằng số)

ii) E(CX)=CE(X)

iii) E(X+Y)=E(X)+E(Y)

iv) E(X.Y)=E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập

i n

i

i p x X

VD: Thu nhập của 100 CN của một XN.

Tính thu nhập trung bình của 100 CN GIẢI:

Bảng phân phối xác suất:

E(X)=thu nhập trung bình của 100 CN=

1 , 0 ( 5 , 2 )

3 , 0 ( 2 )

4 , 0 ( 5 , 1 )

2 , 0 ( 2 , 1

4

1

= +

+ +

VD: X(phút) là thời gian bị kẹt xe tại một giao lộ,là một ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

a) Tính thời gian bị kẹt xe trung bình

b) Tính xác suất bị kẹt xe từ 1 đến 2 ph

; 0

] 3 , 0 [

; 81

4 )

f

5

12 81

4 )

(

dx x

f x

81

15 81

4 )

( )

2 1

(

2

1

3 2

3.2.PHƯƠNG SAI

.X là ĐLNN rời rạc

.X là ĐLNN liên tục

i n

CHUÙ YÙ:

.X ÑLNN

T L X

dx x

f x X

E

R R X

p x

X E

X E

X E

X VAR

n i

i i

X

:

; )

( )

(

:

;

) (

)] (

[ )

( )

(

2 2

1

2 2

2 2

2

∫

∑

∞ +

.TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI

nếu X,Y độc lập

) (

) (

) (

)

) (

) (

)

) (

) (

)

0 )

(

)

2

Y Var

X Var

Y X

Var iv

X Var

C X

Var iii

X Var

C CX

Var

ii

C Var

i

+

= +

= +

=

=

VD: Kiểm tra 100 gói mì ăn liền nhãn hiệu A và

100 gói mì ăn liền nhãn hiệu B được số liệu như sau

Gọi X, Y lần lượt là trọng lượng của gói mì

nhãn hiệu A, nhãn hiệu B.

a) Tính kỳ vọng, psai của X, Y

b) Theo A/C nên mua mì nhãn hiệu nào?

a) Ta có:

E(X)=84,6 E(Y)=84,6

Var(X)=2,24 Var(Y)=2,54 b)

3.3.ĐỘ LỆCH CHUẨN

Độ lệch chuẩn của ĐLNN X :

được sử dụng để đánh giá sự phân tán của ĐLNN X so với kỳ vọng.

3.4 MODE

X là ĐLNN rời rạc:

MOD(X) là giá trị mà tại đó xác suất

tương ứng lớn nhất.

X là ĐLNN liên tục:

MOD(X) là giá trị tại đó hàm mật độ

f(x) đạt cực đại.

MOD(X) thường được gọi là:

giá trị tin chắc nhất

)

( X

Var

X = σ

VD: Điểm thi môn Xác suất thống kê của SV K.I

NX: P(X=6)=0,40 lớn nhất

Vậy : Mod(X)=6 VD:

là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X,

ta có:

P 0,20 0,20 0,40 0,10 0,10

R x

e x

2

π

0 )

( 2

f

x

π

Một SV vào một hiệu sách mua một viết bic.

Cô bán hàng đưa 5 cây viết và nói : anh thử được viết tốt thì mua, cho biết xác suất một

cây viết tốt là p Gọi X là số lần thử.

Tìm quy luật phân phối xác suất của X.

VD:

X (giờ) là tuổi thọ của một loại bóng đèn là

một ĐLNN có hàm mật độ là:

Tính xác suất để bóng đèn được chọn ngẫu nhiên trong các bóng đèn loại này có tuổi thọ trên 1000 giơ.ø

0

; 1000

1 )

f

x

3.5 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV

( QUY TẮC k-SIGMA )

X là một ĐLNN có kỳ vọng là

phương sai là

Ta có:

2 σ µ

2 2

2 2

1 )

| (|

:

)

| (|

: 0

k

k X

P k

hay

X P

σ ε

ε

σ ε

µ

ε 

X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

a) Tính kỳ vọng và phương sai của ĐLNN X

]1,0[

1)

(

x

x x

f

)3

1

|(| X − µ ≥

P

) 3

1

| (| X − µ ≥

P

1 (

) ( )

( )

(

2

1 )

( )

(

2 1

0

2 2

dx x f x

X Var

xdx dx

x xf X

E

µ σ

µ

3

1 3

2 1

) 3

1

| (|

3

2 )

6

5 6

1 (

) 3

1

| 2

1 (|

) 3

1

| (|

.

) 3

1

| (|

1

) 3

1

| (|

µµ

X P

X P

X P

X P

X P

X P





4

3 )

12 /

1 )

3

1

| (|

) 3

1 (

) 3

1

| (|

σ µ

ε

σ ε

µ

X P

X P

X P

X P

4.CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

4.1.PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

.Xét một phép thử

.A là một biến cố trong phép thử,

P(A)=p không đổi Tiến hành n phép thử độc lập

.Gọi X là số lần A xảy ra trong n lần thử Thì ĐLNN X có quy luật phân phối nhị thức Ký hiệu: X~B(n,p)

τ

k n k

k

k k

k n

k n k

k n

p p

C k

X k

P

n k

p p

C k

X P

, 0

; )

1 ( )

(

2

1

2 1

τ

CHUÙ YÙ:

X~B(n,p)

] [

) (

)

) (

)

.

) 1

.(

)

( )

)

( )

p np

X Mod

iv

p np

X Mod

q np

iii

q p n

p p

n X

Var ii

p n

X E

VD:

Tại một địa phương tỷ lệ bầu cho ứng cử viên

B là 65%,thăm dò15 cử tri.

Tính xác suất:

a) có 10 cử tri bầu cho ứng cử viên B.

b) có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ucv B.

c) Theo A/C có bao nhiêu cử tri bầu cho B.

GIẢI:

B: một cử tri bầu cho ucv B;p=P(B)=0,65

gọi X là số cử tri bầu cho ucv B thì:

X~B(15;0,65) a) P(X=10)=0,212

b) P(X≤ 12)=0,938

c) Mod(X)=10

VD:

Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A khi được nhân viên chào mời là 20%.

a) Tính xác suất trong 15 người được chào

mời có ít nhất 2 người mua.

b) A/C tin chắc nhất bao nhiêu người mua

trong 15 người được chào mời.

GIẢI:

X: số người đồng ý mua bảo hiểm

X~B(15;0,20) a) P(X≥ 2)=1-P(X≤ 1)=0,833

b) Mod(X)=3

4.2 PHÂN PHỐI POISSON

.Số lổi trong một trang sách tài liệu.

.Số khách hàng đến giao dịch tại một ngân hàng trong 10 phút.

Các ĐLNN rời rạc trên có phân phối

POISSON

.Gọi λ là số lần trung bình một biến cố A

xảy ra trong một khoảng thời gian t

(hay một miền không gian s).

.X là số lần biến cố A xảy ra trong khoảng

thời gian t (chu kỳ t) tại một thời điểm bất kỳ Thì X có quy luật phân phối POISSON

Ký hiệu: X~P(λ)

λ σ

λ µ

.

) (

.

2 , 1 , 0

;

!

) (

2

X Var

X E

k k

e k

X P

X X

k

VD: Tại một công ty liên doanh, theo số liệu các năm vừa qua trung bình một năm có 2 vụ đình công

Tính xác suất năm nay

a) không có vụ đình công nào.

b) có ít nhất một vụ đình công.

GIẢI:

Gọi X là số vụ đình công trong năm nay

Số vụ đình công trung bình là: λ=2

Thì X có quy luật phân phối Poisson

X~P(2) a) P(X=0)=0,135

b) P(X≥ 1)=1-P(X=0)=0,865

VD:

Tại một Lãnh sự quán, trung bình 1 giờ có 12 người được phỏng vấn.

Tính xác suất trong khoảng thời gian từ

9.00 – 9.10 giờ có ít nhất 3 người được phỏng vấn.

TÍNH XẤP XỈ NHỊ THỨC BỞI POISSON

X~B(n,p)

.Nếu n khá lớn và p gần 0 hoặc gần 1

Thì có thể tính gần đúng nhị thức bởi Poisson với λ=np

Thông thường n≥50, np<5,

có thể tính gần đúng (xấp xỉ).

4.3.PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần tử loại A Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại n phần tử.

Gọi X là số phần tử loại A có trong n phần tử chọn ra, thì X là một ĐLNN có quy luật phân phối siêu bội.

Ký hiệu: X~H(N,M,n)

1

.

)

(

)

(

) (

N

M N

N

M n X

Var

N

M n X

E

C

C

C k

X P

X X

n N

k n M N

k M

σµ

VD:

Một công ty có 100 công nhân, trong đó có 30

CN có thâm niên trên 10 năm

Chọn ngẫu nhiên 5 CN

Tính xác suất có:

a) 3 CN có thâm niên trên 10 năm.

b) nhiều nhất 2 CN có thâm niên trên10 n

0)

3

100

2 30 100

P

842,

0)

2(

2

0

5 100

5 70

C

C

C X

P

TÍNH XẤP XỈ PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

p =

Một lô hàng linh kiện điện tử có 10.000 sp,

trong đó có 200 phế phẩm, một cửa hàng

Tính gần đúng bởi nhị thức:

X~B(100;0,02) NX: n=100 lớn, p=0,02 bé

Tính gần đúng bởi Poisson: X~P(2)

P(X≥3)=1-P(X≤2)=0,323

Một khách sạn có 5 chiếc xe gắn máy để

cho du khách thuê,mỗi ngày trung bình có 4

xe được cho thuê

Tính xác xuất vào ngày cuối tuần của tháng 4

a) Tất cả 5 xe đều được thuê.

b) Khách sạn không đáp ứng được yêu cầu c) Khách sạn cần ít nhất bao nhiêu xe để

xác suất không đáp ứng đủ nhu cầu thuê

xe bé hơn 3%.

X~P(4) a) P(X=5)=P(X>=5)=1-P(X<=4)=0,371163 b) P(X>5)=1-P(X≤ 5)=0,21487

c) P(X>n)<0,03 ↔ P(X≤ 5)≥ 0.97

suy ra n=8

bán được trong ngày đều có phân phối

Poisson, và độc lập với nhau Trung bình một ngày bán được 4 NOKIA và 3 MOTOROLA.

Tính xác suất một ngày cửa hàng bán :

a) 5 điện thoại

b) Ít nhất 8 điện thoại.

) (

~ );

(

~ P λ1 Y P λ2

X

) (

~ λ1 + λ2

+ Y P X

Một cầu thủ đá thành công quả 11m với xác suất 60%

Theo A/C khi cầu thủ này thực hiện:

Đá 6 quả vào 3 quả

Đá 10 quả vào 5 quả

công việc nào dể thực hiện.

4.4.PHÂN PHỐI CHUẨN

X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ

Thì X được gọi là có phân phối chuẩn tắc Ký hiệu: X~N(0,1)

x

; 2

1 )

HÀM LA PLACE

dz e

(

π

5 , 0 )

( :

5

) ( )

(

.

) ( 5

, 0 )

(

.

= Φ

=

x x

x x

x x

CHÚ Ý:

X~N(0,1)

Sử dụng hàm LA PLACE

) (

2 1

)

| (|

1 )

| (|

.

) (

2 )

| (|

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

) (

) (

.

α α

α

α α

α α

α α

α β

β α

=

<

Φ

− Φ

=

<

<

X P

X P

X P

X P

X P

X P

CHÚ Ý:

Sử dụng hàm LA PLACE

) ,

1 )

| (|

.

) (

) (

)

| (|

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

) (

) (

µ

α α

σ

µ

α α

σ

µ

α α

σ

µ

α σ

µ

β β

α

≤ Φ

−

− Φ

=

<

− Φ

+

=

<

− Φ

−

=

>

− Φ

−

− Φ

=

<

<

X X

P

X P

X P

X P

X P

VD:

X(kwh) là lượng điện một hộ dân sử dụng

trong một tháng có phân phối chuẩn

Giá tiền điện là 1 ngàn đồng /kwh nếu sử

( , 60

(

X

a)

092,

0)

1()

5,1(

)40

60

100(

)40

60

120(

)

100(

)

120(

)120100

(

)220140

3160

()

220160

(

70:

;1403

70:

;1

*

70:

;3

*)70(

70

70:

;1

*

=Φ

−Φ

=

−Φ

−

−Φ

=

−Φ

−

−Φ

≤

=

σ

µ σ

µ

X P

X P

Y P

X khi

X

X khi

X Y

X khi

X

X khi

X Y

=MOD(Z)=[n.p+p]=200.650 hộ

4013 ,

0 )

25 ,

0 ( 5

, 0 )

70 (

5 , 0

) 70 (

) 70 140

3 ( )

70 (

= Φ

−

=

− Φ

X P

Y P

4.4.2.TÍNH XẤP Xỉ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC BỞI

PHÂN PHỐI CHUẨN

X~B(n,p) Nếu n lớn ( n≥30 )

.p không gần 0 hoặc không gần 1

Có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn:

.

)(

1)

()

)(

)(

)(

)

)

1.(

),

(

~

1 2

2 1

k X

P ii

npq

np k

npq

np

k k

X k

P i

q p n p

p n

p n

N X

−

=

=

−Φ

−

−Φ

σµ

Theo một khảo sát về mức độ hài lòng của người dân với các dịch vụ công, tỷ lệ người dân than phiền về dịch vụ cấp chủ quyền nhà là 40%.

Tính xác suất trong 100 hộ được hỏi có:

a) Từ 40 đến 50 hộ than phiền.

b) Ít nhất 50 hộ than phiền.

c) Nhiều nhất 60 hộ than phiền.

a)

b)

c)

4794 ,

0 )

40 (

)

50 ( )

50 40

npq

np npq

np X

P

0206 ,

0 )

50 ( )

100 (

) 50

npq

np npq

np X

P

99998 ,

0 )

0 ( )

60 ( )

60

npq

np npq

np X

P

VD: X(mm) độ dài của một trục xe đạp có phân phối chuẩn, với độ lệch chuẩn là 0,2mm Sản phẩm được xem là đạt tiêu chuẩn, nếu độ dài sai lệch so với độ dài trung bình không quá 0,3mm.

a) Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một sản phẩm thì

được sp đạt yêu cầu.

b) Một cửa hàng nhận về 100 sp Tính xác suất có ít

nhất 90 sp đạt yêu cầu.

c) Trong quá trình kiểm tra có thể bị nhầm lẩn:

i)Nếu sp tốt mà bị loại thì mắc sai lầm loại 1.

ii)Nếu sp xấu mà được nhận thì mắc sai lầm loại 2 Xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1%,Xác suất mắc sai lầm loại 2 là 2% Tính xác suất không bị nhầm lẩn

trong 1lần kiểm tra.

d) Tính xác suất khi kiểm tra 100 sp có nhiều nhất 10

lần bị nhầm lẩn.

4.5.PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG

4.5.1 X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

được gọi là có phân phối chi bình phương, với bậc tự do là k

; 0

0 :

; ) 2

( 2

) ( 2

1 2 2

2

x khi

x

khi k

x e

x

n x

Var

k X

E

2 )

(

) (

2

σ µ

) (

~ 2 k

VD:

025 ,

0 )

25 , 3 (

1 )

25 , 3 (

.

90 , 0 )

87 , 4 (

.

56 , 2 99

, 0 )

(

) 10 (

~

2 99 , 0

2 99 , 0 2

P

X P

X P

X

χ χ

χ

X1, 2, ,

2 2

2

2

1 X X n X

~

) (

~

2 2

1

2 1

k X

k

X

χ χ

) (

~ 2 1 2

2

1 X k k X

2

1, X

X

4.6.PHÂN PHỐI STUDENT

4.6.1.ĐN:

X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

được gọi là có phân phối STUDENT với bậc tự

do là k

Ký hiệu:

R

x k

k

k

x k

x f

k

∈ Γ

2 (

) 1

)(

2

1 (

) (

2

) 1 ( 2

0 )

(

) (

~

2

k

k X

Var

X E

k T X

σ µ

P(t≤1,372)=1-P(t>1,372)=1-0,10=0,90 P(|t|>2,228)=0,05

α

α =

> ) ( t t P

4.6.2.ĐỊNH LÝ :

Nếu X,Y độc lập

Thì: có phân phối STUDENT

bậc tự do là k

k Y

~

) 1 , 0 (

~

2

k Y

N X

χ

5.LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

X,Y : ĐLNN rời rạc P(X=x ; Y=y)=f(x,y)

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BIÊN

≥

x y

y x f

ii

y x f

i

1 )

, ( )

0 )

, ( )

m

j

k j

k

n

k

jk j

n

k

k j

j

jk k

j k

j

p q

y x

f y

Y P

p p

y x

f x

X P

p y

x f y

Y x

X P

1 1

1 1

) ,

( )

(

) ,

( )

(

) ,

( )

, (

BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI:

Y

X

1 )

(

) (

) (

) (

) ,

(

) ,

( )

, (

) ,

(

) ,

( )

, (

) (

) ,

(

) ,

( )

, (

2 2

2 1

1

1 2

1

2 1

2 2

2 1

2 2

1 1

1 2

1 1

1 1

2 1

n

m n

m m

m m

n n n

y f

y f

y f

x f

y x

f y

x f y

x f x

x f

y x

f y

x f y

x f x

x f

y x

f y

x f y

x f x

y y

y

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN.

k

jk k

k j k

k j

k j

j

jk j

k j j

j k

j k

q

p y

f

y x f y

Y P

y Y

x X

P y

Y x

X

P

p

p x

f

y x f x

X P

x X

y Y

P x

X y

) ,

( )

(

) ,

( )

| (

) (

) ,

( )

(

) ,

( )

| (

Khảo sát thu nhập hằng năm của các cặp vợ chồng được số liệu sau:

X (triệu đồng): thu nhập của vợ.

Y (triệu đồng): thu nhập của chồng.

Y X

a) Tìm hàm phân phối xác suất biên của thu

nhập của chồng, của vợ.

b) Tìm hàm phân phối xác suất có điều kiện

của X với điều kiện Y.

c) Tìm hàm phân phối xác suất có điều kiện

của Y với điều kiện X.

d) Tính E(X|Y=60)

e) Tính hệ số tương quan của X và Y.