1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

SKKN phân dạng toán hệ vi ét và ứng dụng

26 90 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 836 KB

Nội dung

Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kịnh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” có khả năng áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường đại trà.Giúp giáo viên có tài

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA -o0o -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN DẠNG TOÁN HỆ THỨC VI-ÉT

Trang 2

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC



Trang 3

-Nội Dung Trang

II.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 1II.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2II.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp giải quyết vấn

đề

3

Phần III Kết luận, kiến nghị 21

I MỞ ĐẦU I.1 Lý do chọ đề tài

Trang 4

Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phân công

ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôntập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉdạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủphương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này Quan trọng hơnviệc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống Như vậy kết quả bài làmcủa các em không cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào THPT của các tỉnh nóichung và của tỉnh Thanh Hóa nói riêng đều có một phần kiến thức về hệ thứcVi-ét Chính vì thế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp 9 và các tàiliệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét Sau đó đã tiến hành phândạng và với từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó Từ cách nghĩ và cách làm đó

tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

I.2 Mục đích nghiên cứu

Sáng kiến kịnh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

có khả năng áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường đại trà.Giúp giáo viên có tài liệu và phương pháp giảng dạy, ôn tập các kiến thức về hệthức Vi-ét một cách đầy đủ khoa học Giúp học sinh nâng cao kết quả trong việcgiải toán về hệ thức Vi-ét và củng cố được nhiều kiến thức toán học khác Từ đógóp phần nâng cao kết quả thi vào THPTcho học sinh và tạo tiền đề vững chắccho các em trong quá trình học tập sau này

I.3.Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu: Định lý Vi-ét, phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứngdụng

I.4 Phương pháp nghiên cứu

Sáng kiến: “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” đã ôn lại lí

thuyết về hệ thức Vi-ét và khai thác sâu các ứng dụng của nó vào giải toán Đại

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM II.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình Đại số 9 bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng rấtphong phú trong việc giải các bài toán như: Tính nhẩm nghiệm của phương trìnhbậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có cácnghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai Các ứng dụng này còn giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học khác vàrèn luyện các kĩ năng trình bày, phân tích, tổng hợp Tuy nhiên khi giải các bàitập về hệ thức Vi-ét học sinh còn gặp nhiều lúng túng, không có kĩ năng phân

Trang 5

tích đề, phương pháp giải không khoa học Nguyên nhân chính là do các emchưa được hướng dẫn cụ thể theo từng dạng Vậy làm thế nào để giúp học sinhnắm chắc kiến thức và phương pháp giải các bài tập về hệ thức Vi-ét tôi đã tiếnhành tìm tòi nghiêm cứu, tập hợp các bài toán về hệ thức Vi-ét từ đó tiến hànhphân dạng và chỉ rõ ứng dụng của từng dạng Trên cơ sở đó tôi đã viế ra sáng

kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

II.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Đối với giáo viên: Khi dạy vè hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời

lượng không nhiều chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập Thông thường giáoviên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK màkhông đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét Bêncạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đềcập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tậpdạng này trong các đề thi vào THPT Do đó kết quả học tập của học sinh đối vớicác bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợpsắp xếp đầy đủ khoa học

2.2 Đối với học sinh:

Tháng 6 năm 2017 sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bàitoán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp 9 với đề toán sau (thời gian làm bài 30 phút):

Bài 1 (5,0 điểm): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:

Nguyên nhân:

- Không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm vớicác yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập

• Kết quả khảo sát khối lớp 9 cụ thể như sau:

Năm học số Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém

Qua kết quả ta thấy số tỉ lệ khá giỏi chưa cao, tỉ lệ dưới trung bình cònnhiều Từ thực trạng như vậy, tôi đã dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụngsáng kiến của mình trong năm 2017-2018 và đã khẳng định được kết quả củasáng kiến

II.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp giải quyết vấn đề

3.1 Ôn tập lí thuyết

Trang 6

Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai

thì có thể suy ra nghiệm kia

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0≠ ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0≠ ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

(Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P ≥ 0)

3.2 Các dạng toán và phương pháp giải.

3.2.1 Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 2 (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm,

rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m:

a) x2 - 2x + m = 0 b) x2 + 2(m 1− ) x + m2 = 0

Trang 7

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0≠ ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0≠ ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là

Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó

ta tính ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n ≠- b, thì ta chuyển sang bước 2

Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm.

- Nếu tìm được một cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.

Trang 8

3.2.2.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0

để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình

Ví dụ 2 (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44):

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4

Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải

phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thứcnghiệm (công thức nghiệm thu gọn)

3.2.3 Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương

trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.

Trang 10

3.2.4 Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên

Ví dụ 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình):

Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích củahình chữ nhật bằng 54m2

Trang 11

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều kiện u, v > 0

Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có phương trình:

Trang 12

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta đã chuyển đổi việc giải hệ phương trình sang

giải phương trình bậc hai một ẩn; bên cạnh đó ta cần sử dụng thêm phép biếnđổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hằng đẳng thức

( )2

2 2

A +B = A B+ −2AB Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần

sử dụng tới ẩn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điềunày

Ví dụ 4 Giải phương trình sau: x 9+ − x + x 9+ + x =4 (1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 16

3.2.5 Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

mà không giải phương trình.

3.2.5.1 Phương pháp:

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx +

c = 0 ( a 0≠ ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và

x2

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xét biệt thức ∆ =b2 −4ac 0> thì phương trình có hai nghiệmphân biệt x1, x2 (hoặc ' 0∆ > )

Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vàobiểu thức

Chú ý: Một số phép biến đổi:

Trang 13

Ví dụ 2 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2004-2005)

Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là x1 và x2 Khônggiải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

Trang 14

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,≠ ∆ ≥0 hoặc

a 0, ' 0≠ ∆ ≥ ).

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào tham số

Trang 15

Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụthuộc vào m)

Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức

(2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét màquên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2

3.2.7 Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương

trình thỏa mãn một điều kiện cho trước.

3.2.7.1 Phương pháp:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình

có nghiệm x1, x2 (tức là cho ∆ ≥0 hoặc ' 0∆ ≥ )

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: 1 2

Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.

Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.

3.2.7.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 62/SGK-Trang 64):

Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tínhtổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m

Giải

a) Phương trình có nghiệm ⇔ ( )2 2

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm

b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình

Trang 16

Theo bài: x1−x2 =4 (3).

Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x1=10⇔ x1= ⇒5 x2 = − = − =6 x1 6 5 1

Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m ⇔m = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với m = 5 thì x1−x2 =4

Ví dụ 3 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2011-2012)

Cho phương trình: x - 2(m +1)x + 2m = 0 (1) (với ẩn là 2 x)

a) Giải phương trình (1) khi m =1

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 Tìm giá trị của m để x1; x2 là

độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa y = 2 2

Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm để

chọn giá trị m thì cần chú ý trong trường hợp bài toán còn có điều kiện ràng

Trang 17

buộc khác (như ví dụ 3) ta cũng cần đối chiếu giá trị của m để loại bỏ giá trịkhông thích hợp.

3.2.8 Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm.

3.2.8.1 Phương pháp:

Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x1, x2 của phương trình

ax2 + bx + c = 0 (a 0≠ ) dựa trên kết quả:

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2 P c 0

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

Giải

a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu P c 1 m 0 m 1

a

⇔ = = − < ⇔ <

Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x< <1 x2

Trang 18

Vậy với 3 m 0− ≤ < thì phương trình có hai nghiệm âm.

3.2.9 Dạng toán 9: Lập một phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn

biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

a) Lập phương trình có hai nghiệm là hai số 4 và 1− 2

b) Cho phương trình x2 + px – 5 = 0 có nghiệm là x1 và x2 Hãy lập phương trình

có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Trang 19

3.2.10 Dạng toán 10: Một vài ứng dụng khác của hệ thức Vi-ét.

Ở trên ta đã đề cập 9 dạng toán liên quan đến đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng Tuy nhiên tìm hiểu sâu rộng hơn một chút thì ta có một vài ứng ứng khác nữa là khá hay và hiệu quả Sau đây là một vài ứng dụng khác của hệ thức Vi-ét.

3.2.10.1 Phân tích đa thức thành nhân tử.

3.10.1.1 Phương pháp:

Phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0≠ ) có nghiệm là x1, x2 thì tam thức ax2 +

bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

Trang 20

Để lập phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm

Ví dụ 1 Cho parabol (P) có phương trình: y = x2

Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1; xB = 2

Lập phương trình đường thẳng đi qua A và B

Giải

Goi phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng y = ax + b (AB)

Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là:

y= 2 ; điểm A thuộc (P) có hoành độ xA = 2

Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Trang 21

Áp dụng hệ thức Vi-ét và bài ra, ta có:

Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A là: y = x - 1

3.2.10.3 Áp dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình

Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0

Giải phương trình này được t1 = 4; t2 = 3

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: u2 - 4u + 3 = 0

Trang 22

b) Đặt

3 3

3 3

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: (1; 27); (27; 1)

3.3 Các bài tập tương tự tổng hợp theo dạng toán.

Bài 1: (Bài 29,30/SGK-Trang 54, bài 30/SBT-Trang 43).

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) củamỗi phương trình sau:

a) 4x2 + 2x – 5 = 0; b) 9x2 - 12x + 5 = 0; c) 5x2 + x + 2 = 0;

d) ( 2− 3)x2 + 4x + 2+ 2 = 0; e) 1,4x2 - 3x + 1,2 = 0;

f) 2x2 + 9x + 7 = 0; g) x2 + 2(m – 1)x + m2 = 0

Bài 2: (Bài 31/SGK-Trang 54, bài 37/SBT-Trang 43).

Tính nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) Phương trình x2 - 13x + m = 0, biết nghiệm x1 = 12,5;

b) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, biết nghiệm x1 = -2

Bài 4: (Bài 41/SBT-Trang 44) Tìm hai số u và v trong trường hợp sau:

a) u + v = 14, u.v = 40; b) u - v = 10, u.v = - 24; c) u2 + v2 = 85, u.v = 18

Bài 5 Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, nghiệm của phương trình là x1 và x2.1) Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức:

a) x1 + x2 ; x1x2 b) 3 3

x + x c) x1+ x2.

Bài 6 Cho phương trình 2x2 - 6x + 3 = 0

a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tính

Bài 8 (Đề tuyển sinh 10 Hải Dương 2011-2012)

Cho phương trình: x2 − 2(m+ 1)x+ 2m= 0 (1) (với ẩn là x)

1) Giải phương trình (1) khi m=1

2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 23

3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 Tìm giá trị của m để x1; x2là

độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12

Bài 9.1 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 x2+ − =5x 3 0 Tính giá trị củabiểu thức: Q = 3 3

x +x

2 Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0 có hai nghiệm phân

biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1−x2 = x + x1 2

Bài 10 Cho phương trình x2 – 2(m + 7)x + m2 - 4 = 0

Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm cùng dấu

Bài 11 Cho phương trình (1 + m2)x2 – 2(m2 - 1)x + m = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m

II.4 Kết quả đạt được

Tháng 6/2017 cũng với đề kiểm tra như ở phần khảo sát thực trạng tôi đãthu được kết quả như sau:

Năm học Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém

2016-2017 58 21 36,2 15 25,9 18 31 4 6,9 0 0

Qua con số thống kê tôi thấy rõ mức độ tiến bộ của học sinh Qua giảngdạy, ôn tập tôi thấy các em tự tin hơn nhiều và có sự yêu thích say mê khi giảicác dạng toán về hệ thức Vi-ét Đặc biệt trong kì thi vào THPT tháng 7/2017 họcsinh tôi giải quyết phần bài tập này rất tốt, góp phần nâng cao điểm toán và tỉ lệ

đỗ vào THPT Với giáo viên sau khi áp dụng sáng kiến kinh ngiệm này tôi đã tựbiên soạn cho mình một tài liệu để giảng dạy về hệ thứ Vi-ét mà tôi rất tâm đắc

Hiện nay với việc dạy học theo định hướng phát triển năng lực của họcsinh thì việc dạy học theo chủ đề là rất cần thiết Để nhân rộng được sáng kiếnnày bản thân tôi và đồng nghiệp chỉ cần tích cực sưu tầm, tập hợp các bài toántheo từng dạng để bổ sung vào nội dung sáng kiến Với việc làm đó tôi tin tưởng

sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” luôn

khẳng định được tính khả thi và giá trị áp dụng của nó

Ngày đăng: 20/11/2019, 10:19

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w