SKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụng

SKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụng

UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO “PHÂN DẠNG TỐN HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG” MƠN : TỐN F.Viète Năm học 2014 - 2015 THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho giảng dạy học tập thuộc mơn Tốn 9, phân mơn Đại số 9, cấp THCS Tác giả: Họ tên : NGUYỄN ĐỨC HIỂN Nam Ngày/tháng/năm sinh: 15/09/1982 Trình độ chuyên mơn: Đại học SP Tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: Tổ trưởng chuyên môn tổ khoa học tự nhiên, trường THCS Hợp Đức Điện thoại: 0978.837.545 Đồng tác giả (khơng có) Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Trường THCS Hợp Đức, huyện Bình Giang, tỉnh Hải Dương Điện thoại : 03203.816.184 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Giáo viên phải tích cực đọc nghiên cứu tài liệu liên quan, nắm phương pháp giải dạng toán sáng kiến Học sinh có đầy đủ SGK, SBT nắm vững định lí Vi-ét, phương pháp giải dạng tốn, đồng thời phải tích cực giải tốn, trình bày Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 3, năm 2014 HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Là giáo viên dạy Toán lớp 9, nhiều năm nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, thực ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy hệ thức Vi-ét thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập SGK, SBT chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Như kết làm em không cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào THPT tỉnh nói chung tỉnh Hải Dương nói riêng có phần kiến thức hệ thức Vi-ét Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi nảy sinh việc viết sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Để áp dụng sáng kiến giáo viên cần tích cực đọc nghiên cứu tài liệu liên quan, nắm phương pháp giải dạng tốn sáng kiến Học sinh có đầy đủ SGK, SBT nắm vững định lí Vi-ét Tơi áp dụng sáng kiến từ tháng năm 2014 cho việc dạy ôn tập cho học sinh trường thi vào THPT năm học 2014-2015 Nội dung sáng kiến Sáng kiến: “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” ơn lại lí thuyết hệ thức Vi-ét khai thác sâu ứng dụng vào giải toán Đại số Các dạng toán phân theo dạng (gồm 10 dạng hay gặp), dạng tốn đưa có phương pháp giải tổng qt kèm theo ví dụ minh họa cụ thể, chọn lọc Sách giáo khoa (SGK), Sách tập (SBT), đề thi tuyển sinh mơn Tốn lời giải chi tiết Bên cạnh với dạng có nhận xét đánh giá ví dụ vừa đề cập nhằm nhấn mạnh khó khăn, sai sót mà học sinh hay mắc phải giải toán cách khắc phục Sáng kiến kịnh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trường đại trà Giúp giáo viên có tài liệu phương pháp giảng dạy, ôn tập kiến thức hệ thức Vi-ét cách đầy đủ khoa học Giúp học sinh nâng cao kết việc giải toán hệ thức Vi-ét củng cố nhiều kiến thức tốn học khác Từ góp phần nâng cao kết thi vào THPTcho học sinh tạo tiền đề vững cho em trình học tập sau Khẳng định giá trị, kết đạt sáng kiến Sau áp dụng sáng kiến, với so sánh đối chiếu kết trước sau áp dụng khẳng định sáng kiến giúp giáo viên giảng dạy chủ đề kiến thức hệ thức Vi-ét nhẹ nhàng đầy đủ hấp dẫn, lôi đối tượng học sinh tham gia học tập Học sinh tích cực, chủ động có nhiều em biểu sáng tạo, say mê, kết làm cao Đặc biệt kì thi tuyển sinh vào THPT năm học 2014-2015 học sinh làm tốt tập dạng Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến Mặc dù sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” khẳng định tính khả thi giá trị áp dụng song với thời gian trải nghiệm chưa nhiều lực cá nhân hạn chế nên tính bao qt tồn diện định chưa hết Tơi mong muốn thân đồng nghiệp tiếp tục có tập bổ sung, đóng góp để sáng kiến ln giữ tính khả thi giá trị năm học, với việc dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học theo chủ đề ngày quan tâm MÔ TẢ SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong chương trình Đại số bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng phong phú việc giải tốn như: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng tích chúng, lập phương trình bậc hai có nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ nghiệm phương trình bậc hai Các ứng dụng giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học khác rèn luyện kĩ trình bày, phân tích, tổng hợp Tuy nhiên giải tập hệ thức Vi-ét học sinh gặp nhiều lúng túng, khơng có kĩ phân tích đề, phương pháp giải khơng khoa học Ngun nhân em chưa hướng dẫn cụ thể theo dạng Vậy làm để giúp học sinh nắm kiến thức phương pháp giải tập hệ thức Vi-ét tơi tiến hành tìm tòi nghiêm cứu, tập hợp toán hệ thức Vi-ét từ tiến hành phân dạng rõ ứng dụng dạng Trên sở tơi viế sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” Thực trạng 2.1 Đối với giáo viên: Khi dạy vè hệ thức Vi-ét, chương trình thời lượng khơng nhiều có tiết lí thuyết tiết luyện tập Thông thường giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể SGK SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề thi vào THPT Do kết học tập học sinh tập hệ thức Vi-ét thường không cao giáo viên tập hợp xếp đầy đủ khoa học 2.2 Đối với học sinh: Tháng năm 2013 sau hồn thành việc giảng dạy ơn tập toán hệ thức Vi-ét chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp với đề toán sau (thời gian làm 30 phút): Bài (5,0 điểm): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 25x2 + 10x + = b) x2 - 2x + m = Bài (5,0 điểm): Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  Với hai toán đưa ra, kiểm tra kiến thức tơi thấy số lượng em giải trọn vẹn hai chiếm ít, số em giải toán 1, phần a, phần lớn em trình bày lời giải mắc nhiều sai lầm, ngộ nhận, thiếu sở dẫn chứng (bài 1, phần b) khơng tìm hướng làm  Nguyên nhân: - Không nắm hệ thức Vi-ét ứng dụng - Không biết làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập  Kết khảo sát khối lớp cụ thể sau: Năm học 2012-2013 Sĩ số 86 Giỏi SL % 5,8 Khá SL % 10,5 TB SL 58 % 67,4 Yếu SL 11 % 12,8 Kém SL % 3,5 Qua kết ta thấy số tỉ lệ giỏi chưa cao, tỉ lệ trung bình nhiều Từ thực trạng vậy, dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến năm 2013-2014 khẳng định kết sáng kiến Các biện pháp 3.1 Ơn tập lí thuyết * Định lí Vi-ét: (thuận) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) b � x  x   � � a � c � x1 x  � a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - c a * Định lí Vi-ét: (đảo) uvS � Nếu hai số u, v thỏa mãn � hai số hai nghiệm u.v  P � phương trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P �0) 3.2 Các dạng toán phương pháp giải 3.2.1 Dạng tốn 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn 3.2.1.1 Phương pháp: Trước áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm hay khơng (Tức kiểm tra a �0,  �0   ' �0  có thỏa mãn khơng) 3.2.1.2 Ví dụ: Ví dụ (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 2x2 - 17x + = b) 25x2 + 10x + = Giải a) 2x2 - 17x + = (a = �0, b = -17, c = 1) Ta có:    17   4.2.1  281  � Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, b 17 c x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x    , x1.x   a a b) 25x2 + 10x + = (a = 25 �0, b = 2b’ = 10, c = 1) Ta có:  '  52  25.1  � Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức b 10 c Vi-ét, ta có: x1  x       , x1.x   a 25 a 25 Ví dụ (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, tính tổng tích nghiệm theo m: b) x2 +  m  1 x + m2 = a) x2 - 2x + m = Giải a) x2 - 2x + m = (a = �0, b = 2b’ = - 2, c = m) Ta có:  '   1  1.m   m '  1 m Để phương trình có nghiệm ���� m Vậy với m �1 , phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b c x1  x    2, x1.x   m a a b) x2 +  m  1 x + m2 = (a = �0, b = 2b’ =  m  1 , c = m) 2 Ta có:  '  �   m  1 � � � 1.m  m  2m   m   2m ' �1 2m Để phương trình có nghiệm ���� m 1 Vậy với m � , 2 phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2  m  1 c m2 x1  x       m  , x1.x    m2 a a 3.2.2 Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn 3.2.2.1 Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a �0 ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp (Trường hợp đặc biệt):  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - c a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = Ta thực theo bước:  Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x x2 �x1  x   b � �x1.x  c  Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) - Nếu m + n �- b, ta chuyển sang bước  Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n Chú ý: Thuật tốn có tính dừng hiểu sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu tìm cặp (m, n) khơng thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp khơng nhẩm nghiệm 3.2.2.2 Ví dụ: Ví dụ (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = b) x2 - 49x - 50 = Giải a) 35x2 - 37x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c  a 35 b) x2 - 49x - 50 = Nhận thấy phương trình có a - b + c = - (-49) + (-50) = Do phương trình c  50   50 có nghiệm x1 = - 1, x2 = -   a Ví dụ (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình: a) x2 - 7x + 12 = b) x2 + 6x + = Giải a) x2 - 7x + 12 = Ta thấy    7   4.1.12   Do phương trình có hai nghiệm x x2 �x1  x  �x  x   � �1 thỏa mãn � �x1.x  12  3.4 �x1.x  12  3.4 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = x2 = b) x2 + 6x + = Ta thấy  '  32  1.8   Do phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa � �x1  x  6 �x1  x   2    4  �� mãn � �x1.x    2   4  �x1.x    2   4  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = - x2 = - Nhận xét: Đối với phương trình có dạng ví dụ giải phương trình nhẩm nghiệm nhanh gọn việc vận dụng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn) 3.2.3 Dạng tốn 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm 3.2.3.1 Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm lại x2 ? 10 Vậy với giá trị m phương trình ln có nghiệm b) Gọi x1 x2 nghiệm phương trình � 2  m x1  x  S  � � (I) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x x  P  m � � Theo bài, ta có hệ thức: x12  x 22 =  x1  x   2x1x (II) Thay (I) vào (II), ta 2  m � � �m � 18m  8m   có: x12  x 22  � � � � 7 49 � � � � Ví dụ (Bài 44/SBT-Trang 44): Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  Giải Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: � ��� '   3  m m m (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo bài: x1  x  (3) Giả hệ gồm (1) (3), ta được: 2x1  10 � x1  � x   x1    Thay x1 = 5, x2 = vào (2), ta có: 5.1 = m � m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = x1  x  Ví dụ (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2011-2012) Cho phương trình: x - 2(m +1)x + 2m = (1) (với ẩn x ) a) Giải phương trình (1) m =1 b) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m c) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x 1; x2 Tìm giá trị m để x 1; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 12 Giải 20 a) Khi m = ta có phương trình x2 – 4x + = Giải phương trình x1   2; x   b) Ta có  '  m   với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt �x1  x  2(m  1) (1) c) Theo hệ thức Vi-ét ta có: � (2) �x1x  2m Theo giả thiết: x1, x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 12 nên x1 > 0, x2 > � m > x12  x12  12 � (x1  x )  2x1x  12 (3) Thay (1), (2) vào (3), được: m2 + m – = � m = (thỏa mãn); m = - (loại) Vậy m = Ví dụ Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (có ẩn số x) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ y = x12  x 22 Giải a) Ta có  '   m  1   2m    m  2m   2m    m     với 2 m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt �x1  x  2(m  1)  2m  (1) b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � (2) �x1 x  2m  Theo bài: y = x12  x 22 =  x1  x   2x1x (3) Thay (1) (2) vào (3), ta có: y =  2m     2m    4m  12m  12   2m    2 Vì  2m  3 �0 với m nên suy y =  2m  3  �3 Dấu “=” xảy 2 3 � 2m   � m  Vậy ymin = � m  2 21 Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm để chọn giá trị m cần ý trường hợp tốn có điều kiện ràng buộc khác (như ví dụ 3) ta cần đối chiếu giá trị m để loại bỏ giá trị khơng thích hợp 3.2.8 Dạng toán 8: Xét dấu nghiệm 3.2.8.1 Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x 1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) dựa kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1   x � P  c  a �  �0   ' �0  - Phương trình có hai nghiệm dấu � � P0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm dương � � � S0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm âm � � � S0 � 3.2.8.2 Ví dụ: Ví dụ Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu � P  c 1 m  � m 1 a Vậy với m < phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x1  x 22 � '  m  3m  � � � �� P0 � � 1 m  �  m  � � S0  m  1  � � Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ Cho phương trình mx2 - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 �x  a �0 � �  ' �0 � �� P0 � � S0 � m �0 � � m �0  m �0 � � � 3 �m �3 �m � �� 0 �� � 3 �m   �m � �6 � m0 �  � �m Vậy với 3 �m  phương trình có hai nghiệm âm 3.2.9 Dạng tốn 9: Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước 3.2.9.1 Phương pháp: Bước 1: Tìm tổng S tích P hai nghiệm phương trình bậc hai muốn lập Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X2 – SX + P = 3.2.9.2 Ví dụ: Ví dụ (Bài 42, 43/SBT-Trang 44) a) Lập phương trình có hai nghiệm hai số  b) Cho phương trình x2 + px – = có nghiệm x1 x2 Hãy lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 1) -x1 -x2 2) 1 x1 x2 Giải   a) Ta có S = x1 + x2 = +  =  , P = x1x2 =  Vậy hai số  nghiệm phương trình cần lập 23   x2 – (  )x +  = b) Phương trình x2 + px – = có   p   Do phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = p 5   p , x1x2 =  5 1 1) Ta có -x1 + (-x2) = - (x1 + x2 ) = p -x1(-x2) = x1x2 = - Vậy phương trình cần lập : x2 - px - = 2) Ta có: 1 1 x1  x  p p 1   ,   + = = x1 x2 x 1x 5 x1 x x1x 5 Vậy phương trình cần lập : x2 - p x  = hay 5x2 - px - = 5 Ví dụ Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x – 3x + = Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: y1  x  1 ; y  x1  x1 x2 Giải Phương trình x2 – 3x + = có    3  4.1.2     Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt �x1  x  Theo định lí Vi-ét, ta có: � �x1x  �1 �x  x � � Ta có: y1  y   x  x1   �  �  x  x1   � �   2 �x1 x � � x 1x � � � 1� � 1 y1y  �x  � 22 2 �x1  � x x1  x1x 2 � x1 � � x2 � Vậy phương trình bậc hai cần lập y2 - 9 y + = hay 2y2 – 9y + = 2 Nhận xét: Mặc dù tốn có nói x1, x2 nghiệm phương trình cho trước (như ví dụ phần b, ví dụ 2) Tuy nhiên ta phải tính biệt thức   ' để khẳng định phương trình cho trước có hai nghiệm, từ 24 áp dụng định lí Vi-ét Điều đảm bảo tính chặt chẽ tốn học lời giải coi đầy đủ, chọn vẹn 3.2.10 Dạng toán 10: Một vài ứng dụng khác hệ thức Vi-ét Ở ta đề cập dạng toán liên quan đến đến hệ thức Vi-ét ứng dụng Tuy nhiên tìm hiểu sâu rộng chút ta có vài ứng ứng khác hay hiệu Sau vài ứng dụng khác hệ thức Viét 3.2.10.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 3.10.1.1 Phương pháp: Phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có nghiệm x1, x2 tam thức ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử sau: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) 3.10.2.2 Ví dụ: Ví dụ Phân tích đa thức x2 – 5x + thành nhân tử Giải Phương trình x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức x2 – 5x + = (x – 1)(x – 4) Ví dụ (Bài 33/SGK-Trang 54) Phân tích đa thức 2x2 – 5x + thành nhân tử Giải Phương trình 2x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức 2x2 – 5x + = 2(x – 1)(x – ) 3.2.10.2 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b ( a �0 ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( m �0 ) (P) 3.2.10.2.1 Phương pháp: 25  Để lập phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm A  x A ; y A  B  x B ; y B  , ta làm sau: Do đường thẳng (d) Parabol (P) có hai giao điểm nên hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b  mx2 - ax - b = a � x  x  B � �A m (I) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x x  b �A B m Từ hệ (I) tìm a b  Phương trình (d) cần lập  Để lập phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) điểm A  x A ; y A  , ta làm sau: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình mx - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 a � x1  x  � m � b � (II) Vận dụng hệ thức Viet, ta có: �x1x  m � x1  x  x A � � � Từ hệ (II) tìm a b  Phương trình (d) cần lập 3.2.10.2.2 Ví dụ: Ví dụ Cho parabol (P) có phương trình: y = x2 Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ xA = -1; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Giải Goi phương trình đường thẳng qua A B có dạng y = ax + b (AB) Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = ax + b  x2 - ax - b =0 (1) Ta có: xA = - 1; xB = nghiệm phương trình (1) 26 1   a a 1 �x A  x B  a � � �� �� Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � (1).2   b b2 � � �x A x B   b Vậy phương trình đường thẳng qua A B là: y = x + x2 Ví dụ Cho parabol (P): y  ; điểm A thuộc (P) có hồnh độ xA = Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A Giải Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A (d): y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 = ax + b  x2 - 4ax - 4b = (*) Ta có: xA = nghiệm kép (*) (x1 = x2 = xA ) Áp dụng hệ thức Vi-ét ra, ta có: �x1  x  4a  4a a 1 � � � x x   4b � � �1 � �  4b b  1 � � �x  x  x  2 A �1 Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A là: y = x - 3.2.10.3 Áp dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình hệ phương trình �5  x ��  x � �x  Ví dụ Giải phương trình x.� � � (*) �x  �� x  � Giải Điều kiện: x �1 � � �5  x � �5  x � �  x � u  x u  v  x � � � � �x  � uv5 � � � �x  � � �x  � � x  � � (1) � � �� Đặt � u.v   x  x  x � � �� � � �v  �x  � u.v  x x  � � � �� � � � �x  �� x  � � � x 1 � � � u, v nghiệm phương trình: t2 – 5t + = � t1  3; t  Do u = v = u = v = u 3 � - Với � (1) trở thành: x2 - 2x + = �v  27 Ta có ' = – = - < � Phương trình vơ nghiệm u2 � - Với � (1) trở thành: x2 - 3x + = v  � Ta có a + b + c = – + = � x1 = 1; x2 = Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Ví dụ Giải hệ phương trình: �x  y  xy  a) � (Hệ đối xứng loại 1) �xy  x y  12 � �3 x  y  b) � �xy  27 Giải �x  y  xy  �x  y  xy  � a) � �  x  xy  xy  12 �xy  x y  12 � S P 7 � Đặt S = x + y, P = xy Ta có hệ � SP  12 � Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 – 7t + 12 = Giải phương trình t1 = 4; t2 = + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: u2 - 4u + =  u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: v2 – 3v + = Phương trình vơ nghiệm  = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (1; 3); (3; 1) � � u3x u3  x � � � �3 b) Đặt � Khi hệ phương trình có dạng: y v  y v  � � uv4 � uv4 � � �� � u, v nghiệm phương trình: � uv  uv  27   � � t2 – 4t + =  t1 = 1; t2 = Suy u = 1, v = u = 3, v = - Với u = 1, v = x = 1, y = 27 - Với u = 3, v = x = 27, y = Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (1; 27); (27; 1) 28 3.3 Các tập tương tự tổng hợp theo dạng tốn Bài 1: (Bài 29,30/SGK-Trang 54, 30/SBT-Trang 43) Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm (nếu có) phương trình sau: a) 4x2 + 2x – = 0; b) 9x2 - 12x + = 0; c) 5x2 + x + = 0; d) (  )x2 + 4x +  = 0; e) 1,4x2 - 3x + 1,2 = 0; f) 2x2 + 9x + = 0; g) x2 + 2(m – 1)x + m2 = Bài 2: (Bài 31/SGK-Trang 54, 37/SBT-Trang 43) Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 - 9x + = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0; c) (5 + )x2 + (5 - )x - 10 = 0; d) e) 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0; 11 x - x= 0; f) 2x2 + 9x + = 0; g) (m – 1)x2 - 2(m + 3)x + m + = với m �1 Bài 3: (Bài 40/SBT-Trang 44) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 - 13x + m = 0, biết nghiệm x1 = 12,5; b) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, biết nghiệm x1 = -2 Bài 4: (Bài 41/SBT-Trang 44) Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 14, u.v = 40; b) u - v = 10, u.v = - 24; c) u2 + v2 = 85, u.v = 18 Bài (Đề tuyển sinh 10 Hải Dương 2004-2005) Cho phương trình 2x2 – 7x + = 0, nghiệm phương trình x1 x2 1) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: a) x1 + x2 ; x1x2 b) x13  x32 c) x1  x2 Bài (Đề tuyển sinh 10 Hải Dương 2004-2005) Cho phương trình 2x2 - 6x + = a) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tính x13 + x23 – 2(x12 + x22) + 3(x12x2 + x1x22) x1 x2 b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x  x  29 Bài (Đề tuyển sinh 10 Hải Dương 2009-2010) Cho phương trình (ẩn x): x2 - 2(m + 1)x + m2 - = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12+x22 = x1.x2 + Bài (Đề tuyển sinh 10 Hải Dương 2011-2012) Cho phương trình: x  2(m  1) x  2m  (với ẩn x ) (1) 1) Giải phương trình (1) m =1 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền 12 Bài (Đề tuyển sinh 10 Hải Dương 2013-2014) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   Tính giá trị biểu thức: Q = x13  x23 Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  x1 + x2 Bài 10 Cho phương trình x2 – 2(m + 7)x + m2 - = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dấu Bài 11 Cho phương trình (1 + m2)x2 – 2(m2 - 1)x + m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm mà không phụ thuộc vào m Kết đạt Tháng 6/2014 với đề kiểm tra phần khảo sát thực trạng thu kết sau: Năm học 2013-2014 Sĩ số 42 Giỏi SL % 19 Khá SL % 12 28,6 TB SL 20 % 47,6 Yếu SL % 4,8 Kém SL % 0 Qua số thống kê thấy rõ mức độ tiến học sinh Qua giảng dạy, ôn tập thấy em tự tin nhiều có u thích say mê giải dạng toán hệ thức Vi-ét Đặc biệt kì thi vào THPT tháng 7/2014 học sinh tơi giải phần tập tốt, góp phần nâng cao điểm toán 30 tỉ lệ đỗ vào THPT Với giáo viên sau áp dụng sáng kiến kinh ngiệm tơi tự biên soạn cho tài liệu để giảng dạy hệ thứ Vi-ét mà tâm đắc Điều kiện để sáng kiến nhân rộng Hiện với việc dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học theo chủ đề cần thiết Để nhân rộng sáng kiến thân tơi đồng nghiệp cần tích cực sưu tầm, tập hợp toán theo dạng để bổ sung vào nội dung sáng kiến Với việc làm tơi tin tưởng sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng tốn hệ thức Vi-ét ứng dụng” khẳng định tính khả thi giá trị áp dụng KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Qua trình đúc rút kinh nghiệm việc áp dụng biện pháp nhà trường, sở phân tích, đối chiếu, so sánh, lần khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trường THCS Sáng kiến việc cần thiết phải phân dạng toán hệ thức Vi-ét việc ứng dụng đồng thời rõ biện pháp cụ thể để thực nội dung Giúp giáo viên có tài liệu để giảng dạy chủ đề hệ thức Vi-ét 31 cách đầy đủ, hệ thống, khoa học Từ nâng cao chất lượng cho học sinh không giới hạn việc giải toán hệ thức Vi-ét mà củng cố rèn luyện nhiều kiến thức tốn học khác Góp phần nâng cao kết kì thi vào THPT tạo tiền đề vững cho việc học toán sau em Đặc biệt, mà toàn ngành giáo dục thực dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh nhằm thực tốt Nghị số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI) Đề án "Đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, đại hoá điều kiện kinh tế thị trường định hướng XHCN hội nhập quốc tế", việc dạy học theo chủ để kiến thức chắn nhà trường thực ngày sâu sắc Khuyến nghị Đối với giáo viên: Cần nghiên cứu kĩ đề tài, nắm phương pháp giải tùng dạng toán; chuẩn bị kĩ giáo án; tích cực nghiên cứu tài liệu bắt tay giải toán học sinh Đối với học sinh: Sáng kiến áp dụng với học sinh khối cho kết tốt thi học sinh nắm phương pháp giải dạng tốn phát huy tính chủ động sáng tạo, chăm rèn luyện, làm nhiều tập luyện để nâng cao kĩ giải toán Tôi xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO -  1) SGK, SBT Toán (Nhà xuất GD- 2005) 2) Bồi dưỡng phát triển Toán (Đặng Phương Trang - Nhà xuất Đà Nẵng 2003) 3) Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Toán (Trần Thị Vân Anh - Nhà xuất ĐH Quốc gia Hà Nội 2010) 4) Luyện giải ôn tập Toán 32 (Vũ Dương Thụy - Nhà xuất GD 2005) 5) Một số vấn đề phát triển Đại (Vũ Hữu Bình - Nhà xuất GD 1998) 6) Các dạng toán đại số lớp (Lê Hải Châu + Nguyễn Xuân Quý - Nhà xuất GD 2000) 7) Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán THCS năm 33 MỤC LỤC -  Nội Dung Trang Phần Mở đầu Tóm tắt nội dung sáng kiến Phần Mơ tả sáng kiến: Đặt vấn đề Giải vấn đề Điều tra thực trạng trước viết đề tài Phương pháp nghiên cứu Biện pháp thực - 24 Phần Kết luận 25 34 ... kiến Sáng kiến: Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng ơn lại lí thuyết hệ thức Vi-ét khai thác sâu ứng dụng vào giải tốn Đại số Các dạng toán phân theo dạng (gồm 10 dạng hay gặp), dạng tốn đưa... khác hệ thức Vi-ét Ở ta đề cập dạng toán liên quan đến đến hệ thức Vi-ét ứng dụng Tuy nhiên tìm hiểu sâu rộng chút ta có vài ứng ứng khác hay hiệu Sau vài ứng dụng khác hệ thức Viét 3.2.10.1 Phân. .. hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi nảy sinh việc viết sáng kiến Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Để áp dụng