Su dung MTCT trong mot so bai toan (LN huyen)

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY HỖ TRỢ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI ĐẠI HỌC VÀ HỌC SINH GIỎI Lương Ngọc Huyên Trong chuyên đề trình bày số ứng dụng MTCT để giải tìm hướng giải cho dạng toán: giải phương trình lượng giác, giải phương trình đại số, giải phương trình siêu việt; kiểm tra giới hạn hàm số; kiểm tra đạo hàm hàm số; kiểm tra tích phân hàm số; tính toán với số phức…Các toán phần chọn lọc từ đề thi đại học, đề thi thử đại học đề thi chọn học sinh giỏi nước để đảm bảo tính sát thực toán nêu Qua ví dụ tập tương tự nêu nhận thấy tiện ích MTCT giải toán Nhờ trợ giúp MTCT, ta tìm lời giải toán nhanh hơn, hướng Việc sử dụng MTCT không đơn tính toán, mà kết hợp khéo léo toán học MTCT để xử lí tốt vấn đề, toán đặt Đây điều mà muốn đề cập đến chuyên đề Hướng dẫn sử dụng MTCT Các hướng dẫn dùng cho máy tính Casio - fx 570MS Với loại MTCT khác chức phím tương tự 1.1 Mầu phím • Phím Trắng: Bấm trực tiếp • Phím vàng: Bấm qua phím Shift • Phím Xanh: Bấm trực tiếp • Chữa mầu đỏ: Bấm qua phím ALPHA 1.2 Bật, tắt máy • ON: Mở máy • Shift + OFF: Tắt máy • AC: Xoá mang hình, thực phép tính 1.3 Phím chức • CLS: Xoá hình • DEL: Xoá số vừa đánh • INS: Chèn • RCL: Gọi số ghi ô nhớ • STO: Gán vào ô nhớ • DRG: Chuyển Độ - Radial – Grad • RND: Làm tròn • ENG: Chuyển dạng a.10n với n giảm • ENG: Chuyển dạng a.10n với n tăng • A, B, C, D, E, F, X, Y, M: Các ô nhớ • M+: Cộng thêm vào ô nhớ M • M-: Trừ bớt ô nhớ M • EXP: Luỹ thừa 10 • nCr: Tính tổ hợp chập r n • nPr: Tính Chỉnh hợp chập r n • O,,,: Nhập đọc độ, phút, giây • O,,,: Đọc độ, phút, giây • Re-Im: Phần thực, phần ảo • SHIFT + CLR: Xoá nhớ o Chọn 1: Mcl: Xoá biến nhớ o Chọn 2: Mode: Xoá kiểu, trạng thái, loại hình tính toán o Chọn 3: ALL: Xoá tất 1.4 Hàm, tính toán, chuyển đổi • Sin, Cos, Tan: Sin, Cosin, Tan • Sin-1, Cos-1, Tan-1: Hàm ngược hàm số Sin, Cosin, Tan • Log, Ln: Logarit số 10, số e • ex, 10x: Hàm mũ số e, số 10 • x2, x3: Bình phương, lập phương • x-1: Hàm nghịch đảo • x!: Giai thừa • %: Phần trăm • ab/c: Nhập đọc phân số, hỗn số, số phập phân ngược lại • d/c: Đổi hỗn số phân số • POL(: Chuyển toạ độ đề sang tạo độ thực • Rec(: Chuyển toạ độ cực sang toạ độ đề • RAN#: Hiện số ngẫu nhiên • DT: Nhập liệu, kết ∑ x , ∑ x, n • S-SUM: Gọi _ • S-VAR: Gọi x, δ n , δ n−1 • δ n : Độ lệch tiêu chuẩn theo n • δ n−1 : Độ lệch tiêu chuẩn theo n-1 • n : Tổng tần số • ∑ x Tổng biến ước lượng • ∑x Tổng bình phương biến ước lượng • DEC, HEX, BIN, OCT: Cơ số 10,16, 2, • COSNT: Gọi số • CONV: Chuyển đổi đơn vị • MAT, VCT: Ma trận, véc tơ • SOLVE: Giải phương trình • d/dx: Đạo hàm • ∫ dx : Tích phân • CALC: Tính toán • ,3 ,x : Căn bậc 2, bậc 3, bậc x • ANS: Gọi kết • Arg: Argumen • Abs: Giá trị tuyệt đối • (-): Dấu âm • +, -, *, / , ^: Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Mũ • , á, â: Di chuyển liệu • : Ngăn cách phần nguyên phần thập phân • , : Ngăn cách giá trị hàm • ( : Mở ngoặc đơn • ) : Đóng ngoặc đơn • π: Số PI 1.5 Sử dụng MODE • MODE 1: o Chọn 1: COMP: Chữ D hiển thị góc bên phải, trạng thái tính toán o Chọn 2: CMPLX: Trạng thái tính toán với số phức • MODE 2: o Chọn 1: SD: Trạng thái giải toán thống kê biến o Chọn 2: REG: Thống kê biến  Chọn 1: LIN: Tuyến tính  Chọn 2: LOG: Logarit  Chọn 3: Exp: Mũ Chọn →  Chọn 1: Pwr: Luỹ thừa  Chọn 2: Inv: Nghịch đảo  Chọn 3: Quad: Bậc o Chọn 3: BASE: Chọn làm việc với hệ đếm • MODE 3: o Chọn 1: EQN: Giải phương trình, hệ phương trình  Chọn 1:UNKNOWNS: Hệ phương trình • Chọn 2: Hệ phương trình bậc ẩn • Chọn 3: Hệ phương trình bậc ẩn  Chọn 2: DEGREE: Phương trình bậc 2, bậc • Chọn 2: Phương trình bậc • Chọn 3: Phương trình bậc o Chọn 2: MAT: Ma trận o Chọn 3: VCT: Véc tơ • MODE 4: o Chọn 1: Deg: Chuyển chế độ Độ o Chọn 2: Rag: Chuyển chế độ Radial o Chọn 3: Gra: Chuyển chế độ Graph • MODE 5: o Chọn 1: Fix:Ấn định số thập phân (0-9) o Chọn 2: Sci: Ấn định số có nghĩa (0-9) số a ghi dạng a.10n o Chọn 3: Norm: Chọn để ghi kết tính toán dạng khoa học a.10n • MODE 6: o Chọn 1: DISP: Chọn kiểu thị • Chọn 1: EngON: Hiện số dạng kỹ thuật • Chọn 2: EngOFF: Không số dạng kỹ thuật o Chọn → • Chọn 1: ab/c: Kết dạng hỗn số • Chọn 2: d/c: Kết dạng phân số o Chọn →  Chọn 1: DOT: Dấu chấm ngăn cách phần thập phân  Chọn 2: COMMA: Dấu phảy ngăn cách phần thập phân Ứng dụng MTCT giải phương trình Khi giải phương trình ta thường dùng cách nhẩm nghiệm để biến đổi phương trình dạng đơn giản (mà thường đưa phương trình tích) Khi đó, việc giải phương trình phức tạp chuyển việc giải phương trình dễ Chúng minh họa phương pháp thông qua việc giải số phương trình lượn giác, phương trình đa thức, phương trình vô tỉ, phương trình siêu việt, hệ phương trình,… Để giải phương trình lượng giác phương pháp này, ta tiến hành theo bước sau: Bước Tiến hành phép thử để tìm nghiệm đặc biệt Có hai cách để sử dụng MTCT tìm nghiệm phương trình, là: Cách Thử giá trị đặc biệt MTCT, Cách Dùng chức giải phương trình có sẵn MTCT Bước Giải phương trình, hệ phương trình với nghiệm tìm Từ nghiệm tìm ta phân tích (thành tích) phương trình cần giải về phương trình đơn giản Ví dụ Giải phương trình: cos3 x + cos x + sin x + sin x - 5cos x = (1) Phân tích Thử MTCT thu nghiệm x = ± 2π 5π ;x = Vậy ta dự đoán (1) có nghiệm x thỏa mãn cos x = - Hướng dẫn giải Đặt t = cos x, | t |≤ Phương trình (1) trở thành (4t - 3t ) + (2t -1) + 2t.sin x - 5t = ⇔ 4t - 2t + (2sin x - 8)t + (sin x - 4) = Do thử nghiệm nên ta biết (1) có nghiệm t = − Thực phép chia hai vế phương trình cho t + ta (1) ⇔ (t + )  4t + (2 + sin x − 8)  = Vậy -1 -1   cos x = cos x =   (1) ⇔ ⇔ 2   2  4cos x + 2sin x − = -2sin x + sin x − = ⇔ cos x = Do đó, (1) có nghiệm x = ± -1 2π ⇔x=± + k 2π ,(k ∈ ¢ ) 2π + k 2π ,(k ∈ ¢ ) Ví dụ Giải phương trình: 3cos2x + 5sinx + cosx - sin2x = (2) Phân tích Thử MTCT thu nghiệm x = π 5π ;x = Do dự đoán (2) 6 có nghiệm x thỏa mãn sin x = Hướng dẫn giải Đặt t = sin x, | t |≤ viết phương trình cho thành (2) ⇔ 3(1 − 2t ) + 5t + cos x - 2t.cos x = ⇔ 6t + (2cos x - 5)t + (1- cos x) = Theo dự đoán phương trình có nghiệm t1 = t1 + t2 = Áp dụng định lí Viet, ta − 2cos x − cos x =  sin x =  Vậy (2) ⇔  3sin x + cos x = Đến ta dễ dàng tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình π  2cos x + cos ( x + π ) = + sin x + 3cos  x + ÷+ sin x (3) 3 2  Phân tích Thay cos( x + π ) = -cos x,cos( x + π ) = − sin x vào phương trình (3) ta (3) ⇔ 6cos x + cos x - 3sin x + 9sin x - = (3') Thử MTCT thu nghiệm x = π Do dự đoán (3) có nghiệm x thỏa mãn sin x = Hướng dẫn giải Đặt t = sin x, | t |≤ Ta viết phương trình (2) thành −2t + (9 - 6cos x)t + 6cos x - = Phương trình có nghiệm t = Vậy sin x = sin x = (3) ⇔  ⇔ C 6cos x − sin x = =  2sin x + 6cos x = A −2  10 Từ suy (3) có nghiệm x = π + k 2π , (k ∈ ¢ ) Ví dụ Giải phương trình x − x3 − 114 x + 218 x + 220 = (4) Phân tích Sử dụng MTCT ta tìm hai nghiệm (4) x = 10 x = −11 Từ phân tích thành nhân tử đa thức x − x3 − 114 x + 218 x + 220 = ( x − 10)( x + 11)( x − x − 2) Đây phương trình tích phương trình đơn giản Hướng dẫn giải Ta có  x = 10  x − 10 =   (4) ⇔ ( x − 10)( x + 11)( x − x − 2) = ⇔  x + 11 = ⇔  x = −11 x = 1±  x − x − =  Ví dụ Tìm nghiệm x > phương trình x − x3 − 12 x − 21x + 30 = (5) Phân tích Sử dụng MTCT ta tìm nghiệm (5) x = > Từ phân tích thành nhân tử đa thức x − x3 − 12 x − 21x + 30 = ( x − 5)( x + x + x − 6) Sử dụng đạo hàm ta chứng minh phương trình x + 3x + 3x − = nghiệm với x > Hướng dẫn giải Ta có x = (5) ⇔ ( x − 5)( x + x + x − 6) = ⇔   x + 3x + 3x − = (*) Xét hàm số f ( x) = x3 + x + x − với x > ; f '( x) = x − x + = 3( x − 1) > 0, ∀x > Do f ( x) đồng biến khoảng (1; +∞) Suy f ( x) > f (1) = 1, ∀x > Vậy (*) nghiệm với x > Kết luận: (5) có nghiệm x = thỏa mãn x > Ví dụ Cho hàm số y = x − x + x + Chứng minh hàm số có điểm cực trị phân biệt Phân tích Ta có y ' = x3 − 12 x + Sử dụng MTCT ta tính nghiệm y ' x1 ≈ −1,8 ; x2 ≈ 0,3 ; x3 ≈ 1,5 khoảng chứa 11 Hướng dẫn giải Ta có y ' = x − 12 x + Ta chứng minh phương trình y ' = có nghiệm phân biệt Thật vậy, Áp dụng định lý hàm số liên tục cho hàm số g ( x) = x − 12 x + đoạn [ −2; −1] , [ 0;1] , [ 1;2] ta điều phải chứng minh Ví dụ Giải phương trình 2x + = x − + x + + x − − 14 (7) x +1 Phân tích Dùng chức SOLVE ta tìm nghiệm x = Sau đạo hàm ta chứng minh (7) có nhiều nghiệm Vậy (7) có nghiệm x = Hướng dẫn giải Xét hàm số 2x + , x ∈ ( 1; +∞ ] ; x +1 g ( x) = x − + x + + x − − 14, x ∈ ( 1; +∞ ] f ( x) = Dùng đạo hàm chứng minh miền [ 1; +∞ ) hàm số f ( x) nghịch biến Hàm số g ( x) đồng biến Suy (7) có nhiều nghiệm Mặt khác, x = nghiệm (7) Do (7) có nghiệm x = Nhận xét Nếu không dùng thành thạo máy tính khó khăn tìm nghiệm x = 5, đặc biệt phương trình mà nghiệm lớn Chẳng hạn (7) ta thay x x − 55 ta phương trình x − 102 = 3x − 56 + x − 51 + x − 111 − 14 3x − 54 Bằng cách lí luận ta chứng minh phương trình có nhiều nghiệm nghiệm tìm x = 20 Ví dụ (VMO 2008) Hãy xác định số nghiệm hệ phương trình  x + y = 29 (8)  log x.log y = Phân tích Đặt u = log x, v = log y , ta  u = u v =   v ⇔  u v 9 + − 29 =  v v  f (v) = + − 29 = (*) 12 Từ hệ phương trình dễ dàng suy u > 0, v > Xét phương trình (*) Ta có 1v 1v 1v v f '(v) = − ln + ln 8; f "(v) = ln + ln + 8v.ln > 0, ∀v > v v v Suy f '(v) đồng biến khoảng (0; +∞) Do f '(v) = có không nghiệm, (*) có không nghiệm 1  Dùng MTCT ta tìm hai khoảng nghiệm (*) (có thể chọn  ;1÷ (1;3) ) 9  Vậy f (v) = có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải Đặt u = log x, v = log y , ta  u.v = u = v ⇔  u v 9 + − 29 =  v v  f (v) = + − 29 = (*) Từ hệ phương trình dễ dàng suy u > 0, v > Xét phương trình (*) Ta có f '(v) = − 1v 1v 1v v ln + ln 8; f "( v ) = ln + ln + 8v.ln > 0, ∀v > v v v Suy f '(v) đồng biến khoảng (0; +∞) Do f '(v) = có không nghiệm, (*) có không nghiệm 1 Từ f  ÷ f (1) < 0; f (1) f (3) > tính liên tục hàm số f (v) khoảng 9 (0; +∞) ta nhận f (v) = có hai nghiệm phân biệt Vậy hệ (8) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ Giải hệ phương trình  x + y + x + y + = (9)   x + xy + x + y + = x2 + x + Phân tích Từ phương trình x + xy + x + y + = ta rút y = − vào x +1 phương trình lại ta phương trình bậc bốn Sử dụng MTCT ta tìm hai nghiệm phương trình bậc giải hệ (9) Nhận xét Ta giải hệ cách biến đổi tương đương dạng 13 ( x + 1) + 2( y + 2) =  ( x + 1)( y + 2) + ( x + 1) = u = x + Tuy nhiên cách làm tự nhiên phương trình đặt  v = y +  x + xy + x + y + = có dạng bậc với y nên rút y vào phương trình lại Điều khó khăn làm theo cách phương trình bậc nhận được, điều hoàn toàn đơn giải sử dụng MTCT Bài tập tương tự Bài Giải phương trình sau: a) sin x − 6sin x + 9sin x − cos3 x + 9cos x = b) sin x + sin x = cos8 x + cos6 x + cos x c) 4sin x + cos x + 3sin x.tan x - 3tan x = d ) sin x + 3sin x − 2cos x = e) sin x + sin x + cos6 x = cos x + cos x f ) x − x + x + x + = Bài Tìm nghiệm dương phương trình x − x + 17 x − 14 x + 14 x + 30 = Bài Tìm điểm cực trị hàm số f ( x) = x − x − x − x + 2013 Bài Giải hệ phương trình  x ( x + y + 1)( y + 1) = 3x − x + a)   xy + x + = x  x( y − 1)( x + y − 5) = b)   xy + y = Bài Chứng minh hệ  x3 + x + 3x + − 2013 − y =   y + y + y + − 2013 − x = có nghiệm 14 Ứng dụng MTCT kiểm tra giới hạn hàm số Để kiểm tra giới hạn hàm số x = x0 ta sử dụng MTCT tính giá trị hàm số điểm gần x0 Giá trị thu hàm số tiệm cận với giá trị giới hạn tìm Cụ thể: + Với x0 số thực, ta nhập hàm số vào máy sử dụng phím CALC tính giá trị hàm số số giá trị x gần x (sai số khoảng 10−6 →10−10 ) Chẳng hạn: Khi x dần tới nhập giá trị x gần ví dụ 1,000001 0,999999 Khi x dần tới 1+ phải nhập giá trị x > 1, ví dụ 1,000001 Khi x dần tới 1- phải nhập giá trị x < 1, ví dụ 0,999999 Khi x dần tới π π π nhập giá trị x + 0,000001 - 0,0000001 2 + Đối với giới hạn vô cực: Khi x → −∞ nhập giá trị tuyệt đối x khoảng từ -109 đến -103 (nếu nhập giá trị x có trị tuyệt đối lớn ví dụ -10 21 -1015 máy kết sai kết quả) Khi x → +∞ nhập giá trị tuyệt đối x khoảng từ 10 đến 109 (nếu nhập giá trị x lớn ví dụ 1015 1021 máy kết sai kết quả) Lưu ý Đối với giới hạn lượng giác cần cài đặt đơn vị đo “Radian” Ta cần tính vài giá trị x để dễ biết xác kết Khi máy báo kết quả: + Khoảng 105, 107 hay lớn hiểu kết + ∞ + Khoảng -107, -105 hay nhỏ hiểu kết −∞ + Khoảng1,357.10-05 hiểu kết Ví dụ Tính lim a) x→+∞ ) ( lim b) x→+∞ x2 + x + − x ( ) x2 + x + − x + 15 Phân tích a) Sau nhập hàm số vào máy, tính giá trị x = 10 có kết 0,5 Dự đoán kết 0,5 b) Sau nhập hàm số vào máy, tính x = 10 có kết 9968427066 Dự đoán kết +∞ Giải Ta có 1 x x + x + − x = lim = lim = x→+∞ x + x + + x x→+∞ 1 1+ + +1 x x ) lim a) x→+∞ ( b) lim x→+∞ ( x +1 1+ ) x2 + x + x + − x + = lim x→+∞ x + x + + x + 1 1+ x = +∞ 1 1 + + + 3+ x x3 x x x = lim x→+∞ Ví dụ Tính a) lim x→0 1+ x − − x x b) lim x→0 + x − + 3x x2 c) lim x→0 − x + + sin x 3x + − − x Phân tích a) Sau nhập hàm số vào máy, tính x = 0,0001 có kết 1,0833087 ≈ + x − − x 13 đoán lim = x→0 x 12 b) Sau nhập hàm số vào máy, tính x = 0,00001 có kết 0,5 Dự đoán lim x→0 + x − + 3x = x2 c) Sau nhập hàm số vào máy, tính x = 10-5 có kết Dự đoán 16 13 Dự 12 lim x→0 − x + + sin x = 3x + − − x Giải Ta có ( )  + x −1  1+ x − − x 2− 8− x   a ) lim = lim + x→0 x→0   x x x       2x x = lim  +  x→0  x + x + x  + − x + − x   ( )     (   = lim  x→0   b) lim x→0 ( )   13 + = + x +  + − x + ( − x )   12    )  + x − ( x + 1) ( x + 1) − + x  + x − + 3x = lim +   x→0  x2 x2 x2    2   x + x −x ( ) = lim  +  x→0   + x + ( x + 1)  x  x + + x + + x + + x  x  ) ( ) ( )    (     −1 ( x + 3) = lim  + x→0  + x + ( x + 1) ( x + 1) + ( x + 1) + x + ( + x )  c)   = −1 + =  2  − x + + sin x − x + + sin x x + − − x = : x x 3x + − − x 1− =   = 1+ x + sin x   x + −  + − 1÷ ÷:  x x   x  −2 sin x    + : − 1÷ ÷ x   3x + +  2x + Do lim x→0 − x + + sin x  −2    = + 1÷:  − 1÷ = 3x + − − x 1+   +  Bài tập tương tự Tính giới hạn sau kiểm tra kết MTCT x +1  x+2 1) lim  x→+∞  x + ÷  ; 1− x 2) lim − ; x→1 − x + − x 17 3x − + x + 3) lim ; x→0 − cos x + x − cos x 4) lim x→∞ x2 Ứng dụng MTCT kiểm tra kết tính tích phân xác định Trong số trường hợp, số toán tích phân phức tạp giải kết chưa đánh giá độ xác kết hay sai, ta sử dụng MTCT (Dùng phím ∫ dx ) để kiểm tra kết Lưu ý Đối với tích phân lượng giác cần cài đặt đơn vị đo “Radian” π Ví dụ Tính I = ∫ sin x + sin x dx + 3cos x π Giải Ta có I = ∫ ( 2cos x + 1) sin x + 3cos x dx  t2 −1 cos x = Đặt t = + 3cos x ⇒  ta 3sin x dt = − dx  + 3cos x 22 I = ∫ ( 2t + 1) dt = 91 2  2t  34 +t÷ =  9  27 Kiểm tra kết + Đổi 34 ≈ 1, 25926 27 + Dùng MTCT tính tích phân , hình kết 1,2593 So với kết gần suy đáp số cách giải π Ví dụ Tính I = ∫ tan x dx cos2 x Giải Đặt t = tan x ⇒ dt = ( + tan x ) dx ⇒ I= 3 3 dt 1− t2 = dx ; cos x = Vậy 1+ t2 1+ t2  t t   dt = − t − + dt =  − − t + ln ÷ ∫0 − t ∫0  1− t   Kiểm tra kết 18 +1  ÷ −1 ÷  3 + 10 = ln − −1 + Đổi + 10 ln − ≈ 0,016978649 −1 + Dùng MTCT tính tích phân trên, hình kết 0,016979 So với kết gần suy đáp số cách giải Bài tập tương tự Tính tích phân sau kiểm tra kết MTCT: ln x dx; x3 1) I1 = ∫ e π 2) I = ∫ x3 ln xdx; 3) I = ∫ ( esin x + cos x ) cos xdx Ứng dụng MTCT tính toán số phức Để thực phép toán số phức MTCT, ta làm sau: Ấn MODE , hình CMPLX sau thực phép toán Ví dụ Cho z1 = + 6i, z2 = − 7i, z3 = + 2i Tính z1 + z2 , z1 − z2 , z1 z2 , z1 , z1 , z1 , , z1 z2 z3 z2 z1 Giải + Tìm kết z1 + z2 : Ấn + ENG + − ENG = hình phần thực 7, ấn tiếp SHIFT = hình phần ảo -1i Vậy z1 + z2 = − i + Tương tự ta có z1 − z2 = + 13i + Tìm kết z1 z2 : Ấn ( + ENG ) x ( − ENG ) = hình phần thực 52, ấn tiếp SHIFT = hình phần ảo -23i Vậy z1 z2 = 52 − 23i + Tương tự ta có z1 = 0,6038 + 0,8868i z2 + Tìm kết z12 : Ấn ( + ENG ) x = hình phần thực 11, ấn tiếp SHIFT = hình phần ảo 60i Vậy z12 = 11 + 60i + Tìm kết z13 : Ấn ( + ENG ) x = hình phần thực 415, ấn tiếp SHIFT = hình phần ảo 234i Vậy z13 = 415 + 234i 19 + Tìm kết : Ấn ( + ENG ) ∧ (−) = hình phần thực z1 0,08197, ấn tiếp SHIFT = hình phần ảo -0,09836i Vậy = 0,08197 − 0,09836i z1 + Tìm kết z1 z2 z3 : Ấn ( + ENG ) x ( − ENG ) x (5 + ENG ) = hình phần thực 306, ấn tiếp SHIFT = hình phần ảo -11i Vậy z1 z2 z3 = 306 − 11i Ví dụ Tìm bậc hai số phức -3 + 4i Phân tích Ấn SHIFT + −3 SHIFT ) ) = , hình Pol ( −3, ) r =5 θ = 126.8698976 Ấn tiếp SHIFT − Re c ( X = Y =2 ( X ) ,Y ÷ 2) ALPHA ) ) SHIFT ) ALPHA S ⇔ D ÷ ) = , hình Khi + 2i bậc hai -3 + 4i, suy bậc hai lại -1 - 2i Giải Ta có (1 + 2i) = −3 + 4i Do -3 + 4i có bậc hai + 2i -1 - 2i Ví dụ Tìm bậc hai số phức + 6i Phân tích Tương tự, dùng MTCT ta tìm bậc hai + 6i + 2,236067977i = + i Giải Ta có ( ) + 6i = + 6i − = + 6i + 5i = + i ( ) suy + 6i có hai bậc hai ± + i 20 Ví dụ Giải phương trình z − z − i = tập số phức Phân tích Phương trình có biệt thức ∆ ' = + 4i Dùng MTCT ta tìm bậc hai + 4i + 1,732050808i = + i Giải Phương trình z − z − i = có biệt thức ( ) 2 ∆ ' = + 4i = + 3i − = + 4i + 3i = + i Do phương trình có hai nghiệm z1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 − + i  = − + i z2 = 1 + + i  = + i   4 4 Nhận xét Khi tìm bậc hai số phức với hỗ trợ MTCT ta kết xác nhanh nhiều so với việc phải giải hệ để tìm bậc hai sách giáo khoa trình bày Bài tập tương tự Bài Cho z = + i Tính z1 = z 2013 , z2 = z+z z 2012 , z3 = + 2i (1 + i) 2013 Bài Tìm bậc hai số phức z = -5 + 12i Bài Giải phương trình z + (1 + 2i ) z − + 2i = tập số phức Dự đoán tích chất dãy số Để dự đoán tính dãy số ta làm theo bước sau: - Lập quy trình MTBT để tính số số hạng dãy số, - Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán tính chất dãy số, - Chứng minh tính chất tìm quy nạp Ví dụ Tìm a2004 a1 =  n(n + 1) biết  a = ( a + 1) ; n ∈ ¥ *  n +1 (n + 2)(n + 3) n  Phân tích + Trước hết ta tính số số hạng đầu dãy (an ) , quy trình sau STO A SHIFT SHIFT ANPHA C ANPHA = STO B ANPHA 21 A ( ANPHA A + ) ÷ ( ( ( ANPHA ANPHA B A + ) + ) ( ANPHA ANPHA : ANPHA A + ANPHA : ANPHA ta dãy A ANPHA B + ) A ) ANPHA × = ANPHA = ANPHA C 27 11 13 , , , , , , 20 50 15 14 + Từ phân tích số hạng để tìm quy luật cho dãy trên:  a1 =  1.5   = = a2 = 30 3.10   2.7 2.7  = = a3 = ⇒ Dự đoán công thức số hạng tổng quát 20 40 4.10   (n − 1)(2n + 1) 27 3.9 2003.4009  an = = a4 = (1) ⇒ a2004 = 50 5.10 20050 10(n + 1)   Hướng dẫn giải Chứng minh công thức (1) quy nạp a1 = 1, a2 = Ví dụ (Singapore MO) Xét dãy số  * Nhận xét tính an+ = 2an − an + , n ∈ ¥ chất số học A = 4an an+ + chứng minh Phân tích + Tính số số hạng đầu dãy (an ) quy trình SHIFT STO A × - + SHIFT STO B × - ANPHA A + SHIFT STO A × - ANPHA B + SHIFT STO B ∆ SHIFT COPY = = ta dãy 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, + Từ kết trên, ta thấy - Với n = A = 25 = (2a2 − 1) 22 - Với n = A = 121 = (2a3 − 1) - Với n = A = 361 = (2a3 − 1) Từ ta chứng minh A = 4an an + + = (2an +1 − 1)2 (2) Hướng dẫn giải Chứng minh công thức (2) quy nạp Ví dụ Xét hội tụ dãy số (an ) với an = sin n , ∀n ∈ ¥ * n +1 Phân tích + Thực quy trình MODE SHIFT STO A sin ( ANPHA ANPHA : ÷ ) A ANPHA A ( ANPHA ANPHA = A + ) ANPHA A + = = ta kết sau (độ xác 10-9): n an n n 0,420735492 13 0,030011931 25 -0,005090451 37 -0,016935214 0,303099142 14 0,06604049 26 0,028242905 38 0,007599194 0,035280002 15 0,04064299 27 0,034156283 39 0,024094884 -0,151360499 16 -0,016935489 28 0,009341578 40 0,018173491 -0,159820712 17 -0,053410971 29 -0,022121129 41 -0,00377673 -0,039916499 18 -0,039525644 30 -0,031871987 42 -0,021314454 0,082123324 19 0,00749386 31 -0,012626176 43 -0,018903971 0,109928694 20 0,043473583 32 0,016709899 44 0,000393376 0,041211848 21 0,038029801 33 0,029409172 45 0,018497902 10 -0,049456464 22 -0,000384839 34 0,015116648 46 0,019186986 11 -0,083332517 23 -0,035259183 35 -0,011893963 47 0,00257444 12 -0,041274839 24 -0,036223134 36 -0,026804833 48 -0,015678666 an + Biểu adiễn điểm mặt phẳng toạ độ (n; an ) n 23 an n an n Dựa vào biểu diễn giúp cho ta rút nhận xét n lớn an gần ( an → 0) chất dãy hội tụ đến số Hướng dẫn giải Từ − sin n ≤ ≤ , ∀n ∈ ¥ * , dùng giới hạn kẹp suy n +1 n +1 n +1 lim sin n = n +1 Ví dụ Chứng minh dãy số u1 =  u = + u , ∀ n ≥  n +1 n có giới hạn Tìm giới hạn Phân tích + Thực quy trình = ( + ANS ) = = ta kết sau (độ xác 10-9): n un n 1,414213562 11 1,999999412 1,847759065 12 1,999999853 1,961570561 13 1,999999963 1,990369453 14 1,999999991 1,997590912 15 1,999999998 1,999397637 16 1,999999999 1,999849404 17 2,000000000 1,999962351 18 2,000000000 1,999990588 19 2,000000000 24 un 10 1,999997647 20 2,000000000 + Dựa vào kết ta nhận xét được: - Dãy số (un ) dãy tăng - Dự đoán giới hạn dãy số Hướng dẫn giải + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số (un ) tăng bị chặn, suy dãy (un ) có giới hạn + Giả sử lim un = a Lấy giới hạn hai vế công thức truy hồi xác định dãy số (un ) ta a= a ≥ ⇔a=2 2+a ⇔  a = + a Vậy lim un =  x1 >  Ví dụ Cho dãy số  1 125  * Chứng minh dãy số có giới hạn  xn+1 =  xn + x ÷, ∀n ∈ ¥ n    Tính giới hạn Phân tích Dùng MTCT tính số giá trị đầu dãy số, suy ra: + un ≥ , + lim un = Giải Từ điều kiện x1 > suy xn > 0, ∀n ∈ ¥ * Khi 1 125  125 xn +1 =  xn + xn + ÷ ≥ xn xn = 3 xn  xn Ta có 1 125  250 xn+1 = f ( xn ) , với f ( x ) =  x + ÷ f '( x) = − ⇒ f '( x) < , ∀x ≥ 3 x  3x Áp dụng định lý Lagrange, xn − = f ( xn−1 ) − f ( ) = f ' ( ξ n ) xn−1 − ≤ Từ suy 25 xn−1 − n −1 2 xn − ≤  ÷ 3 x1 − → ⇒ lim xn = n →∞ Bài tập tương tự u1 = −4, u2 = 10 un + Bài Cho dãy số  * Nhận xét tính chất n un + + un +1 = ( un + ) , ∀n ∈ ¥ chứng minh u1 = 0, u2 = 14, u3 = −18 u Nhận xét tính chất n chứng Bài Cho dãy số  n un +1 = 7un −1 − 6un− , ∀n ≥ minh  x1 = x2 =  Chứng minh Bài Cho dãy số ( xn ) xác định  2 2π  xn+1 = 5π xn + sin xn , ∀n ≥ dãy ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn u1 = 0, u2 =  (un ) có Bài (VMO 2008) Cho dãy  − xn * Chứng minh dãy u = + , ∀ n ∈ ¥  n + 2 giới hạn hữu hạn Tính giới hạn Hết 26 [...]... Dùng MTCT tính tích phân trên, màn hình hiện kết quả là 0,016979 So với kết quả gần đúng trên suy ra đáp số ở cách giải trên là đúng Bài tập tương tự Tính các tích phân sau và kiểm tra kết quả bằng MTCT: 2 ln x dx; x3 1 1) I1 = ∫ e π 2 1 0 2) I 2 = ∫ x3 ln 2 xdx; 3) I 3 = 2 ∫ ( esin x + cos x ) cos xdx 5 Ứng dụng MTCT trong tính toán số phức Để thực hiện được các phép toán trên số phức bằng MTCT, ... bằng MTCT 2 x +1  x+2 1) lim  x→+∞  x + 1 ÷  ; 1− x 2) lim − ; x→1 2 1 − x + 1 − x 17 3x 2 − 1 + 2 x 2 + 1 3) lim ; x→0 1 − cos x 3 1 + x 2 − cos x 4) lim x→∞ x2 4 Ứng dụng của MTCT kiểm tra kết quả tính tích phân xác định Trong một số trường hợp, một số bài toán tích phân phức tạp đã giải được kết quả nhưng chưa đánh giá được độ chính xác kết quả là đúng hay sai, khi đó ta có thể sử dụng MTCT. .. ta được 3sin x dt = − dx  2 1 + 3cos x 22 I = ∫ ( 2t 2 + 1) dt = 91 2 2  2t 3  34 +t÷ =  9 3  1 27 Kiểm tra kết quả + Đổi 34 ≈ 1, 25926 27 + Dùng MTCT tính tích phân trên , màn hình hiện kết quả là 1,2593 So với kết quả gần đúng trên suy ra đáp số ở cách giải trên là đúng π 6 4 Ví dụ 2 Tính I = ∫ tan x dx 0 cos2 x Giải Đặt t = tan x ⇒ dt = ( 1 + tan 2 x ) dx ⇒ I= 3 3 3 3 dt 1− t2 = dx ;... một căn bậc hai của -3 + 4i, suy ra căn bậc hai còn lại là -1 - 2i Giải Ta có (1 + 2i) 2 = −3 + 4i Do đó -3 + 4i có các căn bậc hai là 1 + 2i và -1 - 2i Ví dụ 3 Tìm căn bậc hai của số phức 4 + 6i 5 Phân tích Tương tự, dùng MTCT ta tìm được một căn bậc hai của 4 + 6i 5 là 3 + 2,236067977i = 3 + i 5 Giải Ta có ( ) 2 4 + 6i 5 = 9 + 6i 5 − 5 = 9 + 6i 5 + 5i 2 = 3 + i 5 ( ) suy ra 4 + 6i 5 có hai căn... ) tăng và bị chặn, suy ra dãy (un ) có giới hạn + Giả sử lim un = a Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác định dãy số (un ) ta được a= a ≥ 0 ⇔a=2 2+a ⇔  2 a = 2 + a Vậy lim un = 2  x1 > 0  Ví dụ 5 Cho dãy số  1 125  * Chứng minh dãy số có giới hạn  xn+1 = 3  2 xn + x 2 ÷, ∀n ∈ ¥ n    Tính giới hạn đó Phân tích Dùng MTCT tính một số giá trị đầu của dãy số, suy ra: + un ≥ 5 ,... Dùng MTCT ta tìm được một căn bậc hai của 1 + 4i 3 là 2 + 1,732050808i = 2 + i 3 Giải Phương trình 4 z 2 − 2 z − i 3 = 0 có biệt thức ( ) 2 2 ∆ ' = 1 + 4i 3 = 4 + 4 3i − 3 = 4 + 4i 3 + 3i = 2 + i 3 Do đó phương trình này có hai nghiệm là z1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 − 2 + i 3  = − 1 + i 3 và z2 = 1 + 2 + i 3  = 3 + i 3   4 4 4 4 Nhận xét Khi tìm căn bậc hai của số phức với sự hỗ trợ của MTCT. .. = − 1 + i 3 và z2 = 1 + 2 + i 3  = 3 + i 3   4 4 4 4 Nhận xét Khi tìm căn bậc hai của số phức với sự hỗ trợ của MTCT thì ta được kết quả chính xác và nhanh hơn rất nhiều so với việc phải giải hệ để tìm căn bậc hai như trong sách giáo khoa trình bày Bài tập tương tự Bài 1 Cho z = 3 + i Tính z1 = z 2013 , z2 = z+z z 2012 , z3 = 1 + 2i (1 + i) 2013 Bài 2 Tìm căn bậc hai của số phức z = -5 + 12i... b)   xy + 2 y = 9 Bài 5 Chứng minh rằng hệ  x3 + x + 3x + 1 − 2013 − y = 0  3  y + y + 3 y + 1 − 2013 − x = 0 có nghiệm duy nhất 14 3 Ứng dụng của MTCT kiểm tra giới hạn của hàm số Để kiểm tra giới hạn của một hàm số tại x = x0 ta sử dụng MTCT tính giá trị của hàm số đó tại những điểm gần x0 Giá trị thu được của hàm số sẽ tiệm cận với giá trị của giới hạn tìm được Cụ thể: + Với x0 là số thực,... + un ≥ 5 , + lim un = 5 Giải Từ điều kiện x1 > 0 suy ra xn > 0, ∀n ∈ ¥ * Khi đó 1 125  125 xn +1 =  xn + xn + 2 ÷ ≥ 3 xn xn 2 = 5 3 xn  xn Ta có 1 125  2 250 2 xn+1 = f ( xn ) , với f ( x ) =  2 x + 2 ÷ và f '( x) = − 3 ⇒ f '( x) < , ∀x ≥ 5 3 x  3 3x 3 Áp dụng định lý Lagrange, xn − 5 = f ( xn−1 ) − f ( 5 ) = f ' ( ξ n ) xn−1 − 5 ≤ Từ đó suy ra 25 2 xn−1 − 5 3 n −1 2 xn − 5 ≤  ÷ 3... 0 có dạng bậc nhất với y nên có thể rút y và thế vào phương trình còn lại Điều khó khăn duy nhất khi làm theo cách này là phương trình bậc 4 nhận được, điều này hoàn toàn đơn giải nếu chúng ta sử dụng MTCT Bài tập tương tự Bài 1 Giải các phương trình sau: a) sin 3 x − 6sin 2 x + 9sin x − cos3 x + 9cos x = 8 b) sin 2 x + sin x = cos8 x + cos6 x + cos 7 x c) 4sin x + cos x + 3sin x.tan x - 3tan x = 3 ... 10 ln − ≈ 0,016978649 −1 + Dùng MTCT tính tích phân trên, hình kết 0,016979 So với kết gần suy đáp số cách giải Bài tập tương tự Tính tích phân sau kiểm tra kết MTCT: ln x dx; x3 1) I1 = ∫ e π... kết MTCT x +1  x+2 1) lim  x→+∞  x + ÷  ; 1− x 2) lim − ; x→1 − x + − x 17 3x − + x + 3) lim ; x→0 − cos x + x − cos x 4) lim x→∞ x2 Ứng dụng MTCT kiểm tra kết tính tích phân xác định Trong. .. 2t  34 +t÷ =  9  27 Kiểm tra kết + Đổi 34 ≈ 1, 25926 27 + Dùng MTCT tính tích phân , hình kết 1,2593 So với kết gần suy đáp số cách giải π Ví dụ Tính I = ∫ tan x dx cos2 x Giải Đặt t =