Ứng dụng mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông và vật lý lý thuyết

Tôi xin cam đoan đề tài “Ứng dụng Mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông và vật lý lý thuyết”là đề tài do bản thân tôi nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS.. Thế h

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các thầy, cô giáo đã tận tình giảng dạy quan tâm tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Thái Hoa đã tận tình

chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè cùng các học viên lớp K17 VLLT & VLT

đã ủng hộ động viên và tạo mọi điều kiện trong thời gian học tập, nghiên cứu

để hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn mọi sự giúp đỡ vô cùng quý báu ấy!

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Mè Tiến Mạnh

Tôi xin cam đoan đề tài “Ứng dụng Mathematica trong một số bài

toán vật lý phổ thông và vật lý lý thuyết”là đề tài do bản thân tôi nghiên cứu

dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS Trần Thái Hoa, Khoa Vật lý trường

Đại học sư phạm Hà Nội 2 Đề tài không hề trùng lặp với bất kỳ một luận văn nào, kết quả nghiên cứu không trùng với tác giả khác

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Người cam đoan

Mè Tiến Mạnh

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Những đóng góp mới của đề tài 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

II NỘI DUNG 3

Chương 1 MỘT VÀI NÉT VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 3

1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica 3

1.2 Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica 3

1.3 Một số hàm thông dụng của Mathematica 5

Chương 2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA VÀO GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ 6

2.1 Một số bài toán vật lý phổ thông 6

2.1.1 Bài toán về chuyển động ném xiên 6

i u hi m h c h nh ph h ng 8

2.2 Một số bài toán về cơ học lượng tử và vật lý thống kê 11

Cơ học ượng 11

Vậ h ng ê 20

III KẾT LUẬN 26

IV DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHỤ LỤC

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Để giải quyết nhiều vấn đề trong vật lý, trong kỹ thuật, trong toán học,… người ta phải sử dụng các phần mềm toán học Ngay từ những năm 1960 đã xuất hiện những bó phần mềm kỹ thuật đầu tiên dựa trên các hệ đại số tượng trưng (symbolic algebraic system) Thế hệ thứ nhất của nó là ngôn ngữ Macsyma và Reduce, chủ yếu dùng cho các bài toán vật lý năng lượng cao, nhưng nó có nhược điểm là được định hướng chạy chủ yếu trên các máy tính lớn (main-frame computer) Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ trước có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn (do vậy có thể chạy trên máy tính cá nhân) và được bổ sung nhiều khả năng đại số và đồ thị hơn Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ Mathematica và MatLab (bản có bổ sung phần tính toán đại số tượng trưng) Trong đó Mathematica có ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các ngôn ngữ tính toán khác

Mặc dù lúc đầu ứng dụng của Mathematica chủ yếu trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật và toán, tuy nhiên việc ứng dụng của Mathematica ngày càng được mở rộng ra các lĩnh vực khác như sinh học, các khoa học xã hội nhờ khả năng mô hình hóa và mô phỏng các hệ lớn, kể cả các hệ động Hiện nay nó được sử dụng trong tất cả các công ty có tên trong Fortune 50, trong tất cả 15

bộ của chính phủ Mỹ và được giảng dạy trong tất cả 50 trường tổng hợp hàng đầu thế giới Nó trở thành chương trình ứng dụng lớn nhất được phát triển và chứa một số lượng lớn các thuật toán và các đổi mới kỹ thuật quan trọng Một trong những sáng kiến kỹ thuật là môi trường phần mềm dựa trên giao diện

tương tác được biết đến với tên là notebook Hiện nay đã có vài trăm chương

trình đặc chủng viết trên Mathematica được thương mại hóa một số đầu tạp chí chuyên nghành và khoảng 200 đầu sách về ngôn ngữ Mathematica.[8]

Với những tính năng ưu việt của phần mềm toán học Mathematica như khả năng tính toán, khả năng đồ họa, cũng như tính dễ sử dụng của nó trong việc xây dựng các mô hình và giải quyết các bài toán vật lý và cũng muốn mọi người có thêm một công cụ hữu ích để làm việc Nên bản thân tôi đã

chọn đề tài: “Ứng dụng Mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông

và vật lý lý thuyết”

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng phần mềm Mathematica áp dụng để giải các bài toán vật lý phổ thông, cơ học lượng tử và vật lý thống kê

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Lựa chọn các bài toán vật lý và lập trình bằng Mathematica để giải các bài toán vật lý này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Vật lý tính toán và áp dụng phần mềm Mathematica để giải một số bài toán vật lý phổ thông, vật lý thống kê và cơ học lượng tử

5 Những đóng góp mới của đề tài

Tìm hiểu rõ hơn về phần mềm Mathematica, cách sử dụng và các tính năng của phần mềm Lập trình các bài toán vật lý bằng phần mềm Mathematica để giúp các bạn học viên, sinh viên có thể dễ dàng sử dụng cộng

cụ Mathematica để thuận lợi hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học cũng như giải bài tập

6 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán

để nghiên cứu các bài toán vật lý phổ thông, vật lý thống kê và cơ học lượng

tử và nghiên cứu các tài liệu về phần mềm Mathematica

II NỘI DUNG Chương 1 MỘT VÀI NÉT VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica

Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ các tính toán kỹ thuật (technical computing), là dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng (symbolic manipulation) Khởi thủy của nguyên lý này là ngôn ngữ LIPS - ngôn ngữ nghiên cứu trí tuệ nhân (artificial intellect) - nghiên cứu các vấn đề như xử lý tiếng nói tự nhiên, các hệ chuyên gia (expert system), các vấn đề logic trong kỹ thuật robot (robotech), điều khiển và tự động hóa Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên đó là ngôn ngữ Macsyma và Reduce, chủ yếu dùng cho các bài toán vật lý năng lượng cao, nhưng chúng lại có nhược điểm là được định hướng chạy trên các máy tính lớn

Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ trước là có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn và bổ sung nhiều khả năng đại

số và đồ thị hơn và nó thể chạy trên máy tính cá nhân

Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ Mathematica và MatLab, trong đó Mathematica có ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các môi trường ngôn ngữ tính toán khác

Nhờ khả năng siêu việt của mình Mathematica không chỉ được ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật và toán mà còn mở rộng trong các lĩnh vực phức tạp khác như sinh học, khoa học xã hội, …

Phiên bản đầu tiên của Mathematica được phát hành 23/6/1988 Bản 2.0 được phát hành năm 1991 Bản mới nhất của Mathematica là bản 10.0.2

1.2 Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica

Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị của một hàm số với cấu trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị hai chiều, đồ thị ba chiều, đồ thị đường viền, đồ thị mật độ, …[8]

Ví dụ ta sử dụng lệnh sau để vẽ đồ thị của hàm số cos 2 x sinx trong đoạn

0.5 1.0

Hình 1.1 Hoặc ta có thể dùng lệnh sau đây để vẽ đồ thị ba chiều của hàm số

1.3 Một số hàm thông dụng của Mathematica

FactorInteger Phân tích ra thừa số nguyên số của n

y

x

1 n

Integrate [f(x),{x,a,b}] Tính tích phân xác định

Solve[fi==0, f == 0,{x,y}] Giải hệ phương trình

(tan ).x2v cos

2ht

g

Tầm bay xa và độ cao cực đại:

2 0

v sin 2L

g



2 2 0

v sinH

với F   F1 F2 Fn là hợp lực của các lực tác dụng lên vật

Sau đó chiếu lên các trục tọa độ để tìm phương trình chuyển động.[5]

Chiếu lên Ox: F1x F2 x Fnx

C

F  mkvv

Trong đó v và v là tốc độ và vận tốc của vật, k là hệ số cản của không khí Vẽ

đồ thị mô tả quá trình chuyển động của vật khi hệ số cản là k=5,2.10-5/2 và k=5,2.10-3 (đồ thị phải mô tả được chuyển động của vật khi không có lực cản) Từ đó rút ra vai trò của hệ số cản của không khí trong chuyển động ném xiên với v 50 m/s và 0 =450

ết qu thu đ c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 1]: (Hình 2.1)

Chú thích: Đồ thị khi không có lực cản là màu đỏ, khi có hệ số cản k1

là màu xanh lục, khi có hệ số cản k2 là xanh lam

động của vật ném xiên sẽ nhanh dừng lại hơn, tầm ném xa và độ cao cực đại giảm dẫn tới có quỹ đạo nhỏ dần

2.1.2 lý số liệu khi làm thực hành ở phổ thông

b, Hãy xử lý số liệu để xác định gia tốc rơi tự do g Và vẽ đồ thị s s(t2)

và v v(t), từ đó nhận xét đặc điểm của sự rơi tự do.[1,2]

ết qu thu đ c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 2]:

Hệ số giữa quãng đường s và bình phương thời gian t2

là: 4.91494 Vậy giá trị của gia tốc rơi tự do là g 9.88386±0.0696416

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 t s0.5

), hình 2.2 có dạng 1 đường th ng Như vậy, chuyển động rơi tự do là chuyển động th ng Mặt khác đồ thị v v(t) Hình 2.3

có dạng là đường th ng hướng lên suy ra vận tốc tăng đều theo thời gian Vậy chuyển động rơi tự do là chuyển động th ng nhanh dần đều

2.1.2.2 Th c h nh đo h m á ượ

A Lý thuyết

Cho một vật nằm trên mặt ph ng nghiêng P với góc nghiêng  so với mặt nằm ngang Khi nhỏ, vật vẫn nằm yên trên P không chuyển động Khi tăng độ nghiêng vật chuyển động xuống với gia tốc a Độ lớn của a chỉ phụ thuộc vào góc ngiêng  và hệ số t - gọi là hệ số ma sát trượt:

g cos

Gia tốc a được xác định theo công thức:

2

2sat

 , trong đó quãng đường

đi được s đo bằng thước, thời gian t đo bằng đồng hồ đo thời gian hiện số, điều khiển bằng công tắc và cổng quang điện Góc nghiêng có thể đọc ngay trên thước đo góc có gắn quả dọi, gắn vào mặt ph ng nghiêng

B lý số liệu

Trong thí nghiệm về "Xác định hệ số ma sát", khi tăng độ nghiêng của máng lên 200 thì người ta thấy vật bắt đầu chuyển động xuống với gia tốc a Biết độ dài quãng đường đo là s 0.6m, người ta đo được các giá trị thời gian vật đi hết quãng đường s là t trong 5 lần đo là t {1.018, 1.022, 1.038, 1.036, 1.028} Hãy xử lý số liệu trên để tính hệ số ma sát trượt giữa mặt ph ng nghiêng và vật Lấy g = 9,814m/s2

Hệ hàm riêng {n của toán tử F là một hệ cơ sở trực chu n đủ của không gian Hilbert các hàm trạng thái, vì vậy có thể khai triển duy nhất theo

hệ cơ sở này:

n n n

hệ lượng tử trong trạng thái được mô tả bởi hàm sóng (q) nào đó sẽ được tính bởi

B Một số bài toán về tr trung b nh

ài Hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng:

(ikx x )

(x) A.e 

  trong đó    x , và k là các hằng số Hãy tìm các trị trung bình: 2 2   2 2

 



ài : Hạt chuyển động trong giếng thế chữ nhật một chiều có thành cao vô

hạn được mô tả bởi hàm sóng đã chu n hóa:[6]

ết qu thu đ c khi thực hiên trên Mathematica [Phụ lục 5]:

Giá trị của

2 2

Max

dx

Giá trị của

2 2 2 2

np

HH0 V, (2.21) Trong đó, H0 là toán tử Hamilton đã được lý tưởng hóa, còn số thứ hai được gọi là toán tử nhiễu loạn

Biểu thị V là nhỏ, để biểu diễn điều đó ta đặt:

Với  là một thông số nhỏ không thứ nguyên

Giả sử biết các nghiệm 0

l

E và  l(l 1,2,3 ) để sau khi hiệu chỉnh, các giá trị hiệu chỉnh E và l lsẽ nghiệm đúng (2.20), (2.25) hay (2.26)

Khi xét bài toán nhiễu loạn dừng sẽ có 2 trường hợp xảy ra:

+Trường hợp bài toán lý tưởng không có suy biến

+Trường hợp bài toán lý tưởng có suy biến

B Một số bài toán về lý thuyết nhiễu loạn

Bài 1: Xét một electron trong hộp một chiều có chiều dài 1

o

A

a, Hãy tìm 4 hàm sóng đầu tiên (các hàm sóng chu n hóa) và vẽ dạng

đồ thị của chúng

b, Tính 4 mức năng lượng tương ứng và vẽ sơ đồ mức năng lượng

c, Tại t 0, hạt ở trạng thái n 1 Tại t 0, một giếng thế năng dạng chữ nhật V0=-104 eV, có tâm tại a/2 và độ rộng 10-12cm bất ngờ được đưa thêm vào giếng thế ban đầu và duy trì trong 5.10-18s, sau đó bị ngắt đi Sau khi mất

đi sự nhiễu loạn thì xác suất để thấy hệ ở từng trạng thái n 2, n 3, n 4 là bao nhiêu? (Chiều cao và chiều rộng của giếng thế đặc trưng cho 1 notron tương tác với 1 electron)

ết qu khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 7]:

(*Kết quả của 4 hàm sóng đầu tiên*)

n

2 a m



(*Kết quả 4 mức năng lượng đầu tiên*)

Bốn mức năng lượng đầu tiên tính theo Jun là

Hình 2.5

(*Kết quả thu được*)

Xác suất tìm thấy hệ tại trạng thái 2 sau khi mất đi nhiễu loạn là P2= 0

Xác suất tìm thấy hệ tại trạng thái 3 sau khi mất đi nhiễu loạn là

P3=0.000583387

Xác suất tìm thấy hệ tại trạng thái 4 sau khi mất đi nhiễu loạn là P4= 0

Bài 2: Xét một dao động tử điều hòa một chiều có tần số0 Kí hiệu các trị riêng năng lượng bằng n, bắt đầu từ n 0 ứng với giá trị năng lượng thấp nhất Một thế nhiễu loạn không phụ thuộc vào thời gian  V(x) được thêm vào thế năng dao động tử ban đầu Thay vì đưa ra dạng của thế nhiễu loạn V(x), ta

sẽ chỉ ra tường minh các phần tử ma trận của nó được tính toán trong biểu diễn của các trạng thái riêng không nhiễu loạn Một phần của ma trận đó được chỉ ra dưới đây trong đó  là một hằng số nhỏ và không có thứ nguyên

82

ết qu thu đ c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 8]:

Các mức năng lượng đầu tiên tính tới gần đúng bậc nhất theo lý thuyết nhiễu loạn là

Bài 1: Thiết lập phương trạng thái của khí lý tưởng đơn nguyên tử Trong

đó năng lượng và xung lượng của các hạt khí đó liên hệ với nhau bằng hệ

Ta suy ra phương trình trạng thái PV= k N T

Các đại lượng nhiệt động khác

Năng lượng tự do F= -k T Log[T3 N/4

Bài 2: Tìm năng lượng tự do F và nội năng U của cột khí lí tưởng có chiều

cao h và diện tích đáy  ở trong trường trọng lực một chiều có gia tốc g, nhiệt độ T, số hạt khí là N, khối lượng hạt là m

ết qu thu đ c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 10]:

Tích phân trạng thái của hệ

 

N ghm ghm

2 2

3N/ 2 e 1 e k T kmT2

2 2

3N/ 2 e 1 e k T kmT2

Bài 3: Tính tổng thống kê, năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao

động tử 3 chiều có các mức năng lượng n n 3

ω kT

Nω E

Nhiệt dung đ ng áp

2 2 2 2 V

Nω C

T k

Bài 4: Khảo sát hệ N dao dộng tử điều hòa tuyến tính độc lập

a, Tính năng lượng tự do và Entropy của N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập

b, Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung đ ng áp của N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập

ết qu thu đ c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 12]:

Tổng thống kê của hệ là

2

eZ

Năng lượng tự do của N dao động tử là

Entropy của N dao động tử

2

e

1 eS

ω kT ω

kT

T

Năng lượng trung bình

ω N

ω

kT kT

Nω C

kT

Bài 5: Tính độ biến thiên entropy giữa hai trạng thái a và b dữ liệu thu được

trên thực nghiệm bằng một quá trình đ ng áp:

 

Tb P

ết qu thu đ c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ Lục 13][8]:

Entropy của hệ là: S 7.50452

50 100 150 200 250 300 T K1

2 3 4 5

Cp Cal K

Đồ thị Cp và T

Hình 2.6

III KẾT LUẬN

Với đề tài: “Ứng dụng Mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông

và vật lý lý thuyết”, tôi đã hoàn thành cơ bản các nhiệm vụ nghiên cứu đã đề

3, Dùng phần mềm Mathematica để giải một số bài toán cơ học lượng tử

và vật lý thống kê một cách nhanh chóng, có hình vẽ mô tả các trạng thái mà

ta cần xét đến

Do thời gian có hạn, nên số lượng bài toán vật lý tôi đưa ra chưa nhiều

và chưa nhiều bài toán ở mức độ khó Tôi hi vọng đề tài này sẽ được nhiều bạn quan tâm, sẽ đem lại cho các bạn sinh viên, học viên và những người yêu thích bộ môn vật lý có thêm một công cụ toán hữu ích trong quá trình nghiên cứu khoa học