Một số bài toán về áp dụng định lý vi et

A ĐẶT VẤN ĐỀ 1- Cơ sở khoa học vấn đề a) Cơ sở lý luận - Quan điểm đổi phương pháp dạy học phương pháp dạy học tích cực : + Quan điểm đổi phương pháp dạy học : Luật Giáo dục quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên" Với mục tiêu giáo dục "giúp học sinh phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tính cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc" Chương trình giáo dục phổ thông "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm , đem lại niềm vui , hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh " + Phương pháp dạy học tích cực : Mục đích việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo phương pháp dạy học tích cực Phương pháp dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kỹ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập Làm cho "Học" trình kiến tạo , học sinh tìm tòi, khám phá, phát luyện tập khai thác sử lý thông tin… Học sinh tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Tổ hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm chân lý Chú trọng hình thành lực ( tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phương pháp kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng yêu cầu sống tương lai Những điều học cần thiết, bổ ích cho thân học sinh cho phát triển xã hội Muốn đổi cách học phải đổi cách dạy Cách dạy định cách học, nhiên, thói quen học tập thụ động học sinh ảnh hưởng đến cách dạy thầy Mặt khác, có trường hợp học sinh mong muốn học theo phương pháp dạy học tích cực giáo viên chưa đáp ứng Do vậy, giáo viên cần phải bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo phương pháp dạy học tích cực , tổ chức hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh Trong đổi phương pháp phải có hợp tác thầy trò, phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Trong việc nâng cao chất lượng dạy toán học trường phổ thông,việc cải tiến phương pháp dạy học có ý nghĩa quan trọng.Sự phát triển nhanh vũ bão khoa học kỹ thuật đặt cho người thầy nhiều yêu cầu phương pháp dạy học.Trong năm qua nhiều GV trường phổ thông có nhiều cố gắng cải tiến phương pháp dạy học toán theo phương pháp : “tinh giản,vững chắc” “vừa giảng vừa luyện” “phát huy trí lực HS” “gắn với đời sống lao động sản xuất” Học sinh học toán,một mụn khoa học sáng tạo hấp dẫn đòi hỏi HS phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức hướng dẫn GV Chính trình dạy cố gắng dạy cho HS cách định hướng phương pháp giải tập trước dạng bài, suy luận dạng câu hỏi tao dạng toán mà phạm vi kiến thức vẻn ven SGK, đứng trước dạng toán học sinh không bị bất ngờ.Ta thấy hệ thức vi – et trỡnh bày SGK lớp thật đơn giản khai thác sâu vào nghiờn cứu thỡ ta thấy nhiều cỏc loại cõu hỏi cú thể dặt b) Cơ sở thực tiễn sáng kiến kinh nghiệm : Sau xin phép trình bày đúc rút kinh nghiệm thông qua viết mong góp ý đồng nghiệp Trong trình giảng dạy ôn luyện học sinh lớp lớp cuối cấp quan trọng Để chuẩn bị tốt kiến thức cho cấp học hoàn thành tốt kì thi có tính chất quan trọng then chốt em kì thi hết học kì II kì thi vào lớp 10 kì thi vào trường chuyên, lớp chọ lớp chất lượng cao qua nghiên cứu sưu tập đề thi, tham khảo y kiến đồng nghiệp có nhiều năm kinh nghiệm thấy đề thi thường xuất toán gắn liền với dạng toán mà quen thuôc đơn giản học chương III Đại số lớp nội dung không giải phương trình tính tổng tích nghiệm có phương trình bậc phương tiện mà học sinh dùng phạm vi kiến thức hệ thức viet Nhưng nhà làm đề thi lại không dừng lại mà đòi hỏi mức suy luận học sinh tư toán học em Nếu sâu nghiên cứu thông qua đề thi tài liệu có liên quan ta phát triển hệ thức viet mức độ cao nhà làm đề thi có hàng loạt cách đặt câu hỏi khác mà nội dung áp dụng xung quanh hệ thức viet Tôi nêu cụ thể số dạng câu hỏi có liên quan áp dụng hệ thức viet phương trình bậc áp dụng nó: - Xét dấu nghiệm phương trình mà không cần phải giải nghiệm cụ thể phương trình - Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm thoả mãn điều kiện dấu “phương trình có nghiệm trái dấu, dấu, nghiệm dương phân biệt, nghiệm âm phân biệt” - Tính giá trị biểu thức cho trước mà có mối quan hệ nghiệm phương trình - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà nghiệm có mối quan hệ giàn buộc VD nghiệm gấp nghiệm kia, nghiệm bình phương nghiệm - Bài toán tổng quát suy luận từ định lý viet cho phép áp dụng vào số toán hàm số, tìm phần nguyên tìm số tận biểu thức luỹ thừa số vô tỷ, tìm số tận cùng, chứng minh biểu thức chia hết hay không chia hết cho số Từ hàng loạt kiến thức khai thác ta thấy việc giải toán em học sinh không đơn giản Khi để đáp ứng kiến thức cách giải dạng toán cho học sinh tiếp cận làm quen toán dạng thông qua kinh nghiệm giảng dạy - Mục đích nghiên cứu * Dựa sở lý luận , sở thực tiễn , t ôi tự đúc rút kinh nghiệm mạnh dạn viết đề tài nhằm mục đích : + Phát triển tư toán học cho học sinh + Rèn luyện kĩ quan sát , phân tích , tìm mối quan hệ kiệu toán + Hướng dẫn học sinh biết dựa vào dấu hiệu để phõn tớch hỡnh thành lời giải + Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải toán ứng dụng định lý vi – ét + Hướng dẫn học sinh biết tổng quát hoá toán ỏp dụng nú cỏc cụ thể + Một điều chắn việc ứng dụng toỏn cụ thể kớch thớch hứng thỳ học tập, úc sỏng tạo cỏc em , làm cho cỏc em khụng cảm thấy e ngại trước cỏc toỏn dạng Từ đú giỳp học sinh cú sở khoa học phõn tớch , định hướng lời giải cho cỏc toỏn vềcácách tìm chữ số tận , Giỳp cỏc em củng cố niềm tin yờu mụn toỏn học 3- Đối tượng nghiên cứu phạm vi áp dụng : + Đề tài thực trình giảng dạy bồi dưỡng HS giỏi lớp ôn luyên vào lớp 10 Năm học 2014 - 2015 : 30 học sinh + phạm vi áp dụng : chương trình lớp chương “ Đại số lớp 9” 4- Thời gian nghiên cứu : Đề tài thức thực : + Giai đoạn Bắt đầu từ ngày 15 tháng 11 năm 2014 đến ngày 25 tháng 12 năm 2014 + Giai đoạn : Hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm ngày 28 tháng năm 2015 5- Phương pháp nghiên cứu : - Đọc sách, tham khảo tài liệu - Thực tế chuyên đề, thảo luận đồng nghiệp - Dạy học thực tiễn lớp để rút kinh nghiệm - Thông qua học tập bồi dưỡng thường xuyên chu kì Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân rút số vấn đề có liên quan đến nội dung sáng kiến Trong năm học vừa qua quan tâm đến vấn đề mà học sinh mắc phải Qua trình bồi dưỡng học sinh , giỏi , qua làm kiểm tra khảo sát Tôi nắm khó khăn phải giải tập dạng Sau tổng hợp lại, phân loại thành ba nhóm Trong trình thực sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau : - Quan sát trực tiếp đối tượng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải vấn đề - Điều tra toàn diện đối tượng học sinh với tổng số 30 học sinh để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý em học môn toán, quan điểm em tìm hiểu vấn đề toán có ứng dụng định lý Vi - ẫt - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động giáo viên học sinh để phát trình độ nhận thức, phương pháp chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục - Thực nghiệm giáo dục bồi dưỡng học sinh , giỏi Tôi đưa vấn đề hướng dẫn học sinh trao đổi, thảo luận nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh biết phát cách áp dụng định lý Vi – Ét Từ hình thành lời giải Yêu cầu học sinh giải số tập theo nội dung sách giáo khoa , sách tham khảo đưa thêm vào yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức suy luận học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm hướng dẫn học sinh tìm quy luật toán dạng Từ tổ chức có hiệu dạy 6- Đồ dùng tài liệu tham khảo : * Đồ dùng : Bảng phụ , phấn màu , phiếu học tập , phiếu sinh hoạt nhóm * Tài liệu tham khảo : Sách giáo khoa , sách tập lớp ( tập - BGD&ĐT) Sách “Nâng cao phát triển Toán ” (Tác giả : Vũ Hữu Bình ) Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) môn toán Bộ giáo dục Đào tạo Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở môn toán Bộ giáo dục Đào tạo Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng BGD&ĐT Tuyển tập đề thi vào lớp 10 “ tác giả Lê Thống Nhất “ Một số tạp trí toán học B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I - KHẢO SÁT THỰC TẾ HỌC SINH KHI CHƯA THỰC HIỆN Tình trạng học sinh chưa thực đề tài Khi chưa thực đề tài , giảng dạy luyện tập , ôn tập , bồi dưỡng học sinh Tôi chủ yếu cho học sinh làm số tập từ đơn giản đến toán nâng cao áp dụng định lý Vi - Ét Yêu cầu học sinh phải tìm thuộc dạng định lý giải Tôi thấy đa số học sinh lúng túng , phương pháp giải , nhiều em bị bế tắc định hướng gặp phải toán dạng , học sinh chưa biết tự tìm tòi , khám phá kiến thức , kết hợp cá nhân hoạt động nhóm , tập thể để thống phương pháp giải Vì kết nhiều hạn chế 2- Số liệu điều tra trước thực đề tài * Bài toán khảo sát trước thực đề tài : Bài : Giải phương trỡnh ( ) 2009 + 2010 x − 2010 x − 2009 + 2010 =  x y + xy = Bài 2: Giải hệ phương trỡnh   x + y = Bài 3: Cho x1 , x hai nghiệm phương trỡnh x − x − = Hóy tớnh x1 + x Bài 4:Cho phương trình x − (m − 1) x − m + m − = ( 1) (với m tham số) a) Chứng minh phương trình cho có nghiệm trái dấu ∀ m b) Gọi nghiệm phương trình cho x , x Tìm m để biểu thức 3 x  x  A =  ÷ +  ÷ đạt giá trị lớn  x2   x1  Mỗi có lời giải : 2,5 điểm Kết khảo sát 30 học sinh cho thấy : Số lượng Tỉ lệ % Giỏi ( 8- 10 điểm) 3,3 Khá ( 6,5 - 7,5 điểm ) 10 Trung bình ( 5- điểm ) 10 33 Dưới trung bình ( < điểm ) 16 II - BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : BIỆN PHÁP TÁC ĐỘNG GIÁO DỤC * Đối với giáo viên : - Trước hết phải áp dụng phương pháp đổi học Hướng dẫn học sinh biết khám phá , tìm tòi , suy nghĩ - Tăng cường luyện tập loại tập , đưa phương pháp giải phù hợp - Soạn phương pháp , quy định , sử dụng dồ dùng dạy học : Phiếu học tập , bảng phụ , máy tính , phấn màu ,….phù hợp với yêu cầu mục tiêu toán hoàn cảnh có - Ra câu hỏi hợp lí , đưa hoạt động hợp lí nhằm phát huy tính độc lập , sáng tạo học sinhgiúp em tự khám phá , bước đầu làm quen với phương pháp tự nghiên cứu - Phân chia nhóm học sinh để em kiểm tra , giúp đỡ , kích thích học tập - Tiến hành thi đua giành nhiều điểm tôt , biểu dương khen thưởng em nhóm học tốt - Về phía học sinh + Chuẩn bị , có đầy đủ đồ dùng đến lớp + Nắm vận dụng tốt phép biến đổi đẳng thức + Biết rút nhận xét sau tập , biết so sánh , liên hệ kiến thức cũ GIẢI PHÁP KHOA HỌC TIẾN HÀNH Trong giảng dạy cho học sinh thấy nội dung có nhiều dạng nhiều hình thức Vì học sinh phải biết nhận dạng tập loại , phương pháp giải Học sinh thấy chung dạng dạng , khác dạng dạng để thêm bước , bớt bước mở rộng nâng cao Đối với số toán áp dụng định lý Vi – Ét Dạng : Tỡm nghiệm phương trỡnh mà khụng cần giải phương trỡnh Dạng : Tỡm hai số biết tổng tớch chỳng Dạng : Giải hệ phương trỡnh đối xứng kiểu Dạng : Ứng dụng vào toỏn hàm số Dạng 5: Tỡm giỏ trị biểu thức thụng qua toỏn tổng quỏt Dạng 6: xét dấu nghiệ phương trỡnh bậc hai Dạng 7; Tỡm điều kiện tham số để hai nghiệm thỏa mó hệ thức Dạng 8: Tỡm quan hệ hai nghiệm mà độc lập với tham số Sau hướng dẫn cho học sinh cụ thể dạng Hướng dẫn cách suy luận để tìm lời giải thỡ học sinh tự hình thành lời giảicủa toỏn , rút phương pháp giải biết so sánh dạng Học sinh kiểm tra kiến thức tự kiểm tra kiến thức thông qua hoạt động cá nhân hoạt động nhóm III ) NỘI DUNG ĐỀ TÀI A) KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm phân biệt x1 , x2 tổng tích hai nghiệm là: S = x1 + x2 = − c b P = x1.x2 = a a ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm Theo hệ thức Vi – ét: P = x1 , x2 = −m < Do x1 x2 trái dấu S = x1 + x2 = 10 nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn Bài tập7.3: Cho phương trình x − (m − 1) x − m + m − = ( 1) (với m tham số) a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình cho có nghiệm trái dấu ∀ m c) Gọi nghiệm phương trình cho x , x Tìm m để biểu thức 3 x  x  A =  ÷ +  ÷ đạt giá trị lớn  x2   x1  Lời Giải : a) Thay m = vào phương trình ta x −x −4 =0 ∆=1 −4.(−4) =17 >0 Phương trình có nghiệm phân biệt + 17 x1 = − 17 x2 = b)Xét 1 3  ac = −m + m − = −(m − m + 2) = −(m − m + + ) = − (m − ) +  4 4  2 1 1 3   Có  m − ÷ ≥ ⇔  m − ÷ +1 ≥ ⇔ P ≤ −1 ⇒ P < 0∀m 2 2 4   Vậy phương trình (1) có nghiệm trái dấu ∀m c) Gọi nghiệm phương trình cho x , x Từ kết phần b có x , x ≠ , biểu thức A xác định với x , x tính theo m ( x1 x ) > 0; ( ) < x2 x1 Đặt ( x1 ) = −a Với a > x2 Có A = -a + −a ⇒( x2 ) = x1 −a mang giá trị âm A đạt giá trị lớn - A có giá trị nhỏ a2 +1 Có -A = a + = a a Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a ( a > a >0) a 1 ( a + ) : ≥ a a a Có ⇔( a + ) : ≥1 a ⇔a + ≥2 a Vậy - A ≥ nên - A có giá trị nhỏ A ≤ -2 nên A có GTLN - * A =− 2⇔ − a+ =− − a ⇔ − a − =− a ⇔ − a.a −1 =− 2a ⇔ − a +2a −1 =0 ⇔ a −2 a +1 =0 ⇔ ( a −1) =0 ⇔ a =1 ( thoả mãn điều kiện a > ) x x • Với a = ( x ) = −1 ⇔ x = −1 ⇔ x1 = − x2 2 • Theo kết x1 = − x2 có S = x1 + x2 = − x2 + x2 = = b a ⇔ −( m − 1) = ⇔ m −1 = ⇔ m =1 * Kết luận : Với m = biểu thức A đạt giá trị lớn - Bài tập 7.4: Cho phương trình : x − (m − 1) x − m + m − = a) Chứng minh phương trình có nghiệm trái dấu với m b) Gọi nghiệm x x tìm giá trị m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ LỜI GIẢI a ) Ta có a = > c =−m +m −2 =−(m −m +2) =−( m −m + + ) 4 −7 =−( m − ) − ≤ Phưong trình có nghiệm trái dấu ⇔ −7 + m < ⇔ − < m < Với điều kiện giả sử x < ,x > theo đề ta có x1 = −7 + m ⇔ − x1 x2 = ⇔ −( ) = ⇔ − m2 = ⇔ m2 = ⇔ m = ± x2 Vì m > nên ta chọn m= Kết luận : Vậy với m = ( thoả mãn điều kiện − < m < ) phương trình cho có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối ngịch đảo nghiệm Bài tập 7.6: Xét phương trình : x − 2(m + 2) + 5m2 + = (1) với m tham số 1) Chứng minh với giá trị m phương trình (1) có nghiệm phân biệt 2) Gọi nghiệm phương trình (1) x1 , x2 , x3 , x4 Hãy tính theo m giá trị biểu thức M = 1 1 + + + 2 x1 x2 x3 x4 LỜI GIẢI : 1) Đặt x = y ( ĐK : y ≥ ) Pt (1) trở thành y − 2(m + 2) y + 5m + = (2) 2 ∆, =  −(m + 2)   − (5m + 3) = (m + 2) − (5m + 3) = m + 4m + − 5m − = m − m +1 1 + + 4 = (m − )2 + = ( m ) − 2m 2 3 2 Có ( m − ) ≥ ⇒( m − ) + ≥ 2 4 nên ∆, ≥ Phương trình (2) có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét có −b 2(m + 2) S = y1 + y2 = = = 2(m + 2) a P = y1 y2 = c = 5m + a Xét P = 5m + có m ≥ ⇔ 5m ≥ ⇔ 5m + ≥ nên P > với m ∈ Z ⇒y1 , y2 dấu Xét S = y1 + y2 = −b = 2(m + 2) a Vì m ≥ ⇔ m + ≥ ⇔ 2(m + 2) ≥ nên S > ⇒ y1 , y2 dấu dương (thoả mãn ĐK y ≥ 0) Vậy phương trình (2) có nghiệm phân biệt dấu dương nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt đối đôi 2) Theo kết phần a có x1 , x2 , x3 , x4 ≠ x1 = M = y1 , x2 = − y1 , x3 = y2 , x4 = − y2 1 1 + + + ( y1 ) ( − y1 ) ( y2 ) (− y2 ) = 1 1 + + + y1 y1 y2 y2 = 2 + y1 y2 = y1 +2 y2 y1 y2 = 2( y1 + y2 ) y1 y2 Thay kết S P vào M ta 2.2( m + 2) 4( m + 2) M = = 5m + 5m + 4( m + 2) Kết luận: M = 5m + Bài tập 7.7: Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m = ( mlà tham số) a) Chứng minh : Phương trình cho luôn có nghiệm với m b) Trong trường hợp m > x1 , x2 nghiệm phương trình nói tìm GTLN biểu thức x12 + x2 − 3( x1 + x2 ) + A= x1 x2 Giải: a) ∆, = [ −( m +1) ] − m = ( m +1) −m = m +2m +1 −m = m +m +1 1 = m +2 .m + + 4 =(m + ) + 2 3 Vì (m + ) ≥ nên (m + ) + ≥ 2 4 ∆, > 0∀m ∈ Z ⇒ Phương trình cho có nghiệm phân biệt với giá trị m x12 + x2 − 3( x1 + x2 ) + b) A = x1 x2 Theo kết phần a phương trình cho có nghiệm phân biệt áp dụng hệ thức Vi – ét ta có S = x1 + x2 = −b = 2m + a P = x1.x2 = c =m a Vì P = m > nên x2 , x2 ≠ biểu thức A xác định với giá trị x1 , x2 x1 , x2 tính theo m x12 + x1 x2 + x22 − x1 x2 − 3( x1 + x2 ) + A= x1.x2 ( x1 + x2 ) − x1.x2 − 3( x1 + x2 ) + = x1 x2 Thay S P vào biểu thức A ta : (2m + 2) − 2m − 3(2m + 2) + A= m 4m + 8m + − 2m − 3(2m + 2) + = m 4m + m +1 m2 = 4( ) = 4( + ) m m m m = 4(m + ) m = Theo bất dẳng thức Cô Si ( m + 1 > 0) ( m > 0và ) : ≥ m m m m ≥ m ⇔ m+ ≥ m ⇔ 4(m + ) ≥ m ⇔ m+ Vậy biểu thức A có GTNN Trong bất đẳng thức Cô Si dấu xảy ⇔ m = m ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Với m = thoả mãn điều kiện m > m = -1 không thoả mãn điều kiện m > Vậy với m = A có GTNN Bài tập 7.8 Xét phuương trình mx + (2m -1) x + m -2 = (1) với m tham số a ) Tìm m để phương trình có nghiệm x , x thoả mãn x12 + x22 − x1 x2 = b) Chứng minh m tích số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm số hữu tỉ Giải m ≠ a ) Điều kiện để m có nghiệm  ∆ ≥ Xét ∆ = (2m −1) − 4m( m − 2) m − m +1 − m + m = 4m +1 ∆ ≥ ⇔ 4m +1 ≥ ⇔ m ≥ −1 Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm m ≠ m ≥ −1 Với điều kiện theo hệ thức Vi ét có S = x1 + x2 = P = x1.x2 = −b −2m = a m c m −2 = a m A = x12 + x22 − x1 x2 Gọi = ( x1 + x2 ) − x1 x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 m ≠  Áp dụng hệ thức Vi ét có A = ( ĐK  −1 )  m ≥ ⇔( − 2m m−2 ) −3 =4 m m − 4m + 4m 3m − − =4 m2 m ⇔ − 4m + 4m − 3m + 6m = 4m ⇔ ⇔ −3m + 2m + = ⇔ 3m − 2m − = Có a + b + c = – – = => m = ( thoả mãn điều kiện m ≠ m ≥ m2 = −1 ) −1 −1 ( không thoả mãn điều kiện m ≠ m ≥ ) Vậy với m = phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 − x1 x2 = c) Gọi n ∈ N * ta có m = n( n + ) tích số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m ≠ ) d) Theo kết phần a ta có ∆ = 4m +1 = n( n +1) +1 = n + 4n +1 = (2n +1) ∆ ≥ phương trình có nghiệm với m ∆ = 2n + = 2n + ( n > ) − 2m + ∆ − 2n(n +1) + 2n +1 − 2n − 2n + 2n +1 x1 = = = 2m 2n(n +1) 2n(2n +1) − 2n 2(1 − n ) 2(1 − n)(1 + n) − n = = = = 2n( n +1) 2n( n +1) 2n( n +1) n − 2n − ∆ − 2n(n + 1) − 2n − 1 − 2n − 2n − 2n − x2 = = = 2m 2n(n + 1) 2n( n + 1) −2n − 4n −2n(n + 2) n+2 = = =− 2n( n + 1) 2n( n + 1) n +1 Vì n ∈ N * nên 1- n ∈ Z n ∈ N * => x1 = tử n +2 ∈ N * n +1 ∈ N * => x2 = − 1− n phân số ∈ Q n n+2 phân số ∈ Q n +1 Kết luận:Với m tích số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm số hữu tỉ ) Dạng toán 8: Tỡm mối quan hệ hai nghiệm khụng phụ thuộc tham số Bài tập 8,1 : Cho phương trình x - ax + a - = có nghiệm x1 , x2 x12 + x22 − a) Không giải phương trình tính giá trị biểu thức M = x1 x2 + x22 x1 b) Tìm a để tổng bình phương nghiệm số đạt GTNN ? Giải 3( x12 + x22 − 1) ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 1 a) M = = x1 x2 ( x1 + x2 ) x1 x2 ( x1 + x2 ) Theo hệ thức Vi ét có S = x1 + x2 = a; P = x1 x2 = a − Vậy M =  a − 2( a − 1) − 1 a (a − 1) = [ (a + 1)(a − 1) − 2(a − 1) ] a (a − 1) = 3(a − 1) 3(a − 1) 3( a − 1) = = a (a − 1) a (a − 1) a b) Ta có S = x1 + x2 = a (ĐK : a ≠ 0, a ≠ ) (1) P = x1.x2 = a − (2) Trừ vế (1) cho (2) ta có x1 + x2 − x1 x2 = , biểu thức liên hệ x x không phụ thuộc vào a C) CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Tỡm phần nguyờn số sau: ( + 15 ) 2008 ; ( + 1999 ) Bài Tỡm hai chữ số đứng bên phải bên trái dấu phẩy : Bài CMR: ( A = +4 ) n ( + −4 1999 ( 2+ n Bài Cho x1 , x hai nghiệm phương trỡnh x − ax + = 0, ( a ∈ Z ) 2010 ) luụn nhận giỏ trị nguyờn khụng chia hết cho 13 vúi n số tự nhiờn a) CMR: ) x1 + x nhận giỏ trị nguyờn Bài tập : Không giải phương trình cho biết dấu nghiệm ? a) x - 6x +8 = b) 11 x +13x -24 =0 c) x - 6x + = Bài tập : Chứng minh với giá trị k , phương trình a) x + kx -23 = có nghiệm trái dấu b) 12 x +70x + k +1 = có nghiệm trái dấu c) x - ( k +1)x + k = có nghiệm Bài tập : Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a) mx - 2(m +1)x + m + = b) (m -1) x + 3m + 2m + = c) (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = Bài tập : Cho phương trình x - 2m + m - = a) Tìm m để phương trình có nghiệm đối Tính nghiệm b) Định m để phương trình có nghiệm thực dương Bài tập : Cho phương trình x - mx +1 = ( m tham số ) a) Giải phương trình m = b) Với m = , giả sử phương trình cho có nghiệm x1 , x2 Không giải phương trình , tính giá trị biểu thức x12 + x1 x2 + x22 A= x1 x23 + x13 x2 Hướng dẫn giải: a) Với m = phương trình trở thành x -5x +1 = ∆ = 21 , phương trình có nghiệm phân biệt x1 = (5 + 21) , x2 = − 21 b)Với m = , ta có phương trình bậc hai : x − x + = Theo hệ thức Vi ét : S = x1 + x2 = P = x1.x2 = x12 + x1 x2 + x22 A= x1 x23 + x13 x2 3( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = 2 x1 x2  ( x1 + x2 + x1 x2 ) − x1 x2   = 3( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 x2  ( x1 + x2 ) − x1 x2   Thay S P vào A ta : A= 14 Bài tập :( đề thi học sinh giỏi lớp thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 -2004) (4đ) Cho phương trình bậc ẩn x : x − 2( m −1) x + 2m − 3m + = a) Chứng minh phương trình có nghiệm ≤ m ≤ b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình , chứng minh (1) x1 + x2 + x1 x2 ≤ 8 Hướng dẫn giải: a) Phương trình (1) có nghiệm ∆ , = (m − 1) − (2m − 3m + 1) ≥ ⇔ m − m ≤ ⇔ m(m − 1) ≤ ⇔ m ≥ m − ≤ ⇔ ≤ m ≤1 c) Khi m ≥ , theo hệ thức Vi ét có S = x1 + x2 = 2(m −1) P = x1.x2 = 2m − 3m +1 ⇒ Q = x1 + x2 + x1.x2 = 2(m − 1) + 2m − 3m + = 2m − m − = m2 − m 1 − = (m − ) − 2 16 Vì ≤ m ≤ ⇔ − 1 ≤ m − ≤ ⇒ (m − )2 ≤ 4 4 16 (m − ) − ≤0 16  9 Q =  − (m − )  = − 2(m − )  16 2 9 Vì 2(m − ) ≥ ⇔ −2( m − ) ≤ ⇔ − 2( m − ) ≤ ⇔ Q ≤ 4 8 Bài tập : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dương 2003 – 2004 ) Cho phương trình : x − x +1 = Tính x1 x2 + x2 x1 (Với x , x nghiệm phương trình) Hướng dẫn giải: Theo định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 1 ; x1 x2 = ⇒ x1 x2 = 2 Ta có A = x1 x2 + x2 x1 = x1 x2 ( x1 + x2 ) (1đ) Nếu S = x1 + x2 ⇒ S = x1 + x2 + x1 x2 = + ⇒ S = Do A = x1 x2 + x2 = 5+2 2 x1 +2 = 2 +2 Bài tập : (đề thi học sinh giỏi lớp - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ) a) Xác định m để phương trình x + 2mx + m − = có nghiệm phân biệt b) Gọi nghiệm x , x , Tìm GTNN biểu thức A = x1 x2 + x1 + x2 − Hướng dẫn giải: a) ∆, = m − 2( m − 2) = −m + Phương trình có nghiệm ⇔ ∆≥0 ⇔ −m ≥0 ⇔ m ≤4 ⇔ − ≤m ≤2 m2 − b)Theo định lý Vi ét có x1 + x2 = −m; x1 x2 = Do ta có A = x1 x2 + x1 + x2 − = (m + 2)( m − 3) Vì m ∈[ −2; ] nên (m + 2)(m - 3) ≤ 25 25 ≤ Khi A = ( m + 2)(3 − m) = −m + m + = −(m − ) + 4 Vậy GTNN A 25 m = Bài tập : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT khiếu Trần Phú) (2,5đ) 1) Chứng tỏ phương trình x − x +1 = có nghiệm phân biệt x , x 2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 x2 2) Tìm mđể phương trình x − 2mx + 2m − = có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm dấu âm hay dấu dương ? Hướng dẫn giải: 1) ∆, = − > nên phương trình có nghiệm phân biệt S = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = 42 − 2.1 = 14 P = x12 x22 = ( x1 x2 )2 = Vậy phương trình cần tìm x - 14x +1 = 2) Phương trình có nghiệm dấu ( m −1) + ≥ ∆, = m − 2m + ≥  ⇔ ⇔ ⇔ m > x1 x2 = 2m − > m ≥  Khi x1 + x2 = 2m > Suy phương trình có nghiệm dương Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006) Xét phương trình mx + (2m − 1) x + m − = vói m tham số a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thoả mãn x12 + x22 − x1 x2 − b) Chứng minh m tích hai số tự nhiên liên tiếp phương trình có nghiệm hữu tỉ ... nghiệm bình phương nghiệm - Bài toán tổng quát suy luận từ định lý viet cho phép áp dụng vào số toán hàm số, tìm phần nguyên tìm số tận biểu thức luỹ thừa số vô tỷ, tìm số tận cùng, chứng minh biểu... làm số tập từ đơn giản đến toán nâng cao áp dụng định lý Vi - Ét Yêu cầu học sinh phải tìm thuộc dạng định lý giải Tôi thấy đa số học sinh lúng túng , phương pháp giải , nhiều em bị bế tắc định. .. dẫn học sinh cách trình bày lời giải toán ứng dụng định lý vi – ét + Hướng dẫn học sinh biết tổng quát hoá toán ỏp dụng nú cỏc cụ thể + Một điều chắn việc ứng dụng toỏn cụ thể kớch thớch hứng thỳ