Một số bài toán về điểm cố định

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC ON TH THU MT S BI TON V IM C NH LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn, 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC ON TH THU MT S BI TON V IM C NH Chuyờn ngnh: PHNG PHP TON S CP Mó s: 60.46.01.13 LUN VN THC S TON HC Giỏo viờn hng dn: PGS.TS TRNH THANH HI Thỏi Nguyờn, 2015 MC LC Li núi u Chng 1: Kin thc chun b 1.1 Tớnh cht ng quy ca cỏc ng tam giỏc 1.2 nh lý Ceva 1.3 Phng tớch ca mt im i vi ng trũn 1.4 Phộp v t 1.5 Tớnh cht cng tuyn v tớch vụ hng ca vect Chng 2: Mt s bi toỏn liờn quan n im c nh chng trỡnh hỡnh hc ph thụng 10 2.1 Mt s bi toỏn liờn quan n ng thng 10 2.2 Mt s bi toỏn liờn quan n ng trũn 27 Kt lun 47 Ti liu tham kho 48 LI NểI U Trong chng trỡnh mụn Toỏn trng ph thụng, ni dung hỡnh hc luụn luụn cú sc hỳt c bit i vi cỏc hc sinh cú lũng ham mờ mụn Toỏn bi vỡ thụng qua vic i tỡm li gii cho cỏc bi toỏn hỡnh hc, cỏc em hc sinh cú c hi phỏt trin t duy, trớ tng tng v kh nng lp lun lụ gic Trong cỏc dng bi hỡnh hc, cỏc bi toỏn liờn quan n im c nh nh: - Chng minh cỏc ng thng, cỏc ng trũn luụn i qua mt im c nh; - Xỏc nh im c nh ca mt h ng thng, h cỏc ng trũn; - Xỏc nh im c nh m qu tớch luụn i qua phn nhiu l cỏc bi khú dnh cho hc sinh khỏ, gii v thng ch xut hin cỏc thi chn hc sinh gii cỏc cp Vi mong mun i sõu tỡm hiu v cỏc bi toỏn chng minh hỡnh hc liờn quan n im c nh cú th dng trc tip vo cụng tỏc ging dy mụn Toỏn nh trng ph thụng, Em chn ti Mt s bi toỏn v im c nh lm ti lun Thc s ca mỡnh Lun cú cỏc nhim v c th sau: 1) Su tm cỏc bi toỏn chng minh hỡnh hc cú liờn quan n im c nh trờn Toỏn hc tui tr, cỏc thi chn hc sinh gii Toỏn THCS, THPT v cỏc sỏch chuyờn kho 2) Phõn loi tỡm c s ca cỏch gii quyt bi toỏn thng c s dng phm vi kin thc ph thụng 3) a li chng minh chi tit cho mt s bi toỏn trờn Toỏn hc tui tr v thi chn hc sinh gii Toỏn hon thnh lun ny, Em ó nhn c s quan tõm, to mi iu kin ca Trng i hc Khoa hc m trc tip l Khoa Toỏn - Tin c bit Em ó nhn c s ch bo, giỳp t th cỏc Thy, Cụ giỏo tham gia ging dy cỏc hc phn sut quỏ trỡnh hc cao hc Nhõn dp ny, cho phộp Em c by t lũng bit n n cỏc Thy, Cụ giỏo ó tn tỡnh giỳp , ch bo Em sut thi gian hc ti trng i hc Khoa hc Do mt s iu kin ch quan v khỏch quan, lun vi ch Mt s bi toỏn v im c nh cũn cha thc s hon thin theo ý mun Em tha thit mong cỏc Thy, Cụ giỏo ch bo Em hon thin hn ni dung ca lun ny Em xin trõn trng cm n Hc viờn on Th Thu Chng 1: KIN THC CHUN B Trong chng ny, em xin trỡnh by tt mt s ph thụng c trớch dn t cỏc ti liu [1], [2], [3] 1.1 Tớnh cht ng quy ca cỏc ng tam giỏc Tớnh cht: Trong mt tam giỏc, ba ng cao (trung tuyn, trung trc, phõn giỏc) ng quy ti mt im Vớ d 1.1: Cho tam giỏc nhn ABC ni tip ng trũn (O) v M l mt im thay i trờn cung nh BC N l im i xng ca M qua trung im I ca AB Gi H v K ln lt l trc tõm ca tam giỏc ABC v tam giỏc NAB Gi s NK ct AB ti D, h KE vuụng gúc vi BC ti E Chng minh rng DE i qua trung im J ca HK Li gii: - T giỏc ANBM l hỡnh bỡnh hnh, suy BN//AM v AN//BM - K l trc tõm NAB nờn BK NA, AK NB Suy ra: BK BM v AK AM Suy t giỏc ni tip BKAM Vy K thuc ng trũn (O) Gi S l im i xng ca K qua E; R l im i xng ca K qua D, ta cú: BKC BSC (do i xng); BKC BAC (cựng chn cung BM) nờn BSC BAC Do BHC BAC 1800 Suy t giỏc BHCS l t giỏc ni tip nờn BHS BCS BCK Tng t t giỏc ABHR ni tip nờn AHR ABR ABK T (1) v (2) ta cú: AHB BHS AHR AHB BCK ABK AHB BCK ACK 1800 Suy S, H, R thng hng Vỡ DE l ng trung bỡnh ca tam giỏc KRS, nờn DE i qua trung im J ca HK (PCM) 1.2 nh lý Ceva nh lý: Gi E, F, G l ba im tng ng nm trờn cỏc cnh BC, CA, AB ca tam giỏc ABC Lỳc ú, ba ng thng AE, BF, CG ct ti mt im O v ch khi: AG BE CF (1) GB EC FA Chng Minh: Phn thun: T A v B, k cỏc ng song song vi BF, chỳng ln lt ct CG v AE ti K, L tng ng Ta cú: CF CO LC CO CF LC v => FA OD AK OD FA AK Xột cp tam giỏc ng dng LEC v OEB, AKG v BOG ta cú: BE BO AG AK v CE CL BG BO Suy ra: AG BE CF AK BO CL GB EC FA BO CL AK Phn o: Gi s AG BE CF GB EC FA Qua giao im ca cỏc ng thng AE v BF, ta k ng thng CC1, vi C1 nm trờn cnh AB Khi ú, theo chng minh phn thun ta cú: AC1 BE CF AG BE CF C1 B EC FA GB EC FA Suy ra: AC1 AG hay C1 G C1 B GB Vớ d 1.2: ( chn i tuyn quc gia d thi IMO 2007) Cho tam giỏc nhn ABC vi ng trũn ni tip I Gi (ka) l ng trũn cú tõm nm trờn ng cao ca gúc A v tip xỳc vi ng trũn (I) ti A1 Cỏc im B1, C1 xỏc nh tng t Chng minh AA1, BB1, CC1 ng qui ti P Li gii: Ta s chng minh bi toỏn: Cho tam giỏc ABC ngoi tip ng trũn (I) cú D l tip im ca ng trũn bng tip gúc A lờn BC Gi M, N l giao im ca AD vi (I) (N nm gia A v M) Gi s IM ct ng cao AH ti K, ta cú KA = KM Tht vy: Gi E l tip im ca (I) lờn BC Gi s IE ct (I) ti im th hai l N khỏc E Qua N v ng thng song song vi BC ct AB v AC ln lt ti B v C D thy tn ti mt phộp v t bin tam giỏc ABC thnh tam giỏc ABC Phộp v t ú cng bin tip im N ca ng trũn bng tip (I) ca ABC lờn BC thnh tip im D ca ng trũn bng tip (J) ca ABC lờn BC Suy A, N, D thng hng hay N trựng vi N Khi ú, tam giỏc IMN ng dng vi KMA (do IN // AK), m IMN cõn ti I nờn KAM cõn ti K hay KA = KM, suy ng trũn cú tõm thuc ng cao gúc A, i qua A v tip xỳc vi (I) ti M thỡ M thuc AD Ta cú ng trũn ú l nht Ta li cú: Gi D, E, F ln lt l tip im ca ng trũn bng tip cỏc gúc A, B, C ca tam giỏc ABC lờn cỏc cnh BC, CA, AB Theo b trờn, ta thy: A1 AD, B1 CF, C1 BE suy ra: AA1, BB1, CC1 ng quy v ch AD, BE, CF ng quy (1) Mt khỏc, t BC = a, CA = b, AB = c; AB BC CA P Suy ra: DB = EC = p c; DC = AF = p b; E = BF = p a Suy ra: DB EC FA Theo nh lớ Ceva ta cú AD, BE, CF ng quy (2) DC EA FB T (1) v (2), ta cú AA1, BB1, CC1 ng quy (PCM) 1.3 Phng tớch ca mt im i vi ng trũn Khỏi nim: Cho ng trũn tõm O, mt im M c nh Mt ng thng thay i i qua M ct ng trũn ti hai im A, B Ta luụn cú MA.MB MO2 R2 d R2 khụng i v c gi l phng tớch ca im M i vi ng trũn (O); kớ hiu P(M/ (O)) Cho hai ng trũn khụng ng tõm (O1; R1) v (O2; R2) Tp hp cỏc im M cú phng tớch i vi hai ng trũn bng l mt ng thng, ng thng ny c gi l trc ng phng ca hai ng trũn (O1) v (O2) Vớ d 1.3: Cho ng trũn tõm O v hai ng kớnh AB, CD Tip tuyn vi ng trũn (O) ti B ct AC ti P, PD ct ng trũn (O) ln na ti G Chng minh rng cỏc ng thng AG, BC, PO ng quy Li gii: Gi I l trung im ca PA, I l trung im ca PC Ta cú bn im O, B, C, I nm trờn ng trũn ng kớnh BI Mt khỏc vỡ OC = OG, IC = IG Suy ra: GAI ' CDG = COI ' GOI ' Suy ra: O, A, G, I nm trờn ng trũn Suy ra: P(O/ )= P(O/)= Ta cng cú (P/ )= PI PC PA.PI ' = (P/ ) Vy ta cú: PO l trc ng phng ca v AG l trc ng phng ca hai ng trũn (O) v BC l trc ng phng ca (O) v Vy AG, BC, PO ng quy (PCM) 1.4 Phộp v t Khỏi nim phộp v t: Phộp t tng ng mi im M vi im M' cho: OM' kOM c gi l phộp v t tõm O t s k k Kớ hiu: VO ; im O gi l tõm v t, v k gi l t s v t Phộp v t hon ton c xỏc nh bit tõm v t v t s v t k k - Ta cú: VO (M) = M' thỡ M' gi l nh ca M qua VO k - Phộp v t VO bin mt hỡnh H thnh hỡnh H' (H' gm ton im M' l k nh ca M H qua VO ) 1/ k Nu cú: OM' kOM thỡ ta cú VOk : M M ' v VO : M ' M Khi ú: - Ba im O, M, M' thng hng 2) Chng minh rng ng trũn ngoi tip tam giỏc DMN luụn i qua mt im c nh Li gii: Ta cú: MIN AIB 1800 900 900 A B 2 MIB MEB Vy t giỏc MEIB ni tip ng trũn ng kớnh IB IMN IMB nờn B v 900 suy IMN ng dng vi IBA MN IM sin IBM = cos MIB AB IB MN AB sin cos 900 sin khụng i 2) Gi P=ANBM thỡ I l trc tõm tam giỏc PAB ng trũn (DMN) l ng trũn Euler ca tam giỏc PAB, suy ng trũn (DMN) luụn i qua trung im K ca AB vi K c nh Bi toỏn 2.23: (VMO 2008-Prob.7) Cho tam giỏc ABC, trung tuyn AD Mt ng thng d vuụng gúc vi AD Xột M d Gi E, F ln lt l trung im ca MC, MB ng thng qua E, vuụng gúc vi d ct AB ti P, ng thng qua F, vuụng gúc vi d, ct AC ti Q Chng minh rng ng thng qua M, vuụng gúc vi PQ luụn i qua mt im c nh, M thay i trờn d 36 Li gii: Gi M b , M c theo th t l hỡnh chiu ca B, C trờn d Nhn xột rng, M M b thỡ P B, Q A ; M M c, thỡ P A, Q C Gi S l giao im ca ng thng i qua M b vuụng gúc vi AB v ng thng i qua Mc vuụng gúc vi AC, thỡ S c nh Q Ta s chng minh SM PQ Ta cú: SM b AP O SM c AQ => SM c AQ SM b AP O => SM PQ MM b AP MM c AQ O (1) Gi H, P, , Q, l hỡnh chiu ca H, P, Q trờn d Khi ú P, , Q, theo th t l trung im ca MMb, MMc (do E, F l trung im MB, MC) Vy: M ,b H HM c P,Q, => HQ, M b P , M b M Khi ú: MM b AP MM c AQ 2.MQ, HQ, MM b HP, = MQ, M b M MM b HP, = M M MQ P M P M HP = M M P Q HM O (2) = M b M MQ, HP, , , , b , b , b , b T (1) v (2) cú SM PQ O hay SM PQ (PCM) 37 Bi toỏn 2.24 ( chn i tuyn quc gia d thi IMO 2009) Cho tam giỏc nhn ABC ni tip ng trũn (O) Gi A1, B1, C1 v A2, B2, C2 ln lt l cỏc chõn ng cao ca tam giỏc ABC h t cỏc nh A, B, C v cỏc im i xng vi A1, B1, C1 qua trung im ca cỏc cnh BC, CA, AB Gi A3, B3, C3 ln lt l cỏc giao im ca ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc vi AB2C2, BC2A2, CA2B2 vi (O) Chng minh rng A1A3, B1B3, C1C3 ng quy Li gii: Ta s chng minh cỏc ng thng A1A3, B1B3, C1C3 cựng i qua trng tõm ca tam giỏc ABC Tht vy: Gi M l trung trc ca BC, A l im i xng vi A qua trung trc ca BC Ta s chng minh rng A trựng vi A3 hay ng trũn (AB2C2) ct (O) ti A Ta cú: A, A i xng qua trung trc ca BC nờn AB = AC, AC = AB Do A, B v C1, C2 cựng i xng vi qua trung im ca AB nờn BC2 = AC1 Tng t: CB2 = AB1 suy ra: BC2 AC1 AC A' B A' B ' ; AB AC CB2 AB1 AC Mt khỏc vỡ C3 BA' B3CA' Nờn C2BA=BCA, BC2 A CB2 A' , AC2 A' AB2 A' , Vy t giỏc AC2B2A l t giỏc ni tip hay A trựng vi A3 Gi G l giao im ca trung tuyn AM vi A1A3 Do AA3//A1M nờn AG AG AA 2; GM GM A1M 38 Suy G l trng tõm ca tam giỏc ABC hay ng thng A1A3 i qua trng tõm G ca tam giỏc ABC Tng t B1B3, C1C3 cng i qua G Vy cỏc ng thng A1A3, B1B3, C1C3 ng quy (PCM) Bi toỏn 2.25 ( chn i tuyn quc gia d thi IMO 2006) Cho tam giỏc ABC l tam giỏc nhn, khụng cõn, ni tip ng trũn tõm O bỏn kớnh R Mt ng thng d thay i cho d vuụng gúc vi OA v luụn ct cỏc tia AB, AC Gi M, N ln lt l giao im ca ng thng d v cỏc tia AB, AC Gi s cỏc ng thng BN v CM ct ti K; gi s ng thng AK ct ng thng BC Gi P l giao ca ng thng AK v ng thng BC Chng minh rng ng trũn ngoi tip ca tam giỏc MNP luụn i qua mt im c nh d thay i Li gii: Gi s AB < AC Do tam giỏc ABC khụng cõn nờn AO khụng vuụng gúc vi BC v MN khụng song song vi BC, suy MN phi ct ng thng BC ti mt im, gi s l Q; Gi I l trung im BC Theo nh lớ Menelaus cho ba im Q, M, N thng hng l: NA MB QB NC MA QC Mt khỏc, theo nh lớ Cộva cho cỏc on AP, BN, CM ng quy, ta cú: NA MB PB NC MA PC T ú, suy PB QB hay Q, B, P, C l mt hng im iu hũa, PC QC suy ra: IP IQ =IB2= IC2 Do I l trung im BC nờn OI BC QI2 BI2 = OQ2 OB2 39 Do ú: QI.QP= QI2 QI.PI = QI2 IB2 = OQ2 OB2 = QB.QC Theo tớnh cht phng tớch ca Q i vi (O) thỡ : OQ2 OB2 = OQ2 R2 =QB QC Mt khỏc t giỏc BMNC ni tip vỡ cú NCB xAB AMN (vi Ax l tia tip tuyn ca (O) Suy ra: QM QN = QB QC QM QN = QP QI Vy t giỏc MNIP ni tip hay ng trũn ngoi tip tam giỏc MNP luụn i qua im I c nh (PCM) Bi toỏn 2.26 ( chn i tuyn quc gia d thi IMO 2010) Cho tam giỏc ABC khụng vuụng ti A cú ng trung tuyn AM Gi D l mt im di ng trờn ng thng AM Gi (O1), (O2) l cỏc ng trũn i qua D, tip xỳc vi BC ln lt ti B v C Gi P, Q ln lt l giao im ca ng thng AB vi ng trũn (O1),ng thng AC vi ng trũn (O2) Chng minh rng: Tip tuyn ti P ca (O1) v tip tuyn ti Q ca (O2) phi ct ti mt im Gi giao im ú l S im S luụn di chuyn trờn mt ng thng c nh D di ng trờn AM Li gii: Vỡ M l trung im ca BC nờn MA2 = MB2 M cú cựng phng tớch n hai ng trũn (O1), (O2) hay M thuc trc ng phng Mt khỏc, hai ng trũn ct ti D nờn D cng nm trờn trc ng phng Vy DM chớnh l trc ng phng ca (O1), (O2) m A thuc ng thng DM nờn A cú cựng phng tớch n hai ng trũn (O1),(O2) AP AB AQ AC hay t giỏc BPQC ni tip T h thc trờn ta cng thy 40 rng nu P trựng vi A thỡ Q cng trựng vi A, nu P thuc on AB thỡ Q cng thuc on AC v ngc li Gi s gúc ABC nhn, gi Px l tia tip tuyn ca ng trũn (O1) cho gúc xPB nhn Theo tớnh cht tip tuyn, ta cú: xPB = PBC m PBC = AQP nờn xPB = AQB Vỡ Px cng l tip tuyn ca ng trũn (APQ) nờn (O1) tip xỳc vi ng trũn (APQ) Tng t ta cú (O2) tip xỳc vi ng trũn (APQ) Suy tip tuyn ti P ca (O1) v tip tuyn ti Q ca (O2) cng l hai tip tuyn ca (APQ) ti cỏc im P, Q Vỡ PAQ 900 (gt) nờn hai tip tuyn ú khụng song song hay chỳng phi ct (PCM) Theo chng minh trờn, ta cú S thuc tip tuyn ca (O1) v (O2), SP = SQ nờn S cú cựng phng tớch vi hai ng trũn (O1), (O2) nờn S thuc trc ng phng ca hai ng trũn ny, hay S nm trờn AM Khi D thay i trờn AM thỡ S cng di chuyn trờn AM l ng thng c nh Bi toỏn 2.27 ( chn i tuyn Quc gia thi IMO 2009) Cho ng trũn (O) cú ng kớnh AB v M l mt im bt kỡ nm (O), M khụng nm trờn AB Gi N l giao im ca phõn giỏc gúc M ca tam giỏc AMB vi ng trũn (O) ng phõn giỏc ngoi gúc AMB ct cỏc ng thng NA, NB ln lt ti P, Q ng thng MA ct ng trũn ng kớnh NQ ti R, ng thng MB ct ng trũn ng kớnh NP ti S v R, S khỏc M Chng minh rng ng trung tuyn ng vi nh N ca tam giỏc NRS luụn i qua mt im c nh M di ng phớa ng trũn Li gii: i) Qua R k ng thng song song vi PQ ct NA ti C, qua S k ng thng song song vi PQ ct NB ti D Gi I l trung im ca CD 41 Ta s chng minh CD//AB Tht vy, N thuc ng trũn ng kớnh AB nờn NAB 900 AN BN Suy BN l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh PN Suy BMN ng dng vi BNS Vỡ PQ l ng phõn giỏc gúc ngoi ca AMN nờn SMP APM QMR BMQ Mt khỏc cú SMP SNP (gúc ni tip cựng chn cung PS ca ng trũn ng kớnh PN), QMR QNR (gúc ni tip cựng chn cung QR ca ng trũn ng kớnh QN) nờn: SNP QNR SNP SNR QNR SNR CNR SNB Xột BNS v RNC cú CNR SNB v RCN MPN NSM NSB Nờn BNS ng dng vi RNC Vy cỏc tam giỏc BMN, BNS, RNC ng dng Tng t, ta cú cỏc tam giỏc DSN, RAN, NAM ng dng ii) Vỡ BNS ng dng vi RNC nờn NB NS ; NR NC NB.NC = NR.NS Vỡ DSN ng dng vi RAN nờn NS ND ; NA NR NA ND = NR NS Suy ra: NA NC = NB NC; NA NC ; AB // CD NB ND 42 Ta cú trung im ca AB, trung im ca CD v N l ba im thng hng tc l N, O, I thng hng (1) Hn na: BMN ng dng vi RNC nờn DSN ng dng vi NAM nờn MN BN NB.NC ; RC NC RC MN DN DS NA.ND DS MN NA MN Kt hp ta cú RC = DS, m RC// DS (cựng song song vi PQ) nờn t giỏc RCSD l hỡnh bỡnh hnh; Suy hai ng chộo CD v RS ca t giỏc ct ti trung im ca mi ng; Suy I l trung im ca CD cng l trung im ca RS Khi ú NI l trung tuyn ca tam giỏc NRS (2) T (1) v (2), suy ra: trung tuyn NI ca tam giỏc NRS luụn i qua O Vy trung tuyn ng vi nh N ca tam giỏc NRS luụn i qua I l im c nh M di ng khp phớa ng trũn (O) (PCM) Bi toỏn 2.28 (Vit Nam TST 2009) Cho ng trũn (O) vi ng kớnh AB Mt im M thay i ng trũn, khụng nm trờn AB Phõn giỏc ca gúc AMB ct ng trũn ti N, phõn giỏc ngoi ca gúc AMB ct NA, NB ti P, Q ng thng MA ct li ng trũn ng kớnh NQ ti S, ng thng MB ct li ng trũn ng kớnh NP ti R Chng minh rng trung tuyn k t nh N ca tam giỏc NRS luụn i qua mt im c nh M thay i Li gii: Kớ hiu (a; b) ch gúc nh hng gia hai ng thng a, b 43 Gi I l trung im ca RS; J, K theo th t l cỏc im i xng vi M qua NB, NA Khi ú N l trung im ca KJ Ta s chng minh NI i qua O Tht vy, ta cú:(MR; MA)+(MA ;MN) (KR ;KN) (KR; KA)+(KA; KN) (KR; KA) + (MN; MA) (mod ) Suy (MR; MA) (KR; KA) + 2(MN; MA) (mod ) (KR; KA) + (MB; MA) (KR; KA) + (MR; RA) (mod ) Suy (KR; KA) (mod ) hay A,R, K thng hng Tng t, ta cng cú B, S, J thng hng Ta cú: Suy S NSQ S AR BS v NRP S NJQ S NKP BJ AK BS AR S NSQ S NRP : : BJ AK S NJQ S NKP Mt khỏc, tớnh i xng (PR; PN) (KR; KN) (KA; KN) (MN;MA) (mod ) (MB; MN) (JN; JB) (JN; JS) (QN; QS) (mod ) Do hai tam giỏc NRP, NSQ ng dng, suy ra: tớnh i xng nờn: NP NQ nờn Vy: S NSQ S NRP NQ2 NP S NKP S NMp MP S NJQ S NMQ MQ MQ NQ MQ NP NQ PQ NQ suy MP NP NQ MP PQ NP NP BS AR BS AR : hay k BJ AK BJ AK Khi ú 2OI AR BS k ( AK BJ ) 2kON hay O, I, N thng hng (PCM) Bi toỏn 2.29 Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB, v im H c nh thuc AB T im K thay i trờn tip tuyn ti B ca O, v ng trũn (K; KH) ct (O) ti C v D 44 Chng minh rng CD luụn i qua mt im c nh Li gii: Gi I l im i xng ca H qua B, suy I c nh v thuc (K) Gi M l giao im ca CD v AB K Vỡ CD l trc ng phng ca (O) v (K) H A O B I nờn ta cú: MH MI MC.MD MA.MB MB BH MB BI MB MB BA MB BH MB BH MB MB.BA MB BH MB MB.BA BH BM BA 2 2 Vỡ A, B, H c nh suy M c nh Bi toỏn 30 (IMO 95/1) Trờn ng thng d ly im A, B, C, D (theo th t ú) ng trũn ng kớnh AC v BD ct ti X, Y ng thng XY ct BC ti Z Ly P l mt im trờn XY khỏc Z ng thng CP ct ng trũn ng kớnh AC ti im th l M, v BP ct ng trũn ng kớnh BD ti im th l N Chng minh rng AM, DN v XY ng qui Li gii: Gi Q, Q ln lt l giao im ca P DN v AM vi XY Ta cn chng minh Q Q X N Ta cú t giỏc QMCZ ni tip, suy M Q PM PC PQ.PZ T giỏc NQZB ni A tip, suy B Z C D PQ.PZ PN PB Do P thuc XY l trc ng phng ca Y 45 ng trũn ng kớnh AC v ng trũn ng kớnh BD nờn PN.PB PX PY PM PC Suy PQ.PZ PQ.PZ Q Q Vy XY, AM v DN ng quy (PCM) Bi toỏn 2.31 (Chn i tuyn Vit Nam 2006) Cho tam giỏc ABC l tam giỏc nhn v khụng phi tam giỏc cõn ni tip ng trũn tõm O bỏn kớnh R Mt ng thng d thay i cho vuụng gúc vi OA v luụn ct tia AB, AC Gi M, N ln lt l giao im ca d v AB, AC Gi s BN v CN ct ti K, AK ct BC Gi P l giao ca AK v BC Chng minh rng ng trũn ngoi tip tam giỏc MNP luụn i qua mt im c nh Li gii: A Gi Q l giao im ca MN v L Z BC, E l trung im BC Xột t giỏc H X Q N BMPC thỡ ta bit rng Q, P, B, C l J I O M hng im iu hũa vy (QPBC) = -1 Khi ú ta cú EP.EQ EB , Y K Q B P D C suy ra: QE.QP QE QE.PE QE EB2 OQ2 OB2 QB.QC Vỡ t giỏc BMNC ni tip (vỡ NCB xAB AMN ; Ax l tia tip tuyn ca (O)), suy QM QN QB.QC Vy QM QN QP.QE , suy t giỏc MNIP ni tip, hay ng trũn ngoi tip tam giỏc MNP luụn i qua im E c nh (PCM) 46 Mt s bi tng t Bi 3.1 Cho gúc vuụng xOy Cỏc im A v B theo th t di chuyn trờn cỏc tia Ox v Oy cho OA + OB = k (k khụng i) V cỏc ng trũn (A; OB), v (B; OA) Gi M, N l cỏc giao im ca (A) v (B) Chng minh ng thng MN luụn i qua mt im c nh Bi 3.2 Cho ng trũn (O) c nh T giỏc ABCD luụn luụn ngoi tip ng trũn (O) Gi I, J th t l trung im ca AC v BD Chng minh ng thng IJ i qua mt im c nh t giỏc ABCD thay i Bi 3.3 Cho ng trũn (O) v dõy BC c nh Tip tuyn ti B v C vi ng trũn (O) ct ti N im A di ng trờn cung ln BC, v dõy AM ca ng trũn (O) cho AM//BC, MN ct ng trũn (O) ti im th hai K Chng minh ng thng AK luụn i qua mt im c nh Bi 3.4 Cho tam giỏc ABC cỏc gúc u nhn, cnh BC c nh Cỏc ng cao ca tam giỏc ABC l AD, BE, CF ng thng EF ct BC ti P ng thng i qua D song song EF ct AC ti R v ct AB Q Chng minh ng trũn ngoi tip tam giỏc PQR luụn i qua mt im c nh im A thay i Bi 3.5 Cho ng trũn (O; R) c nh cho trc v M ngoi ng trũn (O) Gi MA, MB l tip tuyn ca (O), (A, B l tip im) Gi C l mt im bt kỡ trờn cung nh AB ca ng trũn tõm M bỏn kớnh MA (cung 47 AB nm ng trũn (O)) Cỏc tia AC, BC ct ng trũn (O) ti P, Q (P khỏc A, Q khỏc B) Chng minh ng thng PQ luụn i qua mt im c nh im C thay i Bi 3.6 Cho ng trũn (O) tõm O cú ng kớnh AB c nh Mt ng thng d tip xỳc vi (O) ti A Gi M l im thuc ng trũn (O), M khỏc A, B Tip tuyn ca (O) ti M ct d ti C Xột ng trũn (I) i qua M v tip xỳc vi d ti C Gi s CD l ng kớnh ca (I) Chng minh ng thng i qua D v vuụng gúc vi BC luụn i qua mt im c nh M di ng trờn ng trũn (O) Bi 3.7 Cho đoạn thẳng AB điểm M đoạn thẳng Từ M vẽ tia Mx vuông góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D cho MC= MA; MD = MB Đ-ờng tròn tâm O1 qua điểm A, M, C đ-ờng tròn tâm O2 qua điểm B, M, D cắt điểm thứ hai N Chứng minh đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định M chuyển AB Bi 3.8 Cho tam giỏc ABC vi ng cao AD (D thuc BC) Gi s cỏc tia DE, DF nm v hai phớa ca ng thng AD, ct cỏc ng thng AC v AB ti E v F cho ADE ADF Chng minh rng AD, BE, CF ng quy 48 KT LUN Trờn c s nghiờn cu mt s bi chng minh hỡnh hc liờn quan n ch im c nh, chỳng tụi nhn thy: Cỏc bi toỏn chng trỡnh ph thụng liờn quan n im c nh thng gm hai ni dung: D oỏn im c nh v chng minh cỏc ng thng, cỏc ng trũn, qu tớch luụn i qua im ú V phng hng chng minh thng c hc sinh quan tõm l da vo mt s tớnh cht quen thuc nh: tớnh ng quy ca cỏc ng tam giỏc, a giỏc ni tip, nh lý Ceva, phng tớch ca mt im i vi ng trũn, phộp v t, tớnh cng tuyn ca cỏc vộc t Lun ó hon thnh c cỏc nhim v c bn sau: Trỡnh by tt v mt s tớnh cht, nh lý cú th dng quỏ trỡnh chng minh bi toỏn im c nh Su tm mt s bi toỏn v im c nh Toỏn hc tui tr, ti liu bi dng hc sinh gii toỏn, thi chn hc sinh gii toỏn C gng a li gii chi tit hn cho mt s bi toỏn m ti liu mi ch nờn hng chng minh hoc a li gii tt Tuy nhiờn, cỏc vớ d trỡnh by lun ny mi ch l mt vi dng quen thuc v khú cha cao Em hy vng quỏ trỡnh dy hc Toỏn ph thụng s tip tc b xung thờm cỏc vớ d v dng chng minh im c nh ny dng vo thc tin ging dy 49 TI LIU THAM KHO [1] Phan c Chớnh (2001) Mt s phng phỏp chn lc gii cỏc bi toỏn s cp (tp 3), NXB HQG H Ni [2] Nguyn Mng Hy (2000) Cỏc phộp bin hỡnh mt phng NXB Giỏo dc [3] Nguyn Vn Mu, Nguyn ng Pht, Thanh Sn (2008) Hỡnh hc v mt s liờn quan NXB Giỏo dc [4] Nguyn Vn Mu, Nguyn V Lng, Nguyn Vn Xoa (2006) Tuyn thi tuyn sinh Trung hc ph thụng Chuyờn mụn Toỏn NXB Giỏo dc [5] Tuyn (2003) 40 nm Olympic Toỏn hc quc t NXB Giỏo dc [6] Tuyn (2009) Cỏc bi toỏn chn lc 45 nm Toỏn hc v Tui tr, NXB Giỏo dc [7] o Tam (2005) Giỏo trỡnh hỡnh hc s cp, NXB H S phm [8] Dan Bennett (1999) Exploring Geometry with Geometes Sketchpad Key Curriculum Press Innovators in Mathematics Education, CA, USA [9] website: VNMATH.com.vn 50 ... NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ THU MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hƣớng dẫn: PGS.TS TRỊNH... định như: - Chứng minh đường thẳng, đường tròn… qua điểm cố định; - Xác định điểm cố định họ đường thẳng, họ đường tròn; - Xác định điểm cố định mà quỹ tích qua… phần nhiều tập khó dành cho học... sâu tìm hiểu toán chứng minh hình học liên quan đến điểm cố định để vận dụng trực tiếp vào công tác giảng dạy môn Toán nhà trường phổ thông, Em chọn đề tài Một số toán điểm cố định làm đề tài