(Luận văn thạc sĩ) một số bài toán về điểm cố định

Q suy    MP NP NQ MP PQ NP NP BS AR BS AR  k :  hay BJ AK BJ AK Khi 2OI  AR  BS  k ( AK  BJ )  2kON hay O, I, N thẳng hàng (ĐPCM) Bài tốn 2.29 Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D 44 Chứng minh CD qua điểm cố định Lời giải: Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB K Vì CD trục đẳng phương (O) (K) H A O B I nên ta có: MH MI  MC.MD  MA.MB   MB  BH  MB  BI   MB  MB  BA  MB  BH  MB  BH   MB  MB.BA  MB  BH  MB  MB.BA  BH BM  BA  2 2 Vì A, B, H cố định suy M cố định Bài toán 30 (IMO 95/1) Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường trịn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường trịn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui Lời giải: Gọi Q, Q’ giao điểm P DN AM với XY Ta cần chứng minh Q  Q X N Ta có tứ giác QMCZ nội tiếp, suy M Q PM PC  PQ.PZ Tứ giác NQ’ZB nội A tiếp, suy B Z C D PQ.PZ  PN PB Do P thuộc XY trục đẳng phương Y 45 đường trịn đường kính AC đường trịn đường kính BD nên PN.PB  PX PY  PM PC Suy PQ.PZ  PQ.PZ  Q  Q Vậy XY, AM DN đồng quy (ĐPCM) Bài toán 2.31 (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC tam giác nhọn tam giác cân nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho vng góc với OA ln cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm d AB, AC Giả sử BN CN cắt K, AK cắt BC Gọi P giao AK BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định Lời giải: A Gọi Q giao điểm MN L Z BC, E trung điểm BC Xét tứ giác H X Q N Y BMPC ta biết Q, P, B, C J I hàng điểm điều hòa (QPBC) = -1 Khi ta có EP.EQ  EB , O M K Q B P D C suy ra: QE.QP  QE  QE.PE  QE  EB2  OQ2  OB2  QB.QC Vì tứ giác BMNC nội tiếp (vì NCB  xAB  AMN ; Ax tia tiếp tuyến (O)), suy QM QN  QB.QC Vậy QM QN  QP.QE , suy tứ giác MNIP nội tiếp, hay đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm E cố định (ĐPCM) 46 Một số tập tương tự Bài tập 3.1 Cho góc vng xOy Các điểm A B theo thứ tự di chuyển tia Ox Oy cho OA + OB = k (k không đổi) Vẽ đường tròn (A; OB), (B; OA) Gọi M, N giao điểm (A) (B) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài tập 3.2 Cho đường tròn (O) cố định Tứ giác ABCD ln ln ngoại tiếp đường trịn (O) Gọi I, J thứ tự trung điểm AC BD Chứng minh đường thẳng IJ qua điểm cố định tứ giác ABCD thay đổi Bài tập 3.3 Cho đường tròn (O) dây BC cố định Tiếp tuyến B C với đường tròn (O) cắt N Điểm A di động cung lớn BC, vẽ dây AM đường tròn (O) cho AM//BC, MN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh đường thẳng AK qua điểm cố định Bài tập 3.4 Cho tam giác ABC góc nhọn, cạnh BC cố định Các đường cao tam giác ABC AD, BE, CF Đường thẳng EF cắt BC P Đường thẳng qua D song song EF cắt AC R cắt AB Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua điểm cố định điểm A thay đổi Bài tập 3.5 Cho đường tròn (O; R) cố định cho trước M ngồi đường trịn (O) Gọi MA, MB tiếp tuyến (O), (A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB đường trịn tâm M bán kính MA (cung 47 AB nằm đường tròn (O)) Các tia AC, BC cắt đường tròn (O) P, Q (P khác A, Q khác B) Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định điểm C thay đổi Bài tập 3.6 Cho đường trịn (O) tâm O có đường kính AB cố định Một đường thẳng d tiếp xúc với (O) A Gọi M điểm thuộc đường tròn (O), M khác A, B Tiếp tuyến (O) M cắt d C Xét đường tròn (I) qua M tiếp xúc với d C Giả sử CD đường kính (I) Chứng minh đường thẳng qua D vng góc với BC qua điểm cố định M di động đường tròn (O) Bài tập 3.7 Cho đoạn thẳng AB điểm M đoạn thẳng Từ M vẽ tia Mx vuông góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D cho MC= MA; MD = MB Đ-ờng tròn tâm O1 qua điểm A, M, C đ-ờng tròn tâm O2 qua điểm B, M, D cắt ®iĨm thø hai N Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng MN qua điểm cố định M chun trªn AB Bài tập 3.8 Cho tam giác ABC với đường cao AD (D thuộc BC) Giả sử tia DE, DF nằm hai phía đường thẳng AD, cắt đường thẳng AC AB E F cho ADE  ADF Chứng minh AD, BE, CF đồng quy 48 KẾT LUẬN Trên sở nghiên cứu số tập chứng minh hình học liên quan đến chủ đề điểm cố định, chúng tơi nhận thấy: Các tốn chương trình phổ thơng liên quan đến điểm cố định thường gồm hai nội dung: Dự đoán điểm cố định chứng minh đường thẳng, đường trịn, quỹ tích… ln qua điểm Về phương hướng chứng minh thường học sinh quan tâm dựa vào số tính chất quen thuộc như: tính đồng quy đường tam giác, đa giác nội tiếp, định lý Ceva, phương tích điểm đường trịn, phép vị tự, tính cộng tuyến véc tơ… Luận văn hoàn thành nhiệm vụ sau: Trình bày vắn tắt số tính chất, định lý… vận dụng q trình chứng minh tốn điểm cố định Sưu tầm số toán điểm cố định tạp chí Tốn học tuổi trẻ, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán, đề thi chọn học sinh giỏi toán… Cố gắng đưa lời giải chi tiết cho số toán mà tài liệu nên hướng chứng minh đưa lời giải vắn tắt Tuy nhiên, ví dụ trình bày luận văn vài dạng quen thuộc độ khó chưa cao Em hy vọng q trình dạy học Tốn phổ thơng tiếp tục bổ xung thêm ví dụ dạng chứng minh điểm cố định để vận dụng vào thực tiễn giảng dạy 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính (2001) Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp (tập 3), NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Mộng Hy (2000) Các phép biến hình mặt phẳng NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008) Hình học số vấn đề liên quan NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Xoa (2006) Tuyển tập Đề thi tuyển sinh Trung học phổ thơng Chun mơn Tốn NXB Giáo dục [5] Tuyển tập (2003) 40 năm Olympic Toán học quốc tế NXB Giáo dục [6] Tuyển tập (2009) Các toán chọn lọc 45 năm tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục [7] Đào Tam (2005) Giáo trình hình học sơ cấp, NXB ĐH Sư phạm [8] Dan Bennett (1999) Exploring Geometry with Geomete’s Sketchpad Key Curriculum Press Innovators in Mathematics Education, CA, USA [9] website: VNMATH.com.vn 50 ... tính cộng tuyến véc tơ… Luận văn hoàn thành nhiệm vụ sau: Trình bày vắn tắt số tính chất, định lý… vận dụng q trình chứng minh toán điểm cố định Sưu tầm số tốn điểm cố định tạp chí Tốn học tuổi... nghiên cứu số tập chứng minh hình học liên quan đến chủ đề điểm cố định, nhận thấy: Các tốn chương trình phổ thơng liên quan đến điểm cố định thường gồm hai nội dung: Dự đoán điểm cố định chứng... tiếp tam giác PQR qua điểm cố định điểm A thay đổi Bài tập 3.5 Cho đường tròn (O; R) cố định cho trước M ngồi đường trịn (O) Gọi MA, MB tiếp tuyến (O), (A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB đường