BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI VÀ ỨNG DỤNG

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

N u A=0ho cB=0ho cC=0thì b t đ ng th c hi n nhiên đúng vì khi đĩ c hai v c a b t đ ng th c

• T ng quát : b t đ ng th c Bunhiacơpxki m r ng cho r ng cho mdãy s th c khơng âm:

Cho mdãy s th c khơng âm:

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

ab bc ca A

1

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Bài 14 : Cho các s th c d ng x y z t; ; ; tho mãn xyzt= Ch ng minh: 1

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

13

4

4

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

k

n k

k i

n x

k

n k

k i

n x

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Bài 2: Choa b c d; ; ; > Ch ng minh:0 1 1 4 16 64

Bài 4: Choa2 +b2 +c2 = Ch ng minh:1 a+ + +b c ab+ac+bc≤ +1 3

Bài 5: Choa b c là các s d; ; ng.Ch ng minh:

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

a T

−+

=

2

−+

+

−

c b

a c b

H ng d n gi i

Áp d ng B T Bunhiac pxki cho 6 s :

a c b a

c b

a c

b a

c

b

−+

−+

22

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Bài 4 : Cho ΔABC và đ ng trịn n i ti p Δ , các ti p tuy n c a đ ng trịn song song v i 3 c nh c a Δ nh

và cĩ di n tích S1; S2; S3 G i S là di n tích ΔABC Ch ng minh:

3

3 2 1

S S S

r ha

r pr aha= ⇒ 2 =

S S S

Áp d ng B T Bun ta cĩ:

3 2

Bài 5 : Cho ΔABC và 1 đi m Q nào đĩ trong Δ Qua Q k đ ng th ng song song v i AB c t AC M và c t

BC N Qua đi m Q k đ ng th ng song song v i AC c t AB F; c t BC E Qua E k đ ng th ng song song v i BC c t AC P, c t AB R Kí hi u S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S =

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

D u “=” x y ra khiS1=S2 = ⇔ Q là tr ng tâmS3 ΔABC

Bài 6 : Cho a , b , c là 3 c nh c a tam giác.Ch ng minh:

H ng d n gi i

G i A’; B’; C’ là các ti p đi m:

www.MATHVN.com

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

+ = các đi m M; N chuy n đ ng l n l t trên, các tia Ox; Oy sao cho MN luơn

ti p xúc v i (E) Xác đ nh to đ c a M; N đ đo n MN cĩ đ dài nh nh t Tìm giá tr nh nh t đĩ

90;

N y

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

(Vì theo cơng th c Hêrơng: s= p p( −a p b p c)( − )( − ) = xyz x( + +y z)

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

6

GA GB GC+ + +GD+ R≥ AB+AC+AD+BC+CD+DB ( Trích t p chí Tốn h c và Tu i tr )

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

• B đ 2: N u O; G theo th t là tâm m t c u ngo i ti p và tr ng tâm c a t di n ABCD thì

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

T (1)(2) suy ra đi u ph i ch ng minh

Tr l i vi c gi i bài tốn trên

Bài 2 : Cho ΔABCn i ti p đ ng trịn bán kính R;BC=a CA; =b AB; = G i x;y;z l n l t là kho ng cách t c

M thu c mi n trong c a ΔABCđ n các c nh BC;CA;AB.Ch ng minh: 2 2 2

Bài 4 : Cho a , b , c là 3 c nh c a tam giác và

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Bài 5 : i m M n m trong ΔABC.H MA , MB , MC l n l t vuơng gĩc v i BC;CA;AB.Xác đ nh v trí c a M

n

n n

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Thay a2+b2+c2 = vào B T trên ta nh n 1 đ c B T c n ch ng minh

Bài 7 : Cho , , ,a b c d là các s th c d ng Ch ng minh:

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Bài 9 : Cho a b c là các s th c d, , ng Ch ng minh : 25a 16b c 8

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Khơng m t tính t ng quát ta cĩ th gi s a≥ ≥ >b c 0 Theo gi thi t ta cĩ:

f a + f c ≥ f b (2)

D dàng ch ng minh r ng n u a=b ho c b=c thì (1) đúng Do đĩ ta ch c n xét tr ng h p a> > >b c 0 Khi đĩ ta vi t B T (1) d i d ng:

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page   

Bài 4: Cho a b c là các s th c d, , ng th a mãn đi u ki n a b c+ + =1 Tìm GTNN c a bi u th c