BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI VÀ ỨNG DỤNG

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI VÀ ỨNG DỤNG

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page I.Bt đng thc Bunhiacơpxki ( BCS ) : Cho 2 b s thc () 12 ; ; ; n aa a và () 12 ; ; ; n bb b , mi b gm n s. Khi đó ta có: () () ( ) 2 22 222 2 11 2 2 1 2 1 2 nn n n ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++ Du đng thc xy ra khi và ch khi: 12 12 n n a aa bb b === vi quy c nu mu bng 0 thì t phi bng 0. II. Các h qu : H qu 1: Nu 11 nn ax ax C++ =(khơng đi) thì () 22 1 22 1 min n n C xx aa ++ = + + đt đc khi 1 1 n n x x aa == H qu 2: Nu 222 1 n x xC++ = (khơng đi) thì () 22 11 1 max nn n ax ax C a a + += ++ đt đc khi 1 1 0 n n x x aa == ≥ () 22 11 1 min nn n ax ax C a a++ =− ++ Du “=” xy ra 1 1 0 n n x x aa ⇔==≤ III.Bt đng thc Bunhiacơpxki m rng: • M rng bt đng thc Bunhiacơpxki cho 3 dãy s thc khơng âm () 12 ; ; ; n aa a ; () 12 ; ; ; n bb b ; () 12 ; ; ; n cc c ta ln có : () () ( ) ( ) 2 33 333 333 3 111 222 1 2 1 2 1 2 nnn n n n abc abc a bc a a a b b b c c c+++ ≤+++ +++ +++ Chng minh: t 33 3 33 3 33 3 333 12 12 12 , , nn n Aaa aBbb bCcc c= + ++ = + ++ = + ++ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page Nu 0A = hoc 0B = hoc 0C = thì bt đng thc hin nhiên đúng vì khi đó c hai v ca bt đng thc đu bng 0. Vy ta ch xét trng hp 0; 0; 0ABC>>> t ;; iii iii abc xyz ABC === vi 1;2;3i = Khi đó ta có: 333 123 333 123 333 123 1 1 1 xxx yyy zzz ⎧ ++= ⎪ ++= ⎨ ⎪ ++= ⎩ và bt đng thc cn chng minh tr thành: 111 2 22 3 33 1xyz xyz xyz++≤ Áp dng bt đng thc Cauchy cho 3 s khơng âm: ( ) 333 ;; 1;2;3 iii xyzi= ta có: 333 111 111 333 222 222 333 333 333 3 3 3 x xx xyz x xx xyz x xx xyz ⎧ ++ ≤ ⎪ ⎪ ⎪ + + ≤ ⎨ ⎪ ⎪ ++ ≤ ⎪ ⎩ Cng các bt đng thc trên li ta đc: 111 2 22 3 33 1xyz xyz xyz + +≤(đpcm) ng thc xy ra 111 111 222 222 333 333 abc ABC xyz abc xyz ABC xyz abc ABC ⎧ == ⎪ == ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⇔==⇔ == ⎨⎨ ⎪⎪ == ⎩ ⎪ == ⎪ ⎩ Hay () :: :: 1;2;3 iii abc ABCi==tc là: 111 2 2 2 3 33 :: :: ::abc abc abc = = • Tng qt : bt đng thc Bunhiacơpxki m rng cho rng cho m dãy s thc khơng âm: Cho m dãy s thc khơng âm: () 12 ; ; ; n aa a , () 12 ; ; ; n bb b , … , () 12 ; ; ; n KK K Ta có: () ( ) ( )( ) 11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 m mm mmm m m m m nn n n n n ab K a b K a b K a a a b b b K K K+++ ≤++++++ +++ Du “=” xy ra khi và ch khi: 11 1 2 2 2 : : : : : : : : : nn n ab K ab K a b K==( chng minh tng t nh trên) I- MT S VÍ D : Bài 1: Cho ,, x yz là ba s dng tha 4 9 16 49xy z++ =. Chng minh rng: 12564 49T xy z = ++≥ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page ng thc xy ra khi nào? Hng dn gii Áp dng BT Bunhiacơpxki cho sáu s 2;3;4 x yzvà 158 ;; x yz ta đc: () ()()() 2 2 2 222 12584 1 5 8 49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z xy z xyz ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎡⎤ ⎢ ⎥ =++ ++ = + + + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ 2 2 158 2. 3. 4. 49xyz xyz ⎛⎞ ≥++ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 12564 49T xy z ⇒=+ + ≥ ng thc xy ra khi 1 2 158 5 234 3 4 9 16 49 2 x xyz y xy z z ⎧ = ⎪ ⎧ ⎪ == ⎪⎪ ⇔= ⎨⎨ ⎪⎪ ++ = ⎩ = ⎪ ⎪ ⎩ Bài 2 : Cho 0; 0xy>> và 22 x yxy+≤+.Chng minh: 325xy+≤+ Hng dn gii Gi thit: 22 22 111 222 xyxy x y ⎛⎞⎛⎞ +≤+⇔− +− ≤ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s: () 11 1; 3 ; ; 22 xy ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ ta có: 2 22 11 11 1. 1 3. 10 5 22 22 yxy ⎡⎤ ⎡⎤ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −+−≤ −+−≤ ⎢⎥ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ () 2 32 5xy⇒+− ≤ 32 5xy⇒+ −≤ 325xy⇒+ ≤+ ng thc xy ra khi 15 210 135 210 x y ⎧ =+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ Bài 3 : Cho , , 0abc≥ ; 1abc++=.Chng minh: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 222 1111 30 ab bc ac abc + ++≥ ++ Hng dn gii Gi 222 1111 A ab bc ac abc =+++ ++ Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s: ( ) 222 222 1111 ;;; ;3 ;3 ;3 ab bc ca abc abc ab bc ca ⎛⎞ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ++ Ta có: () () 2 222 1333 9 9 9a b c ab bc ca A+++ ≤ + + + + + ()( ) 2 100 7abc abbcca A ⎡⎤ ⇒≤+++ ++ ⎣⎦ (*) Mà () 2 11 (do 1) 33 ab bc ca a b c a b c++≤ ++ = ++= Do đó: (*) 30.A⇒≥ ng thc xy ra khi 1 3 abc=== Bài 4 : Cho ; ; 0xyz> và tho 1 x yz++≤.Chng minh : 222 222 111 82xyz xyz ++ ++ +≥ Hng dn gii Gi 222 222 111 Sx y z x yz =+++++ Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s: () 1 1; 9 ; ;x x ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có: 22 22 911 181. 82.xxx x x x +≤ + + = + (1) Tng t: 2 2 91 82.yy y y +≤ + ` (2) 2 2 91 82.zz z z +≤ + (3) Cng (1),(2) và (3) theo v ta đc: 111 .82 9Sxyz x yz ⎛⎞ ≥+++ + + ⎜⎟ ⎝⎠ Hay () () 111 .82 81 9 80Sxyz xyz xyz ⎛⎞ ≥+++++−++ ⎜⎟ ⎝⎠ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page () 111 2.9.3. 80 162 80 82xyz xyz ⎛⎞ ≥++++−≥−= ⎜⎟ ⎝⎠ Vy 222 222 111 82xyz xyz ++ ++ +≥ Bài 5 : Cho ba s thc dng ,,abctho ab bc ca abc + += .Chng minh rng: 22 22 22 222 3 ba cb ac ab bc ca +++ ++≥ Hng dn gii Ta có: 22 22 22 2 2 2211 2 ba ba ab ab a b ++ ==+(do ,abdng) t 111 ;;xyz abc === thì gi thit ,, 0 ;; 0 1 abc xyz ab bc ca abc x y z >> ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ ++= ++= ⎩⎩ và (đpcm) 22 22 22 2223xy yz zx⇔+++++≥ Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có: () ( ) () 2 22 222 323 x yxyyxyy+=++≥++ () 22 1 22 3 x yxy⇒+≥ + Tng t () 22 1 22 3 y zyz+≥ + () 22 1 22 3 zx zx+≥ + Vy () 22 22 22 1 2223333 3 xy yz zx xyz+++++≥ ++= ng thc xy ra khi 1 3 xyz=== Vi 1 3 xyz=== thì 3abc=== Bài 6 : Chng minh: () 111 1abccab−+ −+ −≤ + vi mi s thc dng ;; 1abc≥ Hng dn gii t 222 1;1;1axbycz−= −= −= Vi ; ; 0.xyz> Bt đng thc cn chng minh tr thành: ()()() 222 1111xyz z x y ⎡ ⎤ ++≤ + + ++ ⎣ ⎦ Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page ()() () ( ) 22 22 11 11 x yx y xyzx y z+≤++⇒++≤+++ (1) ()() ()() 22 22 2 11 111.1xy zxy z+++≤++++ (2) Kt hp (1) và (2) ta có ()()() 222 1111xyz z x y ⎡ ⎤ ++≤ + + ++ ⎣ ⎦ Vy () 111 1abccab−+ −+ −≤ + (đpcm) Bài 7 : Cho ; ; 0abc> và tho 1abc = .Chng minh: ()()() 333 1113 2 abc bca cab ++≥ +++ Hng dn gii t 111 ;;xyz abc === 1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>> Ta cn chng minh bt đng thc sau : A= 222 3 2 xyz yz zx xy + +≥ +++ Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s : () ;; ; ; ; xyz yz zx xy y zzxxy ⎛⎞ +++ ⎜⎟ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ Ta có: ()( ) 2 x yz yzzxxyA++ ≤ +++++ 3 33 . 22 2 xyz Axyz ++ ⇒≥ ≥ =(do 1xyz = ) 3 2 A⇒≥ ng thc xy ra khi 1 x yz=== Vi 1 x yz===thì 1.abc=== Bài 8 : Cho ; ; 0abc> .Chng minh: ()() ()() ()() 1 abc a abac b bcba c cacb ++≤ ++ + ++ + ++ + Hng dn gii Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s: ( ) ( ) ;;;ab ca Ta có: () ()() ()() 2 ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++ ()() aacaba abca⇒+ + ≤+ + + ()() aaa aacab abc aabac ⇒≤= ++ ++ ++ + (1) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page Tng t: ()() bb abc bbcba ≤ ++ ++ + (2) ()() cc abc ccacb ≤ ++ ++ + (3) Cng (1),(2) và (3) theo v ta đc: ()() ()() ()() 1 abc a abac b bcba c cacb ++≤ ++ + ++ + ++ + ng thc xy ra khi abc==. Bài 9 : Cho ; 0ab> và tho 22 9ab+=.Chng minh : 32 3 32 ab ab − ≤ ++ Hng dn gii Ta có: 22 9ab+= () ()() 2 29 233 ab a b ab a b a b ⇔=+− ⇔=++ +− 2 3 3 3 322 ab ab ab ab a b ab ⇔=+− ++ + ⇔=− ++ Mà theo BT Bunhiacơpxki thì 22 2. 3 2ab a b+≤ + = Nên 32 3 32 ab ab − ≤ ++ ng thc xy ra khi 22 ;0 3 9 2 ab ab ab ab > ⎧ ⎪ ⎪ +=⇔== ⎨ ⎪ ⎪ = ⎩ Bài 10: Cho ; ; ;abcddng tu ý.Chng minh : 111 p qpqpq a b c pa qb pb qc pc qa + ++ ++≥ + + +++ Hng dn gii Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có () () 2 2 pq pq p qpaqb paqb ab ab ⎛⎞ ⎛⎞ += + ≤+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Tng t ta chng minh đc () ()() () 22 ; pq pq p qpbqcpqpcqa bc ca ⎛⎞ ⎛⎞ +≤+ + +≤+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Cng các v tng ng ca ba bt đng thc ta có : www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page () () 2 111 111 pq pq p aqb pbqc pcqa abc ⎡⎤ ⎛⎞ +++≤+++ ⎜⎟ ⎢⎥ +++ ⎝⎠ ⎣⎦ Hay () 111111 pq p aqb pbqc pcqa abc ⎡⎤ +++≤++ ⎢⎥ +++ ⎣⎦ Vy 111 p qpqpq a b c pa qb pb qc pc qa + ++ ++≥ + + +++ Bài 11 : Cho 4 s dng ;;;abcd.Chng minh: 33332222 3 a b c d abcd bcd cda bd a abc +++ +++≥ ++ ++ + + ++ Hng dn gii t 3333 abcd P bcd cd a bda abc =+++ ++ ++ ++ ++ Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s: ()()()() () 3333 ;;;; ;;; abcd ab c d bc d a cd b a d a b c bcd cd a bd a abc ⎛⎞ ++ ++ ++ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ++ ++ ++ ⎝⎠ Ta có: () ()()()() 2 222 2 a b c d Pabcd bcda cd ab dabc+++ ≤ +++ +++ +++ ++⎡⎤ ⎣⎦ () () ( ) 2 2 222 2 222 2 abcd Pabcd abcd ⎡⎤ ⇔ +++ ≤ +++ − +++ ⎣⎦ (1) Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s: () ( ) ; ; ; ; 1; 1;1;1abcd ta đc: () () 2 222 2 4abcd abcd+++ ≤ + + + (2) T (1) và (2) ta đc () ( ) 2 222 2 222 2 222 2 3 3 abcd Pabcd abcd P +++ ≤ +++ ⇔+++≤ Vy 33332222 3 a b c d abcd bcd cda bda abc +++ +++≥ ++ ++ ++ ++ Bài 12 : Cho các s dng ;;abc tha a + b + c = 1 . Chng minh : 1 111 abc ba cb ac + +≥ +− +− +− Hng dn gii t 111 222 abc abc A ba cb ac bc ca ab =++ =++ +− +− +− + + + Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có: () () () () ()()() 2 2 222 222 222 222 abc abc a bc b ca c ab bc ca ab abc abc bca cab bc ca ab ⎡⎤ ++ = + + + + + ⎢⎥ ++ + ⎣⎦ ⎡⎤ ≤++ +++++ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎢⎥ +++ ⎣⎦ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page () () 2 3 abc A ab bc ca ++ ⇔≥ ++ Ta li có: ()( ) 2 3abc abbcca++ ≥ + + . Suy ra ( ) () 3 1 3 ab bc ca A ab bc ca ++ ≥= ++ Vy 1 111 abc ba cb ac ++≥ +− +− +− Du đng thc xy ra khi 222 1 3 1 bc ca ab abc abc abc += += + ⎧ ⎪ == ⇔=== ⎨ ⎪ ++= ⎩ Bài 13 : Gi s các s thc ;;; x yzttho mãn điu kin: ( ) ( ) 22 22 1ax y bz t + ++= vi ;ablà hai s dng cho trc. Chng minh: ()() ab xzyt ab + ++≤ Hng dn gii Do ; 0ab> nên t gi thit ta có: ()() 2222 22 22 22 22 1 1 1 xy zt ax y bz t baab xzyt babaab ++ ++ +=⇔ + = ⇔+++= Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có: () () 2 22 2 x zxz xz b a ba ba ba ⎛⎞ ⎛⎞ += + ≤+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (1) Tng t : ()() 22 2 y t yt ba ba ⎛⎞ +≤+ + ⎜⎟ ⎝⎠ (2) Cng tng v (1) và (2) ta đc: ()()() 22 22 22 x zyt ab xz yt ba baba ab ⎛⎞ + +++≤+ +++ = ⎜⎟ ⎝⎠ (3) Mt khác ()()()() 22 2 x zyt xzyt+++≥ + + (4) Do đó t (3) và (4) suy ra: ()() ab xzyt ab + ++≤ Du đng thc xy ra xz ba xy yt ax ba zt b xz yt ⎧ = ⎪ = ⎪ ⎧ ⎪⎪ ⇔= ⇔ ⎨⎨ == ⎪⎪ ⎩ +=+ ⎪ ⎪ ⎩ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page Bài 14 : Cho các s thc dng ;;; x yzttho mãn 1.xyzt = Chng minh: ()()()() 3333 11114 3 x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx +++ ≥ ++ ++ ++ + + Hng dn gii Vi ;;; x yzt dt 1111 ; ; ; ( ; ; ; 0)abcd abcd xyzt ==== >và 1abcd = 1111 ;;;xyzt abcd ⇒= = = = Bt đng thc cn chng minh tng vi: 333 3 11114 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 3 bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac abc d +++≥ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ++ ++ ++ ++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 3333 4 3 abcd bcd cda dab abc bcd adc abd abc ⇔+++≥ ++ + + ++ ++ ()()()() 333 3 4 3 abcd abcd bcda cd ab dabc ⇔+++≥ ++ + + ++ ++ (vì 1abcd = ) 2222 4 3 abcd bcd cd a d ab abc ⇔+++≥ ++ + + ++ ++ t 2222 abcd S bcd cd a d ab abc =+++ ++ + + ++ ++ Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có: ()()()()( ) 2 .S bcd cda dab abc abcd++ + + + + ++ + ++ ≥ +++ ⎡⎤ ⎣⎦ () () () 2 1 33 abcd Sabcd abcd +++ ⇒≥ = +++ +++ (1) Áp dng BT Cauchy vi 2 s dng: 2 ; 2ab ab cd cd+≥ +≥ Suy ra () 2abcd ab cd+++ ≥ + Li áp dng BT Cauchy cho 2 s dng ;ab cd ta có: 4 222ab cd abcd abcd+≥ = = (vì 1abcd = ) (2) T (1) và (2) suy ra 4 3 S ≥ Vy 333 3 11114 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 3 bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac abc d +++≥ ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞ ++ ++ ++ ++ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠ Du đng thc xy ra khi 11abcd x yzt====⇔==== . www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... 49 0 t GTNN và GTNN c a Mn là 7 x.x0 16 C2: Pt ti p tuy n t i i m (x0; y0) thu c (E) là MN 2 3 n V y v i M (2 7;0; N (0; 21) thì MN 2 ng trên 2 tia Ox; Oy 7 m: Suy ra to dài nh nh t Tìm giá tr nh nh t ó y 1 0 n ng th ng này tx v i (E) khi và ch khi: 16 => MN t trên, các tia Ox; Oy sao cho MN ln ng d n gi i C1: G i M(m;O) và N(O,r) v i m; n>0 là 2 i m C2 ng th ng MN có pt: ng l n l c a M và N là M 162... www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Bài 4 : Cho ABC và ng tròn n i ti p , các ti p tuy n c a GV Đỗ Kim Sơn ng tròn song song v i 3 c nh c a S ABC Ch ng minh: S1 S 2 S 3 3 H ng d n gi i và có di n tích S1; S2; S3 G i S là di n tích nh Gi s S1= SAMN Ta có: AMN ng d ng ABC v i t s ng cao k t ng d ng là: ha 2r v i r là bán kính ha ng tròn n i ti p và ha là nh A 2 2 S ha 2r a Ta có: 1 1 S ha p 1 2r a... p a b c p 1 12 12 12 S1 S2 S3 S ( pcm) D u “=” x y ra khi ABC 3 u Bài 5 : Cho ABC và 1 i m Q nào ó trong Qua Q k ng th ng song song v i AB c t AC M và c t BC N Qua i m Q k ng th ng song song v i AC c t AB F; c t BC E Qua E k ng th ng song song v i BC c t AC P, c t AB R Kí hi u S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S = dt(ABC).Ch ng minh: 2 1 S1 S2 S3 b) S1 S 2 S3 a) S S 3 H ng d n gi i MP a)... ; y3 ; y4 a b c d T (1) và (2) xi yi n Cn 3 a b c d 8 2 (2) 2 ( pcm ) 3 0; c 0 Ch ng minh : Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 a4 b c b4 c4 c a a b a3 b3 2 www.MATHVN.com c3 Page www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang H 4 4 ng d n gi i 4 a b c 2 2 2 2 y12 ; b 2 c a y2 ; c 2 a b ; x2 ; x3 và a b c b c c a a b c: Áp d ng B T Bunhiacơpxki ta có cho các s x1 ; x2 ; x3 và y1 ; y2 ; y3 ta t x12... và N là M 162 2 x0 92 2 y0 2 x0 16 2 y0 9 y y0 9 1 16 9 ;0 và N 0; x0 y0 162 2 x0 9 2 y0 4 3 2 49 2 7;0 ; N 0; 21 và GTNN c a MN là 7 Bài 10 : Cho ABC Cho p; q; r >0 CMR: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 P q r a2 q r p b2 r p q c2 2s 3 www.MATHVN.com Page www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn (Trích t p chí tốn h c và tu i tr ) H Tr ng d n gi i c h t ta ch ng minh bài tốn sau:... GA2 OG 2 GA2 R 2 OG 2 r r Ta có R.GA OA.GA OA.GA 2 2 T ó theo các b 1 và 2, ta có AB 2 AC 2 AD 2 R.GA 8 Theo B T Cauchy và Bunhiacơpxki, ta có 6 R GA Suy ra 2 6 R.GA 6 R GA 3 8 R.GA AB AC AD 2 DB 2 BC 2 AB AC AD (2) 2 BC BD BA 6 R GC CD CA CB 6 R GD ng t AC 2 (1) AD 6 R GB T 3 AB 2 GV Đỗ Kim Sơn DA DB DC 2 AB AC 6 ng th c x y ra khi và ch khi t di n ABCD là Suy ra GA GB GC GD 4 R AD BC CD DB u BÀI T... AB; MQ song song CD 1 1 1 D u “=” x y ra khi nào? Ch ng minh : 2 2 2 MP MQ AB CD 2 D NG 1: B t ng th c Schwartz ( Sv cx ) Cho m t s ngun d ng n 1 và hai dãy s th c a1 ; a2 ; ; an và b1 ; b2 ; ; bn , trong ó ai a12 b1 a2 b2 Khi ó ta có: ng th c x y ra khi và ch khi a1 b1 a2 n bn a2 2 b2 0; bi 0; i 1, n 2 a1 a2 an b1 b2 bn an bn Ch ng minh: B T c n ch ng minh t ng ng v i: a2 a a2 2 n b1 b2 bn... Bunhiacơpxki ta có: 2 xy yz zt tx x2 y 2 y3 z3 t3 x z t x y t x y H ng d n gi i z2 t2 y2 z2 y2 z2 t 2 t: X y z t ; Y x z t ; Z x y t ; T x Khơng m t tính t ng qt gi s : x y z t x 2 y 2 z 2 t 2 và x3 y 3 z 3 t 3 1 3 x2 x2 1 và y t2 z GV Đỗ Kim Sơn z t x z t x y t x y z (1) y Y X z Z 1 X T 1 Y 1 Z 1 T Áp d ng B T Trê-b -s p cho hai dãy s sau: x3 y 3 z 3 t 3 1 1 1 1 X Y Z T x3 X y3 Y z3 Z t3 T 1 1 4 X 1 Y Áp... và Tu i tr ) H ng d n gi i Ta có 2 b : B 1: N u G là tr ng tâm c a t di n ABCD thì 2 3 AB AC 2 AD 2 CD 2 DB 2 BC 2 2 GA 16 Ch ng minh: G i Ga là tr ng tâm c a BCD Ta có: r 9 9 1 uuu uuur uuur 2 2 GA2 AGa AB AC AD 16 16 9 uuu 2 uuur 2 uuur 2 r uuur uuur 2 uuur uuu 2 uuu uuur 2 r r AC AD AD AB AB AC 3 AB AC AD 3 AB 2 AC 2 AD 2 CD 2 16 DB 2 BC 2 16 B 2: N u O; G theo th t là tâm m t c u ngo i ti p và. .. xk k 1 n2 k 1 2 1 xik n2 n xik k 1 2 n xk V y k 1 n2 1 1 xik 2 n BÀI T P : Bài 1: Cho a; b; c; d 0 và th a c 2 d2 Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 a2 3 b 2 Ch ng minh: a3 c b3 d 1 www.MATHVN.com Page www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang 64 a b c d a3 b3 c3 1 Bài 3: Cho a; b; c là 3 s d ng và a 2 b 2 c 2 1 Ch ng minh: b c c a a b 2 2 2 2 3 Bài 4: Cho a b c 1 Ch ng minh: a b c ab ac bc 1 . I- MT S VÍ D : Bài 1: Cho ,, x yz là ba s dng tha 4 9 16 49xy z++ =. Chng minh rng: 12564 49T xy z = ++≥ www. MATHVN. com www. MATHVN. com Trường. 3 333 12 12 12 , , nn n Aaa aBbb bCcc c= + ++ = + ++ = + ++ www. MATHVN. com www. MATHVN. com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi