Một số các kĩ năng giải phương trình lượng giác

Nhằm giúp các bạn ôn thi có kết quả tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng toán đó I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH 1, Phương trình sử dụng các công thức[r]

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các đề thi đại học năm gần đây , đa số các bài toán giải phương trình lượng giác rơi vào hai dạng :phương trình đưa dạng tích và phương trình chứa ẩn mẫu Nhằm giúp các bạn ôn thi có kết tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu số kĩ quan trọng dạng toán đó I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH 1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích , công thức hạ bậc ,… Bài Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) Giải 1   sin 6x  sin x    sin 5x  sin 2x    sin 4x  sin 3x    2sin 7x  5x x 3x  7x 3x cos  2cosx+1   cos  cos   cos    4sin   2 2 2 k2   7x x  sin    3x  k2   cos   x   ;k  Z   3   2cosx+1   x   2  k2    *Lưu ý : Khi ghép cặp để tổng ( hiệu ) sin ( cos ) cần để ý đến góc để cho tổng hiệu các góc 23 Bài Giải phương trình : cos3xcos3 x  sin 3x sin x  (2) Giải 1 23    cos x  cos4x  cos2x   sin x  cos2x  cos4x   2 23 23  cos4x  cos x  sin x   cos2x  cos x  sin x    cos4x  cos 2x  4  k  4cos4x  1  cos4x     cos4x   x     k  Z 16 *Lưu ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh việc sử dụng công thức nhân   Bài Giải phương trình : 2cos   2x   3cos4x  4cos x  (3) 4  Giải Lop12.net CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882    4x   3cos4x  4cos x   sin 4x  3cos4x   2cos x  1 2   3   cos    x   k     12  sin 4x  cos4x  cos2x  cos  4x    cos2x   ,kZ 2 6   x    k  36 2,Phương trình sử dụng số biến đổi khác Việc đưa phương trình dạng tích điều quan trọng là làm để phát nhân tử chung nhanh , sau đây là số biến đổi có thể giúp ta làm điều đó  sin x  1  cos x 1  cos x  , cos x  1  sin x 1  sin x  cos2x   cos x  sin x  cos x  sin x  1  sin 2x   sin x  cos x   sin 2x   sin x  cos x  2  cos 2x  sin 2x  cos x(sin x  cos x)  cos 2x  sin 2x  2sin x(sin x  cos x) sin x  cos x cos x    sin  x    sin x  cos x 4  Bài Giải phương trình : 2sin x(1  cos2x)  sin 2x   cos x (4) Giải Cách :    2sin x2cos x  2sin x cos x   cos x   cos x  1 2sin x cos x  1  1  tan x   cos x     phần còn lại dành cho bạn đọc  sin 2x  Cách :    2sin xcos2x  (1  sin 2x)  2(cos x  sin x)   2sin x  cos x  sin x  cos x  sin x    cos x  sin x    cos x  sin x     cos x  sin x   2sin x cos x  2sin x  cos x  sin x      cos x  sin x   2sin x cos x  cos x  cos x  sin x   phần còn lại dành cho bạn đọc Bài Giải phương trình : cos2x  3sin 2x  5sin x  3cos x  (5) Giải  5  (6sin x cos x  3cos x)  (2sin x  5sin x  2)   3cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  2)   (2sin x  1)(3cos x  sin x  2)  Phương trình này tương đương với phương trình ( dành cho bạn đọc ) II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Với loại phương trình này giải dễ dẫn đến thừa thiếu nghiệm , điều quan trọng dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm Lop12.net CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 Ngoài , ta gặp nhiều phương trình chứa tan , cot Khi đó , có thể sử dụng số công thức sin  a  b  sin  b  a   tan a  tan b   cota  cotb= cos a cos b cos a cos b cos  a  b  cos  a  b   tan a  cot b   tana-cotb= cos a sin b cos a sin b  tan a  cot a   cot a  tan a  cot 2a sin 2a cos  a  b  cos  a  b  1  tan a tan b    tan a tan b  cos a cos b cos a cos b Cần lưu ý các điều kiện xác định công thức Bài Giải phương trình : cot x  tan x  cos 4x sin 2x (6) Giải sin x  k  ,kZ ĐK : cos x   sin 2x   x  sin 2x    x  l 2cos4x cos 2x 2cos4x    cos4x  cos2x   ,l Z    cot x  tan x   x  l sin 2x sin 2x sin 2x   Kiểm tra điều kiện ta x    l, l  Z 3 4cos x  2cos x  2sin x  1  sin 2x   sin x  cos x  Bài Giải phương trình :  (7) 2sin x  Giải  k ĐK : 2sin x    cos2x   x   , k  Z 2    4cos x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x    sin x  cos x      x    m    sin x  cos x  cos x  1 cos x  1    x  m2 ,mZ  2  m2 x    m2 Kiểm tra điều kiện ta nghiệm x  ,mZ Bài Giải phương trình : tan 3x  cot 2x  tan x  (8) sin 4x Giải Lop12.net CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 cos3x   x sin2x    ĐK :   cos x  x   sin 4x   k  , k  Z (*) k 2sin 2x cos x    sin 4x cos3x cos x cos3x sin 2x sin 4x  4sin 4x sin x  2cos2x cos x  2cos3x  4sin 4x sin x  cos3x  cos x  2cos3x 8   tan 3x  tan x    tan 3x  cot 2x    4sin 4x sin x  cos3x  cos x  8sin 2xcos2x sin x  2sin 2x sin x 1  1   x   arccos    m, m  Z   nghiệm này thoả mãn ĐK BÀI TẬP TỰ LUYỆN  cos2x   Lop12.net  (*)  CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 1, cos3x  cos2x  cos x     2, 2 sin  x   cos x  12   3, (1  tan x)(1  sin 2x)   tan x 1 4,sin 2x  sin x    cot 2x sin 2x 2sin x 5,sin 2x  cos2x  3sin x  cos x   x  6, tan x  cos x  cos x  sin x 1  tan x tan  2    7, 2cos3  x    3cos x  sin x  4  8,  cos x  sin x   tan x  cot 2x cot x  9, cos x cos 2xcos3x  sin x sin 2x sin 3x      10,sin x  cos3 x  cos2x tan  x   tan  x   4 4   11, tan x  tan 2x   sin 3x cos 2x  x 12,sin x cos 4x  sin 2x  4sin     4 2 x x  x 13,sin sin x  cos sin x   cos    2 4 2 14, 2sin x  cot x  2sin 2x  15,sin x  sin 3x  cos 3x sin x  sin 3x cos3 x   sin x sin 3x 3sin 4x Lop12.net