Toán 11 Chương 1 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác, ....[r]

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1 Lý thuyết

1.1 Phương trình bậc với hàm số lượng giác a) Định nghĩa:

Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng

at b a,b số a0và t hàm số lượng giác Ví dụ: sin 0; os2 0; tan 0; cot

2

x  c x  x  x 

b) Phương pháp: Đưa phương trình lượng giác 1.2 Phương trình bậc hai sinx, cosx, tanx, cotx a) Dạng phương trình

2

2

2

2

sin sin

cos cos

tan tan cot cot

a x b x c

a x b x c

a x b x c

a x b x c

           

b) Cách giải

Đặt: tsinx ( -1 t 1) cos (-1 t 1) tan

c to

t x

t x

t x

   



c) Chú ý

Nếu a số cho trước mà tan xác định phương trình tanx = tana có nghiệm x =  kp thoả điều kiện cosx0

Phương trình tanP(x) = tanQ(x) cần phải ý đến điều kiện cosP(x)  cosQ(x) 

1.3 Phương trình bậc sinx cosx a) Dạng phương trình

sin cos (1) a x b xc

Điều kiện có nghiệm: 2

a b c b) Cách giải

Cách 1: Chia hai vế (1) cho 2

a b , ta được:

 

2 2 2

1 a sinx b cosx c

a b a b a b

  

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí Vì

2

2 2

a b

a b a b

   

 

   

 

    nên ta đặt

2 2 sin cos a a b b a b             

Phương trình trở thành:

 

2 2

sin sinx cos cosx c cos x c

a b a b

      

 

Đặt

2

c so c a b

 

 ta phương trình lượng giác

Hồn tồn tương tự ta đặt 2

2 cos sin a a b b a b             

Khi phương trình trở thành:  

2 2

sinxcos cosxsin c sin x c

a b a b

     

 

Cách 2:

· Xét cos , k

2 x

x  k 

     có nghiệm (1) khơng

· Xét cos ,

2 x

x  k  k

    

Đặt tan x

t Khi sin 2

t x

t 



2 cos t x t   

Phương trình trở thành:

 

2

2

2

2

0(2)

1

t t

a b c b c t at c b

t t



       

 

Giải (2) theo t, tìm t thay vào tan x

t suy x Cách 3:

Nếu a0 chia vế cho a ta đặt tan b a   2           

Phương trình trở thành: sin sin cos os c x x c a    

os sin sin cos c os sin( ) c os

c x x c x c

a a

    

     

Đặt sin ccos a

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 2 Bài tập minh họa

2.1 Dạng 1: Giải phương trình bậc Giải phương trình sau:

a) 2sinx 1

b) os2

c x 

c) tanx 1 d) cotx 1 e) cosxsin 2x0 Hướng dẫn giải:

a)  

2

1

2sin sin sin sin

5

2

2

x k

x x x k

x k

 



 

   

       

   

b) os2 os2 os2 cos2

2

c x  c x  c x 

   

2

2

3

x  k  k x  k k

         

c) tan tan arctan1  

3

x   x  x k k

d) cot cot cot cot2  

3

3

x   x   x   x  k k

e) cosxsin 2x 0 cosx2sin cosx x 0 cosx1 2sin x0

 

2 cos

cos

,

1 sin sin

5

x k

x x

x l k l

x x

x l

 

 

 

   

  



  

     



  

  

   

2.2 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai Giải phương trình sau:

a)

2sin xsinx 3

b)

3

cos x cosx 

c)

3sin x7 cos 2x 3

d) 12 1 tan os

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí Hướng dẫn giải:

a)

2sin xsinx 3 0(1)

Đặt tsinx, điều kiện t 1 Phương trình (1) trở thành:

 

 

2

1

2 3

2

t nhan

t t

t loai

      

  

Với t=1, ta sinx  1 x k2k 

b)  

3 cos x cosx 

Đặt tc xos , điều kiện t 1 Phương trình (2) trở thành:

 

 

2

3 13

3

3 13

t nhan

t t

t loai

    

    

     

Với 13

2

t  ta os 13 arccos 13  

2

c x     x   k  k

c)  

3sin 2x7 cos 2x  3 cos 2 x 7 cos 2x 3

 

2

3cos cos cos 3cos cos

3cos

x x x x

x x

     

 

    

*) Giải phương trình:cos 2 , 

2

x  x k  x  k k *) Giải phương trình: 3cos cos

3

x   x

Vì

3  nên phương trình 3cos 2x 7 vô nghiệm

Kết luận: nghiệm phương trình cho , 

4

x  k k d) 12 1 tan

os

c x  x  

Điều kiện: cosx0 (*)

(3)  

1 tan x tanx

        

tan x tanx

    

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí Khi phương trình trở thành:  

0

1 3

t   t 

3 t t

   

  + Với t 1 tanx1 ,

4

x  k k

   

+ Với t tanx ,

3

x  k k

   

So sánh với điều kiện (*) suy nghiệm phương trình là:

x k,

x k k 

2.3 Dạng 3: Giải phương trình bậc sinx cosx Giải phương trình sau:

a) sin 3x cos 3x2 b) 2 sin xcosx 2 c) 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x Hướng dẫn giải:

a) sin 3x cos 3x2(1)

(1)sin 3x cos 3x sin tan cos 3

x  x

  

2 sin cos sin cos cos sin

3 3

x   x   x  

      

 

2

3

3 12 36

,

3 5

3

3 12 36

k

x k x k x

k k

x k x k x

      

      

           

  

   

         

  

 

Vậy nghiệm (1)

36

k

x     ,

36

k

x    k 

b) 2 sin xcosx 2 (2)

Xét cos

2 x

x  k 

    khơng nghiệm phương trình (2) Xét cos

2 x 

Đặt tan x

t Khi sin 2

t x

t 



2

2 cos

1 t x

t

 

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí Phương trình (2) trở thành: 2 3 2 22

1

t t

t t



   

 

    

   

2

2

2 2

1 2 3

3

t t t

t

t t

t

      

          

 

+ Với tan

2 x

t   ,

2

x

k x k k

   

      

+ Với tan

2 x

t   2 ,

2 3

x

k x k k

   

      

Vậy nghiệm (2)

2

x k  , 2

3

x  k  k 

c) 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x (3)

(3)

2 sin cosx x 2 cos x cos 2x

   

 

2 sin 2x cos 2x cos 2x

    

 

2 sin 2x cos 2x

    

Điều kiện có nghiệm phương trình: 2

a b c

Khi đó: 2 1 2  3 22  5 2  11 (không thỏa)

Vậy phương trình cho vơ nghiệm 3 Luyện tập

3.1 Bài tập tự luận

Câu 1. Giải phương trình sau: a) cosx 2

b) sin

x 

c) cotx 1 d) tanx 30 e) sinxsin 2x0

Câu 2: Giải phương trình sau:

a)

3sin xsinx 4

b)

2cos x5cosx 2 c)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí d) 12 1 c

s ni x  otx  0 Câu 3: Giải phương trình sau:

a) 3sin 3x4 cos 3x5

b) 2 sin xcosx 2 3.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Giải phương trình cosx 0

A ,

6

x   k  k B ,

6

x   k k

C ,

3

x   k  k D ,

3

x   k k Câu 2. Giải phương tình tan 3x 3

A ,

9

k

x   k B ,

9

k x   k

C ,

3

k

x   k D ,

3

k x   k

Câu 3. Khẳng định sau nghiệm phương trình

2cos x3cosx 1

A Phương trình có họ nghiệm B Phương trình có hai họ nghiệm

C Phương trình có ba họ nghiệm D Phương trình vơ nghiệm Câu Giải phương trình

3 tan x (1 3) tanx 1

A

x k ,

6

x  k k

B

4

x k  ,

6

x k  k C

3

x k ,

6

x  k k

D

4

x k  ,

3

x k  k Câu 5. Giải phương trình 3cosx4 sinx 5

A x    k2 , k với cos

  B x    k2 , k với sin

5

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí C x    k2 , k với cos

5

  D x    k2 , k với sin

5

  Câu 6. Giải phương trình

5sin 2x6cos x13

A xk,k B xk2 , k C x  k2 , k D Vơ nghiệm Câu 7. Giải phương trình 2

2sin x3 sin cosx xcos x4

A ,

4

x  k k B xk,k C ,

x  k k D Vơ nghiệm Câu 8. Tìm tất họ nghiệm phương trình cos cos 5x xcos x cos x4

A xk,k B ,

2 k

x  k C ,

3 k

x  k D A, B, C sai Câu 9. Giải phương trình sinxsin 2xcosxcos x

A

6

k

x   x  k,k

B

6

k

x   x  k2 , k

C

6

x k  ,

6

x  k  k D Vơ nghiệm

Câu 10. Giải phương tình tanxtan 2xsin cos x x

A xk,k B ,

2 k

x  k C ,

3 k

x  k D ,

4 k x  k 4 Kết luận

www.eLib.vn