Phân loại và phương pháp giải bất phương trình bất đẳng thức

CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a < b '' a  b gọi bất đẳng thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề " a  b  c  d " ta nói bất đẳng thức c  d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a  b viết " a  b  c  d " Nếu bất đẳng thức a  b hệ bất đẳng thức c  d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a  b  c  d Tính chất bất đẳng thức Như để chứng minh bất đẳng thức a  b ta cần chứng minh a  b  Tổng quát hơn, so sánh hai số, hai biểu thức chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng tính chất bất đẳng thức tóm tắt bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung a b  ac bc c0 a  b  ac  bc c0 a  b  ac  bc Nhân hai vế bất đẳng thức với số a  c c  d  ab  cd a  0; c  ab  ac  bd n  * a  b  a n 1  b n 1 n  * a  a  b  a 2n  b2n a0 ab a  b ab 3a  3b Cộng hai vế bất đẳng thức với số Cộng hai bất đẳng thức chiều cd Nhân hai bất đẳng thức chiều Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa Khai hai vế bất đẳng thức Chú ý Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 261 Ta cịn gặp mệnh đề dạng a  b a  b Các mệnh đề dạng gọi bất đẳng thức Để phân biệt, ta gọi chúng bất đẳng thức không ngặt gọi bất đẳng thức dạng a  b a  b bất đẳng thức ngặt Các tính chất nêu bảng cho bất đẳng thức khơng ngặt II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN Bất đẳng thức Cơ-si Định lí Trung bình nhân hai số khơng âm nhỏ trung bình cộng chúng ab  ab , Đẳng thức a, b  ab  1 ab xảy a  b 2 Các hệ Hệ Tổng số dương với nghịch đảo lớn a  2, a a  Hệ Nếu x, y khơng âm có tổng khơng đổi tích xy lớn x  y Hệ Nếu x, y khơng âm có tích khơng đổi tổng x  y nhỏ x  y III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x  0, x  x, x   x x  a  a  x  a a0 x  a  x  a xa a  b  ab  a  b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 262 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất  Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta sử dụng cách sau:  Ta chứng minh A - B ³ Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng tích biểu thức không âm  Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Các ví dụ rèn luyện kĩ Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Ví dụ : Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau ổ a + b ửữ b) ab Ê ỗỗ ữ ỗố ữứ a + b2 a) ab £   c) a  b  c   a  b  c  d)  a  b  c    ab  bc  ca  2 Lời giải a) Ta có a + b - 2ab = (a - b)2 ³  a + b ³ 2ab Đẳng thức  a = b æ a + b ửữ b) Bt ng thc tng ng vi ỗỗ ữữ - ab ỗố ữứ a  2ab  b  4ab   a  b   (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy  a = b   c) BĐT tương đương a  b  c  a  b  c  2ab  2bc  2ca   a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy  a = b = c d) BĐT tương đương a  b  c  2ab  2bc  2ca   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca     a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy  a = b = c Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ : Cho năm số thực a, b, c, d, e Chứng minh a + b + c + d + e ³ a(b + c + d + e) Lời giải Ta có : a + b + c + d + e - a(b + c + d + e) = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 263 a2 a2 a2 a2 = ( - ab + b ) + ( - ac + c ) + ( - ad + d ) + ( - ae + e ) 4 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d )2 + ( - e)2 ³  đpcm 2 2 Đẳng thức xảy  b = c = d = e = a Ví dụ : Cho ab ³ Chứng minh : 1 + ³ a + b + 1 + ab Lời giải Ta có 1 1 + =( )+( ) a + b + 1 + ab a + 1 + ab b + 1 + ab = ab - a ab - b a -b b a a - b b - a + a 2b - b 2a + = ( ) = + ab (1 + b )(1 + a ) (a + 1)(1 + ab) (b + 1)(1 + ab) + ab + b + a = (a - b)2 (ab - 1) a - b (a - b)(ab - 1) = ³ (Do ab ³ 1) + ab (1 + b )(1 + a ) (1 + ab)(1 + b )(1 + a ) Nhận xét : Nếu -1 < b £ BĐT có chiều ngược lại : 1 + £ a + b + 1 + ab Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x + ³ 4x b) x   x  x c) x12  x   x9  x Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương với x - 4x + ³   x  1  x3  x  x  3    x  1  x  x  3  2   x  1  x  1  1  (đúng với số thực x )   Đẳng thức xảy x  b) Bất đẳng thức tương đương với x  x  x    x  x   x  x     x  1   x      Ta có x   0,  x      x  1   x    2  x2 1  Đẳng thức xảy  x20   2 (không xảy ra) Suy x    x    ĐPCM 2 c) Bất đẳng thức tương đương với x12  x9  x  x   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 264   + Với x  : Ta có x12  x  x  x   x12  x  x  1  x  Vì x  nên  x  0,  x  x12  x9  x  x       + Với x  : Ta có x12  x  x  x   x x3   x x3   Vì x  nên x - ³ x 12 - x + x - x + > Vậy ta có x 12 + x + > x + x Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a + b - 4ab + ³ b) ( a + ) + (b + ) ³ (ab + ) ( c) ( a + b ) - ab + ³ a b + + b a + ) Lời giải a) BĐT tương đương với ( a + b - 2a 2b ) + ( 2a 2b - 4ab + ) ³  ( a - b ) + ( ab - ) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = 1 b) BĐT tương đương với ( a + ) + (b + 2b + ) - ( a 2b + 2ab + ) ³  ( a + b - 2a 2b ) + ( 2a - 4ab + 2b ) + (a - 4a + ) ³  (a - b )2 + 2(a - b)2 + (a - 1)2 ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = 1 ( ) c) BĐT tương đương với ( a + b ) - 2ab + - a b + + b a + ³  éê a - 4a b + + (b + ) ùú + éê b - 4b a + + (a + ) ùú + ( a - 2ab + b ) ³ ë û ë û (  a - b2 + ) + (b - 2 a2 + ) + (a - b ) 2 ³ (đúng) Đẳng thức khơng xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ³ y Chứng minh rằng; a) ( x - y ) ³ ( x - y ) b) x - 3x + ³ y - 3y Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 265 a) Bất đẳng thức tương đương ( x - y ) ( x + xy + y ) - ( x - y ) ³  ( x - y ) éê ( x + xy + y ) - ( x - y ) ùú ³  ( x - y ) ëé 3x + 3xy + y ûù ³ ë û éỉ y ư÷ 3y ùú ê ç  3(x - y ) êçx + ÷ + ³ (đúng với x ³ y ) ĐPCM ứữ ỳỳ ờở ỗố ỷ ng thc xy x = y b) Bất đẳng thức tương đương x - y ³ 3x - 3y - Theo câu a) ta có x - y ³ ( x - y ) , ta cần chứng minh ( x - y ) ³ 3x - 3y - (*), Thật vậy, BĐT (*)  ( x - y ) - 12 ( x - y ) + 16 ³  ( x - y - ) éê ( x - y ) + ( x - y ) - ùú ³ ë û  ( x - y - ) ( x - y + ) ³ (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a Î éë a; b ùû  (a - a )( a - b ) £ (*) a, b, c Î éë a; b ùû  (a - a )(b - a )(c - a ) + ( b - a )( b - b )( b - c ) ³ ( * * ) Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a + b + c < 2(ab + bc + ca ) Lời giải Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a + b > c  ac + bc > c Tương tự bc + ba > b ; ca + cb > c cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Nhận xét : * Ở tốn ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a - b |< c bình phương hai vế ta có kết Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 266 Ví dụ : Cho a, b, c Î [0;1] Chứng minh : a + b + c £ + a 2b + b 2c + c 2a Lời giải Cách 1: Vì a, b, c Ỵ [0;1]  (1 - a )(1 - b )(1 - c ) ³  + a 2b + b 2c + c 2a - a 2b 2c ³ a + b + c (*) Ta có : a 2b 2c ³ 0; a 2b + b 2c + c 2a £ a 2b + b 2c + c 2a nên từ (*) ta suy a + b + c £ + a 2b + b 2c + c 2a £ + a 2b + b 2c + c 2a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a ( - b ) + b ( - c ) + c ( - a ) £ Mà a, b, c Ỵ éë 0;1 ùû  a £ a, b £ b, c £ c a (1 - b ) + b2 (1 - c ) + c2 (1 - a ) £ a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) Ta cần chứng minh a ( - b ) + b ( - c ) + c ( - a ) £ Thật vậy: a, b, c Ỵ éë 0;1 ùû nên theo nhận xét ( * * ) ta có abc + ( - a )( - b )( - c ) ³  a + b + c - (ab + bc + ca ) £  a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ BĐT ban đầu chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) + abc ³ Lời giải Vì a + b + c =  a, b, c Î [-1;1] nên ta có : (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³  + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ (*) Mặt khác : (1 + a + b + c)2 ³  + a + b + c + ab + bc + ca ³ (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm Ví dụ 4: Chứng minh a ³ 4, b ³ 5, c ³ a + b + c = 90 a + b + c ³ 16 Lời giải Từ giả thiết ta suy a < 9, b < 8, c £ áp dụng ( * ) ta có (a - )(a - ) £ 0, (b - )(b - ) £ 0, (c - )(c - ) £ nhân cộng BĐT chiều lại ta được: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 267 a + b + c - 13(a + b + c) + 118 £ suy a +b +c ³ (a + b + c + 118 ) = 16 a + b + c = 90 13 a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy a = 4, b = 5, c = Ví dụ 5: Cho ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû không đồng thời không Chứng minh a 4b + b 4c + c 4a + ³2 a 2012 + b 2012 + c 2012 Lời giải Vì ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû nên £ a , b , c £ Suy (1 - b )(1 + b - a ) ³  a + b - a 4b £ (*) Mặt khác a ³ a 2012 , b ³ b 2012 với a, b thuộc éë -1;1 ùû Suy a + b - a 4b ³ a 2012 + b 2012 - a 4b (**) Từ (*) (**) ta có a 2012 + b 2012 £ a 4b + hay Tương tự ta có b 4c + a 2012 + c 4a + b 2012 + ³ ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 2012 + b 2012 + c 2012 Cộng vế với ta Hay a 4b + c 2012 + ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b + b 4c + c 4a + a 2012 + b 2012 + c 2012 + ³3 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b + b 4c + c 4a + ³ ĐPCM a 2012 + b 2012 + c 2012 Dạng toán 2: sử dụng bất đẳng thức cauchy(cơsi) để chứng minh bất đẳng thức tìm giá tri lớn nhất, nhỏ Phương pháp giải Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt cơsi số phải số không âm * BĐT côsi thường áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số * Bất đẳng thức cơsi cịn có hình thức khác thường hay sử dụng Đối với hai số: x + y ³ 2xy; 2 x +y ³ 2 (x + y )2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 ; ổ x + y ửữ xy Ê ỗỗ ữ ốỗ ữứ Trang 268 ổ a + b + c ư÷ a + b3 + c3 Đối vi ba s: abc Ê , abc Ê ỗỗ ữ çè 3 ø÷ Các ví dụ minh họa Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi Ví dụ 1: Cho a, b số dương thỏa mãn a + b = Chứng minh ỉ a b ưỉ a b a) çç + ÷÷÷ çç + ÷÷÷ ³ çè b ÷ç b a øè b) (a + b ) ³ 16ab a ÷ø ( + a )( + b ) Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a b a b a b a b + ³ = 2, + ³ 2 = b a b a b a b a æ a b ửổ a b Suy ỗỗ + ữữữ ỗỗ + ữữữ ữỗ b a ứố ốỗ b a ø÷ ab ab (1) Mặt khác ta có = a + b ³ a 2b = 2ab  ab £ (1) ỉ a b ưỉ a b Từ (1) v (2) suy ỗỗ + ữữữ ỗỗ + ữữữ PCM ỗố b ữỗ b a øè a ø÷ Đẳng thức xảy a = b = b) Ta có (a + b ) = ( a + 2ab + b )( a + 3ab + 3a 2b + b ) Áp dụng BĐT cơsi ta có a + 2ab + b ³ 2ab (a + b ) = ab (a + 3ab ) + ( 3a 2b + b ) ³ (a + 3ab )( 3a 2b + b ) = Suy ( a + 2ab + b )( a + 3ab + 3a 2b + b ) ³ 16ab Do (a + b ) ³ 16ab ab ( + b )( a + ) (a + )(b + ) ( + a )( + b ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = Ví dụ 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh ỉ ưỉ ưỉ 1 a) ỗỗa + ữữữ ỗỗb + ữữữ ỗỗc + ữữữ b ứốỗ c ứốỗ aứ ốỗ b) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc c) (1 + a )(1 + b)(1 + c ) ³ ( + 3 abc ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 269 d) a bc + b ac + c ab £ a + b + c Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a+ a b c ³2 ,b+ ³2 ,c+ ³2 b b c c a a ỉ ưỉ ưỉ 1ử a b c Suy ỗỗa + ữữữ ỗỗb + ữữữ ỗỗc + ữữữ = PCM b ứốỗ c ứốỗ aứ b c a ốỗ ng thc xy v ch a = b = c b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có + a ³ a = 2a , tương tự ta có + b ³ 2b, + c ³ 2c Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ ( a 2b + b 2c + c 2a ) Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có a 2b + b 2c + c 2a ³ a 2b.b 2c.c 2a = 3abc Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c = c) Ta có (1 + a )(1 + b)(1 + c) = + ( ab + bc + ca ) + (a + b + c ) + abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có ab + bc + ca ³ 3 ab.bc.ca = ( abc Suy (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ + ( ) a + b + c ³ abc abc ) + 3 abc + abc = ( + abc ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c d) Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có ỉ b + c ư÷ ỉ a + c ư÷ ỉ a + b ư÷ a bc £ a ỗỗ ữữ, b ac Ê b ỗỗ ữữ, c ab Ê c ỗỗ ữ ỗố ứ çè ÷ø èç ø Suy a bc + b ac + c ab £ a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b (1) Mặt khác theo BĐT cơsi cho ba số dương ta có a 2b £ a + a + b3 b3 + b3 + a a + a + c3 ,ba £ ,ac £ , 3 c 2a £ c3 + c3 + a b3 + b3 + c3 c3 + c3 + b3 ,bc £ ,cb £ 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 270 Đặt f ( x ) = x -(m -1) x + m + Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác khi: ìïé m > ìïD > ì ïm - m - > ï ïêê ïí ï í ï íë m < -1 ïï f (0 ) ¹ ï ï ïm + ¹ ù ợ ợ ù ù ợm - (*) ïì x + x = m - Gọi x1 , x nghiệm phương trình cho Theo Viet, ta có ïí ïïỵ x1 x = m + 2 Yêu cầu toán ( x + x ) - x1 x x12 + x 22 1 + >  >1  >1 2 2 x1 x x1 x ( x1 x ) ìm ¹ - ï ï (m -1) - (m + ) 8m + (*) ï >  <  í ¾¾- ¹ m < -1 2 ï < m (m + ) (m + ) ï ï  ỵ Dạng Tìm điều kiện tham số để bất phương trình vơ nghiệm – có nghiệm – nghiệm Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tam thức f ( x ) = x + (2m -1) x + m + dương với x khi: A -1 < m < 11 B - 11 < m < C - 11 £ m £ é m < -1 ê 11 êm > êë D ê Lời giải Chọn A Tam thức f ( x) có a = > Do f ( x) > 0, "x D ' = (2m -1) - 3(m + 4) = 4m - 7m -11 <  -1 < x < Câu 2: 11 Tam thức f ( x ) = -2 x + (m - 2) x - m + không dương với x khi: A m Ỵ  \ {6} B m ỴỈ C m = D m Ỵ  Lời giải Chọn C Tam thức f ( x) có a = -2 < Do f ( x) £ 0, "x (không dương) D = (m - 2) + (-m + 4) = m -12m + 36 £  m = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 420 Câu 3: Tam thức f ( x ) = –2 x + (m + 2) x + m – âm với x khi: A m < -14 m > B -14 £ m £ C -2 < m < 14 D -14 < m < Lời giải Chọn D Tam thức f ( x) có a = -2 < Do f ( x) < 0, "x D = (m + 2) + 8(m - 4) = m + 12m - 28 £ -14 < m < Câu 4: Tam thức f ( x ) = x -(m + 2) x + 8m + không âm với x khi: A m > 28 B £ m £ 28 C m < D < m < 28 Lời giải Chọn B Tam thức f ( x) có a = > nên f ( x) ³ 0, "x (không âm) D = (m + 2) - (8m + 1) = m - 28m £  £ m £ 28 Câu 5: Bất phương trình x - mx - m ³ có nghiệm với x khi: A m £ -4 m ³ B -4 < m < C m < -4 m > D -4 £ m £ Lời giải Chọn D Tam thức f ( x ) = x - mx - m có hệ số a = > nên bất phương trình f ( x) ³ nghiệm Câu 6: với "x D = m + 4m £  -4 £ m £ Tìm giá trị tham số m để bất phương trình -x + (2m -1) x + m < có tập nghiệm  A m = B m = - C m Î  D Không tồn m Lời giải Chọn D Tam thức f ( x ) = -x + (2m -1) x + m có hệ số a = -1 < nên bất phương trình f ( x) < có tập nghiệm  D = (2 m - 1)2 + m = m + < m ẻ ặ Câu 7: Bất phương trình x -(m + 2) x + m + £ vô nghiệm v ch khi: A m ẻ (-Ơ;-2 ] ẩ [2; +Ơ) B m ẻ (-Ơ;-2) ẩ (2; +Ơ) C m Ỵ [-2;2 ] D m Ỵ (-2;2) Lời giải Chọn D Bất phương trình f ( x ) = x -(m + 2) x + m + £ f ( x) > nghiệm với Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 421 x Tam thức f ( x ) = x -(m + 2) x + m + có hệ số a = > nên f ( x) > nghiệm với x Câu 8: D = (m + 2)2 - (m + 2) = m - <  -2 < m < Tam thức f ( x ) = (m + 2) x - (m +1) x +1 dương với x khi: 2 A m < B m £ C m > D m ³ Lời giải Chọn A f ( x) Tam thức có hệ số a = m + > 0, "x nên D¢ = (m + 1) - (m + 2) = 2m -1 <  m < Câu 9: f ( x) dương với x Tam thức f ( x ) = (m - ) x + (2m - 8) x + m - không dương với x khi: A m £ B m ³ C m < D m > Lời giải Chọn A  Với m = , ta có f ( x ) = -1 < : với x  Với m ¹ , yêu cầu toán  (m - ) x + (2m - 8) x + m - £ 0, "x Ỵ  m -4 < ïì ìïa < ì ï m 0, "x Ỵ   -x + (m + 1) x + - m < 0, "x Ỵ  ïìa = -1 <  ïí  8m + <  m < ïïD ' = (m + 1)2 + (1 - m ) < ïỵ Câu 18: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình -2 x + (m - 2) x + m - < có nghiệm A m Ỵ  B m Î (-¥;0) È (2; +¥) C m Î (-¥;0 ] ẩ [2; +Ơ) D m ẻ [0;2 ] Li gii Chọn A Đặt f ( x ) = -2 x + (m - 2) x + m - D ' = (m - )2 + (m - ) = m - m a =-2  x > Do m = thỏa mãn · m > , ta biện luận trường hợp câu Do m > thỏa mãn · m < , yêu  f (x ) = cầu toán  D ' >  m > - ¾¾ có hai nghiệm phân biệt x1 < x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 426 Khi bất phương trình cho có nghiệm x Ỵ ( x1 ; x ) 4 Do - < m < thỏa mãn Hợp trường hợp ta m > - Dạng Hệ bất phương trình bậc hai Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Bài tập trắc nghiệm Câu 1: ïì2 - x ³ Tập nghiệm S hệ bất phương trình ïí ïïỵ x - x + < A S = [1;2) B S = [1;3) là: C S = (1;2 ] D S = [2;3) Lời giải Chọn C Tập nghiệm - x ³ S1 = (-¥;2 ] Tập nghiệm x - x + < S1 = (1;3) Vậy tập nghiệm hệ S = S1 Ç S = (1;2 ] ì ïx - x - > Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình ïí 2 Câu 2: ï ï ỵx - 11x + 28 ³ A x > B < x £ C £ x £ D < x £ Lời giải Chọn D Tập nghiệm x - x - > S1 = (-¥; -1) È (3; +¥) Tập nghiệm x - 11x + 28 ³ S = (-¥;4 ] È [7; +¥) Vậy tập nghiệm hệ S = S1 Ç S = (-¥; -1) È (3;4 ] È [7; +¥) ì ïx - x + > Tập nghiệm S hệ bất phương trình ïí là: Câu 3: ï ï ỵx - x + > A S = (-¥;1) È (3; +¥) B S = (-¥;1) È (4; +¥) C S = (-¥;2) È (3; +¥) D S = (1; ) Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 427 Tập nghiệm x - x + > S1 = (-¥;1)  (3; +¥) Tập nghiệm x - x + > S = (-¥;2)  (4; +¥) Vậy tập nghiệm hệ S = S1  S = (-¥;1)  (4; +¥) ì ïx - 3x + £ Tập nghiệm S hệ bất phương trình ïí là: Câu 4: ï ï ỵx - £ A S = B S = {1} C S = [1;2 ] D S = [-1;1] C x ẻặ D x Ê Li gii Chn B Tập nghiệm x - x + £ S1 = [1;2 ] Tập nghiệm x - £ S = [-1;1] Vậy tập nghiệm hệ S = S1  S = {1} ì ï3 x - x + > Giải hệ bất phương trình ïí 2 Câu 5: ï ï ỵ3 x - x + £ A x ³ 1 B x £ Lời giải Chọn C ỉ 1ư Tập nghiệm x - x + > l S1 = ỗỗỗ-Ơ; ữữữ ẩ (1; +Ơ) è 3ø é2 ù êë úû Tập nghiệm x - x + £ S = ê ;1ú Vậy tập nghiệm hệ S = S1 Ç S = Æ Câu 6: ìï-2 x - x + < Có giá trị nguyên x thỏa mãn ïí ? ïï-x - x + 10 > ỵ A B C D Lời giải Chọn C æ Tập nghiệm -2 x - x + < l S1 = ỗỗỗ-Ơ; ốỗ -5 - 57 ửữữ ỗổ -5 + 57 ; +Ơữữữ ữữ ẩ ỗỗ 4 ứ ỗố ứữ Tp nghim ca -x - x + 10 > S = (-5;2) æ Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ầ S = ỗỗỗ-5; ốỗ -5 - 57 ữữử ỗổ -5 + 57 ữữử ;2ữ ữữ ẩ çç ÷ø 4 ø çè Do giá trị nguyên x thuộc tập S {-4;1} Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 428 Câu 7: ìï x - < Hệ bất phương trình ïí ïï( x - 1)(3 x + x + 4) ³ ỵ có nghiệm là: A -1 £ x < B -3 < x £ - 4 -1 £ x £ C - £ x £ -1 hay £ x £ D - £ x £ -1 £ x < Lời giải Chọn D Tập nghiệm x - < S1 = (-3;3) é -4 ù ; -1ú  [1; +¥) êë ûú Tập nghiệm ( x - 1)(3 x + x + 4) ³ S = ê é -4 ù ; -1ú  [1;3) êë ûú Vậy tập nghiệm hệ S = S1  S = ê Câu 8: ì ïx - x + < Tập nghiệm hệ bất phương trình ïí là: ï ï ỵ x -1 < A (1;2 ) B [1;2 ] C (–¥;1) È (2; +Ơ) D ặ Li gii Chn C Tp nghim x - x + < S1 = (1;6) Tập nghiệm x - < S = (-1;2) Vậy tập nghiệm hệ S = S1  S = (1;2) Câu 9: Hệ bất phương trình sau vơ nghiệm? ìïx - x - > A ïí ì ïx - x - < B ïí ìïx - x - > C ïí ì ïx - x - < D ïí ïï-2 x + x - < ỵ ï ï ỵ-2 x + x - > ïï2 x + x + > ỵ ï ï ỵ2 x - x + > Lời giải Chọn B Đáp án A Tập nghiệm x - x - > S1 = (-¥; -1) È (3; +¥) Tập nghiệm -2 x + x -1 < S =  Vậy tập nghiệm hệ S = S1 Ç S = (-¥; -1) È (3; +¥) Đáp án B Tập nghiệm x - x - < S1 = (-1;3) Tập nghiệm -2 x + x -1 > S = Æ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 429 Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ầ S = ặ ỏp ỏn C Tp nghiệm x - x - > S1 = (-¥; -1) È (3; +¥) Tập nghiệm x + x + > S =  Vậy tập nghiệm h l S = S1 ầ S = (-Ơ; -1) È (3; +¥) Đáp án D Tập nghiệm x - x - < S1 = (-1;3) Tập nghiệm x - x + > S =  Vậy tập nghiệm hệ S = S1 Ç S = (-1;3) ì ï x2 + 4x + ³ ï ï Câu 10: Số nghiệm nguyên hệ bất phương trình ïíï2 x - x - 10 £ là: ï ï ï ỵ2 x - x + > A B C D Lời giải Chọn B Tập nghiệm x + x + ³ S1 = (-¥; -3]  [-1; +¥) é êë 5ù úû Tập nghiệm x - x - 10 £ S = ê-2; ú ỉ3 è2 ø Tập nghiệm x - 5x + > l S = (-Ơ;1) ỗỗỗ ; +Ơữữữ ổ3 5ù è 2 úû Vậy tập nghiệm hệ S = S1  S  S = [-1;1) ỗỗỗ ; ỳ Suy nghim nguyên {-1;0;2} ìï2 x + m < Câu 11: Hệ bất phương trình ïí (1) vơ nghiệm khi: ïï3x - x - £ (2) ỵ A m > - B m < C m ³ D m ³ - Lời giải Chọn C Bất phương trình 1  1  x  Suy S1   1;   3 Bất phương trình    x   m Suy S   ;  m   2 Để hệ bất phương trình vơ nghiệm S1  S     Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 m  1  m  2 Trang 430 ìï x -1 £ (1) Câu 12: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm khi: ïï x - m > (2) ỵ A m > B m = C m < D m ¹ Lời giải Chọn C Bất phương trình 1  1  x  Suy S1   1;1 Bất phương trình    x  m Suy S2   m;   Để hệ bất phương trình có nghiệm S1  S2    m  ìï( x + 3)(4 - x ) > (1) Câu 13: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm khi: ïï x < m -1(2) ỵ A m < B m > -2 C m = D m > Lời giải Chọn B Bất phương trình 1  3  x  Suy S1   3;  Bất phương trình có S2   ; m  1 Để hệ bất phương trình có nghiệm S1  S2    m   3  m  2 Câu 14: Tìm m để -9 < A -3 < m < x + mx - < nghiệm với "x Î  x - x +1 B -3 £ m £ C m < -3 D m > Lời giải Chọn A Bất phương trình cho tương tương với -9 ( x - x + 1) < x + mx - < ( x - x + 1) (do x - x + > "x Ỵ  ) ìï12 x + (m - ) x + > (1)  ïí ïï3 x - (m + ) x + 12 > (2 ) ïỵ u cầu  (1) (2) nghiệm "x Ỵ  ì ïïìD(1) < ïï(m - ) -144 < í  ïí  -3 < m < ïïD(2) < ïï(m + )2 -144 < ïỵ ïỵ Câu 15: Xác định m để với x ta có -1 £ A - £ m < x + 5x + m < x - 3x + B < m £ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 C m £ - D m < Trang 431 Lời giải Chọn A Bất phương trình tương đương ìï x + x + + m ïï ³0 ìï3 x + x + + m ³ (1) ïï x - x +  ïí í ïï13 x - 26 x + 14 - m ïï13 x - 26 x + 14 - m > (2) ï ỵ ïï >0 x - 3x + ïỵ u cầu  (1) (2) nghiệm "x Ỵ  ì ïì2 - 4.3(2 + m) £ ïïD(1) £ í  ïí  ïïD(2) < ïï26 - 4.13(14 - m ) < ï ỵ ïỵ ìï x -1 > Câu 16: Hệ bất phương trình ïí ïïỵ x - 2mx + £ A m > -5 ïìï ïm ³ í ïï ỵïm < có nghiệm khi: B m = C m < D m ¹ Lời giải Chọn C Bất phương trình x - >  x > Suy S1 = (1; +¥) Bất phương trình x - 2mx + £  x - 2mx + m £ m -1  ( x - m)2 £ m -1 ém ³ )  - m -1 £ x - m £ m -1 (điều kiện: m -1 ³  ê ê ë m £ -1  m - m - £ x £ m + m -1 Suy S = éêm - m -1; m + m -1ùú ë û Để hệ có nghiệm  m + m2 -1 >  1  m   m    m     m  1  m   m -1 > 1- m     m 1  1  m   m     m   1  m 2   m   Đối chiếu điều kiện, ta m > thỏa mãn u cầu tốn ìï x - x + - m £ (1) Câu 17: Tìm m để hệ ïí có nghiệm ïï x - (2 m + 1) x + m + m £ (2 ) ïỵ A < m < 3+ B £ m £ 3+ C £ m < 3+ D < m £ 3+ Lời giải Chọn B Điều kiện để (1) có nghiệm D ' = m ³ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 432 Khi (1) có tập nghiệm S1 = éêë1 - m ;1 + m ùúû Ta thấy (2) có tập nghiệm S = [m ; m + 1] ì ïm £ + m 3+  0£m £ ï1 - m £ m + ï ỵ Hệ có nghim S1 ầ S ặ ùớ ì ï x - 3x - £ (1) Câu 18: Tìm m cho hệ bất phương trình ïí có nghiệm ï ï ỵ(m -1) x - ³ (2) 3 B m ³ A -1 £ m £ C m ỴỈ D m ³-1 Lời giải Chọn B Bất phương trình 1  1  x  Suy S1   1; 4 Giải bất phương trình (2) Với m    m  bất phương trình (2) trở thành x  : vô nghiệm Với m    m  bất phương trình (2) tương đương với x  Suy S2   ;   Hệ bất phương trình có nghiệm  m 1  m 1 4m m 1 Với m    m  bất phương trình (2) tương đương với x  m 1 Suy S2   ;  m  1  Hệ bất phương trình có nghiệm  1  m  1 (không thỏa) m 1 Để hệ bất phương trình có nghiệm m ³ ìï x + 10 x + 16 £ (1) Câu 19: Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình ïí vơ ïïmx ³ 3m +1(2) ỵ nghiệm A m > - 11 B m > C m > - D m > 32 Lời giải Chọn C Bất phương trình 1  8  x  2 Suy S1   8; 2 Giải bất phương trình (2) Với m  bất phương trình (2) trở thành x  1: vơ nghiệm Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 433 Với m  bất phương trình (2) tương đương với x  3m  m Suy S2   3m  ;    m  Hệ bất phương trình vơ nghiệm 3m  1  2  m   m Với m  bất phương trình (2) tương đương với x  3m  m Suy S2   ; 3m   Hệ bất phương trình vơ nghiệm  m  3m  1  8  m  m 11 11 Để hệ bất phương trình vơ nghiệm m > - ìï x - 2(a + 1) x + a + £ (2) Câu 20: Cho hệ bất phương trình ïí Để hệ bất phương trình có nghiệm, ïï x - x + £ (1) ïỵ giá trị thích hợp tham số a là: A £ a £ B £ a £ C £ a £ D £ a £ Lời giải Chọn A Bất phương trình 1   x  Suy S1  1;5 Ta thấy (2) có tập nghiệm S = éêë a + 1- 2a ; a + + 2a ùúû ì ïa + + 2a ³  0£a£2 ïa + 1- 2a £ ï ỵ Hệ có nghiệm  S1 ầ S2 ặ ùớ Giỏo viờn cú nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 434