Phân loại và phương pháp giải bài tập tích vô hướng vecto

Trang 1

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133

Trang 652Na0y0x-MOx0yxa0y0xMO 111-yx

CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 00 ĐẾN 1800

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1 Định nghĩa

Với mỗi góc a 0( 0£ £a 1800) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho 

xOM =a và giả sử điểm M có tọa độ M x( 0;y0).Khi đó ta có định nghĩa:

· sin của góc a là y0, kí hiệu sina =y0;· cosin của góc a là x0, kí hiệu cosa =x0;· tang của góc a là 0( )000 ,yxx ¹kí hiệu 00tan y ;xa =· cotang của góc a là 0( )000 ,xyy ¹ kí hiệu 00cot x .ya =2 Tính chất

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM=a thì 0180.xON =-a Ta có yM =yN =y0, xM = -xN =x0. Do đó ()()()()0000sinsin 180coscos 180tantan 180cotcot 180.aaaaaaaa=-= = = -

-3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Trang 2

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133

Trang 653

cot a 31 1

3 0 

Trong bảng kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định

Chú ý Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể

suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: ()()000000003sin 120sin 18060sin 60

22cos135cos 18045cos 45.

2

=-==

=-= -=

-4 Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa

Cho hai vectơ a

 và b



đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA=a và OB=b. Góc 

AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ

a và b là ( )a b,  Nếu ( )a b =,900  thì ta nói rằng a và b

vng góc với nhau, kí hiệu là a^b hoặc .b^ab) Chú ý Từ định nghĩa ta có ( ) ( )a b ,= b a , được 6) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1 : xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt 1 Phương pháp giải

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc  Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt  Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A=a2sin 900 +b2cos 900 +c2cos180 0

b) B = -3 sin 9020 +2 cos 6020-3 tan 45 20

Trang 3

Trang 654

c) C = sin 4520 -2 sin 5020 +3 cos 4520-2 sin 4020 +4 tan 55 tan 35 00

Lời giải a) A=a2.1+b2.0+c2.( )-1 =a2 -c2b) B = -( ) + ổ ửỗỗỗ ữữữữ - ổỗỗỗ ửữữữ =ữữỗố ứ ố ø222 1 23 1 2 3 12 2

c) C = sin 4520 +3 cos 4520-2 sin 50( 20 +sin 4020)+4 tan 55 cot5500

()C =ổỗỗỗ ửữữữ + ổỗỗỗ ửữữữ - + + = + - + =ữ ữữ ữỗ ỗố ứ è ø2220202 2 1 33 2 sin 50 cos 40 4 2 4 42 2 2 2

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = sin 320 +sin 1520 +sin 7520 +sin 8720

b) B = cos 00 +cos 200 +cos 400 + +cos1600 +cos1800

c) C = tan 5 tan10 tan15 tan 80 tan 85 00000

Lời giải

a) A =(sin 320 +sin 8720) (+ sin 1520 +sin 75 20)

=( + ) (+ + )

= + =

20202020

sin 3 cos 3 sin 15 cos 15

1 1 2

b) B =(cos 00 +cos1800) (+ cos200+cos1600)+ + (cos 800+cos100 0)

() ()()

= - + - + +

-=

000000

cos 0 cos 0 cos 20 cos 20 cos 80 cos 800

c) C =(tan 5 tan 8500)(tan15 tan 75 tan 45 tan 45 00) ( 00)

=()() ()

=

000000

tan 5 cot 5 tan15 cot 5 tan 45 cot 51

Dạng 2 : chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức

1 Phương pháp giải

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản  Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác  Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

Trang 4

Trang 655

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) sin4x +cos4x = -1 2 sin cos2x 2x

b) xxxx+ +=- -1 cot tan 11 cot tan 1c) xxxxxx+= 3 + 2 + +3cos sin

tan tan tan 1

cos

Lời giải

a) sin4x +cos4x = sin4x +cos4x +2 sin2xcos2x -2 sin2xcos2x

( xx) xxxx= + = -2222222

sin cos 2 sin cos

1 2 sin cosb) xxxxxxxxxx+++ += = =- - -1 tan 111 cot t an t an tan 1

1 cot 1 tan 1 tan 1

1tan tanc) xxxxxx+= +323

cos sin 1 sin

cos cos cos = tan2x + +1 tanx(tan2x +1 )

= tan3x +tan2x +tanx +1

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rng

()BBACBACACB++ - =ổ + ửữ ổ + ửữỗ ữ ỗ ữỗ ữữ ỗ ữữỗ ỗố ứ ố ứ33

sin cos cos

2 2 tan 2sincos sin2 2Lời giải Vì A+B +C =180 nên 0()BBBVTBBBB-= + -æ - ửữ ổ - ửữỗ ữ ỗ ữỗ ữữ ỗ ữữỗ ỗố ứ ố ứ33 000

sin cos cos 180

2 2 tansin180 180cos sin2 2BBBBBBVPBBB-= + - = + + = =3322

sin cos cos

2 2 tan sin cos 1 2

sin 2 2

sin cos

2 2

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

Trang 5

Trang 656b) Bxxx= + -+ -1 . 1 1 2

sin 1 cos 1 cos

Lời giải a) Axxxxx= - + 2 - 2 =21

cos cos sin tan 0

cosb) ()()xxBxxx- + += +1 . 1 cos 1 cos 2

sin 1 cos 1 cos

xxxxxx= - = -ổ ửữỗ= ỗỗố - ữữữứ=22221 . 2 2 1 . 2 2

sin 1 cos sin sin

1

2 1 2 cot

sin

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

P = sin4x +6 cos2x +3 cos4x + cos4x +6 sin2x +3 sin4x

Lời giải

()()

P = 1-cos2x 2 +6 cos2x +3 cos4x + 1-sin2x 2 +6 sin2x +3 sin4x

()()xxxxxxxx= + + + + += + + += + + +=4242222222

4 cos 4 cos 1 4 sin 4 sin 1

2 cos 1 2 sin 1

3

Vậy P khơng phụ thuộc vào x

Dạng 3 : xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện

 Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản  Dựa vào dấu của giá trị lượng giác  Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ 2 Các ví dụ Ví dụ 1: a) Chosina = 13 với <a <0090 180 Tính cosa và tan ab) Cho cosa = -23 Tính sin và a cot a

c) Cho tang = -2 2 tính giá trị lượng giác cịn lại

Trang 6

Trang 657a) Vì 900 <a <180 nên 0 cosa <0 mặt khác sin2a+cos2a =1 suy ra

a = - - 2a = - -1 = -2 2cos 1 sin 19 3Do đó aaa= = = -1sin 3 1tancos 2 2 2 23

b) Vì sin2a+cos2a =1 nên a = - 2a = -4 = 5

sin 1 cos 19 3 và aaa-= = = -2cos 3 2cotsin 5 53 c) Vì tang = -2 2 < 0 cosa <0 mặt khác aa+ =221tan 1cos nên a = - = - = -++21 1 1cos8 1 3tan 1Ta cú aaaaaaổ ửữỗ= = = - ỗỗố- ữữữứ=sin 1 2 2

tan sin tan cos 2 2.

cos 3 3aaa- = = = -1cos 3 1cotsin 2 2 2 23Ví dụ 2: a) Cho cosa = 34 với < a<000 90 Tính Aaaaa+=+tan 3 cottan cot b) Cho tana =2 Tính Baaaaa-=+ +33sin cos

sin 3 cos 2 sin

Lời giải a) Ta có Aaaaaaaaaa++ += = = = +++2 222211 2tan 3 tan 3

tan cos 1 2 cos

1 tan 1 1

tan

tan cos

Suy ra A = +1 2 9 = 17

Trang 7

Trang 658b) () ()()Baaaaaaaaaaaaaaaa- + - += =+ + ++ +22333332333sin cos

tan tan 1 tan 1

cos cos

sin 3 cos 2 sin tan 3 2 tan tan 1

cos cos cos

Suy ra () ()()()B = + - + = -+ -+ + +3 2 12 2 1 2 12 2 3 2 2 2 1 3 8 2

Ví dụ 3: Biết sinx +cosx =m

a) Tìm sin cosxx và sin4x-cos4x

b) Chứng minh rằng m £ 2

Lời giải

a) Ta có (sinx+cosx)2 =sin2x+2sin cosxx+cos2x = +1 2sin cosxx (*) Mặt khác sinx +cosx = m nên m2 = +1 2 sin cos hay aa sin cosaa = m2-1

2

Đặt A= sin4x-cos4x Ta có

()()()()

A= sin2x +cos2x sin2x -cos2x = sinx +cosx sinx-cosx

() ()()()

Axxxxxxxx

 2 = sin +cos 2 sin -cos 2 = 1+2 sin cos 1-2 sin cos

mmmmA ổỗ - ửổữỗ - ửữ + - =ỗỗ + ữữữỗỗ - ữữữ=ố øè ø22242 1 1 1 1 3 22 2 4Vậy A= 3+2m2-m42

b) Ta có 2 sin cosxx £sin2x +cos2x =1 kết hợp với (*) suy ra

(sinx +cosx)2 £ 2 sinx +cosx £ 2

Vậy m £ 2

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hai góc a và b với a b+ =90 Tính giá trị của biểu thức P=sin cosab+sin cosba

A P =0. B P =1. C P = -1. D P =2.

Lời giải Chọn B

Trang 8

Trang 659

Câu 2: Cho hai góc a và b với a b+ =90 Tính giá trị của biểu thức P=cos cosab-sin sinba

A P =0. B P =1. C P = -1. D P =2.

Lời giải Chọn A

Hai góc a và b phụ nhau nên sina=cos ; cosba=sinb Do đó, P=cos cosab-sin sinba=cos sinaa-cos sinaa=0

Câu 3: Cho a là góc tù Khẳng định nào sau đây là đúng?

A sina<0. B cosa>0. C tana<0. D cota>0.

Lời giải Chọn C

Lấy góc a=1200 sau đó thử ngược

Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b trong đó a<b Khẳng định nào sau đây là sai?

A cosa<cos b B sina<sin b

C cota>cot b D tana+tanb>0.

Lấy a=30 ;0 b=600 sau đó thử ngược

Câu 5: Khẳng định nào sau đây sai?

A cos75 >cos 50  B sin 80 >sin 50 

C tan 45 <tan 60  D cos 30 =sin 60 

Trong khoảng từ 0 đến 90, khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm

Câu 6: Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin 90 <sin 100  B cos 95 >cos100 

C tan 85 <tan 125  D cos145 >cos125 

Trang 9

Trang 660- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm

Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin 90 <sin 150  B sin 90 15¢<sin 90 30 ¢

C cos 90 30¢>cos100  D cos150 >cos120 

Trong khoảng từ 90 đến 180, khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm

- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm

Câu 8: Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2a+sin2a=1?

A 221cossin.222aa+= B 221cossin.333aa+=C 221cossin.444a+ a= D 5 cos2sin25.55aaổửữỗ + ữ=ỗ ữỗốứLi giải Chọn D

Từ biểu thức cos2a+sin2a=1 ta suy ra cos2sin21.

55aa+=Do ú ta cú 5 cos2sin25.55aaổửữỗ + ữ=ỗ ữỗốứ

Câu 9: Cho biết sin 3.35

a

= Giá trị của 3 sin25 cos2

33Paa=+ bằng bao nhiêu? A 105.25P = B 107.25P = C 109.25P = D 111.25P =Lời giải Chọn B Ta có biểu thức 222216

sincos1cos1 sin.

333325aaaa+= = -= Do đó ta có 223 2 161073 sin5 cos3.5 3352525P= a+ a= ổ ửữỗỗ ữỗố ứữ + =

Trang 10

Trang 661Ta có

sin

67

6 sin7 cos cos 6 tan75.sin

6 cos7 sin 6 7 6 7 tan3cosPaaaaaaaaaa -====+ + +

Câu 11: Cho biết cos 2.3

a = - Giá trị của cot 3 tan2 cottanPaaaa+=+ bằng bao nhiêu? A 19.13P = - B 19.13P = C 25.13P = D 25.13P = -Lời giải Chọn B Ta có biểu thức 22225

sincos1sin1 cos.9a+ a=  a= - a= Ta có 22222225cossin 3.3

cot3 tan sin cos cos3 sin3919.cossin

2 cottan 2 2 cossin 2 5 13

2.sincos 3 9Paaaaaaaaaaaaaaaaổửữỗ-ữ++ỗỗố ữứ++=====+ + +ổỗ-ỗỗốửữữữứ+

Cõu 12: Cho bit cota =5. Giá trị của P=2 cos2a+5 sin cosaa+1 bằng bao nhiêu?

A 10.26P = B 100.26P = C 50.26P = D 101.26P =Lời giải Chọn D Ta cú 22 222coscos1

2 cos5 sin cos1sin25sinsinsinPaaaaaaaaaổửữỗ ữ=++ =ỗỗ ++ ữữỗốứ ( 22 ) 22213 cot5 cot1101

2 cot5 cot1 cot.

1 cotcot126aaaaaaa++=++ +==++

Câu 13: Cho biết 3 cosa-sina=1, 00< <a 90 0 Giá trị của tan a bằng

A tan 4.3a = B tan 3.4a = C tan 4.5a = D tan 5.4a =Lời giải Chọn A Ta có 2 ( )2

3 cosa-sina= 13 cosa=sina+ 19 cos a=sina+1

()

2222

9 cos a sin a 2 sina 19 1 sin a sin a 2 sina 1

=++ -=++2sin110 sin2 sin80 4 .sin5aaaaé= -êê+- = ê=êë

·sina = -1: khơng thỏa mãn vì 00< <a 90 0·sin 4 cos 3 tan sin 4.

55cos3

a

aaa

a

Trang 11

Trang 662

Câu 14: Cho biết 2 cosa+2 sina=2, 00< <a 90 0 Tính giá trị của cot a

A cot 5.4a = B cot 3.4a = C cot 2.4a = D cot 2.2a =Lời giải Chọn C Ta có 2 ( )2

2 cosa+2 sina= 22 sina= -2 2 cosa2 sin a=2 2 cos- a

()

2222

2

2 sin4 8 cos4 cos2 1 cos4 8 cos4 coscos16 cos8 cos20 1.cos3aaaaaaaaaa= -+-= -+é=êê-+ = ê =êë

·cosa =1: khơng thỏa mãn vì 00< <a 90 0·cos 1 sin 2 2 cot cos 2.

33sin4

a

aaa

a

= =¾¾==

Câu 15: Cho biết sina+cosa=a. Tính giá trị của sin cos aa

A sin cosaa=a2. B sin cosaa=2 a

C sin cos 2 1.2aaa= - D sin cos 2 11.2aaa= -Lời giải Chọn C Ta có ( )2 2

sina+cosa= a sina+cosa =a

2

21

1 2 sin cossin cos.2

aa

aaaa

- +==

Câu 16: Cho biết cossin 1.3

a+ a= Giá trị của P=tan2a+cot2a bằng bao nhiêu?

A 5.4P = B 7.4P = C 9.4P = D 11.4P =Lời giải Chọn B Ta có 1 ( )21

cossincossin

39

a+ a=  a+ a =

14

1 2 sin cossin cos.

99aaaa += = -Ta cú ( )2222sincos

tancottancot2 tan cot2

cossinPaaaaaaaaaaổửữỗ=+=+-=ỗỗố+ữữứ-2 2 222sincos197222.

sin cossin cos44

Trang 12

Trang 663EC

BA

Câu 17: Cho biết sincos 1 .5

a- a= Giá trị của P=sin4a+cos4a bằng bao nhiêu?

A 15.5P = B 17.5P = C 19.5P = D 21.5P =Lời giải Chọn B Ta có 1 ( )21

sincossincos55

a- a= a- a =

12

1 2 sin cossin cos.

55

aaaa

 -= =

Ta có 4 4 ( 2 2 )2 2 2

sincossincos2 sincos

P= a+ a= a+ a - aa( )2171 2 sin cos.5aa=-=

Câu 18: Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O?

A (MN NP, ) B (MO ON, ). C (MN OP, ). D (MN MP, ). Lời giải Chọn A Vẽ NE=MN Khi đó (MN NP , ) (= NE NP , )18001800600120 0PNEMNP==-=-=· Vẽ OF=MO Khi đó (MO ON , ) (= OF ON , )=NOF=60 0· Vì MN ^OP¾¾(MN OP , )=90 0· Ta có (MN MP , )=NMP=60 0

Câu 19: Cho tam giác đều ABC. Tính P=cos( AB BC, )+cos(BC CA , )+cos(CA AB , ).

Trang 13

Trang 664HECBAaCBAVậy ()()() 3

cos,cos,cos,

2

AB BC + BC CA + CA AB = - -  

Câu 20: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính (AH BA, ). A 30 0 B 60 0 C 120 0 D 150 0Lời giải Chọn D Vẽ AE=BA Khi đó ( AH AE, )=HAE=a (hình vẽ) 0000180 BAH 18030150 =-=-=

Câu 21: Tam giác ABC vuông ở A và có góc B =50 0 Hệ thức nào sau đây sai?

A (AB BC =, 130 ) 0 B (BC AC =, 40 ) 0 C () 0, 50 AB CB = D () 0, 40 AC CB = Lời giải Chọn D Vì (AC CB , 180)=0-ACB=1800-400=140 0

Câu 22: Tam giác ABC vng ở A và có BC=2AC. Tính cos(AC CB, ). A () 1cos,.2AC CB =  B () 1cos,.2AC CB = -  C () 3cos,.2AC CB =  D () 3cos,.2AC CB = - Lời giải Chọn B Xác định được (AC CB , )=1800-ACB.Ta có  1  0cos602ACACBACBCB== ¾¾=(AC CB, ) 1800ACB 1200¾¾   =-= Vậy () 01cos,cos120.2AC CB = = - 

Câu 23: Cho tam giác ABC Tính tổng ( AB BC, ) (+ BC CA , ) (+ CA AB , ).

A 180  B 360  C 270  D 120 

Trang 14

Trang 665FICBHA0100Chọn B Ta có () () () 000,180,180,180AB BCABCBC CABCACA ABCABìï = -ïïïïï = -íïïïï = -ïïỵ   

(AB BC, ) (BC CA, ) (CA AB, ) 5400 (ABC BCACAB) 54001800360 0¾¾   +   +   =-++=-=

Câu 24: Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng ( AB BC, ) (+ BC CA , ).

A 120  B 360  C 270  D 240 Lời giải Chọn D Ta có () () 00,180,180AB BCABCBC CABCAìï = -ïïïíïï=-ïïỵ  (AB BC, ) (BC CA, ) 3600 (ABC BCA)¾¾   +   =-+()000000360180 BAC 36018060240 = =-+=

Câu 25: Tam giác ABC có góc A bằng 100 và có trực tâm H. Tính tổng

(HA HB , ) (+ HB HC , ) (+ HC HA , ).A 360  B 180  C 80  D 160 Lời giải Chọn D Ta có () () () ,,,HA HBBHAHB HCBHCHC HACHAìï =ïïïïï =íïïïï =ïïỵ   (HA HB, ) (HB HC, ) (HC HA, ) BHA BHC CHA¾¾   +   +   =++ ( 00) 02BHC 2 180100160==-=

(do tứ giác HIAF nội tiếp Cho hình vng ABCD Tính cos(AC BA, ). 

Câu 26: Cho hình vng ABCD tâm O. Tính tổng (AB DC , ) (+ AD CB , ) (+CO DC , ).

A 45 0 B 405 0 C 315 0 D 225 0

Trang 15

Trang 666EDCBAO· Ta có AB DC,  cùng hướng nên (AB DC, ) 00= · Ta có AD CB, 

Trang 16

Trang 667

BÀI 2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vơ hướng của a và b là một số, kí hiệu là a b  , được xác định bởi công thức sau:

( )

cos ,

a b = a b  a b 

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a b = .0.

Chú ý

· Với a và b khác vectơ 0 ta có a b .=  ^0 a b.

· Khi a=b tích vơ hướng a a . được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vơ hướng của vectơ a.Ta có: 22 0 cos 0 a = a a  = a

2 Các tính chất của tích vơ hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vơ hướng:

Với ba vectơ a b c  , , bất kì và mọi số k ta có: · a b .=b a . (tính chất giao hốn);

· a b c ( )+ = a b a c .+ . (tính chất phân phối); · ( )ka b .=k a b( ) ( ) .=a kb.  ;

· a2³0, 0a2=  =a 0.

Nhận xét Từ các tính chất của tích vơ hướng của hai vectơ ta suy ra:

· ()2222 ;a b+=a + a b b+ · ( )2 2 22 ;a b-=a - a b b+  · ()( ) 22.a b a b+- =a -b  

3 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Trang 17

Trang 6681 12 2

.

a b =a b +a b

Nhận xét Hai vectơ a=(a a1; 2), b=(b b1; 2) đều khác vectơ 0 vng góc với nhau khi và chỉ khi

1 12 2 0.

a b +a b =

4 Ứng dụng a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ a=(a a1; 2) được tính theo cơng thức: 2212.

a = a +a

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a=(a a1;2) và b=(b b1;2) đều khác 0 thì ta có ( ) 1 12 222221212.cos ; a ba ba ba baabba b+= =+ +   

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A x y( A; A) và B x y( B; B) được tính theo công thức:

() (2 )2

.

BABA

AB= x -x + y -y

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vơ hướng, góc giữa hai vectơ

 Dựa vào định nghĩa a b  = a b  cos ;( )a b 

 Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vơ hướng của hai vectơ

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A cóAB=a BC, = 2 và G là trọng tâm a

a) Tính các tích vơ hướng: BA BC  ; BC CA .

b) Tính giá trị của biểu thứcAB BC  +BC CA  +CA AB 

c) Tính giá trị của biểu thứcGAGB  +GB GC  +GC GA .

Trang 18

Trang 669a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có

()()BA BC  = BA BC  cos BA BC , = 2 cosa2 BA BC , Mặt khác ()  aBA BCABCa= = = 1cos , cos2 2 Nên BA BC  =a2 * Ta có BC CA  = -CB CA  = -CB CA  cosACB Theo định lý Pitago ta có CA= ( )2a 2-a2 =a 3 Suy ra BC CAaaaaa= - 3 = - 2 3.2 32 

b) Cách 1: Vì tam giác ABC vng tại A nên CA AB =  0 và từ câu a ta

có AB BC  = -a BC CA2,   = -3a2 Suy ra AB BC  +BC CA  +CA AB  = -4a2Cách 2: Từ AB+BC +CA = 0 và hằng đẳng thức (AB+BC +CA)2 = AB2 +BC2 +CA2 +2(AB BC  +BC CA  +CA AB  )Ta có ()AB BC +BC CA+CA AB = -1 AB2 +BC2 +CA2 = - a2 42     

c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA +GB +GC = 0 nên

()

GAGB+GB GC +GC GA= -1 GA2 +GB2 +GC2

.

2     

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Trang 19

Trang 670() aaGB = BN = AB +AN = ổỗỗa + ửữữ=ữỗ ữố ứ222 4 2 4 22 4 2 3 79 9 9 4 9() aaGC = CP = AC +AP = ổỗỗ a + ửữữ=ữỗ ữố ø222 4 2 4 22 4 2 1339 9 9 4 9Suy ra GAGB+GB GC +GC GA= - ổỗỗ a + a + a ửữữ= - aữỗ ữố ứ22221 4 7 13 4 .2 9 9 9 3     

Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) (AB+AD BD )( +BC) b) CG CA .( +DM)

Lời giải (hình 2.3)

a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB+AD =AC

Do đó AB(+AD BD )( +BC)= AC BD  +AC BC  =CACB  = CA CB  cosACB

( AC BD =  0vì AC ^ BD)

Mặt khác ACB = 45 và theo định lý Pitago ta có : 0

AC = a2 +a2 =a 2

Suy ra AB(+AD BD )( +BC)=a a 2 cos 450 =a2

b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG =CD+CA+CM

Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA = -(AB+AD) và

Trang 20

Trang 671

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC =a CA, =b AB, =c M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A

a) Tính AB AC  , rồi suy ra cosA

b) TínhAM2 và AD2Lời giải (hình 2.3) a) Ta có ()AB AC = éêAB +AC - AB-AC ùúê úë û2221.2     ABACCBé ù= 1ë 2 + 2- 2û2 =1(c2+b2-a2)2Mặt khác AB AC  =AB AC cosA=cbcosASuy ra 1(c2+b2-a2)=cbcosA2 hay coscbaAbc+ -= 2 2 22

b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM =1(AB+AC)

2  Suy ra AM = (AB+AC) = ổỗỗAB + ABAC +AC ửữữữỗố ứ2 1 2 1 2224 4     Theo câu a) ta có AB AC = 1(c2 +b2 -a2).2 nờn ()(bc ) aAM = ổỗỗc + c +b -a +b ửữữ= + -ữữỗố ứ222222222 21 12.4 2 4

* Theo tính chất đường phân giác thì BDABc

DC =AC = bSuy ra BDBDDCbDCDCc= =   (*)

Mặt khác BD=AD-AB và DC=AC-AD thay vào (*) ta được

() ( )( ) ()()( ) ()( ) ( )( ).bADABACADbc ADbABcACc

bc ADbABbcABACcAC

Trang 21

Trang 672Hay ( ) ( )bcADp p abc= -+224

Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là labcp p a( )

bc

=

-+2

Dạng 2: chứng minh các đẳng thức về tích vơ hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng

 Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ

đẳng thức AB2 =AB2

 Sử dụng các tính chất của tích vơ hướng, các quy tắc phép tốn vectơ  Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vơ hướng

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý

Chứng minh rằng : MA MB  =IM2 -IA2

Lời giải:

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA MB  =IM2-IA2

Để làm xuất hiện IM IA , ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được

() () () ()

VT = MI+IA MI+IB = MI+IA MI-IA

= IM2 -IA2 =VP (đpcm)

Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh rằng:

DA BC  +DB CA  +DC AB  = 0(*)

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui"

Lời giải: Ta có: DA BC  +DB CA  +DC AB .()()()DA DCDBDB DADCDC DBDADA DCDA DBDB DADB DCDC DBDC DA= - + - + -= - + - + - = 0                   (đpcm)

Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B

Khi đó ta có HA BC  = 0,HC AB  = 0 (1)

Trang 22

Trang 673

HA BC  +HB CA  +HC AB  = 0 (2)

Từ (1) (2) ta có HB CA =  0 suy ra BH vng góc với AC Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm)

Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt

nhau tại E Chứng minh rằng : AE AC  +BE BD  =AB2

Ta có VT = AE AB .( +BC)+BE BA .( +AD)

= AE AB  +AE BC  +BE BA  +BE AD .Vì AB là đường kính nên ADB=900,ACB=900

Suy ra AE BC  = 0, BE AD  = 0

Do đó VT =AE AB  +BE BA  = AB AE ( +EB)=AB2 =VP (đpcm)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có ,BC =a CA=b AB, = và I là tâm đường tròn nội tiếp Chứng c

minh rằng aIA2 +bIB2 +cIC2 =abc

Lời giải:

Ta có: aIA+bIB+cIC = 0 (aIA+bIB+cIC)2 = 0

a IAb IBc ICabIA IBbcIB ICcaIC IA

 22 + 22 + 22 +2   +2   +2   = 0()()()a IAb IBc ICab IAIBABbc IBICBCca IAICCA + + + + - ++ + - + + - =222222222222222 0()()()()aabca IAbbabc IBccacb ICabcab ca bc + + + + + ++ + + - + + =222222222 0(abc a IA)( b IBc IC )(abc abc) + + 22 + 22 + 22 = + +a IAb IBc ICabc 22 + 22 + 22 = (đpcm)

Dạng 3: tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vơ hướng hoặc tích độ dài

Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:

Cho A, B là các điểm cố định M là điểm di động

E

AB

DC

Trang 23

Trang 674

 Nếu AM =k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường trịn tâm

A, bán kính R= k

 Nếu MAMB =  0thì tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB

 Nếu MAa =  0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và

vng góc với giá của vectơ a

2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k cho trước Tìm tập hợp điểm M sao cho

a) MA MB = 3a24 

b) MA MB  = MA2

Lời giải:

a) Gọi I là trung điểm của AB ta có

()()aaMA MB = 3 2  MI +IA MI +IB = 3 24 4       MI2 -IA2 = 3a24 (Do IB= -IA ) aaMIMIa = + =222 34 4

Vậy tập hợp điểm M là đường trịn tâm I bán kính R= a

b) Ta có MA MB  =MA2MA MB  =MA2

()

MA MAMB

   - = 0 MA BA  = 0 MA ^BA

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M sao cho (MA+2MB +3CB BC ) = 0

Trang 24

Trang 675Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC

Theo cơng thức hình chiếu ta có MI BC  =M I BC ' ' do đó M I BC ' ' = BC2Vì BC >2 0 nên M I ' ', BC cùng hướng suy ra

M I BC ' ' =BC2 M I BC' ' =BC2  M I' ' =BC

Do I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vng góc với BC

Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD cạnh a và số thực k cho trước

Tìm tập hợp điểm M sao cho MA MC  +MB MD  =k

Gọi I là tâm của hình vng ABCD

Ta có :MA MC  =(MI+IA MI)(+IC) MIMI IC( IA) IA ICMIIA IC= + + += +22      Tương tự MB MD  =MI2 +IB ID .Nên MA MC  +MB MD  =k  2MI2 +IB ID  +IA IC  =kkMIIBIAkMIIAkMIa - - =  = + = +2222222222kkaMIIA + = + 2 = 22 2Nếu k < -a2 : Tập hợp điểm M là tập rỗng

Nếu k = -a2 thì MI = 0  M º I suy ra tập hợp điểm M là điểm I

Nếu k > -a2 thì MI = k +a22

suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = k +a22

Trang 25

Trang 676

+ Tích vơ hướng hai vectơ là a b  = x x1 2 +y y1 2

+ Góc của hai vectơ được xác định bởi cơng thức

a ba bx xy yxyxya b+= =+ +1 21 222221122.cos( , )   Chú ý: a ^ b a b  = 0  x x1 2 +y y1 2 = 0

 Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức

+ Nếu a = ( ; )x y thì a = x2 +y2

+ Nếu A x y( ; ), ( ;AAB x yBB) thì AB = (xB -xA)2 +(yB -yA) 2

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1 2; ,) B(-2 6; ,) C(9 8; ) a) Chứng minh tam giác ABC vng tại A

b) Tính góc B của tam giác ABC

c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC

Lời giải:

a) Ta có AB(-3 4; ),AC(8 6; )AB AC  = -3 8 +4 6 =0

Do đó AB^AC hay tam giác ABC vng tại A b) Ta có BC(11 2; ,) BA(3 4;- )Suy ra () ( )( ) .cosB=cos BC BA, = + - =+ + - 222211 3 2 4 1511 2 3 4 

c) Gọi H x y là hình chiếu của A lên BC ( ; )

Ta có AH x( -1;y-2),BH x( +2;y-6),BC(11 2; )( ) ( ).AH ^BC AH BC = 0 11 x-1 +2 y-2 =0Hay 11x+2y-15=0 (1) Mặt khác BH BC , cùng phương nên x+2=y-62x-11y+70 0=11 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra x =1,y= 325 5

Vậy hình chiếu của A lờn BC l Hổỗỗ ; ửữữữ

ỗố ứ

Trang 26

Trang 677

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I 1;1 , đỉnh ( ) A 3;2 và đỉnh B nằm trên trục hồnh Tìm ( )

tọa độ các đỉnh cịn lại của hình thoi

Lời giải:

Vì B nằm trên trục hồnh nên giả sử B(0;y)

Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm của AC và BD

Suy ra C =(2xI -xA;2yI -yA) (= -1; 0 , ) D =(2xI -xB;2yI -yB) (= 2;2-y)

Do đó AB = AD  AB2 = AD2 +9 (y-2)2 = +1 y2 y = 3 Vậy B( ) (0;3 ,C -1;0 ,) (D 2; 1 - )

Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3; 4), (2;1) và BC - -( 1; 2) Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc 

AMB =45 0

Lời giải:

Giả sử M x y suy ra ( ; ) MA(3-x;4-y),MB(2-x;1-y),BC(- -3 3; )Vì AMB =45 suy ra 0 cosAMB = cos(MA BC ; )

( ) ( )( ) ( ).cos.MABCxyMA BCxy- - - - =  =- + - +0223 3 3 42452 3 4 9 9  ( x) ( y) xy - 2+ - 2 = + -3 4 7 (*)

Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB BC , cùng phương Suy ra -x = -y  = +xy- -2 113 3 thế vào (*) ta được ( -y)2+( -y)2 = y- y2- y+ =  =y2 4 2 6 6 8 0 2 hoặc y = 4

+ Với y=  =2 x 3 , ta có MA(0 2; ,) MB(- - 1 1; ) cosAMB=cos(MA MB; )= - 12

   

Khi đó AMB = 1350(khơng thỏa mãn)

+ Với y=  =4 x 5 , MA(-2 0; ),MB(- -3 3; )cosAMB=cos(MA MB; )= 12

   

Khi đó AMB = 450

Trang 27

Trang 678

Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trên trục hồnh có hồnh độ khơng âm sao và điểm C

trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác ABC vng tại A Tìm toạ độ ,B C để tam giác

ABC có diện tích lớn nhất

Lời giải:

Gọi B b   ;0 ,C 0;c với b0, c0 Suy ra AB b  2; 1 , AC2;c1

Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông tại A nên

   0 2 2 1 1 0 2 5AB AC  b   c     cb Ta có 1 . 1 ( 2)2 1 22 ( 1)22 2ABCS  AB AC b   c  (b 2)2 1 b24b5Vì c0 nên 2 5 0 0 52bb     Xét hàm số y x 24x5 với 0 52x  Bảng biến thiên x0 2 52y 5 54 1

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y x 24x5 với 0 52

x

  là y khi 5 x Do đó diện tích 0

tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi b , suy ra 0 c 5Vậy B 0;0 , C 0;5 là điểm cần tìm

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu 1 Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b .= a b . B a b = .0 C a b = - .1 D a b .= -a b .

Trang 28

Trang 679Ta có a b .=a b  .cos ,( )a b 

Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên ( )a b ,=00¾¾cos ,( )a b  =1 Vậy a b .= a b .

Câu 2 Cho hai vectơ a và b khác 0 Xác định góc a giữa hai vectơ a và b khi a b .= -a b  .

A a =180 0 B a =0 0 C a =90 0 D a =45 0

Ta có a b .=a b  .cos ,( )a b 

Mà theo giả thiết a b .= -a b . , suy ra cos ,( )a b  = - ¾¾1( )a b ,=180 0

Câu 3 Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a b = -. 3. Xác định góc a giữa hai vectơ

a và b.A a =30 0 B a =45 0 C a =60 0 D a =120 0Lời giải Ta có ( )( ) .31 ( ) 0 cos ,cos ,,120 3.22.a ba ba ba ba ba ba b-=¾¾=== - ¾¾=     Chọn D

Câu 4 Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a= b =1 và hai vectơ 2 35

u= a- b và v= +a b  vng góc với nhau Xác định góc a giữa hai vectơ a và b.

A a =90 0 B a =180 0 C a =60 0 D a =45 0Lời giải Chọn B Ta có 2 () 22132.03030555u^ ¾¾v u v= ổỗỗ a- b a bửữữ + = a - ab- b =ữỗốứ 11.abab= =ắắắắ= -Suy ra ( ) . ( ) 0cos ,1,180 a ba ba ba b== - ¾¾=  

Câu 5 Cho hai vectơ a và b Đẳng thức nào sau đây sai?

Trang 29

Trang 680C . 1 2 2 .2a b= ổỗỗa b+ - -a b ửữữữỗốứ D . 1 2 2 .4a b= ổỗỗa b+ - -a b ửữữữỗốứLi gii Chn C Nhn thy C và D chỉ khác nhau về hệ số 12 và 1

4 nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D

Ta có 22 () ( )221224 4a b+ - -a b = a b+ - -a b = abắắa b= ổỗỗa b+ - -a b ửữữữỗốứ  · A đúng, vì 2 () (2 ) () 22 2 a ba b a ba a a b b a b bababba+ = + = + + =  + + +=  + + 2 2 21 2a b ổỗa bab ửữắắ= ỗỗố+ ữữứÃ B ỳng, vỡ 2 ( ) ( ) ( )222 2 a ba b a ba a a b b a b bababba- =  -=  -  - =    += + - 2221 2a b ổỗaba b ửữắắ= ỗỗố+- - ữữứ

Cõu 6 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vơ hướng AB AC 

A AB AC .=2 a2 B . 2 3.2aAB AC = - - C . 2.2aAB AC = - - D . 2.2aAB AC = Lời giải Chọn D Xác định được góc ( AB AC, ) là góc A nên (AB AC = , ) 60 0Do đó () 20 cos, cos 60.2aAB AC=AB ACAB AC =a a =  

Câu 7 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vơ hướng AB BC 

A AB BC .=a2. B . 2 3.2aAB BC =  C . 2.2aAB BC = - - D . 2.2aAB BC = Lời giải Chọn C

Xác định được góc ( AB BC, ) là góc ngồi của góc B nên (AB BC = , ) 120 0

Do đó () 20 cos, .cos120.2aAB BC=AB BCAB BC =a a = - - 

Câu 8 Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a Mệnh đề nào sau đây là sai?

Trang 30

Trang 681

Chọn C

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

· Xác định được góc (AB AC , ) là góc A nên ( AB AC =, ) 60 0Do đó () 20 cos, .cos 602aAB AC=AB ACAB AC =a a =¾¾  A đúng

· Xác định được góc (AC CB , ) là góc ngồi của góc C nên (AC CB = , ) 120 0

Do đó () 20 cos, .cos1202aAC CB=AC CBAC CB =a a = -¾¾  B đúng

· Xác định được góc (GA GB , ) là góc AGB nên (GA GB = , ) 120 0

Do đó () 20 cos, cos120633aaaGA GB =GA GBGA GB  == -¾¾ C sai. · Xác định được góc (AB AG , ) là góc GAB nên (AB AG = , ) 30 0

Do đó () 20 cos, cos 3023aaAB AG=AB AGAB AG =a =¾¾  D đúng

Câu 9 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH Mệnh đề nào sau đây là sai?

A AH BC = .0. B ( AB HA =, ) 150 0 C . 2.2aAB AC = D . 2.2aAC CB = Lời giải Chọn D

Xác định được góc ( AC CB, ) là góc ngồi của góc A nên ( AC CB =, ) 120 0

Do đó () 20 cos, cos120.2aAC CB=AC CBAC CB =a a = -  

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB=AC=a. Tính AB BC 

A AB BC .= -a2. B AB BC .=a2.C . 2 2.2aAB BC = - - D . 2 2.2aAB BC = Lời giải Chọn A

Xác định được góc ( AB BC, ) là góc ngồi của góc B nên (AB BC = , ) 135 0Do đó AB BC .=AB BC cos(AB BC , )=a a.2.cos1350= -a2.

Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB=c AC, .=b Tính BA BC 

Trang 31

Trang 682C BA BC .=b2+c2. D BA BC .=b2-c2.Lời giải Chọn B Ta có () 22222 cos, cos c .BA BCBA BCBA BCBA BCBc bccbc===+=+  

Cách khác Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB^AC AB AC .=0.

Ta có () 2 2 2

BA BC=BA BA+AC =BA +BA AC=AB =c

   

Câu 12 Cho tam giác ABC có AB=2 cm, 3 cm, 5 cm.BC= CA= Tính CA CB 

A CA CB = .13. B CA CB = .15. C CA CB = .17. D CA CB = .19.

Ta có AB+BC=CA ba điểm A B C, , thẳng hàng và B nằm giữa A C, Khi đó CA CB .=CA CB cos(CA CB , )=3.5 cos 00=15.

Cách khác. Ta có 2 2 ()2 2 22AB =AB = CB CA -=CB - CBCA CA+( 222)( 222)1135215.22CBCACBCAAB¾¾=+-=+-=

Câu 13 Cho tam giác ABC có BC=a CA, , .=b AB=c Tính P=(AB+AC BC )

A P=b2-c2. B 2 2.2cbP= +C 2 2 2.3cbaP= + + D 2 2 2.2cbaP= + -Lời giải Chọn A Ta có P=(AB+ AC BC).=(AB+AC) (. BA+AC).() () 22 2 2 2 2 ACABACABACABACABbc= +  -= - =-=-

Câu 14 Cho tam giác ABC có BC=a CA, , .=b AB=c Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính AM BC 

Trang 32

Trang 683

Chọn A

Vì M là trung điểm của BC suy ra AB+AC=2AM.

Khi đó 1() 1() () 22AM BC= AB+AC BC= AB+ACBA+AC   () ()( 22)( 2 2) 2 2111 2222bcACABACABACABACAB -= +  -=  - =-=

Câu 15 Cho ba điểm O A B, , không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để tích vơ hướng

(OA OB AB+ ).=0 là

A tam giác OAB đều B tam giác OAB cân tại O.

C tam giác OAB vuông tại O. D tam giác OAB vuông cân tại O.

Lời giải Chọn B Ta có (OA OB AB+ ).= 0 (OA OB OB OA+) (.  - )=022 2 200.OBOAOBOAOBOA - = -= =

Câu 16 Cho M N P Q, , , là bốn điểm tùy ý Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A MN NP ( +PQ)=MN NP .+MN PQ . B MP MN .= -MN MP .

C MN PQ .=PQ MN . D (MN  -PQ MN)( +PQ)=MN2-PQ2

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối

Đáp án B sai Sửa lại cho đúng MP MN .=MN MP .

Đáp án C đúng theo tính chất giao hốn

Đáp án D đúng theo tính chất phân phối

Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính AB AC 

A AB AC .=a2. B AB AC .=a22. C 22 2AB AC= a D 12 2AB AC= a Lời giải Chọn A Ta có (AB AC , )=BAC=450 nên 022 cos 45.2 2AB AC=AB AC =a a =a 

Trang 33

Trang 684

A P = -1. B P=3 a2 C P= -3 a2 D P=2 a2

Từ giả thiết suy ra AC=a 2.

Ta có () 2 P=AC CD CA + =AC CD +AC CA = -CA CD  -AC() 2 0 ( )2 2.cos,2 .cos 4523 CA CDCA CDACaaaa= -   -= = -

Câu 19 Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính P=(AB+AC) (. BC+BD+BA).

A P=2 2 a B P=2 a2 C P=a2. D P= -2 a2Lời giải Chọn D Ta có ()2.2BDaBCBDBABCBABDBDBDBDìï=ïïíï + + =++=+=ïïỵ        Khi đó P=(AB+AC).2BD=2AB BD .+2AC BD .= -2BA BD .+0() 222 cos,2 .2.2 2BA BDBA BDa aa= -   = -= -

Câu 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính AE AB 

A AE AB .=2 a2 B AE AB .=3 a2 C AE AB .=5 a2 D AE AB .=5 a2

Ta có C là trung điểm của DE nên DE=2 a

Khi đó ()0 AE AB= AD+DE AB=AD AB+DE AB    () 02 cos, cos 02 DE ABDE ABDE ABa=   ==

Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho 4

AC

AM = Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB MN 

A MB MN = - .4. B MB MN = .0. C MB MN = .4. D MB MN = .16.

Trang 34

Trang 685

Chọn B

Giả thiết khơng cho góc, ta phân tích các vectơ MB MN , theo các vectơ có giá vng góc với nhau ·11() 31.4444MB=AB AM-=AB- AC=AB- AB+AD = AB- AD ·111()424MN =AN-AM =AD+DN- AC=AD+ DC- AB+AD  ()1131.2444ADABABADADAB=+ - + = +  Suy ra: ( 22 )31311.3.33.444416MB MN =ổỗỗỗ AB- ADửổữữữỗỗỗ AD+ ABư÷÷÷= AB AD+ AB - AD -AD ABèøèø   1 ( 22 )0 330016 aa=+ =

Câu 22 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8, 5.AD= Tích AB BD 

A AB BD = .62. B AB BD = .64. C AB BD = - .62. D AB BD = - .64.

Lời giải Chọn D

Giả thiết khơng cho góc, ta phân tích các vectơ AB BD , theo các vectơ có giá vng góc với nhau

Ta có AB BD .=AB BA .( +BC)=AB BA .+AB BC .= -AB AB .+ = -0 AB2= -64

Câu 23 Cho hình thoi ABCD có AC =8 và BD =6. Tính  AB AC

A AB AC = .24. B AB AC = .26. C AB AC = .28. D AB AC = .32.

Trang 35

Trang 686có giá vng góc với nhau

Ta có () 112 03222AB AC= AO OB AC+=AO AC OB AC+= AC AC+ = AC =     

Câu 24 Cho hình bình hành ABCD có AB=8 cm, 12 cmAD= , góc ABC nhọn và diện tích bằng 254 cm Tính cos(AB BC , ).A () 2 7cos,.16AB BC =  B () 2 7cos,.16AB BC = - - C () 5 7cos,.16AB BC =  D () 5 7cos,.16AB BC = - -Lời giải Chọn D

Ta có SABCD=2.SDABC=54SDABC=27 cm 2 Diện tích tam giác ABC là: 1 sin 1 sin.22ABCSD = AB BCABC= AB ADABC2.2.279sin.8.1216ABCSABCAB ADD=== 25 7cos1 sin16ABCABC¾¾=-= (vì ABC nhọn)

Mặt khác góc giữa hai vectơ AB BC , là góc ngồi của góc ABC

Suy ra () 05 7

cos,cos 180cos.

16

AB BC = ổỗỗ -ABCửữữữ= - ABC=

-ỗốứ

Cõu 25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a và AD=a 2 Gọi K là trung điểm của cạnh AD.Tính BK AC 

A BK AC = .0. B BK AC .= -a22. C BK AC .=a22. D BK AC .=2 a2

Trang 36

Trang 687Ta cú 12BKBAAKBAADACABADỡùù = +=+ùùớùùù=+ùợ()1.2BK AC ổỗBAAD ABửữ ADắắ=ỗỗố+ữữứ+ 11 2 1( )2 0 020.222BA ABBA ADAD ABAD ADaa= + +  +  = - + + +=

Câu 26 Cho tam giác ABC Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB ( +MC)=0 là:

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn

Gọi I là trung điểm BC¾¾MB+MC=2MI.

Ta có MA MB ( +MC)=0MA MI .2= 0 MA MI .= 0 MA^MI ( )*

Biểu thức ( )* chứng tỏ MA^MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vng nên tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AI.

Câu 27 Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB MA ( +MB+MC)=0 với A B C, , là ba đỉnh của tam giác

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC¾¾MA+MB+MC=3MG.

Ta có MB MA ( +MB+MC)= 0 MB MG .3= 0 MB MG .= 0 MB^MG. ( )*

Biểu thức ( )* chứng tỏ MB^MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vng nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG.

Câu 28 Cho tam giác ABC Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA BC = .0 là:

Ta có MA BC .= 0 MA^BC.

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vng góc với BC.

Câu 29 Cho hai điểm A B, cố định có khoảng cách bằng a Tập hợp các điểm N thỏa mãn 2

.2

AN AB= a

 

Trang 37

Trang 688

Gọi C là điểm đối xứng của A qua B Khi đó AC=2AB.Suy ra AB AC .=2AB2=2 a2

Kết hợp với giả thiết, ta có AN AB .= AB AC.

() 0.0

AB ANACAB CNCNAB

  -=  = ^

Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vng góc với AB.

Câu 30 Cho hai điểm A B, cố định và AB =8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB = - .16 là:

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB¾¾IA= -IB.Ta có MA MB .=(MI+IA MI )( +IB) (= MI+IA MI  )( -IA)222 2 2 2.4ABMIIAMIIAMI= - =-=

-Theo giả thiết, ta có 2 2 2 2 82

1616160.

444

ABAB

MI -= -MI =-=-= ¾¾M ºI

Câu 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 1 , 2;10 , 4;2 - ) B( ) C(- ) Tính tích vô hướng AB AC A AB AC = .40. B AB AC .=-40. C AB AC = .26. D AB AC .=-26.Lời giải Chọn A Ta có AB= -( 1;11 , 7;3) AC= -( ) Suy ra AB AC = - . ( ) ( )1 - +711.3=40.

Trang 38

Trang 689

Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a=4i+6j và b= -3i 7 j Tính tích vơ hướng .

a b 

A a b = - .30. B a b = .3. C a b = .30. D a b = .43.

Từ giả thiết suy ra a = (4;6) và b = (3; 7 - )Suy ra a b = .4.3 6.+ ( )- = -730.

Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = - ( 3;2) và b = - - ( 1; 7 ) Tìm tọa độ vectơ c

biết c a = .9 và c b = - .20.A c = - - ( 1; 3 ) B c = - ( 1;3 ) C c = (1; 3 - ) D c = ( )1;3 Lời giải Chọn B Gọi c=(x y; )Ta có . 9 3 2 9 1 ( 1;3 )7203.20c axyxcxyyc bìï = ìï- + = ìï = -ïï ï ï ¾¾ = -íííï = - ïï- - = - ïï =ïỵỵïỵ  

Câu 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a=( )1;2 , 4;3b=( ) và c = ( )2;3 Tính

( ) P=a b c +A P =0. B P =18. C P =20. D P =28.Lời giải Chọn B Ta có b c + =(6;6 ) Suy ra P=a b c .( )+ = 1.6 2.6+=18.

Câu 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = - ( 1;1) và b = (2;0) Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và b.

A ( ) 1cos ,.2a b =  B ( ) 2cos ,.2a b = -  C ( ) 1cos ,.2 2a b = -  D ( ) 1cos ,.2a b = Lời giải Chọn B Ta có ( )( )2 2 2 2.1.2 1.02cos ,.2. 1 1 2 0a ba ba b-+=== ++   

Trang 39

Trang 690A ( ) 5cos ,.5a b = -  B ( ) 2 5cos ,.5a b =  C ( ) 3cos ,.2a b =  D ( ) 1cos ,.2a b = Lời giải Chọn A Ta có ( ) . 2.4 ( ) ( )1 3 5cos ,.54 1 16 9.a ba ba b-+ === -++   

Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = ( )1;7 Tính góc a giữa hai vectơ a và b.A a=90 O B a=60 O C a=45 O D a=30 OLời giải Chọn C Ta có ( ) .4.1 3.72 ( ) 0cos ,,45 216 9 1 49.a ba ba ba b+===¾¾=++    

Câu 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = ( )1;2 và y = - - ( 3; 1) Tính góc a giữa hai vectơ x và y.A a=45 O B a=60 O C a=90 O D a=135 OLời giải Chọn D Ta có ( ) . 1.( )32.( )1 2 ( ) 0cos ,,135 21 4 9 1.x yx yx yx y- +-=== -¾¾=++    

Câu 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = ( )2;5 và b = (3; 7- ) Tính góc a giữa hai vectơ a và b.A O30 a= B O45 a= C O60 a= D O135 a=Lời giải Chọn D Ta có ( ) . 2.3 5( )7 2 ( ) 0cos ,,135 24 25 9 49.a ba ba ba b+ -=== -¾¾=++    

Câu 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = ( )9;3 Vectơ nào sau đây khơng vng góc với vectơ a?

A v =1 (1; 3 - ) B v =2 (2; 6 - ) C v =3 ( )1;3 D v = -4 ( 1;3 )

Trang 40

Trang 691Kiểm tra tích vơ hướng a v . , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó khơng vng góc với a.

Câu 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A( )1;2 , 1;1B -( ) và C(5; 1- ) Tính cosin của góc giữa hai vectơ AB và AC.

A () 1cos,.2AB AC = - -B () 3cos,.2AB AC =  C () 2cos,.5AB AC = - -D () 5cos,.5AB AC = - -Lời giải Chọn DTa có AB = - - ( 2; 1) và AC = (4; 3- ) Suy ra () . 2.4 ( ) ( )1 3 5cos,.54 1 16 9.AB ACAB ACAB AC-+ === -++   

Câu 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0 , 3;1) B( ) và C - -( 1; 1) Tính số đo góc B của tam giác đã cho

A O15 B O60 C O120 D O135 Lời giải Chọn D Ta có BA = (3; 1- ) và BC = - - ( 4; 2) Suy ra: () . 3.( ) ( ) ( )41 2 2  () Ocos,,135 29 1 16 4.BA BCBA BCBBA BCBA BC- + === -¾¾ ==++    

Câu 44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(-8;0 , 0;4 , 2;0) B( ) C( ) và D - -( 3; 5 ) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hai góc BAD và BCD phụ nhau B Góc BCD là góc nhọn

C cos(AB AD , )=cos(CB CD , ). D Hai góc BAD và BCD bù nhau

Lời giải Chọn D Ta có AB=(8;4 , 5; 5 , 2;4 , 5;5 ) AD=( - ) CB= -( ) CD= -( )Suy ra () ( )() ( ) ( ) ( )222222228.5 4.5 1cos,1084 552 54.5 1cos,1024 55AB ADCB CDìï+-ï = =ïïï++ïíï - - + -ïï== -ïï + +ïỵ  ()() 0

Định dạng
Số trang	79
Dung lượng	0,92 MB