Phân loại và phương pháp giải phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Vectơ phương đường thẳng     Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng D u ¹ giá u song song trùng với D Nhận xét Một đường thẳng có vơ số vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng  Đường thẳng D qua điểm M ( x ; y0 ) có VTCP u = (a; b) ¾¾  ïì x = x + at phương trình tham số đường thẳng D có dạng ùớ t ẻ ùùợ y = y + bt  b a Nhận xét Nếu đường thẳng D có VTCP u = (a; b) có hệ số góc k = Vectơ pháp tuyến đường thẳng     Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng D n ¹ n vng góc với vectơ phương D Nhận xét ● Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến    n = (b; -a) VTPT D ● Nếu u = (a; b) VTCP D ¾¾   ● Nếu n = ( A ; B ) VTPT D ¾¾  u = ( B ; - A ) VTPCT D Phương trình tổng quát đường thẳng  Đường thẳng D qua điểm M ( x ; y0 ) có VTPT n = ( A ; B ) ¾¾  phương trình tổng qt đường thẳng D có dạng A (x - x ) + B ( y - y0 ) = hay Ax + By + C = với C = -Ax - By0 Nhận xét  A B ● Nếu đường thẳng D có VTPT n = ( A ; B ) có hệ số góc k = - ● Nếu A , B, C khác ta đưa phương trình tổng quát dạng x y C C + = với a0 = - , b0 = - A B a0 bo Phương trình gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng cắt Ox Oy M (a0 ;0 ) N (0; b0 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 731 Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét hai đường thẳng có phương trình tổng qt D1 : a1 x + b1 y + c1 = D2 : a2 x + b2 y + c2 = ìïa x + b1 y + c1 = Tọa độ giao điểm D1 D2 nghiệm hệ phương trình: ïí ïïỵa2 x + b2 y + c2 = ● Nếu hệ có nghiệm ( x ; y0 ) D1 cắt D2 điểm M ( x ; y ) ● Nếu hệ có vơ số nghiệm D1 trùng với D2 ● Nếu hệ vơ nghiệm D1 D2 khơng có điểm chung, hay D1 song song với D2 Cách Xét tỉ số ● Nếu a1 b c = = a2 b2 c2 D1 trùng với D2 ● Nếu a1 b c = ¹ a2 b2 c2 D1 song song D2 ● Nếu a1 b ¹ D1 cắt D2 a2 b2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng  D1 : a1 x + b1 y + c1 = có VTPT n1 = (a1 ; b1 ) ;  D2 : a2 x + b2 y + c2 = có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) Gọi a góc tạo hai đường thẳng D1 D2 Khi   n1.n2   a1.a2 + b1.b2 cos a = cos n1 , n2 =   = a12 + b12 a22 + b22 n1 n2 ( ) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ M ( x ; y0 ) đến đường thẳng D : ax + by + c = tính theo cơng thức d ( M , D) = ax + by + c a + b2 Nhận xét Cho hai đường thẳng D1 : a1 x + b1 y + c1 = D2 : a2 x + b2 y + c2 = cắt phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng là: a1 x + b1 y + c1 2 a +b = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 Trang 732 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: viết phương trình tổng quát đường thẳng Phương pháp giải:  Để viết phương trình tổng quát đường thẳng D ta cần xác định - Điểm A(x ; y ) Ỵ D  - Một vectơ pháp tuyến n (a;b ) D Khi phương trình tổng quát D a ( x - x ) + b ( y - y0 ) = Chú ý:  o Đường thẳng D có phương trình tổng qt ax + by + c = 0, a + b ¹ nhận n (a;b ) làm vectơ pháp tuyến o Nếu hai đường thẳng song song với VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng o Phương trình đường thẳng D qua điểm M ( x ; y ) có dạng D : a ( x - x ) + b ( y - y0 ) = với a + b ¹ ta chia làm hai trường hợp + x = x : đường thẳng song song với trục Oy + y - y = k ( x - x ) : đường thẳng cắt trục Oy o Phương trình đường thẳng qua A (a; ), B ( 0;b ) với ab ¹ có dạng x y + =1 a b Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A ( 2; ), B ( 0; ), C (1; 3) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH b) Đường trung trực đoạn thẳng BC c) Đường thẳng AB d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB Lời giải  a) Vì AH ^ BC nên BC vectơ pháp tuyến AH   Ta có BC ( 1; -1 ) suy đường cao AH qua A nhận BC vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt ( x - ) - ( y - ) = hay x - y - = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 733  b) Đường trung trực đoạn thẳng BC qua trung điểm BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến Gọi I trung điểm BC x I = ỉ1 7ư x B + xC y + yC = , yI = B = I ỗỗ ; ữữữ ỗố 2 ứ 2 2 ỉ ỉ 1ư 7ư Suy phương trình tổng quát đường trung trực BC ỗỗ x - ữữữ - ỗỗ y - ữữ = hay ỗố ỗố 2ứ ữứ x -y + = c) Phương trình tổng quát đường thẳng AB có dạng x y + = hay 2x + y - =  d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT n ( 2;1 ) đường thẳng cần tìm song song với đường  thẳng AB nên nhận n ( 2;1 ) làm VTPT có phương trình tổng qt ( x - ) + 1.( y - ) = hay 2x + y - = Cách 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB có dạng 2x + y + c = Điểm C thuộc D suy 2.1 + + c =  c = -5 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng qt 2x + y - = Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x - 2y + = điểm M ( -1;2 ) Viết phương trình tổng quát đường thẳng D biết: a) D qua điểm M có hệ số góc k = b) D qua M vuông góc với đường thẳng d c) D đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải: a) Đường thẳng D có hệ số góc k = có phương trình dạng y = 3x + m Mặt khác M Ỵ D  = 3.( -1 ) + m  m = Suy phương trình tổng quát đường thẳng D y = 3x + hay 3x - y + = b) Ta có x - 2y + =  y = x + hệ số góc đường thẳng d kd = 2 Vì D ^ d nên hệ số góc D k D kd kD = -1  k D = -2 Do D : y = -2x + m , M Ỵ D  = -2 ( -1 ) + m  m = -2 Suy phương trình tổng quát đường thẳng D y = -2x - hay 2x + y + = c) Cách 1: Ta có -1 - 2.2 + ¹ M Ï d đường thẳng D đối xứng với đường thẳng  d qua M song song với đường thẳng d suy đường thẳng D có VTPT n ( 1; -2 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 734 Ta có A ( 1;2 ) Ỵ d , gọi A ' đối xứng với A qua M A ' Ỵ D Ta có M trung điểm AA ' ì ï ïï x = x A M ï í ï yA ïïï yM = ỵ + xA' ïì x A ' = 2x M - x A = ( -1 ) - = -3 ï  A ' ( -3;2 ) í ï yA ' = 2yM - yA = 2.2 - = + yA ' ï ỵ Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D ( x + ) - ( y - ) = hay x - 2y + = Cách 2: Gọi A ( x ; y ) điểm thuộc đường thẳng d , A ' ( x ; y ) điểm đối xứng với A qua M x0 + x x0 + x ïìï ïìï ïxM = ï -1 = ïì x = -2 - x 2 ï  ïí Khi M trung điểm AA ' suy ï í í ï ï ï y = -y ï y = y0 + y ï = y0 + y ỵï ï ï M ï ù 2 ợ ợ Ta cú A ẻ d  x - 2y + = suy ( -2 - x ) - ( - y ) + =  x - 2y + = Vậy phương trình tổng quát D đối xứng với đường thẳng d qua M x - 2y + = Ví dụ 3: Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x - y = x + 3y - = , tọa độ đỉnh hình bình hành ( -2;2 ) Viết phương trình cạnh cịn lại hình bình hành Lời giải Đặt tên hình bình hành ABCD với A ( -2;2 ) , tọa độ điểm A khơng nghiệm hai phương trình đường thẳng nên ta giả sử BC : x - y = , CD : x + 3y - =  Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nCD ( 1; ) làm VTPT có phương trình ( x + ) + ( y - ) = hay x + 3y - =  Tương tự cạnh AD nhận nBC ( 1; -1 ) làm VTPT có phương trình 1.( x + ) - 1.( y - ) = hay x - y + = Ví dụ 4: Cho điểm M ( 1; ) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox , tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ Lời giải: Giả sử A (a; ), B ( 0;b ) với a > 0, b > Khi đường thẳng qua A, B có dạng M Ỵ AB nên x y + = Do a b + =1 a b 1 Mặt khác SOAB = OAOB = ab 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 735 Áp dụng BĐT Cơsi ta có = Suy SOAB nhỏ 4 + ³2  ab ³ 16  SOAB ³ a b ab 4 = + = a = 2;b = a b a b Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x y + = hay 4x + y - = Dạng 2: xét vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải: Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a 2x + b2y + c2 = ì ïa x + b1y + c1 = Ta xét hệ ïí (I) ïïa2x + b2y + c2 = ỵ + Hệ (I) vơ nghiệm suy d1 / /d2 + Hệ (I) vô số nghiệm suy d1 º d2 + Hệ (I) có nghiệm suy d1 d2 cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm Chú ý: Với trường hợp a b2 c2 ¹ + Nếu a1 b ¹ hai đường thẳng cắt a2 b2 + Nếu a1 b c = ¹ a2 b2 c2 hai đường thẳng song song + Nếu a1 b c = = a2 b2 c2 hai đường thẳng trùng Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) D1 : x + y - = 0; D2 : 2x + y - = b) D1 : -x - 2y + = 0; D2 : 2x + 4y - 10 = c) D1 : 2x - 3y + = 0; D2 : x - = d) D1 : 2x + 3y + = 0; D2 : -4x - 6y = Lời giải: a) Ta có 1 ¹ suy D1 cắt D2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 736 b) Ta có -1 -2 suy D1 trùng D2 = = -10 c) Ta có suy D1 cắt D2 ¹ -3 d) Ta có -4 -6 = ¹ suy D1 / /D2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC ,CA AB : 2x - y + = ; BC : 3x + 2y + = ; CA : 3x + y + = Xác định vị trí tương đối đường cao kẻ từ đỉnh A đường thẳng D : 3x - y - = Lời giải ìï 2x - y + = ìï x = -1 Tọa độ điểm A nghiệm hệ ïí  ïí  A ( -1; ) ïï 3x + y + = ïï y = ỵ ỵ Ta xác định hai điểm thuộc đường thẳng BC M ( -1;1 ), N ( 1; -2 )  Đường cao kẻ từ đỉnh A vng góc với BC nên nhận vectơ MN ( 2; -3 ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( x + ) - 3y = hay 2x - 3y + = Ta có -1 ¹ suy hai đường thẳng cắt -3 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng D1 : (m - 3)x + 2y + m - = D2 : -x + my + (m - 1)2 = a) Xác định vị trí tương đối xác định giao điểm (nếu có) D1 D2 trường hợp m = 0, m = b) Tìm m để hai đường thẳng song song với Lời giải: ì ìï x = ï -3x + 2y - = suy D1 cắt D2 điểm có tọa độ ( 1;2 ) a) Với m = xét hệ ïí  ïí ï ïï y = ï -x + = ỵ ỵ ì -2x + 2y = ï ïì x = Với m = xét hệ ïí suy D1 cắt D2 gốc tọa độ  ïí ï ï x y y + = = ï ïỵ ỵ b) Với m = m = theo câu a hai đường thẳng cắt nên khơng thỏa mãn Với m ¹ m ¹ hai đường thẳng song song m -3 m2 - = ¹ m=2 -1 m ( m - 1) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 737 Vậy với m = hai đường thẳng song song với Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ đỉnh tam giác trường hợp sau a) Biết A ( 2;2 ) hai đường cao có phương trình d1 : x + y - = ; d2 : 9x - 3y + = b) Biết A(4; -1) , phương trình đường cao kẻ từ B D : 2x - 3y = ; phương trình trung tuyến qua đỉnh C D ' : 2x + 3y = Lời giải a) Tọa độ điểm A khơng nghiệm phương trình d1, d2 suy A Ï d1, A Ï d2 nên ta giả sử B Ỵ d1, C Ỵ d2  Ta có AB qua A vng góc với d2 nên nhận u ( 3;9 ) làm VTPT nên có phương trình ( x - ) + ( y - ) = hay 3x + 9y - 24 = ; AC qua A vng góc với d1 nên nhận  v ( -1;1 ) làm VTPT nên có phương trình -1 ( x - ) + ( y - ) = hay x - y = B giao điểm d1 AB suy tọa độ B nghiệm hệ ìï x + y - = ìï x = -1 ïí  ïí  B ( -1; ) ïï 3x + 9y - 24 = ïï y = ỵ ỵ ìï ïï x = - ìï 9x - 3y + = ổ C ỗỗ - ; - ÷÷  ïí Tương tự tọa độ C nghim ca h ù ỗố 3 ữứ ù ïï x -y = ï ỵ = y ïï ỵ ỉ 2ư Vậy A ( 2;2 ) , B ( -1; ) v C ỗỗ - ; - ữữữ ỗố 3 ứ b) Ta có AC qua A(4; -1) vng góc với D nên nhận u ( 3;2 ) làm VTPT nên có phương trình ( x - ) + ( y + ) = hay 3x + 2y - 10 = ïì 3x + 2y - 10 = ïì x = Suy toạ độ C nghiệm hệ ïí  ïí  C ( 6; -4 ) ïï 2x + 3y = ïï y = -4 ỵ ỵ ỉ x + yB - ÷ư ÷ AB thuộc đường thẳng D ' ; Giả sử B ( x B ; yB ) suy trung im I ỗỗ B ỗố 2 ữữứ xB + y -1 + B = hay 2x B + 3yB + = (1) 2 Mặt khác B Ỵ D suy 2x B - 3yB = (2) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 738 ỉ 5ư T (1) v (2) suy B ỗỗ - ; - ữữữ ỗố ứ ổ 5ử Vy A(4; -1) , B ỗỗ - ; - ữữữ v C ( 6; -4 ) ỗố ứ Dạng 3: viết phương trình tham số tắc đường thẳng Phương pháp giải:  Để viết phương trình tham số đường thẳng D ta cần xác định - Điểm A(x ; y ) Î D  - Một vectơ phương u (a;b ) D ì x = x + at ï Khi phương trình tham số D ïí , t Ỵ R ï y = y + bt ï ỵ  Để viết phương trình tắc đường thẳng D ta cần xác định - Điểm A(x ; y ) Ỵ D  - Một vectơ phương u (a;b ), ab ¹ D Phương trình tắc đường thẳng D x - x0 y - y0 = a b (trường hợp ab = đường thẳng khơng có phương trình tắc) Chú ý: o Nếu hai đường thẳng song song với chúng có VTCP VTPT o Hai đường thẳng vng góc với VTCP đường thẳng VTPT đường thẳng ngược lại   o Nếu D có VTCP u = (a;b ) n = (-b; a ) VTPT D Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho điểm A ( 1; -3 ) B ( -2; ) Viết phương trình tham số đường thẳng  trường hợp sau:  a) D qua A nhận vectơ n ( 1;2 ) làm vectơ pháp tuyến b) D qua gốc tọa độ song song với đường thẳng AB c) D đường trung trực đoạn thẳng AB Lời giải: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 739   a) Vì D nhận vectơ n ( 1;2 ) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP D u ( -2;1 ) ì x = - 2t ï Vậy phương trình tham số đường thẳng D D : ïí ï y = -3 + t ï î   b) Ta có AB ( -3;6 ) mà D song song với đường thẳng AB nên nhận u ( -1;2 ) làm VTCP ì x = -t ï Vậy phương trình tham số đường thẳng D D : ïí ï y = 2t ï ỵ  c) Vì D đường trung trực đoạn thẳng AB nên nhận AB  3;6  làm VTPT qua trung điểm I đoạn thẳng AB    Ta có I   ;   nhận u  1;  làm VTCP nên phương trình tham số đường thẳng D   ìï ïï x = - - t D:í ïï y = 2t ïỵ Ví dụ 2: Viết phương trình tổng qt, tham số, tắc (nếu có) đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua điểm A ( 3; ) B ( 1; ) ì ï x = - 3t b)  qua N ( 3; ) vng góc với đường thẳng d ' : ïí ï y = + 5t ï ỵ Lời giải:  a) Đường thẳng  qua hai điểm A B nên nhận AB = ( -2; ) làm vectơ phương ì x = - 2t ï x -3 y phương trình tham số ïí ; phương trình tắc = ; phương trình tổng qt ï y = 3t -2 ï ỵ ( x - ) = -2y hay 3x + 2y - =  b) D ^ d ' nên VTCP d ' VTPT D nên đường thẳng D nhận u ( -3;5 ) làm VTPT  v ( -5; -3 ) làm VTCP đó phương trình tổng qt -3 ( x - ) + ( y - ) = hay ì ï x = - 5t x -3 y -4 ; phương trình tắc = 3x - 5y + 11 = ; phương trình tham số ï í ï y = - 3t -5 -3 ï ỵ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A ( -2;1 ), B ( 2; ) C ( 1; -5 ) a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 740 A x y2 + = 26 25 B x2 y2 + = 169 25 x y2 + = 52 25 C D x2 y2 + = 169 Lời giải Chọn B  2a = 26  a = 13 Elip ( E ) có độ dài trục lớn 26 ¾¾ Elip ( E ) có tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn 12 2c 12 12 ¾¾  =  c = a = 12 13 2a 13 13 Do đó, b = a2 - c2 = Phương trình tắc Elip ( E ) : x2 y2 + =1 169 25 Câu 30: Lập phương trình tắc elip có độ dài trục lớn tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn A x y2 + = B x y2 + = C x y2 + = D x y2 + = Lời giải Chọn A  2a =  a = Elip ( E ) có độ dài trục lớn ¾¾ Elip ( E ) có tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn 2c 1 ¾¾  =  c = a =1 2a 3 Do đó, b = a2 - c2 = 2 Phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + =1 Câu 31: Lập phương trình tắc elip có độ dài trục nhỏ 12 tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn A x y2 + = 36 25 B x y2 + = 25 36 C x y2 + = 64 36 D x2 y2 + = 100 36 Lời giải Chọn D Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Độ dài trục nhỏ Elip 12 suy 2b = 12  b = Tiêu cự Elip 2c, độ dài trục lớn 2a suy tỉ số Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 c =  c = a a Trang 851 Mặt khác a2 - b2 = c2  a2 - = 16 a  a2 = 36  a2 = 100 25 25 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x2 y2 + = 100 36 Câu 32: Elip có tổng độ dài hai trục 18 tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn Phương trình tắc elip là: A x y2 + = 25 16 B x y2 + = C x y2 + = 25 D x y2 + = Lời giải Chọn A Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Tổng độ dài hai trục Elip 2a + 2b = 18  a + b =  b = - a Tiêu cự Elip 2c, độ dài trục lớn 2a suy tỉ số c 3 =  c = a a 5 Mà a2 - b2 = c2 suy ra: a - (9 - a) = a  a = ( a = 45 loại b = - 45 = - 36 < ) 25 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = 25 16 Câu 33: Elip có tổng độ dài hai trục 10 tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn Phương trình tắc elip là: A x y2 + = 25 16 B x y2 + = C x y2 + = 25 D x y2 + = Lời giải Chọn D Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Tổng độ dài hai trục Elip Tiêu cự Elip 2c, độ dài trục lớn 2a suy tỉ số c 5 = c= a a 3 Mà a2 - b2 = c2 suy a2 -(5 - a) = a2  a = ( a = 15 loại b = -15 = -10 < ) Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 852 Câu 34: Lập phương trình tắc elip, biết elip qua hai điểm A (7;0) B (0;3) A x y2 + = 40 B x y2 + = 16 C x y2 + = 49 D x y2 + = 49 D x y2 =1 25 Lời giải Chọn D Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Elip qua điểm A (7;0 ) suy 72 =  a2 = 49 a2 Elip qua điểm B (0;3) suy 32 =  b2 = b2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = 49 ỉ 12 Câu 35: Elip qua cỏc im M (0;3) v N ỗỗỗ3;- ữữữ cú phương trình tắc là: è 5ø A x y2 + =1 16 B x y2 + =1 25 C x y2 + =1 25 Lời giải Chọn B Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : Elip qua điểm M (0;3) suy x y2 + = 1, với a > b > a b2 32 + =  b2 = a b2 ổ 12 ửữ ỗ2 ỗỗố ữữứ ổ ửữ 12 144 ỗ Elip i qua im N ỗỗ3;- ữữ suy + =  = -  a2 = 25 è 5ø a b a 25 b Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = 25 æ ư÷÷ ÷÷ ø Câu 36: Elip qua im A (0;1) v N ỗỗỗ1; ỗố A x y2 + = 16 B có phương trình tắc là: x y2 + = C x y2 + = D x y2 + = Lời giải Chọn C Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 x y2 + = 1, với a > b > a b2 Trang 853 Elip qua điểm A (0;1) suy 12 + =  b2 = a b2 ỉ ư÷÷ ÷÷ø Elip qua im N ỗỗỗ1; ỗố suy Vy phng trình cần tìm ( E ) : ỉ ửữ ỗỗ ữ ỗỗ ữữ ố ứ 1 + =  = -  a = 4 b a2 b2 a x y2 + = Câu 37: Tìm phương trình tắc elip có trục lớn gấp đơi trục bé qua điểm M (2; -2 ) A x y2 + = 20 B x y2 + = 36 C x y2 + = 24 D x y2 + = 16 Lời giải Chọn A x y2 + = 1, với a > b > a b2 Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé suy 2a = 2.2b  a = 2b Elip qua điểm M (2; - ) suy 2 (- ) 1 + =1  + = a b a b ìa = b2 ìa = 2b ï ï ì ï ï ïa2 = 20 ï ï Do đó, ta có hệ phương trình í 1  ïí í 1 ï ï ï + = + = b =5 ï ï ï ỵ ïa ï b b ỵ ï ỵ 4b Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = 20 Câu 38: Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự qua A (5;0 ) A x y2 =1 25 16 B x y2 + =1 25 16 C x2 y2 + =1 25 D x y2 + =1 100 81 Lời giải Chọn B Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Elip có tiêu cự suy 2c =  c =  a2 - b2 = c2 = Elip qua điểm A (5;0) suy 52 + =  a2 = 25 a b2 ìïa - b = ìïa = 25 Do đó, ta có hệ phương trình ïí  ïí ïïa = 25 ỵ Vậy phương trình cần tìm ( E ) : ïïb = 16 ỵ x y2 + = 25 16 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 854 Câu 39: Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự qua A (2;1) x y2 = + A B x y2 + = C x y2 + = D x y2 = + Lời giải Chọn A Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Elip có tiêu cự suy 2c =  c =  a2 - b2 = c2 = (1) Elip qua điểm A (2;1) suy 2 12 + =  + = (2) a b a b ìa = b2 + ìa2 - b2 = ï ï ì ì ï ï ïa = b2 + ïa = ï ï ï í ï  Từ (1), (2 ) suy í í í ïï + = ïï + = ïỵ b - 2b2 - = ïỵ b2 = ï ï 2 ï ï b ï ỵa ï ỵb + b Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Câu 40: Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự qua điểm M A ( ) 15; -1 x y2 + = 12 B x y2 + = 16 C x y2 + = 18 D x y2 + = 20 Lời giải Chọn D Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Elip có tiêu cự suy 2c =  c =  a2 - b2 = c2 = 16 (1) Elip qua điểm M ( 15;-1) suy ( 15 a ) 2 + (-1) b =1  15 + = (2) a b2 ìa = b2 + 16 ìa - b2 = 16 ï ï ìïa2 = b2 + 16 ìïa2 = 20 ïï ïï  í 15 ï ï Từ (1), (2 ) suy í15 í í ïï + = ïï ïïb = + = ïïỵb4 = 16 ỵ 2 ï b ï îa ï îï b + 16 b Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = 20 ỉ 5ư Câu 41: Elip qua im M ỗỗỗ2; ữữữ v cú mt tiờu im F (-2;0 ) Phương trình tắc elip là: è 3ø A x y2 + =1 B x y2 + =1 C x y2 + =1 25 16 D x y2 + =1 25 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 855 Chọn A Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Elip có tiêu điểm F (- 2;0 ) suy c =  a2 = b2 + c2 = b2 + (1) ổ ửữ ỗỗ ữ ỗố ứữ ổ ửữ 25 ỗ Elip i qua im M ỗỗ2; ữữ suy + =  + = (2) è 3ø a b a 9b 2 ìa2 = b2 + ì ï ì ïïa = b + ïa2 = ïï ï í ï Từ (1), (2 ) suy í 25 í 25 ïï + + =1 ï =1 ï ï ïỵb = ïïỵ a 9b2 ï b + b ï ỵ Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Câu 42: Phương trình tắc elip có hai tiêu điểm F1 (-2;0 ), F2 (2;0 ) qua điểm M (2;3) là: A x y2 + = 16 12 B x y2 + = 16 C x y2 + = 16 D x y2 + = 16 Lời giải Chọn A Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : x y2 + = 1, với a > b > a b2 Elip có hai tiêu điểm F1 (- 2;0 ), F2 (2;0 )  c =  a2 = b2 + c2 = b2 + (1) Elip qua điểm M (2;3) suy 2 32 + =  + = (2) a b2 a b ì ìïa2 = b2 + ïa = b2 + ì ì ï ïï ïa2 = b2 + ïïa2 = 16 ï í ï  Từ (1), (2 ) suy í í í ï + = ïï ïb - 4b2 - 36 = ïïb2 = 12 + =1 ï ï ỵ ỵ 2 ï ï b ïỵ a ï ỵb + b Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = 16 12 Câu 43: Tìm phương trình tắc elip qua điểm A (6;0) tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn A x y2 + = 36 27 B x y2 + = C x y2 + = 36 18 D x y2 + = Lời giải Chọn A Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 x y2 + = 1, với a > b > a b2 Trang 856 Elip qua điểm A (6;0) suy 62 02 + =  a2 = 36 a b2 Tỉ số tiêu cực với độ dài trục lớn Kết hợp với điều kiện b2 = a2 - c2 , ta b2 = a2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : 2c c a2 =  =  c2 = 2a a suy a2 3 = a = 36 = 27 4 x y2 + = 36 27 ỉ 5ư Câu 44: Tìm phương trình tắc elip nú i qua im N ỗỗỗ2;- ữữữ v t s tiêu cự với è 3ø độ dài trục lớn A x y2 + = B x y2 + = C x y2 + = D x y2 + = Lời giải Chọn B x y2 + = 1, với a > b > a b2 Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : ổ ửữ ỗỗ- ữ ỗố ứữ ổ ửữ 25 ỗ Elip i qua im N ỗỗ2; - ữữ suy + =  + = è ø a b a 9b Tỉ số tiêu cực với độ dài trục lớn (1) 2c c =  =  c2 = a2 suy 2a a 9 Kết hợp với điều kiện b2 = a2 - c2 , ta b2 = a2 - a2 = a2  9b2 = 5a2 ì4 25 ì4 (2) ì9 25 ï ï ï ï + = ïï + = ïï =  ía  ía Từ (1), (2 ) suy ïí a2 9b2 5a ï ï ï 2 ï ï ï ï9b = 5a ï ỵ ìa2 = ï ï í ï b =5 ï ỵ = b a ï ï ỵ ï9b = 5a ï ỵ Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Câu 45: Tìm phương trình tắc elip qua điểm A (2; ) tỉ số độ dài trục lớn với tiêu cự A x y2 + = 16 B x y2 + = C x y2 + = D x y2 + = 16 Lời giải Chọn A Gọi phương trình tắc Elip ( E ) : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 x y2 + = 1, với a > b > a b2 Trang 857 ( ) 22 Elip qua điểm A (2; ) suy + a b Tỉ số độ dài trục lớn với tiêu cự =1  + =1 a b2 suy (1) 2a =  c2 = a 2c 3 Kết hợp với điều kiện b2 = a2 - c2 , ta b2 = a2 - a2 = a2  a = b2 (2) ì ì ì ìa = 16 ïï 42 + 32 = ïï + 32 = ïï 42 = ï ï ï ï  í 4b  íb ï Từ (1), (2 ) suy í a b b í ïï ï ï ï ïa2 = 4b2 ïa = b2 ïỵb = = a b ï ï ï ï ï ï ỵ î î Vậy phương trình cần tìm ( E ) : Câu 46: Cho elip ( E ) : x y2 + = 16 x y2 + = với a > b > Gọi 2c tiêu cự ( E ) Trong mệnh đề sau, a b2 mệnh đề đúng? A c2 = a2 + b2 B b2 = a2 + c2 C a2 = b2 + c2 D c = a + b Lời giải Chọn C Ta có c = a - b2 ơắ a = b2 + c Câu 47: Cho elip có hai tiêu điểm F1 , F2 có độ dài trục lớn 2a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? B 2a > F1 F2 A 2a = F1 F2 C 2a < F1 F2 D a = F1 F2 Lời giải Chọn B Ta cú a > c ơắ 2a > 2c ơắ 2a > F1 F2 Câu 48: Cho elip ( E ) : x y2 + = Hai điểm A, B hai đỉnh elip nằm hai trục 25 Ox , Oy Khi độ dài đoạn thẳng AB bằng: A 34 B 34 C D 136 Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 858 a = Ta có a = 25 ¾¾ b = b2 = ¾¾ Tam giác OAB vng, có AB = OA2 + OB = 34 Vậy AB = 34 Câu 49: Một elip ( E ) có trục lớn dài gấp lần trục nhỏ Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: B e = A e = C e = D e = 2 Lời giải Chọn D Ta có A1 A2 = 3B1 B2 ¾¾  a = 3b ¾¾  a = 9b = (a - c ) ¾¾  9c = a ¾¾  c2 c 2 = ¾¾  = a a Vậy e = 2 Câu 50: Một elip ( E ) có khoảng cách hai đỉnh gấp lần tiêu cự Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A e = 5 B e = C e = D e = Lời giải Chọn A Ta có AB = F1 F2 ¾¾  a + b = 3c Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 859 ¾¾  a + b = 9c ¾¾  a + ( a - c ) = 9c ¾¾  2a = 10c ¾¾  c2 c = ¾¾  = a a Vậy e = Câu 51: Cho điểm M (2;3) nằm đường elip ( E ) có phương trình tắc: x y2 + = Trong a b2 điểm sau điểm không nằm ( E ) : A M (-2;3) B M (2;-3) C M (-2; -3) D M (3;2 ) Lời giải Chọn D Ta có điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ (2; -3) Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ (-2;3) Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ (-2; -3) Câu 52: Cho elip ( E ) : x y2 + = Khẳng định sau đúng? a b2 A ( E ) khơng có trục đối xứng B ( E ) có trục đối xứng trục hồnh C ( E ) có hai trục đối xứng trục hoành trục tung D ( E ) có vơ số trục đối xứng Lời giải Chọn C Ta có ( E ) có hai trục đối xứng trục hoành trục tung Câu 53: Cho elip ( E ) : x y2 + = Khẳng định sau đúng? a b2 A ( E ) khơng có tâm đối xứng B ( E ) có tâm đối xứng C ( E ) có hai tâm đối xứng D ( E ) có vơ số tâm đối xứng Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 860 Ta có ( E ) có tâm đối xứng gốc tọa độ O Câu 54: Elip ( E ) có độ dài trục bé tiêu cự Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn ( E ) bằng: A e = B e = C e = D e = Lời giải Chọn C Ta có B1 B2 = F1 F2 ơắ b = c ắắ  b = c ¾¾  (a - c ) = c ¾¾  c2 c = ¾¾  = a a Vậy e = Câu 55: Elip ( E ) có hai đỉnh trục nhỏ với hai tiêu điểm tạo thành hình vuông Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn ( E ) bằng: A e = B e = C e = D e = Lời giải Chọn C FF Ta có F  OB1 = ¾¾ b = c B1 F2 = 90 ¾¾ ¾¾  b = c ¾¾  (a - c ) = c ¾¾  c2 c = ¾¾  = a a Vậy e = Câu 56: Elip ( E ) có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm elip nằm đường tròn Độ dài trục nhỏ ( E ) bằng: A B C D 16 Lời giải Chọn B Ta có A1 A2 = ¾¾ a = 2 Và bốn điểm F1 , B1 , F2 , B2 nằm đường trịn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 861 ¾¾  b = c ¾¾  b2 = c2 ¾¾  b = a - b ¾¾ b = a = Vậy độ dài trục nhỏ ( E ) Câu 57: Cho elip ( E ) : x y2 + = M điểm tùy ý ( E ) Khi đó: 16 A £ OM £ B £ OM £ C OM ³ D OM £ Lời giải Chọn A  a = b2 = ¾¾  b = Ta có a = 16 ¾¾ Mà OB Ê OM Ê OA ơắ Ê OM Ê Câu 58: Cho elip ( E ) : x2 y2 + = điểm M nằm ( E ) Nếu M có hồnh độ -13 169 144 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: A 10 B 18 C 13  D 13  10 Lời giải Chọn B Ta có a = 169 ¾¾  a = 13 , b2 = 144 ¾¾  b = 12 c = a - b = Tọa độ hai tiêu điểm F1 (-5; 0), F2 (5; 0) M có hồnh độ -13 ¾¾  y = 0, M (-13; 0) ¾¾  MF1 = 8, MF2 = 18 Câu 59: Cho elip ( E ) : x y2 + = điểm M nằm ( E ) Nếu M có hồnh độ 16 12 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: A 3,5 4,5 B C  D  Lời giải Chọn A  a = , b = 12 ¾¾ Ta có a = 16 ¾¾  b = c = a - b = Tọa độ hai tiêu điểm F1 (-2; 0) , F2 (2; 0) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 862 M y= có hồnh độ ¾¾ ỉ ÷ư ÷÷÷ ø Do tính i xng ca ( E ) nờn chn M ỗỗỗ1; çè ¾¾  MF1 = , MF2 = 2 Câu 60: Cho elip có phương trình 16 x + 25 y = 100 Tính tổng khoảng cách từ điểm M thuộc elip có hồnh độ đến hai tiêu điểm A B 2 C D Lời giải Chọn C Ta có 16 x + 25 y = 100 ơắ a2 = x2 y2 + =1 25 4 25 b = ¾¾  a = , b = ¾¾ MF1 + MF2 = 2a = Câu 61: Cho elip ( E ) : x2 y2 + = Qua tiêu điểm ( E ) dựng đường thẳng song song với 100 36 trục Oy cắt ( E ) hai điểm M N Tính độ dài MN A 48 B 36 C 25 D 25 Lời giải Chọn A 2 ì ïa = 100 Xét ( E ) : x + y =  ïí  c = a - b2 = 100 - 36 = 64 ï 100 36 ï ỵb = 36 Khi đó, Elip có tiêu điểm F1 (- 8;0)  đường thẳng d // Oy qua F1 x = - Giao điểm d ( E ) nghiệm hệ phương trình ïïì x = - ïïì x = - ï ï  íx í 24 y ïï + = ïï y =  ïïỵ100 36 ïỵ ỉ 24 ỉ 24 48 Vậy tọa độ hai im M ỗỗỗ- 8; ữữữ, N ỗỗỗ- 8;- ữữữ MN = è è 5ø 5ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 863 Câu 62: Cho ( E ) : x y2 + = Một đường thẳng qua điểm A (2;2 ) song song với trục hoành 20 16 cắt ( E ) hai điểm phân biệt M N Tính độ dài MN A B 15 C 15 D Lời giải Chọn C Phương trình đường thẳng d qua điểm A (2;2) song song trục hồnh có phương trình y = ìy = ì ì ïïì x y ï ïï ï ïy = ìy = ï ïM 15;2 ï + = ï ï ï ï ï é 2  íx í  íê x = 15  í Ta có d Ç ( E )  í 20 16 ïï ïï + = ï ï ï ïïê ïïN - 15;2 ỵx = 15 ï ïỵï y = ï ỵ ï 20 16 x = 15 î ê ï îë ( ( ) ) Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 15 Câu 63: Dây cung elip ( E ) : x y2 + = (0 < b < a) vng góc với trục lớn tiêu điểm có độ a b2 dài bằng: A 2c2 a B 2b2 a C 2a2 c D a2 c Lời giải Chọn B Hai tiêu điểm có tọa độ F1 (- c;0 ), F2 (c;0 ) Đường thẳng chứa dây cung vng góc với trục lớn (trục hồnh ) tiêu điểm F có phương trình D : x = c Suy ì x =c ì ìx = c ï ïìï x = c ï ïï x + y = ï ï ï ï ï ï ï 2 2 í D Ç (E )  í a  í c2 y í b a c b ( ) b ï y =  b2 ï ï ï + = y = = ïï x = c ï ï ï ï ï b2 a ï ïa ỵï ỵï ỵ a2 a2 ï ỵ ỉ b2 ửữ ổ b2 2b2 ữữ, N ỗỗc; - ữữữ MN = ỗố a ứữ a ứữ a Vậy tọa độ giao điểm D ( E ) l M ỗỗỗc; ố Cõu 64: ng thng d : x + y -12 = cắt elip ( E ) : x y2 + = hai điểm phân biệt M N 16 Khi độ dài đoạn thẳng MN bằng: A B C D 25 Lời giải Chọn C Tọa độ giao điểm đường thẳng d ( E ) nghiệm hệ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 864 ì ï ï y = - 3x ì 3x ï ï y = 3ìï3 x + y -12 = ïï ìï ï ïï ïï ïï y = - x ï ï í  ïíé íx2 y2 í ỉ x = ùù + ùù ỗỗ3 - x ữữ ùù ù =1 ù ữ ùợ ùù x ùx - x = ù ốỗ 4ứ ï16 ïê + = ïỵ ï ïỵë x = ï ï ỵ16 ì ï M (0;3) Vậy tọa độ giao điểm ïí  MN = ï ï ỵN (4;0 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 865