THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT BÀI QUY TẮC ĐẾM A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I QUI TẮC CỘNG Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Quy tắc cộng phát biểu thực chất cách đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, phát biểu sau: Nếu A B tập hữu hạn khơng giao n A B n A n B Chú ý: Quy tắc cơng mở rộng cho nhiều hành động Ví dụ 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn? Giải Chọn đường có cách; chọn đường thủy có cách Vậy có : cách chọn Ví dụ 2: Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Giải Chọn rượi có cách, chọn bia có cách, chọn nước có cách Vậy có : 13 cách chọn II QUI TẮC NHÂN Một công việc hồn thành bao gồm hai cơng đoạn A B (hai hành động liên tiếp) Nếu cơng đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực Ví dụ 1: Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thông: đường bộ, đường sắt đường hàng khơng Hỏi có cách chọn phương tiện giao thơng để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về? Giải Đi từ Hồ Chí Minh đến Hà Nội có cách chọn phương tiện Khi từ Hà Nội đến HCM có cách Vậy có : cách chọn Ví dụ 2: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ viên thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách bầu? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 108 Giải Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký Vậy có : 15 14 2730 cách chọn Các dấu hiệu chia hết {kiến thức bổ sung} Chia hết cho 2: số tận 0, 2, 4, 6, Chia hết cho 3: tổng chữ số chia hết cho (ví dụ: 276) Chia hết cho 4: số tận 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 1300, 2512, 708) Chia hết cho 5: số tận 0, Chia hết cho 6: số chia hết cho chia hết cho Chia hết cho 8: số tận 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 15000, 2016, 13824) Chia hết cho 9: tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 2835) Chia hết cho 25: số tận 00, 25, 50, 75 Chia hết cho 10: số tận Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho Giải Gọi n abc số cần lập m aʹ bʹcʹ số gồm chữ số khác m ʹ a1 b1c1 số gồm chữ số khác mà chia hết cho Ta có : Tập số n Tập số m Tập số * Tìm m : có cách chọn a ʹ (vì aʹ ), có cách chọn bʹ (vì bʹ aʹ ), có cách chọn cʹ ( cʹ aʹ cʹ bʹ ) Vậy có : 5.5.4 100 số m * Tìm mʹ : chữ số cho, chữ số có tổng chia hết cho {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4} – Với {0,4,5}: có cách chọn a1 , cách chọn b1 , cách chọn c1 , 2.2.1 số mʹ – Với {1,3,5}: có 3! = số mʹ – Với {2,3,4}: có 3! = số mʹ – Vậy có : + + = 16 số mʹ Suy có : 100 – 16 = 84 số n Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 109 Chú ý: Qua ví dụ trên, ta thấy số cách chọn thỏa tính chất p q nhiều, ta làm sau: Số cách chọn thỏa p số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p Người ta gọi cách làm dùng “phần bù” B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Quy tắc cộng Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, bơng hồng đỏ bơng hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy hoa? Hướng dẫn giải * TH 1: Chọn bơng hồng trắng có cách chọn * TH 2: Chọn bơng hồng đỏ có cách chọn * TH 3: Chọn bơng hồng vàng có cách chọn Vậy có 18 cách Ví dụ 2: Trong hộp có 10 cầu trắng cầu đen Có cách chọn cầu ấy? Hướng dẫn giải Có 10 cách chọn cầu trắng cách chọn cầu đen Vậy cách chọn cầu là: 10 15 (cách) Ví dụ 3: Lớp 11A có 30 học sinh lớp 11B có 32 học sinh, có cách chọn học sinh từ lớp để tham gia đội công tác xã hội? Hướng dẫn giải Có 30 cách chọn học sinh lớp 11A 32 cách chọn học sinh lớp 11B.Vậy số cách chọn học sinh từ lớp là: 30 32 62 (cách) Ví dụ 4: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số? A 36 B 720 C D 120 Hướng dẫn giải Nếu gọi x số tự nhiên gồm chữ số x x x x x x Vậy có số tự nhiên gồm chữ số Bài tập trắc nghiệm Câu Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 cỡ 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi có lựa chọn (về màu áo cỡ áo)? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 110 A B C D Lời giải Chọn A · Nếu chọn cỡ áo 39 có cách · Nếu chọn cỡ áo 40 có cách Theo qui tắc cộng, ta có + = cách chọn mua áo Câu Một người có quần khác nhau, áo khác nhau, cà vạt khác Để chọn quần áo cà vạt số cách chọn khác là: A 13 B 72 C 12 D 30 Lời giải Chọn A · Nếu chọn quần có cách · Nếu chọn áo có cách · Nếu chọn cà vạt có cách Theo qui tắc cộng, ta có + + = 13 cách chọn Câu Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bi khác 10 tập khác Một học sinh muốn chọn đồ vật bút chì bút bi tập số cách chọn khác là: A 480 B 24 C 48 D 60 Lời giải Chọn B · Nếu chọn bút chì có cách · Nếu chọn bút bi có cách · Nếu chọn tập có 10 cách Theo qui tắc cộng, ta có + + 10 = 24 cách chọn Câu Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? A 45 B 280 C 325 D 605 Lời giải Chọn D · Nếu chọn học sinh nam có 280 cách · Nếu chọn học sinh nữ có 325 cách Theo qui tắc cộng, ta có 280 + 325 = 605 cách chọn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 111 Câu Một trường THPT cử học sinh dự trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12 B Hỏi nhà trường có cách chọn, biết lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến? A 31 B C 53 D 682 Lời giải Chọn C · Nếu chọn học sinh lớp 11A có 31 cách · Nếu chọn học sinh lớp 12B có 22 cách Theo qui tắc cộng, ta có 31 + 22 = 53 cách chọn Câu Trong hộp chứa sáu cầu trắng đánh số từ đến ba cầu đen đánh số 7, 8, Có cách chọn cầu ấy? A 27 B C D Lời giải Chọn B Vì cầu trắng đen đánh số phân biệt nên lần lấy cầu lần chọn · Nếu chọn trắng có cách · Nếu chọn đen có cách Theo qui tắc cộng, ta có + = cách chọn Câu Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa, chuyến tàu thủy chuyến máy bay Hỏi có cách từ tỉnh A đến tỉnh B ? A 20 B 300 C 18 D 15 Lời giải ㋅họn A · Nếu ô tô có 10 cách · Nếu tàu hỏa có cách · Nếu tàu thủy có cách · Nếu máy bay có cách Theo qui tắc cộng, ta có 10 + + + = 20 cách chọn Câu Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm: đề tài lịch sử, đề tài thiên nhiên, 10 đề tài người đề tài văn hóa Mỗi thí sinh quyền chọn đề tài Hỏi thí sinh có khả lựa chọn đề tài? A 20 B 3360 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C 31 D 30 Trang 112 Lời giải Chọn C · Nếu chọn đề tài lịch sử có cách · Nếu chọn đề tài thiên nhiên có cách · Nếu chọn đề tài người có 10 cách · Nếu chọn đề tài văn hóa có cách Theo qui tắc cộng, ta có + + 10 + = 31 cách chọn Dạng Quy tắc nhân Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? Hướng dẫn giải Mỗi đội trình diễn kịch, điệu múa hát (gồm tiết mục thuộc ba thể loại khác nhau) Chọn kịch có: cách chọn Chọn điệu múa có: cách chọn Chọn hát có: cách Vậy có: 36 cách Ví dụ 2: Dãy x1 , x2 , x3 , x4 với kí tự xi nhận giá trị Hỏi có dãy vậy? Hướng dẫn giải Mỗi kí tự xi có hai cách chọn (0 1) Vậy có tất cả: 16 dãy x1 , x2 , x3 , x4 Ví dụ 3: Trong lớp học có 20 học sinh nam 24 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn hai học sinh: nam nữ tham gia đội cờ đỏ Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn? Hướng dẫn giải Có 20 cách chọn học sinh nam 24 cách chọn học sinh nữ Vì có 20 24 480 cách chọn hai học sinh (1 nam, nữ) Ví dụ 4: Số số chẵn có hai chữ số là: Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 113 Số chẵn có hai chữ số có dạng ab với a 0, b chẵn + Chọn a 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , có cách chọn + Chọn b 0,2,4,6,8 , có cách chọn Vậy có tất 45 số Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Có kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vng, trịn, elip) kiểu dây (kim loại, da, vải nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây? A B C 12 D 16 Lời giải Chọn C Để chọn đồng hồ, ta có: · Có cách chọn mặt · Có cách chọn dây Vậy theo qui tắc nhân ta có 3´ = 12 cách Câu 2: Một người có quần, áo, cà vạt Để chọn thứ có bao nhiều cách chọn '' quần-áo-cà vạt '' khác nhau? A 13 B 72 C 12 D 30 Lời giải Chọn B Để chọn '' quần-áo-cà vạt '' , ta có: · Có cách chọn quần · Có cách chọn áo · Có cách chọn cà vạt Vậy theo qui tắc nhân ta có ´ ´3 = 72 cách Câu 3: Một thùng có 12 hộp đựng bút màu đỏ, 18 hộp đựng bút màu xanh Số cách khác để chọn đồng thời hộp màu đỏ, hộp màu xanh là? A 13 B 12 C 18 D 216 Lời giải Chọn D Để chọn hộp màu đỏ hộp màu xanh, ta có: · Có 12 cách chọn hộp màu đỏ · Có 18 cách chọn hộp màu xanh Vậy theo qui tắc nhân ta có 12 ´18 = 216 cách Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 114 Câu 4: Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bi khác 10 tập khác Số cách khác để chọn đồng thời bút chì, bút bi tập A 24 B 48 C 480 D 60 Lời giải Chọn C Để chọn '' bút chì - bút bi - tập '' , ta có: · Có cách chọn bút chì · Có cách chọn bút bi · Có 10 cách chọn tập Vậy theo qui tắc nhân ta có 8´ ´10 = 480 cách Câu 5: Một bó hoa có hoa hồng trắng, hoa hồng đỏ hoa hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy ba bơng hoa có đủ ba màu A 240 B 210 C 18 D 120 Lời giải Chọn B Để chọn ba hoa có đủ ba màu (nghĩa chọn bơng hoa hồng trắng- hoa hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có: · Có cách chọn hoa hồng trắng · Có cách chọn hoa hồng đỏ · Có cách chọn hoa hồng vàng Vậy theo qui tắc nhân ta có 5´6 ´7 = 210 cách Câu 6: Một người vào cửa hàng ăn, người chọn thực đơn gồm ăn năm món, loại tráng miệng năm loại tráng miệng nước uống ba loại nước uống Có cách chọn thực đơn A 25 B 75 C 100 D 15 Lời giải Chọn B Để chọn thực đơn, ta có: · Có cách chọn ăn · Có cách chọn tráng miệng · Có cách chọn nước uống Vậy theo qui tắc nhân ta có 5´5´3 = 75 cách Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 115 Câu 7: Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? A 910000 B 91000 C 910 D 625 Lời giải Chọn B Để chọn nam nữ dự trại hè, ta có: · Có 280 cách chọn học sinh nam · Có 325 cách chọn học sinh nữ Vậy theo qui tắc nhân ta có 280 ´325 = 91000 cách Câu 8: Một đội học sinh giỏi trường THPT, gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Số cách chọn ba học sinh khối có em? A 12 B 220 C 60 D Lời giải Chọn C Để chọn nam nữ dự trại hè, ta có: · Có cách chọn học sinh khối 12 · Có cách chọn học sinh khối 11 · Có cách chọn học sinh khối 10 Vậy theo qui tắc nhân ta có 5´ ´3 = 60 cách Câu 9: Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Tổng số cách chọn người đàn ông người đàn bà bữa tiệc phát biểu ý kiến cho hai người khơng vợ chồng? A 100 B 91 C 10 D 90 Lời giải Chọn D Để chọn người đàn ông người đàn bà khơng vợ chồng, ta có · Có 10 cách chọn người đàn ơng · Có cách chọn người đàn bà Vậy theo qui tắc nhân ta có ´10 = 90 cách Câu 10: An muốn qua nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường đến nhà Cường? A B C 10 D 24 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 116 Chọn D · Từ An ¾¾ Bình có cách · Từ Bình ¾¾ Cường có cách Vậy theo qui tắc nhân ta có ´ = 24 cách Câu 11: Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ A đến D mà qua B C lần? A B 10 C 18 D 24 Lời giải Chọn D · Từ A ¾¾ B có cách · Từ B ¾¾ C có cách · D có cách Từ C ¾¾ Vậy theo qui tắc nhân ta có ´ ´3 = 24 cách Câu 12: Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ A đến D quay lại A? A 1296 B 784 C 576 D 324 Lời giải Chọn C Từ kết câu trên, ta có: · Từ A ¾¾ D có 24 cách · Tương tự, từ D ¾¾ A có 24 cách Vậy theo qui tắc nhân ta có 24 ´ 24 = 576 cách Câu 13: Trong tuần bạn A dự định ngày thăm người bạn 12 người bạn Hỏi bạn A lập kế hoạch thăm bạn (thăm bạn khơng q lần)? A 3991680 B 12! C 35831808 D 7! Lời giải Chọn A Một tuần có bảy ngày ngày thăm bạn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 117 xác suất để số chọn mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ A B 35 C 17 35 D 18 35 Lời giải Chọn D Số phần tử tập S A74 = 840 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W = C840 = 840 Gọi X biến cố '' Số chọn ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ '' ● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; C42 = cách ● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; C32 = cách ● Từ bốn chữ số chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với hoán vị phần tử nên có 4! cách Suy số phần tử biến cố X WX = C42 C32 4! = 432 WX Vậy xác suất cần tính P ( X ) = W = 432 18 = 840 35 Câu 18: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số 1; 2; 3; 4; Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác xuất để số chọn chia hết cho A 10 5 B C D 15 Lời giải Chọn C Số phần tử S A53 = 60 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W = C601 = 60 Gọi A biến cố '' Số chọn chia hết cho '' Từ chữ số cho ta có gồm ba chữ số có tổng chia hết cho (1; 2; 3) , (1; 2; ) , (2; 3; ) (2; 4; ) Mỗi ba chữ số ta lập 3! = số thuộc tập hợp S Suy số phần tử biến cố A WA = 6.4 = 24 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 24 = 60 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 199 Câu 19: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số, chữ số đôi khác lập thành từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số 10 A 30 B 25 C 22 25 D 25 Lời giải Chọn B Ta tính số phần tử thuộc tập S sau: ● Số số thuộc S có chữ số A53 ● Số số thuộc S có chữ số A54 ● Số số thuộc S có chữ số A55 Suy số phần tử tập S A53 + A54 + A55 = 300 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W = C300 = 300 Gọi X biến cố '' Số chọn có tổng chữ số 10 '' Các tập A có tổng số phần tử 10 A1 = {1; 2; 3; } , A2 = {2; 3; 5} , A3 = {1; 4; 5} ● Từ A1 lập số thuộc S 4! ● Từ A2 lập số thuộc S 3! ● Từ A3 lập số thuộc S 3! Suy số phần tử biến cố X WX = 4!+ 3!+ 3! = 36 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 36 = 300 25 Câu 20: Một hộp đựng 10 thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất để chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho A 15 B 15 C D Lời giải Chọn A Không gian mẫu số cách lấy ngẫu nhiên thẻ từ 10 thẻ Suy số phần tử không gian mẫu W = C103 = 120 Gọi A biến cố '' chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho '' Để cho biến cố A xảy thẻ lấy phải có thẻ mang chữ số Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 200 chữ số Ta tìm số phần tử biến cố A , tức thẻ lấy khơng có thẻ mang chữ số khơng có thẻ mang chữ số C83 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C103 - C83 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = C103 - C83 = 15 C10 Câu 21: Có 20 thẻ đánh số từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 A 560 4199 B 15 C 11 15 D 3639 4199 Lời giải Chọn A Không gian mẫu cách chọn thể 20 thẻ Suy số phần tử không mẫu W = C208 = 25970 Gọi A biến cố '' thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 '' Để tìm số phần tử A ta làm sau: ● Đầu tiên chọn thẻ 10 thẻ mang số lẻ, có C103 cách ● Tiếp theo chọn thẻ thẻ mang số chẵn (không chia hết cho 10 ), có C84 cách ● Sau ta chọn thẻ mang số chia hết cho 10 , có C21 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C103 C84 C21 = 16800 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = C103 C84 C21 560 = 4199 C20 Câu 22: Gọi S tập hợp số tự nhiên có hai chữ số Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S Tính xác suất để hai số chọn có chữ số hàng đơn vị giống A 89 B 81 89 C 36 89 D 53 89 Lời giải Chọn A Số phần tử tập S 9.10 = 90 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W = C902 = 4005 Gọi X biến cố '' Số chọn có chữ số hàng đơn vị giống '' Ta mô tả không gian biến cố X nhưu sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 201 ● Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ chữ số {0; 1; 2; 3; ; 9} ) ● Có C92 cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ chữ số {1; 2; 3; ; 9} ) Suy số phần tử biến cố X WX = 10.C92 = 360 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 360 = 4005 89 Câu 23: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để chọn số gồm chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số số lẻ) A 49 54 B 54 C 7776 D 45 54 Lời giải Chọn B Số phần tử tập S A98 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W = A98 = 3265920 Gọi X biến cố '' Số chọn gồm chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ '' Do số đứng số lẻ nên số khơng đứng vị trí vị trí cuối Ta có khả ● Chọn vị trí để xếp số , có C71 cách ● Chọn số lẻ xếp vào vị trí cạnh số vừa xếp, có A52 cách ● Chọn số lẻ số lẻ lại chọn số chẵn từ {2; 4; 6; 8} sau xếp số vào vị trí trống cịn lại có C32 C44 6! cách Suy số phần tử biến cố X WX = C71 A52 C32 C44 6! = 302400 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = C71 A52 C32 C44 6! = 54 A98 Câu 24: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm đội bóng tham dự, có đội nước đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng A, B, C bảng có đội Tính xác suất để đội bóng Việt Nam bảng khác A 56 B 19 28 C 28 D 53 56 Lời giải Chọn C Không gian mẫu số cách chia tùy ý đội thành bảng Suy số phần tử không gian mẫu W = C93 C63 C33 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 202 Gọi X biến cố '' đội bóng Việt Nam bảng khác '' ● Bước Xếp đội Việt Nam bảng khác nên có 3! cách ● Bước Xếp đội cịn lại vào bảng A, B, C có C62 C42 C22 cách Suy số phần tử biến cố X WX = 3!.C62 C42 C22 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 3!.C62 C42 C22 540 = = 1680 28 C93 C63 C33 Câu 25: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có người tham gia có hai bạn Việt Nam Các vận động viên chia làm hai bảng A B , bảng gồm người Giả sử việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu A B C 7 D Lời giải Chọn D Không gian mẫu số cách chia tùy ý người thành bảng Suy số phần tử không gian mẫu W = C84 C44 Gọi X biến cố '' bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu '' ● Bước Xếp bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu nên có C21 cách ● Bước Xếp bạn lại vào bảng A, B cho đủ bảng bạn có C62 C44 cách Suy số phần tử biến cố X WX = C21 C62 C44 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = C84 C44 = C2 C6 C4 Câu 26: Một đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà đề gồm câu chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình câu khó Một đề thi gọi '' Tốt '' đề thi có ba câu dễ, trung bình khó, đồng thời số câu dễ khơng Lấy ngẫu nhiên đề thi đề Tìm xác suất để đề thi lấy đề thi '' Tốt '' A 941 1566 B C D 625 1566 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu W = C305 = 142506 Gọi A biến cố '' Đề thi lấy đề thi '' Tốt '' '' Vì đề thi '' Tốt '' có ba câu dễ, trung bình khó, đồng thời số câu dễ khơng nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 203 ● Đề thi gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C153 C101 C51 đề ● Đề thi gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C153 C101 C51 đề ● Đề thi gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C152 C101 C52 đề Suy số phần tử biến cố A WA = C153 C101 C51 + C153 C101 C51 + C152 C101 C52 = 56875 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 56875 625 = 142506 1566 Câu 27: Trong kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên phiếu câu hỏi từ thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, có cặp phiếu câu hỏi mà cặp phiếu có nội dung khác đơi cặp phiếu có nội dung giống Tính xác suất để thí sinh A chọn phiếu câu hỏi có nội dung khác A B 12 1225 C D 1213 1225 Lời giải Chọn D Không gian mẫu số cách chọn tùy ý phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi Suy số phần tử không gian mẫu WA = C503 Gọi X biến cố '' Thí sinh A chọn phiếu câu hỏi khác '' Để tìm số phần tử X ta tìm số phần tử biến cố X , lúc cần chọn cặp cặp phiếu có câu hỏi giống chọn phiếu 48 phiếu lại Suy số phần tử biến cố X WX = C41 C481 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W W - WX = W = C503 - C41 C48 1213 = C50 1225 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có mơn thi bắt buộc môn Tiếng Anh Môn thi thi hình thức trắc nghiệm với phương án trả lời A, B, C, D Mỗi câu trả lời cộng 0, điểm câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm Bạn Hoa học môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên 50 câu trả lời Tính xác xuất để bạn Hoa đạt điểm môn Tiếng Anh kỳ thi 20 A C5300 (3) 50 20 20 B A5300 (3) 50 C C5030 (3) 50 20 D A5030 (3) 50 Lời giải Chọn A Gọi x số câu trả lời đúng, suy 50 - x số câu trả lời sai Ta có số điểm Hoa 0, x - 0,1 (50 - x ) = x = 30 Do bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 204 Không gian mẫu số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên Mỗi câu có phương án trả lời nên có 50 khả Suy số phần tử không gian mẫu W = 50 Gọi X biến cố '' Bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu '' Vì câu có 20 phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời Vì có C5030 (3) khả thuận lợi cho biến cố X Suy số phần tử biến cố X WX = C5030 (3)20 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W 20 = C5300 (3) 50 Câu 28: Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào ghế thành dãy Tính xác suất để xếp học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 A 12 B 12 C 1728 D 72 Lời giải Chọn A Không gian mẫu số cách xếp tất học sinh vào ghế dài Suy số phần tử không gian mẫu W = 9! Gọi A biến cố '' Xếp học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Đầu tiên xếp học sinh lớp 11 thành dãy, có 6! cách ● Sau xem học sinh vách ngăn nên có vị trí để xếp học sinh lớp 12 (gồm vị trí học sinh vị trí hai đầu) Do có A73 cách xếp học sinh lớp 12 Suy số phần tử biến cố A WA = 6! A73 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 6! A73 = 9! 12 Câu 29: Đội tuyển học sinh giỏi trường THPT có học sinh nam học sinh nữ Trong buổi lễ trao phần thưởng, học sinh xếp thành hàng ngang Tính xác suất để xếp cho học sinh nữ không đứng cạnh A 653 660 B 660 C 41 55 D 14 55 Lời giải Chọn D Không gian mẫu số cách xếp tất 12 học sinh thành hàng ngang Suy số phần tử không gian mẫu W = 12! Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 205 Gọi A biến cố '' Xếp học sinh thành hàng ngang mà học sinh nữ không đứng cạnh '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Đầu tiên xếp học sinh nam thành hàng ngang, có 8! cách ● Sau xem học sinh vách ngăn nên có vị trí để xếp học sinh nữ thỏa u cầu tốn (gồm vị trí học sinh vị trí hai đầu) Do có A94 cách xếp học sinh nữ Suy số phần tử biến cố A WA = 8! A94 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 8! A94 14 = 12! 55 Câu 30: Có bì thư giống đánh số thứ tự từ đến tem giống đánh số thứ tự từ đến Dán tem vào bì thư cho khơng có bì thư khơng có tem Tính xác suất để lấy bì thư bì thư cho bì thư có số thứ tự giống với số thứ tự tem dán vào A B C D Lời giải Chọn B Không gian mẫu số cách dán tem bì thư, tức hốn vị tem bì thư Suy số phần tử không gian mẫu W = 3! = Gọi A biến cố '' bì thư lấy có số thứ tự giống với số thứ tự tem dán vào '' Thế bì thư cịn lại có số thứ tự giống với số thứ tự tem dán vào Trường hợp có cách Suy số phần tử biến cố A WA = Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = Câu 31: Trong thư viện có 12 sách gồm Tốn giống nhau, Lý giống nhau, Hóa giống Sinh giống Có cách xếp thành dãy cho sách thuộc môn không xếp liền nhau? A 16800 B 1680 C 140 D 4200 Lời giải Chọn A Xếp sách Toán kề Xem sách Toán vách ngăn, sách Tốn có vị trí trống thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có vị trí trống Bước Chọn vị trí trống vị trí để xếp Lý, có C43 cách Bước Giữa Lý Tốn có vị trí trống thêm vị trí hai đầu, tổng cộng có vị trí trống Chọn vị trí vị trí trống để xếp Hóa, có C73 cách Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 206 Bước Giữa sách Tốn, Lý Hóa xếp có vị trí trống thêm vị trí hai đầu, tổng cộng có 10 vị trí trống Chọn vị trí 10 vị trí trống để xếp Sinh, có C103 cách Vậy theo quy tắc nhân có C43 C73 C103 = 16800 cách Câu 32: Xếp học sinh nam học sinh nữ vào bàn tròn 10 ghế Tính xác suất để khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh A 37 42 B 42 C 1008 D Lời giải Chọn B Cố định vị trí cho học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu ghế cịn lại từ đến Khơng gian mẫu hốn vị học sinh (cịn lại khơng cố định) ghế đánh dấu Suy số phần tử không gian mẫu W = 9! Gọi A biến cố '' khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Đầu tiên ta cố định học sinh nam, học sinh nam cịn lại có 5! cách xếp ● Ta xem học sinh nam vách ngăn vịng trịn, tạo ô trống để ta xếp học sinh nữ vào (mỗi ô trống xếp học sinh nữ) Do có A64 cách Suy số phần tử biến cố A WA = 5! A64 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 5! A64 = 9! 42 Câu 33: Có hành khách bước lên đồn tàu gồm toa Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người, toa cịn lại khơng có A B 16 C 13 16 D Lời giải Chọn B Không gian mẫu số cách xếp hành khách lên toa tàu Vì hành khách có cách chọn toa nên có 4 cách xếp Suy số phần tử không gian mẫu W = 4 Gọi A biến cố '' toa có người, toa có người, toa cịn lại khơng có '' Để tìm số phần tử A , ta chia làm hai giai đoạn sau: ● Giai đoạn thứ Chọn hành khách hành khách, chọn toa toa xếp lên toa hành khách vừa chọn Suy có C43 C41 cách Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 207 ● Giai đoạn thứ hai Chọn toa toa cịn lại xếp lên toa hành khách cịn lại Suy có C31 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C43 C41 C31 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = C43 C41 C31 48 = = 16 44 Câu 34: Có người khách bước ngẫu nhiên vào cửa hàng có quầy Tính xác suất để người đến quầy thứ A 10 13 B 13 C 4769 6561 D 1792 6561 Lời giải Chọn D Không gian mẫu số cách xếp người khách vào quầy Vì người khách có cách chọn quầy nên có 38 khả xảy Suy số phần tử không gian mẫu W = 38 Gọi A biến cố ʹʹ Có người đến quầy thứ nhất, người lại đến quầy thứ hai ba ʹʹ Để tìm số phần tử A , ta chia làm hai giai đoạn sau: ● Giai đoạn thứ Chọn người khách người khách quầy thứ nhất, có C83 cách ● Giai đoạn thứ hai Còn lại người khách xếp vào quầy Mỗi người khách có cách chọn quầy Suy có cách xếp Suy số phần tử biến cố A WA = C83 25 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = C83 1792 = 6561 38 Câu 35: Trong buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, có cặp vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để biểu diễn tiết mục văn nghệ Tính xác suất để người chọn khơng có cặp vợ chồng A 94 95 B 95 C 95 D 89 95 Lời giải Chọn D Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên người 20 người Suy số phần tử không gian mẫu W = C203 = 1140 Gọi A biến cố '' người chọn khơng có cặp vợ chồng '' Để tìm số phần tử A , ta tìm số phần tử biến cố A , với biến cố A người chọn ln có cặp vợ chồng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 208 ● Chọn cặp vợ chồng cặp vợ chồng, có C41 cách ● Chọn thêm người 18 người, có C181 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C41 C181 = 72 Suy số phần tử biến cố A WA = 1140 - 72 = 1068 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 1068 89 = 1140 95 Câu 36: Một lớp học có 40 học sinh có cặp anh em sinh đôi Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn học sinh để làm cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó bí thư Tính xác suất để chọn học sinh làm cán lớp mà khơng có cặp anh em sinh đôi A 64 65 B 65 C 256 D 255 256 Lời giải Chọn A Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên học sinh 40 học sinh Suy số phần tử không gian mẫu W = C403 = 9880 Gọi A biến cố '' học sinh chọn khơng có cặp anh em sinh đơi '' Để tìm số phần tử A , ta tìm số phần tử biến cố A , với biến cố A học sinh chọn ln có cặp anh em sinh đôi ● Chọn cặp em sinh đơi cặp em sinh đơi, có C41 cách ● Chọn thêm học sinh 38 học sinh, có C381 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C41 C381 = 152 Suy số phần tử biến cố A WA = 9880 -152 = 9728 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 9728 64 = 9880 65 Câu 37: Một người có 10 đơi giày khác lúc du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để giày lấy có đơi A B 13 64 C 99 323 D 224 323 Lời giải Chọn C Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên giày từ 20 giày Suy số phần tử không gian mẫu W = C204 = 4845 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 209 Gọi A biến cố '' giày lấy có đơi '' Để tìm số phần tử biến cố A , ta tìm số phần tử biến cố A , với biến cố A giày chọn khơng có đơi ● Số cách chọn đôi giày từ 10 đôi giày C104 ● Mỗi đôi chọn chiếc, có C21 cách chọn Suy có (C21 ) cách chọn Suy số phần tử biến cố A WA = C104 (C21 ) = 3360 Suy số phần tử biến cố A WA = 4845 - 3360 = 1485 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 1485 99 = 4845 323 Câu 38: Một trường THPT có 10 lớp 12 , lớp cử học sinh tham gia vẽ tranh cổ động Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với (các học sinh lớp khơng bắt tay với nhau) Tính số lần bắt tay học sinh với nhau, biết hai học sinh khác hai lớp khác bắt tay lần A 405 B 435 C 30 D 45 Lời giải Chọn A Mỗi lớp cử học sinh nên 10 lớp cử 30 học sinh Suy số lần bắt tay C302 (bao gồm học sinh lớp bắt tay với nhau) Số lần bắt tay học sinh học lớp 10.C32 Vậy số lần bắt tay học sinh với C302 -10.C32 = 405 Câu 39: Có đoạn thẳng có độ dài 2cm, cm, 6cm, 8cm 10cm Lấy ngẫu nhiên đoạn thẳng đoạn thẳng trên, tính xác suất để đoạn thẳng lấy lập thành tam giác A 10 B 10 C 10 D Lời giải Chọn A Không gian mẫu số cách lấy đoạn thẳng từ đoạn thẳng Suy số phần tử không gian mẫu W = C53 = 10 Gọi A biến cố '' đoạn thẳng lấy lập thành tam giác '' Để ba đoạn thẳng tạo thành tam giác có trường hợp: (4 cm, 6cm, 8cm ) (6cm, 8cm, 10cm ) (4 cm, 8cm, 10cm ) Suy số phần tử biến cố A WA = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 210 Vậy xác suất cần tìm P ( A ) = WA W = 10 Câu 40: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Ở góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt; góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lấy 3, 4, điểm phân biệt (các điểm không nằm trục tọa độ) Trong 14 điểm ta lấy điểm Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm cắt hai trục tọa độ A 68 91 B 23 91 C 91 D 83 91 Lời giải Chọn B Không gian mẫu số cách chọn điểm 14 điểm cho Suy số phần tử không gian mẫu W = C142 = 91 Gọi A biến cố '' Đoạn thẳng nối điểm chọn cắt hai trục tọa độ '' Để xảy biến cố A hai đầu đoạn thẳng phải góc phần tư thứ thứ ba phần tư thứ hai thứ tư ● Hai đầu đoạn thẳng góc phần tư thứ thứ ba, có C21C41 cách ● Hai đầu đoạn thẳng góc phần tư thứ hai thứ tư, có C31C51 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C21C41 + C31C51 = 23 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 23 91 Câu 41: Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia hoạt động Đoàn trường Xác suất chọn nam nữ 12 Tính số học 29 sinh nữ lớp A 16 B 14 C 13 D 17 Lời giải Chọn B Gọi số học sinh nữ lớp n (n Î * , n £ 28) Suy số học sinh nam 30 - n Không gian mẫu chọn học sinh từ 30 học sinh Suy số phần tử không gian mẫu W = C303 Gọi A biến cố '' Chọn học sinh nam học sinh nữ '' ● Chọn nam 30 - n nam, có C302 -n cách ● Chọn nữ n nữ, có Cn1 cách Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 211 Suy số phần tử biến cố A WA = C302 -n Cn1 Do xác suất biến cố A P ( A ) = Theo giả thiết, ta có P ( A ) = WA W = C302 -n Cn1 C303 C C 12 12 30-n3 n = ¾¾ n = 14 29 C30 29 Vậy số học sinh nữ lớp 14 học sinh Câu 42: Một chi đồn có đồn viên nữ số đồn viên nam Cần lập đội niên tình nguyện (TNTN) gồm người Biết xác suất để người chọn có nữ lần xác suất người chọn toàn nam Hỏi chi đồn có đồn viên A B 10 C 11 D 12 Lời giải Chọn A Gọi số đồn viên chi đồn n (n ³ 7, n Ỵ * ) Suy số đoàn viên nam chi đoàn n - Xác suất để lập đội TNTN có nữ Xác suất để lập đội TNTN có tồn nam Theo giả thiết, ta có C33 Cn1-3 Cn4 Cn4-3 Cn4 C33 Cn1-3 Cn4-3 = Cn1-3 = Cn4-3 ¾¾ n = Cn4 Cn Vậy cho đồn có đồn viên Câu 43: Một hộp có 10 phiếu, có phiếu trúng thưởng Có 10 người lấy ngẫu nhiên người phiếu Tính xác suất người thứ ba lấy phiếu trúng thưởng A 5 B C D Lời giải Chọn C Không gian mẫu người lấy ngẫu nhiên phiếu Suy số phần tử không gian mẫu W = 10! Gọi A biến cố '' Người thứ ba lấy phiếu trúng thưởng '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Người thứ ba có C21 = khả lấy phiếu trúng thưởng ● người cịn lại có số cách lấy phiếu 9! Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 212 Suy số phần tử biến cố A WA = 2.9! Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = 2.9! = 10! Câu 44: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, lớp thi gồm 24 thí sinh xếp vào 24 bàn khác Bạn Nam thí sinh dự thi, bạn đăng ký môn thi lần thi thi phòng Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để lần thi bạn Nam có lần ngồi vào vị trí A 253 1152 B 899 1152 C D 26 35 Lời giải Chọn A Không gian mẫu số cách ngẫu nhiên chỗ ngồi lần thi Nam Suy số phần tử không gian mẫu W = 24 Gọi A biến cố '' lần thi bạn Nam có lần ngồi vào vị trí '' Ta mơ tả không gian biến cố A sau: ● Trong lần có lần trùng vị trí, có C42 cách ● Giả sử lần thứ có 24 cách chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trùng với lần thứ có cách chọn chỗ ngồi Hai lần cịn lại thứ ba thứ tư không trùng với lần trước khơng trùng nên có 23.22 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C42 24.23.22 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = WA W = C42 24.23.22 C42 23.22 253 = = 1152 24 24 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 213
Ngày đăng: 10/07/2023, 10:33
Xem thêm: