Phân loại đại cương về phương trình

BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  1 f  x  g  x  biểu thức x Ta gọi f  x  vế trái, g  x  vế phải phương trình 1 Nếu có số thực x0 cho f  x0   g  x0  mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình 1 Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm Điều kiện phương trình Khi giải phương trình 1 , ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để f  x  g  x  có nghĩa Ta nói điều kiện xác định phương trình Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn  2 x  y  x  xy  8, x  xy  z  z  xz  y 2  3 Phương trình   phương trình hai ẩn ( x y ), cịn  3 phương trình ba ẩn ( x, y z ) Khi x  2, y  hai vế phương trình   có giá trị nhau, ta nói cặp  x; y    2;1 nghiệm phương trình   Tương tự, ba số  x; y; z    1;1;  nghiệm phương trình  3 Phương trình chứa tham số Trong phương trình , ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Định lí Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 183  Nếu thực phép biển đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Phương trình hệ Nếu nghiệm phương trình f  x   g  x  nghiệm phương trình f1  x   g1  x  phương trình f1  x   g1  x  gọi phương trình hệ phương trình f  x   g  x  Ta viết f  x   g  x   f1  x   g1  x  Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Điều kiện xác định phương trình Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình 2x 5  x 1 x 1 Lời giải Chọn D Do x   0, x   nên điều kiện xác định phương trình D   Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình x 1  x   x  Lời giải x 1  x    Điều kiện xác định phương trình là:  x     x   x  x   x    Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình x2  4 x 3 Lời giải x   x  Điều kiện xác định phương trình:   x   x  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 184  Ví dụ Cho phương trình x3   x   x 4 Tìm điều kiện xác định phương trình cho Lời giải  x3    Điều kiện xác định phương trình  x    x   x2    Bài tập trắc nghiệm Câu Tìm tập xác định phương trình A  1;   x 1  x  2017  x C  1;   \ 0 B  1;   \ 0 D  1;   Hướng dẫn giải Chọn C  x    x  1  Điều kiện  x  x  Tập xác định phương trình  1;   \ 0 Câu Điều kiện xác định phương trình x  A x  2 x   2x  x 2x  B 2  x    2  x  D   x  C x  2 x  Hướng dẫn giải Chọn C  x  3  x      2  x  Điều kiện xác định phương trình 2 x     x  2    x  x  x     Câu Cho phương trình x   A 1;   Tập giá trị x để phương trình xác định x 1 B  C 1; ) D  \ 1 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 185  Chọn A x2   Câu 4: xác định  x    x  x 1 Điều kiện xác định phương trình A x   2;8  x    x B x  C x  D x  Lời giải Chọn C ĐK: x    x  Câu Giá trị x  điều kiện phương trình sau đây? A x   2x 1 x2 B x   x2  x C x   x2 4 x D x   x2 Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình x   x  có điều kiện x    x  x2 Phương trình x   x   có điều kiện x x    x   x  Phương trình x   x  có điều kiện 4 x x   x    x  4  x  Phương trình x  Câu  có điều kiện x    x  x2 Điều kiện xác định phương trình x2  x  2x 5 x A x   \ 0; 2 B x   2;5  \ 0 C  2;5 \ 0; 2 D  ;5  \ 0; 2 Hướng dẫn giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 186  Phương trình x2  có nghĩa x  2x 5 x x    x  2    x  x    x  0; x  2  x   2;5  \ 0 5  x  x    Câu Điều kiện xác định phương trình A x   4;    x4  x 1 3 x B x   4;3 \ 1 C x   ;3 D x   \ 1 Hướng dẫn giải Chọn B x    x  4 4  x    Phương trình cho xác định  x     x  1    x  1 3  x  x    Câu Tập xác định phương trình x x2 1  x  x 1 A D   2;    B D   0;    \ 1 C D   0;    D D   0;    \ 1; 2 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện xác định: x  x   Vậy đáp án D   0;    \ 1  x 1  x  Câu Điều kiện xác định phương trình A x ³ -5 x+5 = x-2 ìï x ³-5 C ù ùùợ x ỡùx > -5 B ù ùùợx D x > Lời giải Chọn C ìï x + ³ ìïï x ³ -5 í Phương trình xác định ï í ïỵï x - ùợù x Cõu 10 Điều kiện xác định phương trình x  x    x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 187  A   x  B   x  C x   D x  Lời giải Chọn B  2 x   x    Điều kiện xác định phương trình     x 1 1  x   x  Câu 11 Điều kiện xác định phương trình A  2;7  x2  x2  0 ? 7x C  2;7 B  2;   D  7;   Lời giải Chọn A x   x  Điều kiện xác định phương trình cho là:    2 x7 7  x  x  Câu 12 Điều kiện xác định phương trình A x   4;    x4  là: x 1 3 x B x   4;3 \ 1 C x   ;3 D x   \ 1 Lời giải: Chọn B x    x  4 4  x    Phương trình cho xác định  x     x  1    x  1 3  x  x    Dạng 2: Sử dụng điêu kiện xác định phương trình để tìm gghiệm phương trình Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ : Giải phương trình x ( x -1) x -1 = có nghiệm? Lời giải Vì : x ( x -1) ìï x -1 ³ éx ³1 ïï ê ï  êê é x =  x = x -1 =  í é x = ê ïïê ê ê x = 1 ïïỵêë x -1 = êë ë Ví dụ : Giải phương trình x + x - = - x + Lời giải x   x  Vì : Điều kiện pt    x  Thay x = vào phương trình thấy 2  x  x  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 188  thỏa mãn nên x = nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình x - x + 5x - + x = - x Lời giải Vì: x - x + x - + x = - x  ( x - 2)( x -1) + x = - x Điều kiện phương trình: ìïé x - ³ ìïé x ³ ïïê ìï( x - 2)( x -1) ³ ïïê ïí ïíê x =  éê x =  ïíêë x = ê ïỵï2 - x ³ ïï ïë ëx = ïỵï2 - x ³ ïỵïï x £ Ví dụ 4: Giải phương trình ( x - x + ) x - = Lời giải Vì : ( x - 3x + 2) ìx ³ ï ï ìx - ³ ï ï ï ï ï ïé x = ï é  x=3 x - =  í x - 3x + =  íê ê ê ï ï ïê ïê x = ï ï = x ïë ïê ỵ ïï îë x = é x=2 vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Nên x = nghiệm pt + Thay êê ëx =1 Bài tập trắc nghiệm Câu Cặp số  x; y  sau không nghiệm phương trình x  y  ? 5  A  x; y    ;  2  B  x; y   1;  1  5 C  x; y    0;   3 D  x; y    2;  3 Hướng dẫn giải Chọn C Thay số  x; y  vào phương trình, ta thấy số đáp án C không thỏa mãn: 2.0   5  Câu Số nghiệm phương trình x  A 1   x2  x 1 x 1 B C D Hướng dẫn giải Chọn B x   x  Điều kiện: x  1 Khi phương trình cho  x   x    x  2  L  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 189  Câu Số nghiệm phương trình A là: x 3 x  x3 C B D Hướng dẫn giải Chọn B Đkxđ: x  Với điều kiện x  phương trình cho trở thành x 1 x   Vậy phương trình khơng có nghiệm Câu Tập nghiệm phương trình x  x  A S   x  C S  0 B S   D S  1 Lời giải Chọn B Điều kiện: x  x  x  x   x  1 Vây tập nghiệm phương trình cho S   Câu Phương trình sau nhận làm nghiệm ? A x  x   B x  x   C  x  x   x  D x  x   Lời giải Chọn D  x  1  x2   - Xét PT: x  x     x  x   Vậy x  nghiệm PT cho  x 1 - Xét PT: x  x     x  Vậy x  nghiệm PT cho - Xét PT:  x  x   x  Điều kiện  x   x  Vậy x  nghiệm PT cho Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 190   x  1  x2   - Xét PT: x  x      x  2 x  Vậy x  nghiệm PT cho Câu Phương trình x ( x -1) x -1 = có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn B Vì : x ( x -1) ìï x -1 ³ éx ³1 ïï ê x -1 =  ïíé x =  êê é x =  x = ê ïïê ê ê x = 1 ïïỵêë x -1 = êë ë Câu Phương trình - x + x - + x = 27 có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn B Vì -x + x - + x = 27  -( x - 3) = 27 - x Đk : -( x - 3) ³  x = Thay x = vào phương trình thấy thỏa mãn nên x = nghiệm pt Câu Phương trình ( x - 3)2 (5 - x ) + x = x - + có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn B Vì điều kiện phương trình: : éx = ê êx = êë + Thay ê ìïé ï êx £ ï ì é ï ³ x ï éx = ê ïïê ì( x - 3) (5 - x) ³ ïïê ê ï ï ï ï í íêë x = íêë x =  ê ï ï êx = ïï3 x - ³ ï ï ỵ ê ïï ë ỵ3 x - ³ ïï ïx ³ ï ï ỵ vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Nên x = nghiệm pt Câu Phương trình x + x -1 = - x có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 191  x 1  x  Vì : Điều kiện pt :    x  Thay x = vào phương trình thấy vơ 1  x  x  lí nên pt vơ nghiệm é x=2 + Thay êê vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Nên x = nghiệm pt ëx =1 Câu 10 Phương trình ( x - x - ) x + = có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn C Vì : ( x - x - 2) ì x ³ -1 ïïì x + ³ ï ï é x = -1 ï ï ï x + =  íé x - x - =  ïíé x = -1  ê ê ïïê ïïê ëx = ê ê ïïë x = ỵ ïỵïë x + = Dạng 3: Phương trình tương đương, phương trình hệ Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho phương trình f  x   có tập nghiệm S1  m; m  1 phương trình g  x   có tập nghiệm S2  1;  Tìm tất giá trị m để phương trình g  x   phương trình hệ phương trình f  x   A  m  B  m  C m  D  m  Lời giải Chọn D Gọi S1 , S2 tập nghiệm hai phương trình f  x   g  x   Ta nói phương trình g  x   phương trình hệ phương trình f  x   S1  S2 1  m  1  m   Khi ta có   1 m 1  m   1  m  Bài tập trắc nghiệm Câu Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình x   ? A x   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   B x   Trang 192  2 x  y   x     y   m  10 3x  y   2mx  y  m  2m.2  5.2  m    Vậy m  10 Ví dụ mx  ny  pz   Cho  x ; y ; z  nghiệm hệ phương trình 2mx  3ny  pz  1  mx  7ny  10 pz  15 biết hệ có nghiệm  x ; y ; z   1; 2;3 Tìm m, n, p Lời giải mx  ny  pz   Hệ phương trình 2mx  3ny  pz  1 có nghiệm mx  7ny  10 pz  15   x ; y ; z   1; 2;3 nên ta có m   m  2n  p    2m  6n  p  1  n  p 1 m  14n  30 p  15   Vậy S  m  n  p     Bài tập trắc nghiệm Câu  x  2my  z  m    Khi hệ phương trình 2 x  my  z  có nghiệm  x; y; z  với  , giá trị m   x  m  y  z     T  2017 x  2018 y  2017 z A T  2017 B T  2018 C T  2017 D T  2018 Hướng dẫn giải Chọn C  x  2my  z   Kí hiệu 2 x  my  z    x   m  4 y  z  1  2  3 m   Do  , từ 1  3 ta có m   x  z   y  Ta có T  2017 x  2018 y  2017 z  2017  x  z   2017 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 246  Dạng 3: Giải biện luận hệ phương trình bậc cao Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ x  y  Giải hệ phương trình:  x  2x  y   Lời giải  x  y  1   x  x  y    2 Ta có: 1  y   x Thế vào phương trình   ;ta : x  x  1  x     x  x    x  Với x   y  1 Hệ có nghiệm :  x; y    2; 1 Ví dụ 2  x  xy  Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  Lời giải Chọn D  x 1  t   (1) Đặt y  tx thay vào hệ ta   x   t  t   (2) Do t  không thỏa mãn nên suy t   t  t2   2t  11t     t  1 t  + Với t  thay vào ta 4 x  + Với t  x  1 thay vào ta x     x  2  Vậy x0   y0   S  x0  y0  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 247  Ví dụ ì ï x + xy + y = Giải hệ phương trình ïí ï ï ỵ x + xy + y = -1 Lời giải ì ï ï( x + y ) - xy = Hệ phương trình  í ï + + = x y xy ( ) ï ï ỵ Đặt S = x + y, P = x y ( S ³ P) ìï P = S - ïï ìï P = S - ìïS - P =  ïí  ïíé S = Ta hệ ïí ïỵïS + P = -1 ïïS + S - = ïê ïê ỵ ïỵïë S = -2 Với S =  P = -2 ì x = -2 - y ì y = -1 ï ïì x + y = -2 ï ï ï Với S = -2  P =  ï í í í ïïỵ x y = ỵï x = -1 ï ỵï x + x + = ï Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (-1; -1)  xy  3x  y  16 Ví dụ Các nghiệm hệ   x  y  x  y  33 Hướng dẫn giải  xy  3x  y  16 Ta có:  1  x  y  x  y  33  xy  x  y    x   y   21  x  1 y     x  1   y    21    2  2  x  1   y    38  x  x  1   y  y    38 Đặt ta hệ phương phương u  x 1 ; v  y2 uv   u  v   21 uv   u  v   21   2 u  v  38  u  v   2uv  38  P  S  21  P  S  21  Đặt S  u  v ; P  uv ta hệ phương phương   S  P  38  S  2S  80   S  8  S  10  v   P  13  P  31  S  8 u ; v nghiệm phương trình: X  X  13  + Khi   P 13  u  4  u  4   v  v  4  v  4  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 248  Ví dụ  x   4    y   4   x   4  v   y   4   x  3  v v   y  2   S  10 + Khi  u ;  P  31  x  3    y  2  v nghiệm phương trình: X  10 X  31   x  xy  x  y  12 y  Giải hệ phương trình   x  y  18  x   x y   Hướng dẫn giải  x  7  Điều kiện   * y     x  xy  x  y  12 y  1   x  y  18  x   x y     Có: 1  x   y   x  y  12 y   , ta coi 1 phương trình bậc hai ẩn x  x  3 y  y tham số, giải x theo y ta  , x  y 1  y 3 x   7    Với x  3 y  *     y   y    Với x  y   2  x2  x   x   x 3x   14   x  3x     x7 3   x  3x   x   y 1   x   3 Bài tập trắc nghiệm Câu 2  x  y  xy  Hệ phương trình  có tất nghiệm  x  y  xy  A  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 ;  x; y    1;2  ;  x; y    2; 1 B  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 C  x; y   1;  ;  x; y    2;1 D  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 ;  x; y   1;  ;  x; y    2;1 Hướng dẫn giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 249   x  y 2   x  y  3  x  y  xy   x2  y2   x  y   xy          x  y  xy   xy   xy   xy  x  y  Với   x; y   1;  ;  x; y    2;1  xy   x  y  3 Với   x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1  xy  Câu 2  x  x  y Hệ phương trình  có nghiệm?  y  y  x A B C Hướng dẫn giải Chọn B D  x  x  y 1   y  y  x   Lấy 1  2 trừ theo vế ta được: y  x x  y  x  y   x  y  x  y      y  4 x  x2  3x  y  x2  2x  x  y    TH1:  x  y  y  x y  x  x2  3x  y  x2  x    TH2:   x  y  y   x y   x Vậy hệ có hai nghiệm Câu  x  y 2   x  y    x  xy  y    có nghiệm Hệ phương trình  x y     2x  y   x0 ; y0  Khi P  x0  y02 có giá trị A B 17 16 C D Hướng dẫn giải Chọn A  x  y 2   x  y    x  xy  y   1  Ta có    2 2 x  y  2x  y  x  y   x  y  x  y     2 x  y Với x  y ta có    3x    x  x   : phương trình vơ nghiệm x 1  x2  12 y  20 xy  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 250   y    y2  y 1    Với x  y ta có    y  2y y   Với y   x   P  Với y   x   P  16 Câu x  y  Tìm tất giá trị m để hệ có Cho hệ phương trình  2  x y  xy  4m  2m nghiệm 1    A   ;1 B 1;   C  0; 2 D  ;   2    Hướng dẫn giải Chọn A  x  y  x  y     2 2  xy  x  y   4m  2m  x y  xy  4m  2m  x   y x  y     2 2   y  y  4m  2m (*) 2 xy  4m  2m *  2 y  y  4m2  2m  Hệ phương trình có nghiệm  (*) có nghiệm   '     4m  2m    8m2  4m    Câu 1  m  2  x  xy  Hệ phương trình  có nghiệm  y  xy  m  m  A  B m  C m  1  m  1 Hướng dẫn giải Chọn A D m  1 2  x  xy   x  y  xy  m2    x  y   m   2  y  xy  m  m  Phương trình có nghiệm m      m  1 Câu 6:  x  y  x  y  Gọi ( x; y ) nghiệm dương hệ phương trình  Tổng x  y 2  x  y  128 A 12 B C 16 D Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 251  Chọn C ĐK: x  y   x  Ta có : x  y  x  y   x  y   x    y  16 x  64 x  Thay y  16 x  64 vào PT x  y  128 ta PT: x  16 x  192     x  24 x  Vậy x  y  16 Suy PT có nghiệm  y  Câu  x  2019 y  x Hệ phương trình  có số nghiệm là:  y  2019 x  y A C B D Lời giải Chọn D Trừ hai phương trình theo vế ta được: x3  2019 y  y  2019 x  x  y      x  y   x  xy  y  2018    x  y    x  y   2018  y    x  y       biểu thức  x  y   2018  y  0, x, y     Với y  x ta được: x  2020 x   x x  2020   y0 x     x  2020  y  2020  x   2020  y   2020  Vậy hệ cho có nghiệm  x  y  xy  Câu Giả sử  x; y  nghiệm hệ   x   y   Tính x  y A B 3 C D 2 Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 252   xy   Điều kiện:  x  1  y  1   x  y  xy   x  y  xy     x   y    x  y  x  y  xy   14 a  x  y Đặt   a  2, b   ta hệ phương trình: b  xy a  b   a  a  b   14 14  a   a  a   a  3   14  a  5a  10  14  a   2 4  a  5a  10   14  a  a  14  a 14    a  a 2      a   b  3a  8a  156    a   26    a   x  y  x  y     b   xy   xy  x  x , y nghiệm phương trình: X  X    X    y  Vậy x  y  3 Câu 9: Tìm a để biểu thức F  xy  2( x  y ) đạt giá trị nhỏ nhất, biết ( x; y ) nghiệm hệ x  y  a phương trình  2 x  y   a A a  B a  C a  1 D a  2 Lời giải Chọn C  x  y  a x  y  a x  y  a   Ta có:   2 2  x  y   xy   a x  y   a  xy  a  Điều kiện tồn x , y :  x  y   xy  a   a    a   2  a  2 Khi đó: F  a  2a    a  1   4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 253   F  4  a  1(t / m) Do chọn đáp án C Câu 10 Gọi  x1; y1  ;  x2 ; y2  hai nghiệm phân biệt hệ phương trình  x  y  xy  x  y  Tính x1  x2   xy  3( x  y )  A B C D Lời giải Chọn A  x  y  xy  x  y   x  y   3xy  x  y  Ta có    xy  3( x  y )   xy  3( x  y )  x  y  S ; S  P , hệ cho trở thành Đặt   xy  P S  (N )   S  S  3P   S  10 S  11   S  S  1  3S    P  2        S  11 3 S  P   P   3S  P   3S  ( L)   P  34 2 t  Với S  1; P  2 ta có x; y nghiệm phương trình t  t     t  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 2  ;  2;1  x1  x2   (2)  2   , chọn A  x  y  x  m Câu 11 Tìm giá trị nguyên dương nhỏ tham số m để hệ  có nghiệm  y  x  y  m A m  C m  B m  D m  Lời giải Chọn B Trừ vế với vế hai phương trình ta được: x  y3  y  x  x  y Thay y x vào hai phương trình hệ ta được: m  x  3x Xét hàm số f  x   x  3x R, ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 254   x  1 f '  x   3x  3, f '  x     x  Bảng biến thiên x - f'(x) -1 + - + + f(x) + -2 - Từ bảng biến thiên suy ra: Phương trình có nghiệm  m   ; 2    2;   Chọn B Câu 12 Cho hệ phương trình 6 x  ( x3  x) y  ( y  12) x  6 Biết hệ có nghiệm  2 2 5 x  ( x  1) y  11x  5 là: (x1; y1 ) , (x ; y ) Đặt S = y1  y2 Khi S bằng: A B C D Lời giải Chọn D 2 6 x  ( x3  x) y  ( y  12) x  6 6( x  1)  xy  y ( x  1)  x  Ta có   2 2 2 2 2 5 x  ( x  1) y  11x  5 5( x  1)  y ( x  1)  x Dễ thấy x  y  khơng nghiệm hệ phương trình  6( x  1)2 x  1  x2 y2  x  y  Với x  0; y  ta có: Hệ   2 2  5( x  1)  ( x  1)   x y x2 y2 Đặt u  x2 1 ; v x y Khi hệ trở thành: 2 2 2 6u v  u  v 6u v  u  v 6u v  u  v    2   2 2 2 4 5u v  (u  v)  2uv 5u v  u  v 5u v  36u v  2uv Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 255   6u v  u  v 2 u  v  6u v  u  v      2uv  1  36u v  9uv      3 5uv  36u v      uv   0; u , v        Giải hệ  u; v   1;  ;  ;1  Khi y1  2; y2  S =  S  y1  y2       Câu 13 x  y  Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm:  có 2  x y  xy  4m  2m nghiệm:  1    1 B   ;1 C  0;  D 1;   A  1;     2  2 Lời giải Chọn B x  y  x  y    2 2  xy  2m  m  x y  xy  4m  2m Hệ có nghiệm   2m  m   2m  m      m  Câu 14  x  y  x y  xy  x  y  Cho hệ phương trình  2  x  y   y  x   x  (1) (2) Gọi nghiệm dương a c a c  hệ phương trình  ;  ; phân số tối giản Khi biểu thức b d b d  P   a  b A 2018  c  d  2019 B D 1 C Lời giải Chọn B Điều kiện xác định: x  y   ; y  x   Ta có (1)  ( x  y )( x  xy  y )  xy ( x  y )  x  y   ( x  y )( x  y  1)  x y Thế x  y vào (2) ta 2x2  x   2x2  x   x  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   (3) Trang 256  Đặt 2x2  x   u ; x  x   v u  v  x  Mặt khác u  v  2( x  4)  2(u  v) u  v  Suy (u  v)(u  v  2)    u  v  Với u  v  Suy x    x  4  (3) vô nghiệm u  v  x   2u  x  Với u  v  ta có  u  v  Khi ta phương trình 2 x  x   x   4(2 x  x  9)  ( x  6) x   x  x   x(7 x  8)    x   Với x   y  ; x  8 y 7   8  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    0;0  ,  ;    7   Do a  8; b  7; c  8; d   P  Dạng 4: Các tốn thực tế phương trình, hệ phương trình Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Hiện tuổi mẹ gấp lần tuổi Sau năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Hỏi mẹ sinh lúc mẹ tuổi ? Lời giải Gọi x  x   * tuổi mẹ nay, y  y   * tuổi  x  y x  y   x  28 Theo đề ta có:     x    y   x  5y  y  Vậy mẹ sinh năm 28   24 tuổi Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 257  Ví dụ 2: Một khách hàng vào cửa hàng bách hóa mua đồng hồ treo tường, đơi giày máy tính bỏ túi Đồng hồ đơi giày giá 420.000 đ; máy tính bỏ túi đồng hồ giá 570.000 đ; máy tính bỏ túi đôi giày giá 750.000 đ Hỏi thứ giá bao nhiêu? Lời giải Gọi giá đồng hồ, máy tính bỏ túi đơi giá x, y, z  x  z  420.000  Khi ta có hệ phương trình  x  y  570.000 Giải hệ ta  y  z  750.000   x  120.000   y  450.000  z  300.000  Ví dụ 3: Cho hai người A B xuất phát lúc ngược chiều từ thành phố M N Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A nhiều B 6km Nếu người tiếp tục theo hướng cũ với vận tốc ban đầu A đến N sau 4,5 giờ, cịn B đến M sau tính từ thời điểm họ gặp Gọi v A , vB vận tốc người A người B Tìm vận tốc người Lời giải Gọi P điểm mà hai người A B gặp Gọi đoạn MP  x quãng đường A được, NP  y quảng đường B Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A nhiều B 6km có nghĩa đoạn MP dài NP 6km thời gian hai người lúc gặp nhau Ta có hệ x  y   y (1) x v  v B  A Nếu người tiếp tục theo hướng cũ với vận tốc ban đầu A đến N sau 4,5 giờ, B đến M sau tính từ thời điểm họ gặp nên ta có hệ: y   4,5  y  4,5v  vA A    x  8vB  x 8  vB Thế vào ta có hệ : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 258  8vB  4,5vA   vB   8vB  4,5v A    8vB 4,5v A   v A  v  v  8vB  4,5v A B  S Bài tập trắc nghiệm Câu Hai bạn Vân Lan mua trái Vân mua 10 quýt, cam với giá tiền 17800 Lan mua 12 quýt, cam hết 18000 Hỏi giá tiền quýt, cam bao nhiêu? A Quýt 1400 , cam 800 B Quýt 700 , cam 200 C Quýt 800 , cam 1400 D Quýt 600 , cam 800 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Gọi số tiền để mua quýt x đồng ; số tiền để mua cam y đồng 10 x  y  17 800  x  800  Theo ta có hệ phương trình:  12 x  y  18 000  y  1400 Vậy giá tiền quýt 800 đồng, cam 1400 đồng Cách 2: Thử đáp án, Chọn C Câu Một xe khởi hành từ Krông Năng đến Nha Trang cách 175 km Khi xe tăng vận tốc trung bình vận tốc trung bình lúc 20 km/giờ Biết thời gian dùng để giờ; vận tốc trung bình lúc A 60 km/giờ B 45 km/giờ C 55 km/giờ D 50 km/giờ Hướng dẫn giải Chọn D Gọi x , y  vận tốc trung bình lúc vận tốc trung bình lúc Theo đề ta có hệ phương trình:  y  20  x 1  y  x  20    175 175 175 175  x  y 6  x  y   2   Thế 1 vào   ta  x  50 175 175    x  230 x  3500     x  50 x   x   35 x 20  x  Vậy vận tốc lúc 50 km/giờ Câu Một đoàn xe tải chở 290 xi măng cho cơng trình xây đập thủy điện Đồn xe có 57 gồm ba loại, xe chở tấn, xe chở xe chở 7, Nếu dùng tất xe 7, chở ba chuyến số xi măng tổng số xi măng xe chở ba chuyến xe chở hai chuyến Hỏi số xe loại? A 18 xe chở tấn, 19 xe chở 20 xe chở 7, B 20 xe chở tấn, 19 xe chở 18 xe chở 7, C 19 xe chở tấn, 20 xe chở 18 xe chở 7, Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 259  D 20 xe chở tấn, 18 xe chở 19 xe chở 7, Lời giải Chọn B Gọi x số xe tải chở tấn, y số xe tải chở z số xe tải chở 7, Điều kiện: x , y, z nguyên dương Theo giả thiết tốn ta có ì x + y + z = 57 ï ï ï ï í3 x + y + 7, z = 290 ï ï ï ï ỵ22, z = x + 15 y Giải hệ ta x = 20, y = 19, z = 18 Câu 4: Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em tham gia lao động trồng Mỗi em lớp 10 A trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10B trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10C trồng bạch đàn Cả ba lớp trồng 476 bạch đàn 375 bàng Hỏi lớp có học sinh? A 10 A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em B 10 A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em C 10 A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em D 10 A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em Lời giải Chọn A Gọi số học sinh lớp 10 A, 10 B, 10C x , y, z Điều kiện: x , y, z nguyên dương ì x + y + z = 128 ï ï Theo đề bài, ta lập hệ phương trình ïïí3 x + y + z = 476 ï ï ï ï ỵ4 x + y = 375 Giải hệ ta x = 40, y = 43, z = 45 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face:  Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   Trang 260