tổng hợp các bài toán hình học phẳng ôn thi vào lớp 10 THPT năm học 2018 – 2019

Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa Mục lục Lời nói đầu Một số bổ đề kí hiệu, thuật ngữ sử dụng tài liệu 1.1 Các kí hiệu, thuật ngữ 1.2 Một số bổ đề dùng tài liệu Các toán có lời giải 13 Một số tốn chưa có lời giải 115 Bài tập rèn luyện 117 Tài liệu tham khảo 119 Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa Lời nói đầu Hình học phần quan trọng Toán học phát triển Việt Nam Tôi thấy nhiều người giỏi Hình học ngược lại lại có nhiều người sợ môn mang tên Hình học phẳng Bằng động lực đam mê nên định biên soạn tài liệu hình học cấp THCS dành cho bạn đam mê Hình học chưa đam mê mong qua tài liệu bạn tìm thấy vẻ đẹp ẩn chứa Cuốn tài liệu bắt nguồn từ "[TOPIC] HÌNH HỌC ƠN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019" sáng lập diễn đàn Toán học với tài khoản Khoa Linh Lúc vào dịp tơi ơn thi vào lớp 10 THPT, nhiều việc cho phép bạn ĐHV THCS MoMo123 ủng hộ nhiều bạn nên sáng lập TOPIC Trải qua tháng TOPIC thành lập có 100 tốn đưa lên với phong trào giải sôi nổi, nhiệt tình bạn Đó nơi giao lưu học hỏi thêm nhiều toán hay hình học phẳng Khi kết thúc TOPIC tơi có dự định hè gõ lại tất tốn có số lượng nhiều nhiều chưa có lời giải nên tơi nhờ đến trợ giúp bạn Tạ Cơng Hồng - THPT chun Lê Khiết với tài khoản diễn đàn taconghoang Tôi muốn gửi lời cảm ơn tới bạn tham gia đóng góp nhiều tốn hay, lời giải đẹp cho TOPIC, đặc biệt bạn có tên tài khoản sau: Minhcamgia, conankun, MoMo123, BunhiChySchwarz, buingoctu, Korkot, phamhuy1801, khanhdat1, Tea coffee Tôi đặc biệt cảm ơn anh Nguyễn Phúc Tăng- Khóa THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu giúp chúng tơi thiết kế bìa, khung tập tài liệu hoàn thiện Một số tốn chưa có lời giải tơi cho vào mục khác thay vào tốn tơi người khác đề xuất Mặc dù cố gắng nhiều sai sót tài liệu khơng thể tránh khỏi q trình gõ tài liệu tơi gặp phải nhiều lỗi biên soạn Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa nên tài liệu nhìn chưa đẹp ý muốn Mong người đóng góp ý kiến thêm hòm thư: khoanguyen17112003@gmail.com Chúc bạn tìm đam mê với mơn học Xin chân thành cảm ơn! Phú Thọ, ngày 17 tháng năm 2018 Nguyễn Đăng Khoa - Khóa 36 THPT chuyên Hùng Vương Chương Một số bổ đề kí hiệu, thuật ngữ sử dụng tài liệu 1.1 Các kí hiệu, thuật ngữ (ABC) : Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R(ABC) : Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SABC : Diện tích tam giác ABC A, B, C, D đồng viên: A, B, C, D nằm đường tròn đpcm: Điều phải chứng minh 1.2 Một số bổ đề dùng tài liệu Sau bổ đề hay gặp sử dụng tài liệu không đưa phép chứng minh, bạn đọc phải tự chứng minh Ngồi nhiều tính chất, bổ đề quen thuộc bạn đọc tiếp cận qua tốn Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa Bổ đề 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), phân giác góc A cắt (O) D khác A I thuộc AD J thuộc tia đối tia DA Khi I, J tâm đường tròn nội tiếp bàng tiếp góc A DB = DC = DI = DJ Bổ đề 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Đường thẳng qua H cắt AB, AC P, Q M H ⊥ P Q ⇔ HP = HQ Nhận xét Đây trường hợp đặc biệt toán bướm Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa Bổ đề 3: Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến M A, M B Kẻ cát tuyến M CD tới (O) AC BC Khi ta có = AD BD Nhận xét Tứ giác ACBD gọi tứ giác điều hòa Trong bậc THCS ta chủ yếu nghiên cứu tính chất Bổ đề 4: Phép đồng dạng tương ứng (khơng có định nghĩa) Ví dụ: Cho hai tam giác ABC A B C đồng dạng có phân giác AD, AD đường cao R(ABD) R(ADC) BD B D AB AB AH, AH Khi ta có = ; = ; = ; ADB = A D B DC D C HD H D R(A B D ) R(A D C ) ta có hàng loạt tỉ số, góc cho chúng có tính tương ứng Nhận xét Phép đồng dạng tương ứng khơng có chương trình học dạy hồn tồn chứng minh phép đồng dạng Nó giúp nhìn hình dễ lời giải đẹp, gọn nhiều Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 10 Bổ đề 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến B, C (O) cắt P Gọi M trung điểm BC Khi BAP = CAM Nhận xét Đường thẳng AP gọi đường đối trung tam giác ABC có nhiều tốn đề cập tới đường thẳng này, bạn đọc thấy tài liệu Bổ đề 6: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M trung điểm AC Điểm N thuộc đoạn thẳng DA DC cho BN chia diện tích tứ giác thành hai phần Khi ta có M N BD Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 105 Mặt khác, tứ giác M OCB có : M OB = M CB = 90◦ mà hai góc nhìn cạnh M B nên tứ giác M OCB nội tiếp Do : CBO = CM O (2) Theo giả thiết ta có tứ giác AF EB nội tiếp nên ABF = AEF (3) Từ (1), (2) (3) suy : CBA = CM O = AEO = ABF ⇒ BA tia phân giác F BC Mà BA đường kính đường tròn qua A, F, B, C nên BA trung trực CF Suy : CF ⊥ AB ⇒ CF M O ⇒ M OCF hình thang Giả sử OCF M hình bình hành ⇒ D trung điểm OF Ngoài BA trung trực CF nên OA trung tuyến CA CA tâm tam giác OF C ⇒ = ⇒ = CD AM OCF Suy : A trọng AM Vì tứ giác M OCB nội tiếp nên CA.AM = OA.AB ⇒ = OA.AB ⇒ AM = 2OA.AB ⇒ √ √ AM = 2OA.AB Vậy với M chạy Oy thoả AM = 2OA.AB tứ giác OCF M hình bình hành Bài 93 Cho tam giác ABC nhọn cân C Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB AC E F Gọi H giao điểm BF CE Đường tròn đường kính EC cắt AC M Gọi K giao điểm BM (O) Chứng minh KC qua trung điểm HF (Đề xuất Diepnguyencva) Lời giải Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 106 Gọi I = CK ∩ M E Ta có : M EA = 90◦ − CAB = 90◦ − CBA = ECB ⇒ M EA + OEB = BCE + CBE = 90◦ ⇒ M EO = 90◦ ⇒ M E tiếp tuyến (O) ⇒ M EK = KCE Suy IEK ∼ ICK(g.g) ⇒ IE = IK.IC Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác IM C vng M có đường cao M K ta có : IM = IK.IC Do : IM = IE mà HF EM nên KC qua trung điểm HF Bài 94 Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB AC; cát tuyến ADE cho BD < CD; AD < AE Gọi H giao điểm OA BC Gọi I trung điểm DE Kéo dài IH cắt (O) K cho H nằm I K Gọi S tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKA Chứng minh OS ⊥ IK (Đề xuất Diepnguyencva) Lời giải Tạ Công Hoàng - Nguyễn Đăng Khoa 107 Gọi F giao điểm thứ hai IH với đường tròn (O) Vì tứ giác F BKC nội tiếp nên : HF.HK = HB.HC Mà tứ giác BOCA nội tiếp nên : HB.HC = HO.HA Suy : HF.HK = HO.HA ⇒ AKOF nội tiếp Do : F K dây chung hai đường tròn (O) (S) nên OS ⊥ F K hay OS ⊥ IK Bài 95 Cho đường tròn (O) dây BC cố định khơng qua tâm , điểm A di động cung lớn BC, (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC D, E Chứng minh ED tiếp xúc với đường tròn cố định A di động (Đề xuất Minhcamgia) Lời giải Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 108 Gọi M trung điểm BC Kẻ BP, M H, CQ vng góc với P Q BAC Vì BC cố định nên DBP = ECQ = = α = const BP + CQ Hình thang BP QC có M H đường trung bình hình thang nên : M H = Mà BP = BD.cosDBP = BD.cosα; CQ = CE.cosQCE = CE.cosα Nên BP + CQ = (BD + CE).cosα = BC.cosα = const ⇒ M H = const Vậy DE tiếp xúc (M, M H) cố định Bài 96 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) P điểm nằm cung nhỏ BC, , trung trực AB, AC cắt AP E, F , BE cắt CF Q Chứng minh AP = BQ + CQ (Đề xuất Minhcamgia) Lời giải Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 109 Gọi {D} = CQ ∩ (O) Vì F thuộc trung trực AC nên F A = F C ⇒ F AC cân C ⇒ F AC = F CA Mà DAP = DCP ( chắn cung DP (O)) nên DAC = P CA ⇒ ADP C hình thang cân Do : AP = CD Ta có : QBD = EBA + ABD = EAB + ACD = EAB + F AC = BAC = BDC ⇒ BDQ cân Q ⇒ BQ = QD Do : BQ + CQ = QD + CQ = CD = AP Bài 97 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thay đổi cung nhỏ BC Gọi N điểm đối xứng với M qua trung điểm I AB a) Chứng minh trực tâm K tam giác ABN thuộc đường tròn cố định b) Giả sử N K ∩ AB = D, hạ KE ⊥ BC H trực tâm tam giác ABC Chứng minh DE qua trung điểm J HK (Tuyển sinh lớp 10 PTNK 2004-2005) Lời giải Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 110 a) Vì AN BM hình bình hành nên : AN B = AM B Mà K trực tâm tam giác ABN nên AKB = AN B = (90◦ − KBN ) Suy : AKB = AM B hay AKM B tứ giác nội tiếp Do K ∈ (O) cố định b) Gọi H1 , H2 giao CH AH với (O), K1 , K2 điểm đối xứng K qua AB BC Dễ dàng ta chứng minh : BC trung trực HH2 AB trung trực HH1 Theo tính chất trung trực ta có : BH1 K = BHK1 BH2 K = BHK2 Do : BHK1 + BHK2 = BH1 K + BH2 K = 180◦ hay K1 , H, K2 thẳng hàng Tam giác KK1 K2 có DE đường trung bình nên DE Gọi J = DE ∩ HK Ta có DJ K1 K2 K1 H ⇒ DJ đường trung bình tam giác KK1 H Do J trung điểm HK hay DE qua trung điểm J HK Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 111 Bài 98 Cho tam giác ABC P nằm tam giác Hạ P A1 , P B1 , P C1 vuông góc xuống BC, CA, AB Tìm quỹ tích điểm P để tam giác A1 B1 C1 cân (Đề xuất Korkot) Lời giải Giả sử tam giác A1 B1 C1 cân A1 ta có A1 B1 = A1 C1 Xét đường tròn đường kính BP CP hình vẽ: Ta thấy dây A1 B1 = A1 C1 C1 BA1 = B1 CA1 = 60◦ Suy đường tròn hay BP = CP suy P thuộc trung trực BC Chứng minh tương tự ta có quỹ tích điểm P để A1 B1 C1 cân đường trung trực tam giác ABC Bài 99 Cho tam giác ABC có ACB = 45◦ ACB + BAC = 2ABC Đường trung trực AB cắt BC M a) Tính M AC b) Gọi I tâm đường tròn (AM C) Chứng minh tứ giác ABCI nội tiếp (Tuyển sinh 10 PTNK 2005-2006) Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 112 Lời giải a) Theo giả thiết ta có : ACB = 45◦ ACB + BAC = 2ABC Suy : BAC = 75◦ , ABC = 60◦ Mà M thuộc trung trực AB nên M BA = M AB = 60◦ ⇒ M AC = 15◦ b) Gọi D nằm cung lớn AC (I) Ta có : AIC = 2ADC = 2(180◦ − AM C) = 120◦ Do : ABC + AIC = 180◦ ⇒ AICB nội tiếp Bài 100 Cho tam giác ABC đường thẳng d song song với BC khác phía với A Lấy M thuộc d cho tứ giác ABM C lồi Điểm N M B M C cho AN chia diện tích tứ giác ABM C thành hai phần Tìm quỹ tích điểm N M di động (Đề xuất Korkot) Lời giải Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 113 Kéo dài AB, AC cắt d D, E Gọi K, I, L, P trung điểm CD, BE, DE, BC Giả sử N thuộc đoạn M C Áp dụng bổ đề ta có: SABM N = SAN C ⇒ P N PQ ML MN = = ⇒ N L CE ⇒ N ∈ KL Suy ra: NC PC LE Tương tự với N thuộc đoạn BM N ∈ IL AM Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 114 Chương Một số tốn chưa có lời giải Sau năm tốn chưa có lời giải diễn đàn Tốn học Bạn đọc thử tự tìm lời giải cho riêng Bài 101 (Diepnguyencva) Cho đường tròn (O); AB = 2R Lấy C thuộc đường tròn (AC > BC) Tiếp tuyến A C (O) cắt D, DB cắt (O) E Kẻ CH vng góc AB DH cắt AE I; CI cắt AD K Lấy F đối xứng với E qua AB a, Chứng minh KE tiếp tuyến (O) b, Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt KB S OS cắt AE Q Chứng minh: D, Q, F thẳng hàng BC ) cắt AB, AC thứ tự E, D Các tiếp tuyến kẻ từ E, D (O) cắt I cắt tiếp tuyến kẻ từ B, C Bài 102 (phamhuy1801) Cho ABC nhọn Đường tròn (O; (O) F, G F G cắt AI H cắt (O) M, N Chứng minh H trực tâm ABC M A, N A tiếp tuyến (O) Bài 103 (khanhdat1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có E, F thuộc đoạn CA BA cho EF song song với BC Đường trung trực đoạn thẳng BC cắt AC M , đường trung trực đoạn EF cắt cắt AB N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM cắt CF P khác C, đường tròn ngoại tiếp tam giác EF N cắt CF Q khác F a, Chứng minh đường trung trực P Q qua trung điểm M N b, Gọi L điểm cung lớn BC đường tròn (O) I điểm đoạn AL Gọi J hình chiếu I BC Đường tròn tâm I bán kính IJ cắt AB, AC theo thứ tự X, Y Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AXY đường tròn tâm L Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 116 bán kính LB tiếp xúc với Bài 104 (khanhdat1) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, đường cao AF M trung điểm BC Đường tròn đường kính AH cắt HM Q khác H Lấy điểm X thuộc BC cho XH vng góc với QM Gọi L, P trung điểm QH QA Đường thẳng qua Q song song với LX cắt M P N Vẽ đường tròn tâm X bán kính XH cắt đường tròn (O) K cho K phía với A so với BC a, Chứng minh ba điểm K, Q, N thẳng hàng b, Chứng minh (M N F ) tiếp xúc với đường tròn đường kính QH Bài 105 (khanhdat1) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB điểm M nằm (O) khơng nằm đường kính AB Gọi N giao điểm đường phân giác góc AM B với đường tròn (O) Đường phân giác ngồi góc AM B cắt đường thẳng N A, N B P Q Đường thẳng M A cắt đường tròn đường kính N Q R, đường thẳng M B cắt đường tròn đường kính N P S(R, S khác M ) Qua R kẻ đường thẳng song song với P Q cắt AN C, qua S kẻ đường thẳng song song với P Q cắt BN D Gọi I trung điểm CD a, Chứng minh ba điểm N, O, I thẳng hàng b, Chứng minh ba điểm R, S, I thẳng hàng Chương Bài tập rèn luyện Bài (Nguyễn Văn Linh) Cho ABC nội tiếp (O) Lấy E, F AB AC Gọi M, N, P trung điểm CE, BF, EF K chân đường cao hạ từ O xuống EF Chứng minh M, N, P, K đồng viên Bài Cho ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) Giả sử AB + AC = 2BC Chứng minh AIO = 90◦ Bài (VMO 2011) Cho đường tròn (O) đường kính AB Lấy P tiếp tuyến B (O) P A cắt (O) điểm thứ hai C Kẻ đường kính CD (O) P D cắt (O) điểm thứ hai E Chứng minh AE, BC, P O đồng quy Bài Cho ABC không cân nội tiếp (O) Kẻ đường kính AD, tiếp tuyến D cắt BC P P O cắt AB, AC E, F Chứng minh OE = OF Bài Cho ABC có AB < AC < BC nội tiếp (O) Trên tia BA, BC lấy D, E cho BD = BE = AC (BDE) cắt (O) điểm thứ hai P Chứng minh BP = AP + CP Bài Cho ABC nội tiếp (O) có đường cao BD, CE Tiếp tuyến B C cắt P Chứng minh AP qua trung điểm DE Bài Cho OE ABC nội tiếp (O) có trực tâm H Gọi M trung điểm AH, E AC cho BC F điểm đối xứng E qua O Chứng minh rằng: BM ⊥ M E BF phân giác M BE Bài Cho ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) Kẻ đường kính AD (O) AI cắt (O) E Tia DI cắt (O) K KE cắt BC L Chứng minh rằng: IL ⊥ BC Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) BC tiếp xúc với (I) D Gọi K chân đường cao Tạ Cơng Hồng - Nguyễn Đăng Khoa 118 hạ từ I xuống AD Chứng minh KD phân giác BKC Bài 10 (IMO 2018) Cho ABC nội tiếp (O) Trên AB, AC lấy D, E cho AD = AE Trung trực BD, CE cắt cung nhỏ AB, AC F, G Chứng minh GF DE Bài 11 (Russian MO 2015) Cho tam giác ABC nhọn không cân Kẻ đường cao AH trung tuyến AM Lấy Q, P nằm AB, AC cho QM ⊥ AC, P M ⊥ AB Đường tròn ngoại tiếp P M Q cắt BC điểm thứ hai X Chứng minh BH = CX Bài 12 Cho ABC cân A Trên AB lấy D cho BD = 2AD Kẻ BE ⊥ CD, lấy F trung điểm CE Chứng minh: AF B = 90◦ Bài 13 (Stan Fulger) Cho tam giác ABC vng A Kẻ hình vuông M N P Q với M ∈ AB, N ∈ AC P, Q ∈ BC N B cắt M Q R, M C cắt N P S Chứng minh AR = AS Bài 14 Cho đường tròn (O) có dây cung AB Lấy D điểm cung nhỏ AB, C điểm cung lớn AB Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường (O) C đồng thời tiếp xúc AB F Kẻ tiếp tuyến XA, XC đường tròn (O) Gọi giao điểm XD AB M Chứng minh M trung điểm AF Bài 15 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có I tâm nội tiếp N điểm cung BAC (O) N I cắt BC D Qua D kẻ đường thẳng vng góc với AI cắt IB, IC K L Chứng minh DK = DL Bài 16 Cho ABC vng A có phân giác BE CF cắt I Gọi K trung điểm EF Chứng minh KI ⊥ BC Bài 17 (Tạp chí Kvant) Cho ABC nội tiếp (O) có đường cao AH Qua H kẻ đường thẳng song song với OA cắt OA D Chứng minh D thuộc đường trung bình ABC Bài 18 (China TST) Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt C, D Kẻ tiếp tuyến chung AB cho C gần AB D Lấy E thuộc OO cho AE ⊥ BC Chứng minh ACE = 90◦ Bài 19 Cho ABC khơng cân có đường cao AD, BE, CF EF cắt BC I Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, AC K, L Chứng minh (IKL) qua điểm cố định A di động BC cố định Bài 20 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O) AE ∩ BD = K, BF ∩ CE = I, AC ∩ DF = L Chứng minh K, I, L thẳng hàng Tài liệu tham khảo [1] Tài liệu chuyên Toán trung học sở - Vũ Hữu Bình (Chủ biên) Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Vẽ thêm yêu tố phụ để giải số tốn hình học 7,8,9 - Nguyễn Đức Tấn Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Bài tập Hình học chọn lọc cho học sinh trung học sở - GS Nguyễn Tiến Dũng, GS.Đỗ Đức Thái (Chủ biên) - Nxb thông tin truyền thông [4] Nâng cao phát triển tốn 6,7,8,9 - Vũ Hữu Bình Nxb Giáo dục Việt Nam [5] Các chuyên đề chọn lọc Tốn 8,9 - Tơn Thân (Chủ biên) Nxb Giáo dục Việt Nam [6] Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn lớp 9, tập hai: Hình học - Nguyễn Bá Đang Nxb Giáo dục Việt Nam [7] Tạp chí Tốn tuổi thơ 2, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Tạp chí Pi Internet: [9] [TOPIC] HÌNH HỌC ƠN THI VÀO THPT CHUN 2018-2019 https://diendantoanhoc.net/topic/182061-topic-hình-học-ơn-thi-vào-thpt-chun-2018-2019/ [9] AoPS forum https://artofproblemsolving.com/ [10] Diễn đàn Mathscope http://mathscope.org/ [11] Trần Quang Hùng, Blog hình học sơ cấp https://analgeomatica.blogspot.com/ [12] Blog Tốn học Khoa Nguyễn https://khoalinhmathematics.blogspot.com/ ... tài liệu hình học cấp THCS dành cho bạn đam mê Hình học chưa đam mê mong qua tài liệu bạn tìm thấy vẻ đẹp ẩn chứa Cuốn tài liệu bắt nguồn từ "[TOPIC] HÌNH HỌC ƠN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018- 2019" sáng... đàn Toán học với tài khoản Khoa Linh Lúc vào dịp tơi ơn thi vào lớp 10 THPT, nhiều việc cho phép bạn ĐHV THCS MoMo123 ủng hộ nhiều bạn nên sáng lập TOPIC Trải qua tháng TOPIC thành lập có 100 ... Nguyễn Đăng Khoa Lời nói đầu Hình học phần quan trọng Toán học phát triển Việt Nam Tôi thấy nhiều người giỏi Hình học ngược lại lại có nhiều người sợ mơn mang tên Hình học phẳng Bằng động lực đam