GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải toán và có cơ hội đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, tôi đã viết chuyên đề “Giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”, đây là quá trình tích lũy kinh nghiệm của bản thân và sự giúp đỡ của đồng nghiệp. Hy vọng chuyên đề này là tài liệu giảng dạy và học tập hữu ích cho giáo viên và học sinh. Chuyên đề này tùy theo từng đơn vị và đối tượng học sinh, giáo viên có thể dạy trong 3 đến 6 tiết đồng thời chọn lọc những ví dụ phù hợp. Trong quá trình viết chuyên đề khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đồng nghiệp và học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề được áp dụng rộng rãi.

Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN  - CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  NGƯỜI VIẾT : LÊ HỒNG KHƠI TỔ CHUN MƠN : TỐN LẬP THẠCH – THÁNG 10 NĂM 2015 Luyện thi THPT quốc gia Trang Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn LỜI NÓI ĐẦU Năm học 2015 – 2016 Bộ Giáo dục Đào tạo tiếp tục tổ chức kì thi THPT quốc gia nhằm hai mục đích xét tốt nghiệp tuyển sinh ĐH – CĐ Đề thi phải đảm bảo hai mục đích đó, đề thi có khoảng 60% mức độ khoảng 40% mức độ phân hóa học sinh, 40% mức độ phân hóa học sinh đề thi thường xuất câu giải phương trình hệ phương trình mà phương pháp giải có sử dụng đến tính đơn điệu hàm số Kết kì thi THPT Quốc gia năm học 2014 – 2015 cho thấy số thí sinh làm nhiều phần phân hóa học sinh hội để xét tuyển vào trường ĐH – CĐ tốp cao Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ giải tốn có hội đạt điểm cao kì thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, viết chuyên đề “Giải phương trình hệ phương trình phương pháp hàm số”, trình tích lũy kinh nghiệm thân giúp đỡ đồng nghiệp Hy vọng chuyên đề tài liệu giảng dạy học tập hữu ích cho giáo viên học sinh Chuyên đề tùy theo đơn vị đối tượng học sinh, giáo viên dạy đến tiết đồng thời chọn lọc ví dụ phù hợp Trong q trình viết chuyên đề khó tránh khỏi thiếu sót, mong đồng nghiệp học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề áp dụng rộng rãi Xin chân thành cảm ơn ! Người viết chuyên đề : LÊ HỒNG KHÔI Giáo viên Trường THPT Liễn Sơn – Lập Thạch – Vĩnh Phúc Chức vụ : Tổ trưởng tổ Toán Điện Thoại : 0983.020.234 Mail : lehongkhoi.gvlienson@vinhphuc.edu.vn Luyện thi THPT quốc gia Trang Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn PHẦN I PHƯƠNG TRÌNH A LÝ THUYẾT I Một số tính chất Tính chất Nếu y  f  x  đồng biến nghịch biến  a; b  phương trình f  x   có nhiều nghiệm x   a;b  Tính chất Nếu f '  x   có n nghiệm x   a;b  phương trình f  x   có nhiều n  nghiệm x   a;b  Tính chất Nếu f  n  x   x   a; b  f  n  x   x   a; b  phương trình f  x   có nhiều n nghiệm x   a;b  Tính chất Nếu y  f  x  đồng biến nghịch biến  a; b  f  u   f  v   u  v u, v   a;b  Lưu ý : Có thể thay  a; b   a; b ,  a; b ,  a; b II Phương pháp Phương trình có nghiệm a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình khơng mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải giải phức tạp b Thuật tốn - Tìm điều kiện (điều kiện thơng thường điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình dạng f  x   - Chứng minh y  f  x  đồng biến nghịch biến  a; b  (  a; b  miền xác định phương trình) - Nhẩm nghiệm x  x0 phương trình (Có thể sử dụng MTCT – lệnh “SHIFT+SOLVE”) - Kết luận : Phương trình có nghiệm x  x0 Phương trình có tối đa n nghiệm (thông thường nghiệm) a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình khơng mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải giải phức tạp b Thuật tốn - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình dạng f  x   - Chỉ f  n  x   x   a; b  f  n  x   x   a; b  (  a; b  miền xác định phương trình) - Nhẩm n nghiệm phương trình Luyện thi THPT quốc gia Trang Lê Hồng Khơi - Kết luận : Phương trình có n nghiệm nhẩm Trường THPT Liễn Sơn Xét hàm đặc trưng a Dấu hiệu : Phương trình cần giải đưa phương trình đồng bậc b Thuật tốn - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình phương trình đồng bậc - Cố định vế (vế đơn giản hơn), suy hàm đặc trưng f  t  - Biến đổi vế lại theo quy luật hàm đặc trưng, ta phương trình f u   f  v  - Chỉ hàm đặc trưng đồng biến hay nghịch biến miền giá trị u, v - Giải phương trình f  u   f  v   u  v - Kết luận Ví dụ minh họa: Giải phương trình : x3  3x  x    3x   3x  (*) Phân tích : - Đặt u  3x  VP(*) biểu thức bậc ẩn u , vế (*) đồng bậc - Cố định VP(*) =  3x   3x    u  1 u  u  u , Suy hàm đặc trưng f  t   t  t -VT(*)  v  v , VT(*) biểu thức bậc ẩn x , bậc với bậc hàm đặc trưng, suy v  ax  b ,  ax  b    ax  b   x3  3x  x    a3  1 x3   3a 2b  3 x   3ab  a   x   b3    a    a  3a b      v  x 1 b  ab  a     b3  b    Phương trình (1) trở thành v  v  u  u Lưu ý : Có thể tìm hàm đặc trưng nhờ MTCT : Cho vài giá trị x, tính y tìm mối quan hệ x y Lời giải : ĐK : x   (*) 3  x3  3x  x    3x   3x    x  1   x  1  Luyện thi THPT quốc gia   3x   3x  Trang Lê Hồng Khôi Xét hàm số f  t   t  t , t  Trường THPT Liễn Sơn Ta có : f '  t   3t   t  , suy f  t  đồng biến Khi : (1)  f  x  1  f   3x   x   3x   x2  2x   3x  (do x   nên x   x2  x    x 1 Vậy phương trình (*) có nghiệm : Luyện thi THPT quốc gia x 1  ) x  0, x  Trang Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn B CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình : x  x   3x   Giải : ĐK : x  Xét hàm số f  x   x5  x3   3x  4, x  (1) Hàm số liên tục  ;   3 1  Ta có : f '  x   x  3x   x   ;  3  3x  Suy f  x  đồng biến  ;  3  Suy phương trình f  x   (Phương trình (1)) có nhiều nghiệm x  Mặt khác f  1  , tức x  1 nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm x  1 Chú ý : Có thể nhẩm nghiệm x  1 máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” Ví dụ 2: Giải phương trình : x   x    x Giải : 2 x    x4 ĐK :  4  x  (1) (2)  x   x   x   Xét hàm số f  x   x   x   x  4, x   ;4  2  Hàm số liên tục  ;4   ' Ta có : f  x    x 1     x   ;4  2x  2  x3  Suy f  x  đồng biến  ;4  2 Luyện thi THPT quốc gia  Trang Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Suy phương trình f  x   (Phương trình (1)) có nhiều nghiệm 1  x   ;4  2  Mặt khác f 1  , tức x  nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Chú ý : - ĐK : x   điều kiện thông thường ĐK :  x  điều kiện kéo theo (Phương trình bỏ qua) - Có thể nhẩm nghiệm x  máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” x  15  3x   x  (1) Ví dụ 3: Giải phương trình : Giải : Ta có : (1)  x  15  x   3x  Do x  15  x   nên 3x    x  Xét hàm số f  x   x  15  x   3x  2, x  Ta có : f  x   ' x x  15  x x2  3 x  x   x  15 x  15 x      x  Suy f  x  nghịch biến  ;   3  Suy phương trình f  x   (Phương trình (1)) có nhiều nghiệm 2  x   ;   3  Mặt khác f 1  , tức x  nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Chú ý : ĐK : 3x   điều kiện kéo theo (Phương trình bắt buộc phải tìm) Ví dụ 4: Giải phương trình : 3x   5x   x  x  13 (1) Giải : ĐK : x   Xét hàm số f  x   3x   x   x  x  13, x   Hàm số liên tục   ;    Luyện thi THPT quốc gia  Trang Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn 15 Ta có : f '  x     2x  3x  x  f ''  x    75    x    3x   3x  4  x   x  Suy f '  x  nghịch biến   ;     Suy phương trình f '  x   có nhiều nghiệm x   Suy phương trình f  x   (Phương trình (1)) có nhiều nghiệm x   Mặt khác f    f  1  , tức x  0, x  nghiệm (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm : x  0, x  Ví dụ 5: Giải phương trình : x  x  3   3x    3x  (1) Giải : ĐK : x  (1)  x3  3x    3x   3  3x  x3  3x    3x    3x Xét hàm số f  t   t  3t , t  Ta có : f '  t   3t   t  , suy f  t  đồng biến Khi : (1)  f  x   f    3x  x   3x  x   3x  x  3x      x   tm  x  x    Vậy phương trình (1) có nghiệm : x  Ví dụ 6: Giải phương trình : x   x  (1) Giải : (1)  x3  x  x   x   x3  x    2x 1  2x 1 Xét hàm số f  t   t  2t , t  Ta có : f '  t   3t   t  , suy f  t  đồng biến Khi : (1)  f  x   f  Luyện thi THPT quốc gia  x   x  x   x3  x   Trang Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn x 1   x  1   Vậy phương trình (1) có nghiệm : x  1, x  1  Ví dụ 7: Giải phương trình : x   x x    x  1 x  x   Giải : (1)  x  x x    x  1   x  1   x  1   x  1  x  1  x  1 (1) 2 0   x  x x 2 Xét hàm số f  t   t  t t  , t  Ta có : f  t    t   ' t2 t2   t  , suy f  t  đồng biến Khi : (1)  f  x  1  f   x   x    x  x   Vậy phương trình (1) có nghiệm : x   Ví dụ 8: Giải phương trình : 3x  x    x     Giải : (1)  2. 3x    3x   3x     x  1   x  1   x  x    (1)  3 2 0  2. x  1   x  1  x  1   2. 3x    3x   3x   2 Xét hàm số f  t   2t  t t  , t  Ta có : f  t    t   ' t2 t 3  t  , suy f  t  đồng biến Khi : (1)  f  x  1  f  3x   x   3x  x   Vậy phương trình (1) có nghiệm : x   x 3x  Ví dụ 9: Giải phương trình : x  3x    3x    (1) Giải : Luyện thi THPT quốc gia Trang Lê Hồng Khôi ĐK : x   Nhận xét : x  không nghiệm (1) Với x   3x   1  x  3x    x 3x  1  3x   3x  Trường THPT Liễn Sơn  2   x3  3x  x  3x  3x   3x    x3  3x  x    3x   3x    x  1   x  1    3x   3x  Xét hàm số f  t   t  t , t  Ta có : f '  t   3t   t  , suy f  t  đồng biến Khi : (1)  f  x  1  f   3x   x   3x   x2  2x   3x  (do x   nên x 1  )  x2  x   x  (do x  0) Vậy phương trình (1) có nghiệm : x  x2  x  Ví dụ 10: Giải phương trình :   x  1 x  2x  Giải : ĐK : x  2 (1)   x  2 x  4   x  1 x  2  x2  2x  x22  x   tm   x4 x 1   *  x  x  x22 *   x  4    x2   x2 2 x4 x 1   0 x  x  x        x2    x     x     x  1   x    x  1   x  1   x  1 Xét hàm số f  t   t  2t  2t , t  Ta có : f '  t   3t  4t   t  Luyện thi THPT quốc gia (1)  x  2  x     x  1  x  x  3   x    2  , suy f  t  đồng biến Trang 10 Lê Hồng Khôi 3x    x  x  14 x       3x    3 x  5 Trường THPT Liễn Sơn   x   x  14 x   5 x   x   x  1  3x    x 1     x  5    x  1   x 1  3x       x    x   y   tm  (Do  3x      3x   x   ;6 )  x 1   Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    5;1  y3  y  x  x   x  Ví dụ 8: Giải hệ phương trình :    2y 1  y   x  Giải : 4  x  ĐK :  y  x  y  y   1  x   1  x 1  y3  y    x   y3  y   1 x 1  2   1 x Xét hàm số f  t   2t  t , t  Ta có : f '  t   6t   t  , suy f  t  đồng biến  y2   x 1 x  y  1 x   y  Thay y   x vào phương trình   ta phương trình Do : 1  f  y   f    2x   x   x      x  1     2x    1 x   x3 2 x  x    0 x  1  2x  1 x  2     x  3    0  2x  1 x    x  1   x    x  3  y   tm    Do     x   4;1     x  1  2x  1 x    Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    3;2 Luyện thi THPT quốc gia Trang 21 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn  x  1 x   y  3  y  Ví dụ 9: Giải hệ phương trình :  2  4 x  y   x  1  2 Giải : ĐK : x  ; y  1  x3  x    y    2x   2x    y  x3  x     y   1  y  2y    2y  Xét hàm số f  t   t  t , t  Ta có : f '  t   3t   t  , suy f  t  đồng biến 1  f  x   Thay y  f   x2 4 x   y y   y  2x   y    2 x  x     x2 vào   phương trình 5  4x   2 x2  ,  3   x   0, x  0;   4 Xét hàm số g  x   x 5  4x   2  *  3   x  , x  0;   4 Hàm số liên tục 0;   4 Ta có : g '  x   x  x   x   4  3  x  x  3   x  0;   4x  4x  4 Suy g  x  nghịch biến 0;   4 Suy phương trình g  x   (Phương trình (*)) có nhiều nghiệm  3 x  0;   4 Mặt khác g    , tức x  nghiệm phương trình (*) 2 Vậy phương trình (*) có nghiệm x  Với x   y   tm  Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;2  2 Luyện thi THPT quốc gia  Trang 22 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn  4 x  12 x  15 x    y  1 y  1 Ví dụ 10: Giải hệ phương trình :   6  x   y  x  26  16 x  24 y  28   Giải : x  R  ĐK :  y   1  x3  24 x  30 x  14   y   y    x   3. x   3. x .22  23   x      y  1  3   x    3 x      y 1 y 1  y 1 Xét hàm số f  t   t  3t , t  Ta có : f '  t   3t   t  , suy f  t  đồng biến 1  f  x    f   y 1  2x   y 1 2 y   x  2   x  x    x  Thay y  x  8x  vào phương trình   rút gọn ta phương trình Do : 12 x3  48 x  62 x   12  x  1 3x   * Ta có : VT *  12 x  x     x     x   VP *   x  1. 3x  .4   x   x      x   x   Khi *    x   tm  4  x  1  3x   Với x   y   tm  Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2;   Luyện thi THPT quốc gia 2 Trang 23 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn 2   x  x   y  y   y  3x  1 Ví dụ 11: Giải hệ phương trình :  2  2   y  3y   x  x Giải : Trừ vế với vế   cho 1 ta : x2  x   y  y   y  x2  y  2x   x  1 4  y  1   x  1    x  1  2    y  1   x  1  y  1 2    y  1  * Xét hàm số f  t   t   t , t  Ta có f '  t     t  , suy f  t  đồng biến  0;  t4 Khi *  f  x  1   f  y  1    x  1 2   y  1  x     y  1 y  x    y  x Với y   x thay vào   ta phương trình 3 x  3x   x  x  x    y  4 Với y  x  thay vào   ta phương trình  x  2  3 x     x  x  x   x    y  2 Kết luận : Hệ cho có nghiệm :  x; y     ;  ,  x; y     ;   2  4 Ví dụ 12: Giải hệ phương trình :  x  x  x  3x  3  y   y   1     2 3 x   x  x   y   Giải : x  ĐK :   y  3 Đặt z  y   1  y   z3  Khi 1   x  1    x  1  z   z * Xét hàm số f  t   t   t , t  1 Luyện thi THPT quốc gia Trang 24 Lê Hồng Khơi ' Ta có f  t   Trường THPT Liễn Sơn 3t   t  1 , t  1 f  t  liên tục t3  Suy f  t  đồng biến  1;   Khi *  f  x  1  f  z   x   z  x   y  Thay y   x  vào   ta phương trình x2  x   x   x  x  x    x  1  x  x x   3 x   x   x   2 x x    x  1     5 x   x 3 x   x   3 x   x  Với x    x  (loại) x   x  25  x  1  x  x  25 x  25  Với  x   tm   y  62   x   tm   y   127  64 Kết luận : Hệ cho có nghiệm :  x; y    5;62  ,  x; y    ;  127  4 64  Ví dụ 13: Giải hệ phương trình : 1    x3  y x  xy  y   1  x  y 1 y   2  2  y  x   y  y  xy  x  12 Giải : x  y   ĐK :  y  x  0  y     1    x3  3x y  3xy  y    y  y  y  1 x  y 1 y 1 3   y  1    x  y  y x  y 1 1  Xét hàm số f  t   t  Luyện thi THPT quốc gia , t 0 t 1 Trang 25 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn  t  1, suy f  t  đồng biến  t  1 t  ' Ta có : f  t   3t   1;   Khi : 1  f  y  1  f  x  y   y   x  y  x  1 Thay x  1 vào phương trình   ta phương trình y    y  y  y  13   y  y  13  y    y       y   2    y  2    4 y2  y  9  y   y     y   y     y  3 2 y      y     y   x  1  tm    7 y 20 Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    1;3 Ví dụ 14: Giải hệ phương trình :  1 17  3x   x   y  14   y    2 x  y   3x  y  11  x  x  13   Giải :  x  5, y  ĐK :  2 x  y   0, 3x  y  11  1  3  x   2 3  5 x  2  x  3   y     y    5 x 3 4 y   2 4 y  Xét hàm số f  t   3t  2t , t  R Ta có : f '  t   9t   t  R , suy f  t  đồng biến R Khi 1  Thay f    5 x  f   y   x   y   x   y  y  x 1 y  x  vào   ta phương trình   3x   x   x  x  13  0, x   ;5   Luyện thi THPT quốc gia  * Trang 26 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Xét hàm số g  x   3x   x   x  x  13, x   ;5  Ta có :   15 g'  x    2x  3x  x  9 75   g"  x      x    ;5  3x   3x  4  x   x    Suy g '  x   có nhiều nghiệm x    ;5   Suy g  x   có nhiều nghiệm x    ;6   Mặt khác g    g  1  Vậy phương trình * có nghiệm x  0, x  1 x   y  1 Với x  1  y  2 Với Kết luận : Hệ cho có nghiệm :  x; y    0; 1 ,  x; y    1; 2   x3  y  1   x  1 x  1  Ví dụ 15: Giải hệ phương trình :  2 x2   x   2 x y  y      Giải : ĐK : x  Nhận xét : Với x  hệ vô nghiệm Với x  ,  2  x   y  y 1  x 1  x  y  y 2 2 y  2 1 1 1     1 x x x Xét hàm số f  t   t  t t  1, t  R Ta có f  t    t   ' t2 t 1  t  R , suy f  t  đồng biến R Khi *  f  y   f    y  x x   Thay y  vào 1 ta phương trình x   x3   1   x  1 x   x3  x   x  1 x   * x  Xét hàm số g  x   x3  x   x  1 x  6, x  Luyện thi THPT quốc gia Trang 27 Lê Hồng Khôi Hàm số liên tục 0;  Trường THPT Liễn Sơn x2   x  Ta có : g  x   3x   x x  x Suy g  x  đồng biến 0;  ' Suy g  x   có nhiều nghiệm x  0;   Mặt khác g 1  Vậy phương trình * có nghiệm x  Với x   y  Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;   2 Ví dụ 16: Giải hệ phương trình :     x  x2  2x   y  y      y  xy   2015  y  y   2016  1 2 Giải : ĐK : y  xy   1  x    x  1 1   y   y 1 Xét hàm số f  t   t  t  1, t  R t Ta có f '  t    t 1  t  R , suy f  t  đồng biến R Khi *  f  x  1  f   y   x    y  y   x  Thay y   x  vào   ta phương trình x   2015  x   2016 x * 2015 2016 2015 Xét hàm số g  x   x   x   2016 x  2015, x  2016 Ta có : Ta có *  x   x   2016 x  2015   x  g  x  ' x x2   x x2   2016  x  x2   x2  x  8 x  3   2016  x  2015 2016 Suy g  x  nghịch biến  2015 ;    2016 Luyện thi THPT quốc gia  Trang 28 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Suy phương trình g  x   (Phương trình * ) có nhiều nghiệm Mặt khác g 1  Vậy phương trình * có nghiệm x  Với x   y  2 Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1; 2  1 2 x y  y  x  x Ví dụ 17: Giải hệ phương trình :    x   y    x  1   Giải : ĐK: y  1 Từ phương trình   , suy x  2 Xét phương trình x y  y3  x  x6 1  y    Với x  hệ   2 y    y  y Với x  , chia vế 1 cho x : 1        x  x3  x  x Xét hàm số f  t   2t  t , t  Ta có : f '  t    3t  t  , suy f  t  đồng biến Khi 1  f  y   f  x   y  x  y  x x x     * 2 Thay y  x vào   ta phương trình :  x   x   x  Đặt z  x2    z  x2  , phương trình * trở thành z  z   x  2 z  2x    z  x     x  2  8x   x  2  2  x    y   tm  Với z   x    x      x   y   tm  Với z  x  x2   x  vn Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y      3;3 ,  x; y   Luyện thi THPT quốc gia  3;3  Trang 29 Lê Hồng Khôi   x  xy  y  y Ví dụ 18: Giải hệ phương trình :    4x   y   Giải :  x   ĐK :   yR 10 Trường THPT Liễn Sơn 1  2  x5    Với y  , từ hệ    x    x x Với y  , chia vế 1 cho y : 1      y  y y  y Xét hàm số f  t   t  t , t  Ta có : f '  t   5t   t  , suy f  t  đồng biến x x Khi 1  f    f  y    y  x  y y  y Thay x  y vào   ta phương trình : y   y       4y     y 8 3 0  y  1 4y    y2  y 8 3 0     y  1      y2    y2   y      y  1  x   tm    y   x   tm  Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y    1;1 ,  x; y   1;1  1  y  1  y y   x  Ví dụ 19: Giải hệ phương trình :   x  x2  2x    2 x  y   2  Giải : ĐK : x  y   1  x  y  y   y y  thay vào phương trình   ta phương trình : Luyện thi THPT quốc gia Trang 30 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn x  x2  x    2 y   y y    x  1    x  1    y    x  1   x  1  x  1  x 1 4 2 y 2   2y    1 y2  y2 2y   * Xét hàm số f  t   t  t  , t  t Ta có : f '  t    t 4  t  , suy f  t  đồng biến Khi *  f  x  1  f  y   x   y  x  y  Thay x  y  vào phương trình 1 ta phương trình  y  1  y y2   y   y y2    y2 2  2 y  y  1   y  y     y2      4y  y x  tm     4 2  y   16  y    x    tm  y     Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y    5  1 ;  ,  x; y     ;   4 2  2 Ví dụ 20: Giải hệ phương trình :  x   3x y  y    x y 1    x y  x    2 Giải : Nhận xét : Từ 1  y  ,    x y  x    x    1     x   3x y  2 Luyện thi THPT quốc gia y2 y 1 1  8x2 y3 Trang 31 Lê Hồng Khôi  x   3x y   x y   Trường THPT Liễn Sơn  y2  1 2 x    y  y    y  3 x x      y  thay vào  3 phương trình x x 1   1   2 y x x x 2 y 1  2 y  *  Xét hàm số f  t   t  t t  1, t  t2 ' Ta có f  t    t   t 1  t  , suy f  t  đồng biến Khi *  f    f  y    y  xy  x x   Thay xy  1 vào   ta phương trình x  x    x   y  2  tm  Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    4;   8 3x  y    y  x   y  xy  x    Ví dụ 21: Giải hệ phương trình :   x  y  13 y  14  x   Giải : x   ĐK :  14 y     1   x  1  1  2  3 x  1   y  1  3 y  1 Xét hàm số f  t   t  t , t  Ta có : f '  t   3t   t  , suy f  t  đồng biến Khi 1  f  x  1  f  y  1  x   y   y  x  Thay y  x  vào   ta phương trình :  x  11  Nhận thấy x  Với x   3x   x   * 11 khơng nghiệm * 11 0 *  3x   x   2 x  11 Luyện thi THPT quốc gia Trang 32 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Xét hàm số g  x   3x   x    11   11  , x   ;    ;   x  11 3    Ta có g'  x   10   2 3x  x   x  11 x   3x   11   11     ;    ;   3     3x   x  1 Trên  ; 11  , g  x  đồng biến g  3  , suy * có nghiệm x  3  Với x   y   tm  Trên  11 ;   , g  x  đồng biến g 8  , suy * có nghiệm x    Với x   y  10  tm Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y    3;5 ,  x; y   8;10  C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ phương trình sau  x3  y   3x  y  2  x   x  y  y   ĐS :  x; y    0;1  x3  12 x  y  y  16   2 4 x   x  y  y   ĐS :  x; y    0;2   x3  x  26 x  18  y  y  11y   x   x  y   x   y   ĐS :  x; y    11 ; 14  3 3  x3  y  y  3 x  y   14    x  y   x  y  ĐS :  x; y    1; 3 ,  x; y    2;0  3   y  3xy  17 x  27  x  3x  13 y  2   x  y  xy  y  x  10  Luyện thi THPT quốc gia Trang 33 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn ĐS :  x; y    2;3 ,  x; y    ;   3  x3  y  17 x  32 y  x  y  24   y   x    x   y  x   x  y  ĐS :  x; y    5;6   x  3 x   y  y   4 x  x  y  y  y   ĐS :  x; y   1;1 ,  x; y    ;0  2  3   x  3x   y  y   3 x   y  y ĐS :  x; y    3;1  x y  x  y  y    2 2  y   x  y  xy  x  x  xy  y   y ĐS :  x; y    4;2    y  2x    x   y 10    y  x  y  1   y    x  1 1  ĐS :  x; y    ;  2   4 x x   12 y   y  13 y  18 x  11  4 x  x  x   y  y  y  ĐS :  x; y   1;0  ,  x; y    ; 1 2  x  x    y    x  1 y  1  x 1 12  4 x y   x   x  x  3 x   ĐS :  x; y    3;     4   x  x2  y  y    13  27 x  x3  y  Luyện thi THPT quốc gia Trang 34 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn   13 1  13    13 1  13  ĐS :  x; y    ; ;  ,  x; y     12 12     2  x  y  y   x  1 y    14  x   y   x y2  ĐS :  x; y    3;5 ,  x; y   8;10  2 x3  x  x   x3   y   y  15   x   14  x  y  ĐS :  x; y    7; 111   98  4   x 1  x 1  y   y 16  2   x  x  y  1  y  y   ĐS :  x; y   1;0  ,  x; y    2;1 3x   x  3y   y  y  x  17   y   7x  y   y   ĐS :  x; y    3;2  ,  x; y   8;3  1 y x   x  y 1    x  y 18    1 x   y  2 ĐS :  x; y    ;  2 2 HẾT Luyện thi THPT quốc gia Trang 35 ... ,  a; b ,  a; b II Phương pháp Phương trình có nghiệm a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình không mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường khơng giải giải phức tạp b Thuật tốn... đề thi thường xuất câu giải phương trình hệ phương trình mà phương pháp giải có sử dụng đến tính đơn điệu hàm số Kết kì thi THPT Quốc gia năm học 2014 – 2015 cho thấy số thí sinh làm nhiều phần... Phương trình có nghiệm x  x0 Phương trình có tối đa n nghiệm (thơng thường nghiệm) a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình khơng mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải