Đang tải... (xem toàn văn)
XuÊt ph¸t tõ thùc tiÔn c«ng t¸c «n thi §¹i häc kÕt hîp víi sù tham kh¶o ý kiÕn cña c¸c ®ång nghiÖp nhãm chóng t«i x©y dùng chuyªn ®Ò : ‘øng dông tÝnh ®¬n ®iÖu ®Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè, t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó PT, BPT, HPT cã nghiÖm’.
Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số Mơc lơc I Lý chän ®Ị tµi : .2 II Mục đích nghiên cứu: III Đối tợng nghiên cứu: .3 IV phơng pháp nghiên cøu: .3 V §èi tỵng häc sinh : VI.dự kiến số tiết giảng dạy : I Lý thuyÕt I.1 Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:4 I.2.Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ®o¹n I.3.Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng .5 II.C¸c dạng tập: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: Bài tập tự luyÖn: .10 Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để phơng tr×nh cã nghiƯm tËp D: 11 Bµi tËp tù lun: .16 D¹ng 3: Tìm điều kiện tham số để bất phơng trình có nghiệm tập D nghiệm với x thuéc t©p D: 16 Bµi tËp tù luyÖn: .21 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phơng trình, hệ bất phơng trình có nghiệm 21 Bµi tËp tù lun: .25 KÕt luËn 26 Chuyên đề : Một số ứng dụng tính n iu ca hm s phần A : mở đầu I Lý chọn đề tài : Trong chơng trình toán THPT , kiến thức phần giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phần quan trọng Vì vậy, dạy đến phần kiến thức tính đơn điệu hàm số nhận thấy áp dụng kiến thức vào giải đợc lớp toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho ta công cụ hữu hiệu toán : Tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình, hệ bất phơng trình có nghiệm, dạng tập mà học sinh sợ gặp phải Xuất phát từ thực tiễn công tác ôn thi Đại học kết hợp với tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhóm xây dựng chuyên đề : ứng dụng tính đơn điệu để tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số, tìm điều kiện tham số để PT, BPT, HPT có nghiệm Với phơng pháp hi väng sÏ cã t¸c dơng viƯc rÌn lun t Toán học nguồn tài liệu tốt giúp em học sinh luyện tập nâng cao kiến thức phục vụ cho kỳ thi Đại học II Mục đích nghiên cứu: - Trang bị, củng cố cho học sinh phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mang lại hiệu qu¶ râ nÐt Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số - Båi dìng cho học sinh phơng pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả t duy, sáng tạo hình thành nhiều cách giải khác III Đối tợng nghiên cứu: - Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nằm chơng trình toán phổ thông tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình có nghiệm - Phân loại dạng toán thờng gặp phơng pháp giải dạng IV phơng pháp nghiên cứu: - Tham khảo sách, báo, tài liệu - Thực tiễn giảng dạy V Đối tợng học sinh : - Häc sinh líp 12 VI.dù kiÕn sè tiÕt gi¶ng d¹y : tiÕt Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số PhÇn B : nội dung I Lý thuyết I.1 Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D +) Số M đợc gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D nÕu: x D : f(x) M � � x0 �D : f(x0) M � KÝ hiÖu M maxf(x) D +) Số m đợc gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tËp D nÕu: x D : f(x) m � � x0 �D :f(x0) m � KÝ hiÖu m minf(x) D minf(x) không tồn +) Chú ý: maxf(x), D D I.2.Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn a; b Hãy tìm maxf(x) minf(x) a; b a; b Cách giải -Tìm điểm x1, x2, , xn f(x) khoảng (a; b), f(x) không xác định -Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b) - Tìm số lớn M số nhỏ m c¸c sè f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số ; Khi ®ã: M maxf(x) a; b m minf(x) a; b Chú ý: Nếu hàm số y=f(x) điểm tới hạn đoạn a; b f(x) giữ nguyên dấu đoạn đó, tức f(x) đồng biến, nghịch biến f b +) f(x) đồng biến đoạn a; b : maxf(x) a; b inf(x) f(a) vµ m a; b +) f(x) nghịch biến đoạn a; b : maxf(x) f a minf(x) f(b) a; b a; b I.3.Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng Bài toán : Cho hàm số y =f(x) liên tục khoảng (a; b) Tìm maxf(x) , minf(x) a; b a; b Cách giải : - Lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) khoảng (a; b) dựa vào bảng biến thiên ta suy đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số - Nếu khoảng (a; b) hàm số f(x) có cực trị cực đại (hoặc cực tiểu) giá trị cực đại giá trị lớn (hoặc giá trị cực tiểu giá trị nhỏ nhất) hàm số cho (a; b) I.4 Giả sử hàm số f(x) hàm liên tục tập D tồn , Khi ta cã : Chuyên đề : Một số ứng dụng tớnh n iu ca hm s a Phơng trình f(x) = m cã nghiƯm vµ chØ Chøng minh : , định Giả sử PT có nghiệm, tức tồn nghĩa , ta có tức G/s riêng , f(x) liªn tơc trªn D nªn nã nhËn mäi giá trị từ Nói theo nhận đến giá trị b Bất phơng trình m, tức có nghiệm D (1) Bất phơng trình có nghiệm (2) Bất phơng trình có nghiệm D (3) Bất phơng trình D có nghiệm D (4) Chøng minh (1) Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số G/s BPT có nghiệm tức : tồn rõ ràng : Đảo lại: G/s nghiệm tức , G/s BPT suy v« , tõ (*) ta suy v« lý, suy G/s sai, suy BPT cã nghiệm Tơng tự ta CM đợc (2),(3),(4) II.Các dạng tập: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: Bài 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số: Hd + Hàm số liên tục R, nên hàm số liên tục + Suy ra: Bài 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: Hd Tập xác định: Chuyờn : Mt s ng dụng tính đơn điệu hàm số BBT: x f’ -3 + - f Tõ BBT ta cã: Bài 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số: Hd Tập xác định: BBT: x f -2 || + || f -4 Tõ BBT ta có: Bài 4: Tìm GTLN, GTNN hàm số: Hd TXD: D=R Chuyên đề : Một số ứng dụng tớnh n iu ca hm s Đặt Khi Vậy ta có: Bài 5: Tìm GTLN, GTNN hàm số: Hd Tập xác định: Ta có bảng biến thiên: x � f� x � - � + � f x 2+ Tõ BBT ta cã: Bài 6: Tìm GTLN, GTNN hàm số: Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu ca hm s Hd: Đặt Khi Ta có bảng biÕn thiªn: a g’(a) 2/3 - + g(a) 4/9 Tõ BBT ta cã: Bµi 7: Cho tam giác ABC có A>B>C Tim giá trị nhỏ hàm số: Hd: Do Tập xác định hµm sè: 10 Chuyên đề : Một số ứng dụng tớnh n iu ca hm s YCBT tơng đơng với đồ thị hàm số f(t) cắt đờng thẳng y=m miền Khi đó: Bài tập tự luyện: a Tìm m ®Ĩ PT sau cã nghiƯm thùc: cã nghiƯm thùc b Tìm m để PT sau có nghiệm thực: c nghiệm thực Tìm m để PT sau có nghiệm thực: có có nghiệm thực d Tìm m để PT sau có nghiệm thực: có nghiệm thực e Tìm m để PT sau có nnghiệm thực phân biệt f Tìm m ®Ĩ PT : cã nghiƯm g h T×m m ®Ĩ PT sau có nghiệm tanx-mcotx=2 Tìm m để PT mcos2x-4sinxcosx+m-2=0 có nghiệm i Tìm m để PT sau có nghiệm nhÊt: 19 Chuyên đề : Một số ứng dụng tớnh n iu ca hm s j Tìm m để PT sau có nghiệm thực: k Tìm m để PT có nghiệm l Tìm m để PT có nghiệm Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để bất phơng trình có nghiệm tập D nghiệm với x thuộc tâp D: Bài 1: Tìm m để BPT sau có nghiệm: Hd: Đkxd: Ta cã BBT: x f’(x ) + 7-2 + - f(x) Từ BBT ta có: Bài 2: Tìm m ®Ĩ BPT sau cã nghiƯm 20 Chun đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số Hd: Đặt BPT trở thành: Xét hàm số f(t) [1;2], hàm số đồng biến D nên Bài 3: Tìm m để BPT nghiệm với x thuộc đoạn [0;2] Hd: Đk: Đặt BPT trở thành: YCBT BBT: t 1/2 21 Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số f’(t ) + - f(t) Từ BBT ta có: Bài Tìm m ®Ĩ BPT sau nghiƯm ®óng víi mäi x thc R Hd: BPT BBT: 4 � x f’ - + � - 24 f 24 Tõ BBT ta có: Bài 5: Tìm m để BPT sau nghiệm với x không âm Hd: 22 Chuyờn đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hm s BPT Đặt BPT trở thành: YCBT Ta có BBT: t f’(t ) + - f(t) Từ BBT ta có: Bài 6: a Giải BPT: b Xác định m để nghiệm BPT (1) nghiƯm cđa BPT sau: Hd: Gi¶i (1) cã nghiƯm -1< x 0, đặt x = tz HPT trë thµnh Do 28 Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số Tõ HPT (1) vµ (2) XÐt hµm sè Ta cã BBT: t � + f’(t ) || f(t) � - + � � � Dựa vào bảng biến thiên ta có: để HPT có nghiệm Vậy Bài 4: Tìm m để HBPT sau cã nghiÖm: Hd: 29 Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số HPT cã nghiÖm tháa m·n (2) , Ta cã Ta cã BBT: x - f’(t) + 27/13 2/3 f(t) f( ) Từ BBT ta có Bài 5: Tìm m ®Ĩ HPT cã nghiƯm (x;y) tháa m·n: Hd: Do (3) 30 Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn iu ca hm s Mặt khác: (4) Từ (3) (4) PT (2) Đặt t = x+y ( Để HPT có nghiệm thì: Bài tập tự luyện: Tìm m ®Ĩ HPT cã nghiƯm thùc (kq: 31 Chun đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số Tìm m để HPT có nghiệm thực Tìm m ®Ĩ HPT cã nghiƯm thùc (kq: (kq: 32 Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu ca hm s Kết luận Trên nội dung chuyên đề thảo luận việc ứng dụng tính đơn điệu để tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số, tìm điều kiện tham số để PT, BPT, HPT có nghiệm, chuyên đề trình bày rõ ràng sở lý thuyết đa hệ thống tập tơng đối phù hợp với phần lớn em học sinh lớp 12, trang bị cho em thêm phơng pháp giải toán PT, BPT, HPT liên quan tới tham số giúp em học sinh đạt thành tích cao kỳ thi trung học phổ thông quốc gia Với thời gian ngắn để hoàn thiện chuyên đề không tránh khỏi đợc sai sót, mong nhận đợc đóng góp ý kiến quý đồng nghiệp để chuyên đề có chất lợng 33 ... đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số BBT: x f’ -3 + - f Tõ BBT ta c : Bµi 3: Tìm GTLN, GTNN hàm s : Hd Tập xác định: BBT: x f’ -2 || + || f -4 Tõ BBT ta c : Bµi 4: Tìm GTLN, GTNN hàm s :. .. thiên ta c : Bài 8: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: Hd: Tập xác định: D=R Ta có bảng biến thiên: x f f 1/3 + + - 11 Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu hàm số Tõ bảng biến thiên ta c : Bài tập... tập: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm s : Bài 1: Tìm GTLN, GTNN hàm s : Hd + Hàm số liên tục R, nên hàm số liên tục + Suy ra: Bài 2: Tìm GTLN, GTNN hàm s : Hd Tập xác ®Þnh: Chun đề