Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Chính vì tính ưu việt của máy tính cầm tay và với mong muốn cung cấp cho học sinh một số bí quyết trong việc sử dụng nó để nhanh chóng định hướng được phương pháp giải trong khi chưa có sách tham khảo hay tài liệu nào được công khai chia sẻ cho học sinh biết được bí quyết đó nên tôi đã đúc rút, tổng hợp những kinh nghiệm của bản thân, những tài liệu của đồng nghiệp và học sinh mà tôi đã được đọc để viết sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số. Thực ra, sáng kiến kinh nghiệm này đã được tôi báo cáo và sử dụng từ năm 2015 nhưng qua các năm giảng dạy tôi đã rút ra được nhiều kinh nghiệm khi áp dụng sáng kiến nên tôi quyết định bổ sung và phát triển để sáng kiến được thể hiện logic và đầy đủ hơn. Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn còn nhiều tồn tại. Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo viên và học sinh.

SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I Lời giới thiệu Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia năm trước đề thi học sinh giỏi, phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số thường xuất hiện, nhiên lại câu khó để lấy điểm cao Một phương pháp phổ biến giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số phương pháp phân tích thành nhân tử Mặc dù học thầy, cô dành nhiều thời lượng để giảng dạy luyện tập cho học sinh kỹ thuật tách, nhóm để phân tích thành phương trình, bất phương trình tích cịn học sinh nghe hiểu cách làm thắc mắc: "Tại lại làm vậy?" Sách, tài liệu tham khảo thầy cô nêu cho học sinh phương pháp số kinh nghiệm lựa chọn phương pháp vào số cụ thể nên học xong, đọc xong học sinh cảm thấy mơ hồ Chính đứng trước toán học sinh cảm thấy lúng túng không phải lựa chọn phương pháp cho phù hợp, áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử nhóm, tách để biến đổi phương trình, bất phương trình thành phương trình bất phương trình tích Đối với học sinh - giỏi phải thử hết cách sang cách khác thời gian, học sinh trung bình yếu chí cịn khơng tìm lời giải Sau số năm bồi dưỡng học sinh giỏi: "Giải tốn máy tính cầm tay", tham khảo tài liệu qua mạng internet đặc biệt viết đồng nghiệp, học sinh chia sẻ facebook tơi thấy máy tính cầm tay "vũ khí" đắc lực việc giải phương trình, bất phương trình đặc biệt hệ phương trình đại số SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Tuy rằng, máy tính khơng phải phương pháp để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số giúp cho học sinh định hướng tìm cách giải nhanh rõ ràng, đặc biệt có ưu mạnh việc phân tích phương trình thành phương trình tích Tính SOLVE máy tính cầm tay hay, học sinh biết khai thác để phục vụ cho học tập thú vị Chính tính ưu việt máy tính cầm tay với mong muốn cung cấp cho học sinh số bí việc sử dụng để nhanh chóng định hướng phương pháp giải chưa có sách tham khảo hay tài liệu công khai chia sẻ cho học sinh biết bí nên đúc rút, tổng hợp kinh nghiệm thân, tài liệu đồng nghiệp học sinh mà đọc để viết sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số" Thực ra, sáng kiến kinh nghiệm báo cáo sử dụng từ năm 2015 qua năm giảng dạy rút nhiều kinh nghiệm áp dụng sáng kiến nên định bổ sung phát triển để sáng kiến thể logic đầy đủ Do thời gian khả có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi viết cịn nhiều tồn Kính mong đồng nghiệp học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện tài liệu tham khảo hữu ích thú vị cho giáo viên học sinh II Tên sáng kiến: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số III Tác giả sáng kiến: - Họ tên: IV Chủ đầu tư tạo sáng kiến: V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số VI Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Năm 2015 VII Mô tả chất sáng kiến:  Một số lưu ý trước đọc viết - Trong toàn viết hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx 570ES, máy tính có chức thao tác tương tự - Việc giới thiệu quy trình nhìn dài thực nhanh, không nhiều thời gian Sử dụng máy tính Casio giải phương trình bất phương trình đại số 1.1 Giải phương trình bậc - Như ta biết máy tính giải phương trình bậc bậc ta khơng Nếu phương trình bậc có nghiệm ngun hữu tỷ ta dễ dàng giải cách dùng lược đồ Hoone để phân tích thành phương trình tích bậc bậc Trong trường hợp phương trình bậc có nghiệm lẻ ta phải làm nào? Máy tính cầm tay hỗ trợ tích cực việc  Phương pháp: Xét phương trình ax + bx + cx + d = (a ≠ 0) (1.1) • Máy tính giúp ta tìm nghiệm gần (1.1) là: A, B, C, D (về nguyên tắc thường ta cần tìm nghiệm đủ) • Do (1.1) viết thành: ( a'x + b ' x + c ' ) ( d'x + e ' x + f ' ) = Nên ta thử nghiệm A, B, C, D xem nghiệm có tổng tích nguyên, chẳng hạn A + B = S , A.B = P với S, P nguyên A, B nghiệm phương trình: x − Sx + P = Nên ta có: SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số (1.1) ⇔ ( x − Sx + P ) ( d'x + e ' x + f ' ) = (Dạng quen thuộc biết cách giải) • Tìm biểu thức d'x + e ' x + f ' cách chia đa thức ax + bx + cx + d cho đa thức x − Sx + P Ví dụ: Giải phương trình x − x − x + x + = Hướng dẫn quy trình - Nhập phương trình vào máy tính: Alpha X x − Alpha X x − Alpha X x + Alpha X + = ( Dấu "=" để lưu phương trình) - Bấm shift solve Máy hỏi: Solve for X ( Nhập giá trị ban đầu) X= - Bấm −9 = Máy sử lí vài giây cho kết - Lưu nghiệm vào biến A RCL X Shift STO A tìm phương trình lưu Sau bấm: X= tiếp = máy báo −R= shift solve − 1.618 −R= Nhấn nút đẩy lên hai lần để Máy hỏi Solve for X , ta bấm − 0.236 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Lưu nghiệm vào biến B trình lưu Sau bấm: X= máy báo - Bấm: - Bấm: shift solve 3.5 × 10−12 −R= Solve for X , ta bấm tiếp = RCL X Shift STO C Alpha A + Alpha B = Alpha A + AlphaC = Alpha B + AlphaC = Alpha B × AlphaC = Máy hỏi Nhấn nút đẩy lên để tìm phương 4.236 Lưu nghiệm vào biến C - Bấm: RCL X Shift STO B , máy kết , máy kết , máy kết máy kết −1 −1.854 2.618 (lẻ nên bỏ qua) (lẻ nên bỏ qua) ( Tốt rồi, tiếp tục!) Vậy xong Ta có lời giải sau: Bài giải x − 3x − x + 3x + = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) x = ±  x2 − 4x − = ⇔ ⇔  −1 ± x = x + x −1  Vậy, phương trình có nghiệm là:    −1 ±   x ∈  ± 5;      Bài tập vận dụng Gải phương trình sau x − x3 + x + 18 x − = SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số x − x − x + 10 x + = x − 22 x − x + = 1.2 Giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Ví dụ 1: Giải phương trình x + + x + + x − 18 x − 12 = (1.2) Phân tích: Quan sát phương trình (1.2) khó để sử lí, khơng thể đặt ẩn phụ phân tích thành nhân tử Vậy phân tích nào? Ta dùng máy tính để dự đốn cách phân tích Hướng dẫn quy trình x≥− - Điều kiện: - Nhập phương trình vào máy tính bấm dấu "=" để lưu phương trình Alpha X + + Alpha X + + Alpha X x − 18 Alpha X − 12 = - Bấm shift solve Máy cho ta nghiệm X = - Ta cần tìm nghiệm khác cách: sửa phương trình thành (3 Alpha X + + Alpha X + + Alpha X x − 18 Alpha X − 12) ÷ Alpha X - Bấm shift solve = máy báo X = 3.797 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào A) - Sửa phương trình thành (3 Alpha X + + Alpha X + + Alpha X x − 18 Alpha X − 12) ữ [ Alpha X ì ( Alpha X Alpha A)] - Bấm shift solve = = −50 máy báo X = × 10 nghiệm xấp xỉ 0, tức vô nghiệm - Vậy ta có nghiệm thơi, làm tìm nghiệm lẻ để kết hợp với A để áp dụng định lí Talet đảo tìm phương trình nhận chúng nghiệm * Cách 1: Mị phương trình bậc hai tạo nghiệm lẻ cịn lại - Nghiệm nghiệm phương trình bậc hai: ax + bx + c = - Thông thường a = 1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b - Ta lưu nghiệm lẻ tìm vào A, ta lưu lại vào X cách RCL A Shift STO X - Nhập: X + BX : B = B + cách alpha X x + alpha B alpha X alpha ÷ alpha B alpha = alpha B + - Bấm CALL, máy B ? ta bấm tiếp −9 = SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Bấm tiếp dấu " =" X + BX số nguyên dừng 2 - Ở ta dừng B = -3 X + BX = Vậy: x − x − nhân tử cần tìm  Ta dùng tính table cho nhanh sau: - Bấm Mode - Máy f(x) =, ta nhập: A + XA = ( X chạy A nghiệm), bấm "=" - Máy Start?, ta bấm -9= ( bắt đầu) - Máy End?, ta bấm 9= ( kết thúc) - Máy Step?, ta bấm 1= ( bước nhảy 1) Nhìn vào bảng ta thấy ln X = -3 f(x) = vậy: f ( x) = A − A = , suy x − x − nhân tử cần tìm 2 - Nếu khơng có giá trị đẹp sửa thành A + XA, A + XA nhiên không khó thế, dừng hệ số x mà thơi * Cách 2: Mị biểu thức để ghép liên hợp - Những toán thường ghép liên hợp vấn đề đặt ghép với số nào?   x + = ax + b  x + = a'x + b' - Dạng là:  ta phải tìm a, b, a', b' - Lưu nghiệm A = 3,79 sang nghiệm X = 3,79 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số x + 4-ax nguyên dừng Ở ta tìm giá trị nguyên - Thử xem biểu thức a = 1, tức a = b = - Tương tự, thử xem x + 4-a'x nguyên dừng Ở ta tìm giá trị nguyên biểu thức -1 a = 1, tức a = b = -1  − ( x − 3x − 3)  x + − ( x+1) = x + + ( x+1)   − ( x − 3x − 3)   x + − ( x-1) = x + + ( x-1) - Vậy ta có:  , định hướng xong Bài giải x≥− - Điều kiện: (1.2) ⇔  x + − ( x + 1)  +  x + − ( x − 1)  + ( x − 3x − ) =   3 ⇒ ( x − x − ) 4 − − =0 x + + x + x + + x − ( ) ( )    x − 3x − =  ⇔ g ( x) = − −  x + + ( x + 1) =0 x + + ( x − 1) - Ta có: g '( x) = ∀x ≥ − (   1 + ÷+ x +   5x + + x + ) (   1 + ÷> x − + x +   x + + x −1 ) SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số   − ; +∞ ÷   Mà g(0) = nên g(x) = có nghiệm Suy g(x) đồng biến  x = - Xét x − 3x − = ⇔ x = ± 21 - Thử lại ta có kết luận: Phương trình có hai nghiệm x2 + 2x − = ( x + 1) Ví dụ 2: Giải phương trình x − x + ( x = 0, x = x+2 −2 + 21 ) (1.3) Hướng dẫn quy trình - Điều kiện: x ≥ −2 - Nhập phương trình vào máy tính bấm dấu "=" để lưu phương trình Alpha X x + Alpha X − − ( Alpha X + 1) Alpha X x − Alpha X + - Bấm shift solve − ( ) Alpha X + − = Máy cho ta nghiệm X = - Ta cần tìm nghiệm khác cách: Đẩy phím lên tìm phương trình lưu tiếp túc bấm shift solve máy báo X = 3.302 - Tiếp tục tìm thêm nghiệm: shift solve máy báo kết X = 3.302 10 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Ta làm xuất nhân tử cách sau: - Nhập phương trình: - Bấm + alpha X − ) − ( − alpha X ) = shift solve = - Sau bấm: Máy báo: ( alpha X x X = 0,3288 RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào A) - Tìm tiếp nghiệm thứ 2: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành: ( ( alpha X x Sau bấm: Slove for X ) + alpha X − ) − ( − alpha X ) ÷ ( alpha X − alpha A ) shift solve Máy hỏi A ? 0,3228 , ta bấm tiếp = máy X = 0,6180 ta bấm tiếp = máy báo ta ấn phím sang trái ấn = để lưu lại phương trình bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào B) 24 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Tìm tiếp nghiệm thứ 3: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành: ( ( alpha X x + alpha X − 2) 2 − ( − alpha X ) ÷ ( alpha X − alpha A ) ( alpha X − alpha B ) Sau bấm: shift solve = = = ) Ta nghiệm X = −1,61803 ta ấn phím RCL X Shift STO C sang trái ấn = để lưu lại phương trình bấm ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào C) - Tương tự ta tìm tiếp nghiệm thứ 4: Nhấn nút đẩy lên để tìm phương trình lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành: ( ( alpha X x + 3alpha X − 2alpha X ) 2 − ( − alpha X ) ) ÷ ( alpha X − alpha A ) ( alpha X − alpha B ) ( alpha X − alphaC ) Sau bấm: shift solve = = = = Ta nghiệm X = −2,3288 Vậy ta có bốn nghiệm là: A, B, C, X - Ta tính tổng tích nghiệm để tìm phương trình bậc hai với hệ số nguyên Sau thử ta thấy: BC = −1 B + C = −1 , theo định lí Viet ta có B, C nghiệm phương trình x + x − = - Vậy ta đưa phương trình (5) dạng tích có chứa nhân tử x + x − , xong Bài giải: 25 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số ( 2.3) ⇔ ( − y ) x − y + x − − ( x − y − 1) y = ⇔ ( − y ) x − y + x − y − + ( y − 1) − ( x − y − 1) ⇔ ( − y ) ( x − y − 1) + ( x − y − 1) ( − y ) = ( ⇔ 1− y )( )( y =0 ) x − y −  + y + x − y + 1 =   1 − y =  ⇔  x − y −1 =   + y + x − y + = (VN )  ( + Với + Với ) 1− y = ⇔ y =1 : Thế vào (2.4) ta x = x − y − = ⇔ y = x + : Thế vào (2.4) ta được: y − ( y + 1) + y + = − y − − y ⇔ y + y − = − y (2.5) ⇔ y + y − = − y ⇔ ( y + y − 1) + y − − y = ⇔ ( y + y − 1) +  y2 + y −1 = ⇔ ( y + y − 1)  +  y + 1− y y + 1− y   =0 ÷ ÷   −1 (t / m) y = +1 2 ⇔ y + y −1 = ⇔  ⇒x=  − −1 y = ( l )     + −   ; ÷ 2    ( x; y ) ∈ ( 3;1) ;  Vậy, hệ phương trình có nghiệm:  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau 26 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số  x 12 − y + y ( 12 − x ) = 12 (2.6)    x3 − x − = y − (2.7) Hướng dẫn quy trình * Nhận xét chung: - Ta thấy phương trình (2.6) dễ biến đổi 2 ≤ y ≤ 12  x ≤ 12 • Điều kiện:  • Làm tương tự ta có bảng sau: Y X 3,16 2,828 2,64 2,44 3,464= 12 Ta nhận thấy Y tăng X giảm • Ta thử bình phương X xem sao: Y X2 9,999 12 Ta thấy xuất quy luật: y + x = 12 Tuy nhiên ta thấy khơng dễ phân tích thành nhân tử trước được, ta nghĩ đến việc dùng phương pháp hàm số đánh giá 27 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số  Phân tích: Ở phương trình (6) mà dùng phương pháp hàm số khó: có tích x y, mà chia vướng số 12 vế phải, dùng bất đẳng thức Cosi xuất y + x = 12 Ta dùng máy tính kiểm tra ln nhé! Ở ta dùng tính CALL Nhập vế trái (6): • 12 − alphaY + alpha X • Sau bấm: CALL • Máy hỏi: • Máy hỏi: X? Y? alphaY − ( 12 − alpha X x ) (Tức: Cho X ?), ta nhập: (Tức: Cho Y ?), ta nhập: 1= 11 = (hoặc tùy ý) Ta có bảng sau: Y 1 2 3 X 10 11 10 11 11 11,9 12 11,7 11,38 10,89 8,7 Giá trị hàm • error Từ bảng ta thấy vế trái nhỏ 12, dùng phương pháp đánh giá đắn • Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được: x 12 − y + y ( 12 − x ) x + ( 12 − y ) y + ( 12 − x ) ≤ + = 12 2 28 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số  x = 12 − y x ≥ ⇔  2  y = 12 − x Dấu "=" xảy  y = 12 − x - Thế: y = 12 − x vào phương trình (2.7) ta được: x − x − = 10 − x - Nhập phương trình tìm nghiệm x = 3, ta biến đổi để làm xuất nhân tử: x - xong Bài giải 2 ≤ y ≤ 12  - Điều kiện:  x ≤ 12 - Xét (2.6): Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta x 12 − y + y ( 12 − x ) x + ( 12 − y ) y + ( 12 − x ) ≤ + = 12 2  x = 12 − y x ≥ ⇔  y = 12 − x y = 12 − x    Dấu "=" xảy x ≥ (2.6) ⇔   y = 12 − x Vậy - Thế: y = 12 − x vào phương trình (2.7) ta được: x − x − = 10 − x 29 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số ) ( ⇔ x3 − x − + − 10 − x = ⇔ ( x − 3) ( x + 3x + 1) + x2 − + 10 − x =0   x+3 ⇔ ( x − 3)  x + x + + =0  + 10 − x   - Do x ≥ nên: x2 + 3x + + x+3 + 10 − x =0 - Vậy, hệ phương trình có nghiệm nhất: vơ nghiệm ( x; y ) = ( 3;3)  y2 y + + = y2 + x −   x   x + x − + y = y + y (2.9) y x Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau  ( ) (2.8) Hướng dẫn quy trình - Ta nhận thấy phương trình (2.9) dễ biến đổi hơn, nên ta biến đổi (2.9) - Điều kiện: x ≥ 2; y > - Nhập phương trình: - Bấm: shift solve = - Máy hiện: x+ x −1 y + = y2 + y y x máy hiện: Slove for X Y? , bạn nhập: 1= (Tức khai báo giá trị đầu X) 30 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Các bạn bấm 0= Máy trả giá trị nghiệm: X = 0,5 Vậy Y = X = 0,5 shift solve Y? - Để tìm nghiệm tiếp với Y = bấm: máy bạn nhập: = - Cứ ta có bảng sau: Y X 0,5 0,333 = 0, 25 = - Dựa vào bảng, ta thấy xuất quy luật: X= 0,2 = 5 0,1666 = ⇔ XY + X − = Y +1 - Ta ép để xuất nhân tử trên: xy + x − xong Bài giải - Điều kiện: x ≥ 2; y > ( 2.9 ) ⇔ xy + x − y + − y2 − y = y x ⇔ ( xy + x − 1) x + y − y x − xy = ⇔ ( xy + x − 1) x − y ( xy + x − 1) = ⇔ ( xy + x − 1) ( x − y ) = (2.10) - Với x ≥ 2; y > ⇒ xy + x − > nên từ (2.10) ⇔ x = y - Thế vào (2.8) ta được: 31 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số ( y + + = y2 + y2 − ⇔ ) ⇔ ( ⇔ ) ( y +1 = y= ) ( y2 − + ⇔ ) y + = ( y2 − 2) + y − + y +1= y2 − +  y = −1 < y2 − ⇔ y2 − y − = ⇔  y = 2⇒ x = Vậy, hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 4;2 ) 2.2 Dạng 2: Các mối quan hệ rút từ kết hợp hai phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  ( x + y ) + xy − = (2.11)  2 ( x + y ) − x − xy + y + x − y + = (2.12) Hướng dẫn quy trình - Ta nhận thấy phương trình (2.11) (2.12) khơng khả thi sử dụng cách giải dạng Vậy, ta xét: ( x + y) − x − xy + y + x − y + + k  ( x + y ) + xy − 3 = ( 2.13)   Thử với k = ±1; ± 2; ± 3; ± để Y nguyên X nguyên - Với k = 1, ta có bảng giá trị sau: Y X -1 Như vậy, ta thấy xuất quy luật: X + Y = - Biến đổi phương trình (2.13) với k = để xuất nhân tử X + Y − xong 32 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Bài giải - Cộng với vế (2.11) (2.13) ta ( x + y) − x − xy + y + x − y + +  ( x + y ) + xy − 3 =   ⇔ ( x + y ) + 2( x + y ) − 2x2 + y2 + x − y − = − 1 − x + ( y − y + 1) + ( x + y − 1) =  ⇔ ( x + y ) ( x + y − 1) + ( x + y ) − 1 −  x − ( y − y + 1)  + ( x + y − 1) =   ⇔ ( x + y) ( x + y − 1) + ( x + y ) ⇔ ( x + y − 1) { ( x + y) } + 3( x + y ) + + x + y = x + y −1 = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + + x + y = (13) • Với ( x + y ) + ( x + y ) + + x + y = (13) Lấy nhân (13) trừ vế, với vế cho (11) ta được: ( x + y ) + x + 10 y + − xy + = ⇔ ( x + xy + y ) − xy + x + 10 y + = 2 14 16    25    25  ⇔  x + xy + y ÷+ ( x + x + 1) +  x + 10 y +  ÷  + − −  ÷ =    14    14   2  14  25  551  ⇔x + y ÷ + ( x + 1) +  y+ ÷ + =0 196     ⇒ Phương trình vơ nghiệm • Với x + y − = : Thế vào phương trình (11) ta + 4(1 − x) − = ⇔ x = 1 ⇒y= 2 33 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  1 ; ÷ 2 2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2 x − 11x − y + = (2.14)  4 x − 22 x + 21 + y + y + y = ( x + 1) x − (2.15) Hướng dẫn quy trình - Ta nhận thấy phương trình (2.14) (2.15) không khả thi sử dụng cách giải dạng Vậy, ta xét: x − 22 x + 21 + y + y + y − ( x + 1) x − + k ( x − 11x − y + ) = (2.16) Thử với k = ±1; ± 2; ± 3; ± để Y nguyên X nguyên - Thử với k = 1, Y = suy X = 9, , nghiệm xấu nên dừng - Thử với k = 2, Y = suy X = 1, nghiệm đẹp nên tiếp tục thao tác ta bảng giá trị sau: Y X 2,5 8,5 13 Vậy xuất quy luật: y + = x − Ở phương trình (16): x y độc lập với nên ta nghĩ đến phương pháp hàm số Bài giải - Trừ vế, với vế phương trình (2.15) cho (2.16) ta được: 34 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số y + y + y + = ( x + 1) x − ⇔ ( y + y + y + 1) + ( y + 1) = ( x − 1) x − + 2 x − ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) = ( ) x − + 2 x − (2.17) - Xét hàm số: f (t ) = t + 2t , ta có: f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ Suy hàm số f(t) đồng biến, nên: (2.17) ⇔ y + = x − ⇔ y = x − − - Thế vào phương trình (2.14) ta được: Đặt t = x − (t ≥ 0) ⇒ x = x − 11x − ( ) x − − + = (2.18) t2 +1 , phương trình (2.18) trở thành:  t2 +1  t2 +1 2 − 11 ÷  ÷− 2t + 11 = ⇔ t − 9t − 4t + 12 =     t = ⇔ ( t − 3) ( t − 1) ( t + ) ⇔ t =  t = −2(l ) x = t =3⇒  y = • Với x = t =1⇒  y = • Với Vậy, hệ phương trình có nghiệm:  ( x; y ) ∈ { ( 5;2 ) ; ( 1;0 ) } Bài tập vận dụng Giải hệ phương trình sau 35 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 2  5 x y − xy + y − 2( x + y ) =  2   xy ( x + y ) + = ( x + y )   x + + x −1 − y + = y  2 x + x ( y − 1) + y − 6y +1=   2 x + y − 3xy + 3x − y =  2 4 x − y − y + x = x + y + x + y  x − 3x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  5 x y − xy + y − ( x + y ) =  2  xy ( x + y ) + = ( x + y ) ( x + 1) x + ( y − 3) − y =  4 x + y + − x =  x3 ( y + 1) + ( x + 1) x =   2 x y + y +1 = x + x +  ( )  x − x − y − x − y − = y + 8.  x + y + + x + y = x + y + 3x + y VIII Những thông tin cần bảo mật: Không IX Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10 học Đại số chương III chương IV 36 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số X Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Học sinh học theo nội dung trình bày sáng kiến tự tin đối mặt với việc giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đề thi THPT Quốc Gia kì thi học sinh giỏi đạt kết cao Cụ Thể: Học sinh giỏi định hướng lời giải nhanh để tiết kiệm thời gian dành cho khác, cịn học sinh trung bình làm không phức tạp làm phần đầu phức tạp mà dùng máy tính cầm tay giải Bản thân giáo viên viết đề tài phần rèn luyện cho khả nghiên cứu khoa học, tìm tịi phân tích tổng hợp tài liệu, tăng cường khả tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp truyền đạt cho học sinh Mặc dù cố gắng nhiều trình viết sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy cơ, đồng nghiệp học sinh chân thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu máy tính cầm tay việc giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số" hồn thiện trở thành tài liệu hay, hữu ích việc dạy học phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số XI Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: STT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Giáo viên THPT Nguyễn Viết Xuân Bồi dưỡng kiến thức giải phương trình, bất 37 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Vũ Thị Thanh Nga phương trình hệ phương trình cho học sinh ơn thi THPT Quốc Gia Lớp 12A2, 12A5 THPT Nguyễn Viết Xuân Nâng cao kiến thức giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Vĩnh Tường, ngày tháng 02 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày tháng năm 2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày 20 tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Vũ Thị Thanh Nga 38 ...SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Tuy rằng, máy tính khơng phải phương pháp để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. .. 16 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Sử dụng máy tính Casio giải hệ phương trình 2.1.Dạng 1: Các mối quan hệ rút từ phương trình 2 ... dưỡng kiến thức giải phương trình, bất 37 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Vũ Thị Thanh Nga phương trình hệ phương trình cho học sinh