SKKN Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Tốn học mơn học rèn luyện khả tư duy, logic giải vấn đề Đặc biệt mơn hình học đòi hỏi học sinh phải tư duy, liên kết giải thiết phát tính chất đặc biệt mà đề ẩn từ đưa hướng giải tốn Vectơ chương hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế tính cơng vật lý Ngồi vectơ cơng cụ hữu hiệu để giải tốn khó giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức Một ứng dụng vectơ hình học chứng minh điểm thẳng hàng Nói đến hình học đa số học sinh sợ hình học đòi hỏi học sinh phải nhiều lại có điểm khác mà học sinh gặp khó khăn việc quy lạ quen Có hình học đòi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp nhiều khó khăn Chứng minh điểm thẳng hàng dạng toán hay gặp đề thi học sinh giỏi phát triển thành trắc nghiệm sử dụng đề thi khảo sát chất lượng lớp 10 Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ” chia tập theo mức độ nhận thức học sinh giúp học sinh làm toán chứng minh điểm thẳng hàng cách dễ dàng Học sinh không thấy lo sợ gặp tốn hình học Sáng kiến kinh nghiệm tơi viết nhiều yếu tố khách quan nên nhiều tồn Rất mong nhận đóng góp đồng nghiệp học sinh để sáng kiến tơi hồn thiện Tên sáng kiến: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Tác giả sáng kiến - Họ tên: Phan Thị Kim Sang - Địa chỉ: xã Thổ Tang - Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ -Số điện thoại: 0979909495 email: minhsang909495@gmail.com Chủ đầu tư sáng kiến Phan Thị Kim Sang Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lĩnh vực hình học phẳng - Sáng kiến kinh nghiệm giúp giải tập chứng minh điểm thẳng hàng hình học phẳng, - Các tốn vật lý Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử - Ngày 15 tháng 11 năm 2018 Mô tả chất sáng kiến - Nội dung sáng kiến chia làm phần Phần 1: Những tập phân tích vectơ qua vectơ không phương Phần 2: Những tập chứng minh điểm thẳng hàng chia theo mức độ nhận thức phát triển số tự luận sang trắc nghiệm Phần 3: Một số toán chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ số đề thi học sinh giỏi - Về khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ” có khẳ áp dụng cho học sinh khá, giỏi SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ” Để chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ điều qua trọng em học sinh phải biết phân tích vectơ qua vectơ khơng phương Vì phần tơi đưa tập phân tích vectơ qua hai vectơ không phương Phần 1: Phân tích vectơ qua vectơ khơng phương r r r Cơ sở lí luận: Cho vectơ khơng phương a b Khi vectơ x r r a b phân tích qua hai vectơ , nghĩa có cặp số m n cho r r r x  ma  nb Bài Cho ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, F trung điểm r uuu r r uuur u  AE; v  AF Hãy phân tích cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Đặt uur uuur uuur uuur rr AI , AG,DE ,DC u,v vectơ theo hai vectơ Hướng dẫn giải Ta có uur uuur uuu r uuur 1r 1r AI  AD  ( AE  AF )  u  v ) 2 2 uuur uuur r r AG  AD  u  v 3 uuur uur uuur r r DE  FA   AF  0.u  ( 1 )v uuur uuu r uuu r uuur r r DC  FE  AE  AF  u  v Bài Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích r uuur r uuur uuuu r u vectơ AM theo hai vectơ  AB, v  AC Hướng dẫn giải SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r AM  AB  BM  AB  BC Ta có uuu r uuur uuu r BC  AC  AB mà uuuu r uuu r uuur uuu r 1r 2r AM  AB  ( AC  AB )  u  v 3  r uuu r r uuur a = AB , b= AC Lấy điểm M, N thỏa mãn ABC Bài Cho tam giác Đặt uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r r r AM = AB, CN = 2BC CM , AN , MN Hãy phân tích qua véc tơ a b Hướng dẫn giải uuuu r uuu r AM = AB AM = AB 3 Vì suy M thuộc cạnh AB uuur uuu r CN = BC ; , suy N thuộc tia BC CN = 2BC uuur uuu r uuuu r uuur uuu r 1r r CM = CA + AM =- AC + AB = a- b 3 Ta có: uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r r r AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC - AB) =- 2a+ 3b uuuu r uuur uuur r r r 1r 7r MN = MA + AN =- a- 2a+ 3b=- a+ 3b 3 Bài Cho tam giác ABC , cạnh BC lấy M cho BM = 3CM , đoạn AM lấy N cho 2AN = 5MN G trọng tâm tam giác ABC uuuu r uuur uuur uuu r AM , BN qua véc tơ AB AC a) Phân tích vectơ b) Phân tích vectơ uuu r uuuu r GC , MN uuu r uur GA GB qua véc tơ Hướng dẫn giải SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuur uuu r uuur uuuu r BM = BC AN = AM a) Theo giả thiết ta có: uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r AM = AB + BM = AB + BC suy uuu r uuur uuu r r uuur uuu = AB + AC - AB = AB + AC 4 ( ) uuur uuu r uuur uuu r uuuu r BN = BA + AN =- AB + AM uuu r 5� r uuur� 23 uuu r 15 uuur uuu =- AB + � AB + AC� =AB + AC � � � 7� 4 28 � � 28 uuu r uur uuu r r uuu r uuu r uur b) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = suy GC =- GA - GB uuuu r r r uuur� uuuu 2� uuu MN =- AM =- � AB + AC� � � � 7� 4 � � Ta có =- r r uuu r uur uuu uuu GB- GA GC - GA 14 14 ( ) ( ) r r uur uuu r uur uuu uuu GB- GA - GA - GB- GA 14 14 u u u r u u r 1 = GA + GB =- ( ) ( ) Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh AB CD cho AB = 3AM , CD = 2CN G trọng tâm tam giác MNB Phân tích vectơ uuur uuuu r uuur AN , MN , AG uuur uuu r qua véc tơ AB AC Hướng dẫn giải SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuur uuur uuur uuur uuu r AN = AC + CN = AC - AB Ta có: uuuu r uuur uuur r uuur uuu r uuu MN = MA + AN =- AB + AC - AB u u u r u u u r =- AB + AC Vì G trọng tâm tam giác MNB nên uuur uuuu r uuur uuu r uuu r � uuur uuu r � uuu r uuu r uuur 3AG = AM + AN + AB = AB +� AC - AB� + AB = AB + AC � � � � � � uuur r uuur uuu AG = AB + AC 18 Suy Phần 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Cơ sở lí luận: Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng chứng minh uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r AB  k AC , AB  k BC , BA  kCA, chứng minh vectơ lập từ điểm A, B, C phương từ suy điểm A, B, C thẳng hàng Đôi không chứng minh trực tiếp mà phải chứng minh qua vectơ trung gian Bài tập chứng minh điểm thẳng hàng chia làm mức độ I Mức độ nhận biết Bài tập phần chia thành nhiều phần nhỏ để dẫn dắt học sinh đến bước chứng minh điểm thẳng hàng cách dễ dàng r uuu r r uuur a = AB , b= AC ABC Bài Cho tam giác Đặt uuuu r uuu r uuur uuu r AM = AB, CN = 2BC a) Hãy dựng điểm M, N thỏa mãn: uuur uuur uuuu r r r CM , AN , MN a b b) Hãy phân tích qua véc tơ SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuu r uuur c) Gọi I điểm thỏa: MI = CM Chứng minh I , A , N thẳng hàng Hướng dẫn giải uuuu r uuu r AM = AB a) Vì suy M thuộc cạnh AB uuu r AM = AB uuur CN = BC ; , suy N thuộc tia BC CN = 2BC b) Ta có: uuur uuu r uuuu r uuur uuu r 1r r CM = CA + AM =- AC + AB = a- b 3 uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r r r AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC - AB) =- 2a+ 3b uuuu r uuur uuur r r r 1r 7r MN = MA + AN =- a- 2a+ 3b=- a+ 3b 3 uur uuuu r uuu r uuu r uuur r r r r r AI = AM + MI = AB + CM = a+ a- b=- (- 2a+ 3b) 3 3 c) Ta có: uur uuur � AI =- AN � A, I, N thẳng hàng uuu r uuur uuur r Bài Cho điểm O, A, B, C thỏa mãn OA  2OB  3OC  Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có uuu r uuur uuur r OA  2OB  3OC  uuu r uuur uuur uuur r � OA  OC  2OB  2OC  uuu r uuu r r � CA  2CB  uuu r uuu r � CA  2CB Suy điểm A, B, C thẳng hàng SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D điểm đối xứng A qua B, E điểm đoạn AC cho AE  AC uuur uuur uuu r uuur DE , DG AB , AC a) Hãy phân tích vectơ theo b) Chứng minh điểm D, E, G thẳng hàng Hướng dẫn giải a) ta có uuur uuur uuur uuur uuu r DE  AE  AD  AC  AB uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r DG  AG  AD  AB  AC  AB r uuur uuu   AB  AC 3   b) Theo phần a ta có uuur uuur uuu r uuur uuu r DE  AC  AB  AC  AB 5 uuur u u u r u u u r r uuur uuur 1 uuur uuu DG   AB  AC  AC  AB � DE  DG 3     uuuu r uuur � DE , DG phương � điểm D, E, G thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, gọi I trung điểm BC Gọi D, E hai điểm cho uuur uuur uuur BD  DE  EC uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh AB  AC  AD  AE uuu r uuur uuur uuur uuur uur AS  AB  AC  AD  AE b) tính vectơ theo AI , chứng minh điểm A, I, S thẳng hàng SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Hướng dẫn giải a) ta có uuu r uuur uur AB  AC  AI uuur uuur uur AD  AE  AI uuu r uuur uuur uuur � AB  AC  AD  AE uuu r uuur uuur uuur uuur uur b) AS  AB  AC  AD  AE  AI uuu r uur uuu r uur AS , AI phương nên điểm A, I, S thẳng hàng AS  AI Vì nên hai vectơ uuur uuuu r uuur uuur MB  MC NA  CN Bài Cho tam giác ABC, lấy điểm M, N, P cho: , , uuu r uuu r r PA  PB  uuuu r uuur uuu r uuur PM , PN AB , AC a) Hãy phân tích theo hai vectơ b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải a) Ta có uuuu r uuu r uuuu r PM  PB  BM r uuur uuu  AB  AC u u u r uuur uuur  AB  AB  AC 3 u u u r u u u r   AB  AC  1 uuur uuu r uuur PN  PA  AN r uuur uuu   AB  AC   SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuuu r uuur uuuu r uuur PM  PN � PM , PN b) Từ (1) (2) ta có phương � M, N, P thẳng hàng II Mức độ thông hiểu Ở mức độ thông hiểu chứng minh ba điểm thẳng hàng phức tạp hơn, khơng có phần gợi ý học sinh phải phân tích đề đưa hướng giải toán Bài Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm thuộc AC AK  AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Hướng dẫn giải uur uuur Để chứng minh điểm B, K, I thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ BI , BK uur uuur uuu r uuur phương Chúng ta phân tích hai vectơ BI , BK theo hai vectơ BA BC Ta có uur uur uuuu r uur uuu r 2BI  BA  BM  BA  BC uur uur uuu r 4BI  2BA  BC ( ) uuur uur uuur uur uuur BK  BA  AK  BA  AC uur uuu r uur uur uuur  BA  ( BC  BA )  BA  BC 3 uuur uur uuu r 3BK  2BA  BC (2) uuur uur uuur uur 3BK  4BI � BK  BI Từ (1)&(2)  B, I, K thẳng hàng 10 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ 7m � � 16    m � � � � 16 �� �� m � � t t � 16 � uuur uuur AK  AC � AK  AC 7 Suy AK  AC Vậy điểm K thuộc cạnh AC cho BM = BC D ABC , Bài Cho gọi M điểm thuộc cạnh BC cho , I trung điểm uur uuur đoạn AM, N điểm thỏa mãn NA = k NB Tìm k để điểm C, I, N thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có uur uuu r uur uuur uuuu r CI  CA  AI   AC  AM uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuur   AC  AB  BM   AC  AB  BC 2 uuur uuu r uuu r uuur   AC  AB   AB  AC u u u r u u u r  AB  AC (1) 8     uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r r k uuu NA  k NB � NA  k NA  AB � NA  AB 1 k Mà   uuur uuu r uuur uuur uuur r uuur k uuu CN  CA  AN   AC  AN   AB  AC 1 k Vậy để điểm C, I, N thẳng hàng theo (1) (2) ta có 15 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ k :  �k  1 k Vậy với k điểm C, N, I thẳng hàng uuur uuuu r MA   MC Bài Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cạnh AC cho , N điểm uuur uuuur uuu r uuur thuộc BM cho NB  3NM , P điểm thuộc BC co PB  k PC Tìm k để điểm A, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có uuu r uuur PB  k PC uuu r uuu r uuur � PB  k PB  BC uuu r uuur �   k  PB  k BC uuu r k uuur � BP  BC  k �1 k 1   Mà uuur uuu r uuu r AP  AB  BP uuu r uuur k uuur � AP  AB  BC k 1 uuu r uuur k uuur uuur � AP  AB  AC  AB k 1 uuu r 1 uuu r k uuur � AP  AB  AC  1 k 1 k 1   Mặt khác ta có 16 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuur uuu r uuur AN  AB  BN uuur uuu r uuuu r � AN  AB  BM uuur uuu r uuuu r uuu r � AN  AB  AM  AB uuur uuu r uuur � AN  AB  AC 4 uuur uuu r uuur � AN  AB  AC     Để điểm A, N, P thẳng hàng từ (1) (2) ta có 1 k k 1 k 1 :  : �  � k  2  k �1 k 1 k 1 4 2k Vậy với k=-2 điểm A, N, P thẳng hàng IV Mức độ vận dụng cao Bài tập phần đỏi hỏi học sinh phải tổng hợp nhiều kiến thức giải tốn Những biến đổi hay phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương gặp nhiều khó khăn chưa biết tỉ lệ đoạn thẳng việc tính tỉ lệ đoạn thẳng ứng dụng quan trọng vectơ Bài Cho hai tam giác ABC A1B1C ; A2.B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC A2B2C Gọi G,G1,G2 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C , Chứng minh G,G1,G2 thẳng hàng tính GG1 GG2 Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuur uuuu r ABC , A1B1C G , G GG = GA + GB + GC 1 1 Vì trọng tâm tam giác suy 17 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur � 3GG1 = GA +GB +GC + AA1 + BB1 +CC uuuu r uuur uuur uuur � 3GG1 = AA1 + BB1 +CC uuuu r uuur uuur uuuu r ABC , A2B2C G , G GG = GA + GB + GC 1 1 Tương tự trọng tâm tam giác suy uuuu r uuur uuuu r uuuu r � 3GG2 = AA2 + BB2 +CC uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuur AA + BB + CC = AA + BB + CC + A A 2 1 1 + B1B2 +C 1C Mặt khác Mà A2.B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC Suy uuuu r uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A1A2 + B1B2 +C 1C = A1B + AC + B1C + B1A +C 1A +C 1B ( ) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uur uuur uuu r = 3( A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB ) uuur uuur uuur = 6( AA1 + BB1 +CC ) Do uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur AA2 + BB2 +CC = AA1 + BB1 +CC ( ) uuuu r uuur uuur uuur � GG2 = AA1 + BB1 +CC uuuu r uuuu r GG = GG Vậy Bài Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r MB = a MC , NC = b NA , PA = g PB cho Tìm điều kiện , ,  để M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có: uuur MB = r a uuur uuu uuur BC ; BP = AB 1- a g- uuur uuur uuur BC = (1 - a)MC ;CN = b uuur AC ; 1- b 18 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Ta có: uuuu r MN = - uuur MP = (- uuur b uuur AB + ( + )AC 1- a 1- a 1- b Và a uuur a uuur )AB + AC 1- a 1- g 1- a Để M, N, P thẳng hàng ta phải có - a a 1- a 1- g 1- a = � abg = 1 b + 1- a 1- a 1- b Bài Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC AM = AB, AN = AC cho Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng uuu r uuur BC lấy E Đặt BE = xBC Tìm x để A, O, E thẳng hàng Hướng dẫn giải ON Để tìm x cho điểm A, O, E thẳng hàng cần tính tính tỉ số OB OM OC uuur uuur uuur uuur Giả sử ON = nBN ; OM = mCM uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AO = AM + MO = AM m CM Ta có uuur uuur uuuu r uuuu r uuur = 1(1 - m)AB + mAC = AM - m(AM - AC ) ; 19 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuur uuur uuur uuur uuur AO = AN + NO = AN nBN Và uuur uuur uuur uuur uuur = AN - n(AN - AB ) = (1 - n)AC + nAB uuur uuur uuur Vì AO có cách biểu diễn qua AB AC suy �1 � (1 - m) = n � �3 � � � � � (1 - n) = m �4 � � m= � � � � � �n = � ON OM = = OC Vậy OB Sau tính tỉ số ta phân tích uuur uuur uuur AO = AB + AC Ta có: uuur uuur uuur AE = (1 - x)AB + xAC uuur uuur � AE = kAO A, E, O thẳng hàng uuur uuur k uuur k uuur 36 � (1- x)AB + xAC = AB + AC � k = ; x = 13 13 Vậy x= 13 điểm A, O, E thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN = ; = MB NC Gọi I giao điểm AN CM, E điểm thuộc AC cho uuur uuur AE  k AC Tìm k để điểm B, I, E thẳng hàng Hướng dẫn giải 20 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uur uuur uur uuur AI = xAN ; CI = yCM Đặt Ta có: uur uuur uuur uuur x uuur AI = x(AB + BN ) = xAB + BC uuur x uuur uuur r x uuur 3x uuur x uuur 21x uuuu = xAB + (AC - AB ) = AB + AC = AM + AC 4 21 x AI x + = 1� x = � = 23 AN 23 Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: IC 21 IC 21 = � = CM 23 Tương tự: IM Ta có uuur uuur AE  k AC uuur uuu r uuur uuur � AB  BE  k AB  BC uuu r uuu r uuur � BE    k  BA  k BC  1   Mà uur uuur uur BI  BC  CI uur uuur 21 uuuu r � BI  BC  CM 23 uur uuur 21 uuuu r uuur � BI  BC  BM  BC 23 uur uuur 21 uuu r � BI  BC  BA 23 23 uur 15 uuu r uuur � BI  BA  BC   23 23   Từ (1) (2) để điểm B, I, E, thẳng hàng Vậy với k 17 điểm B, I, E thẳng hàng 21 15 2  �k 23   k  23k 17 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ V Phát triển số tập tự luận sang tập trắc nghiệm phần ngày chuyển số tập phần III phần IV sang dạng trắc nghiệm Bài ( phần III ) uuur uuur uuur uuur BD  BC AE  AC Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn , Lấy uuur uuur AK  m AD Tìm m để điểm B, K, E thẳng hàng K AD cho A m B m C m D m Bài ( mục III ) BM = BC D ABC , Cho gọi M điểm thuộc cạnh BC cho , I trung điểm đoạn uur uuur AM, N điểm thỏa mãn NA = k NB Tìm k để điểm C, I, N thẳng hàng A k  B k C k  D k Bài ( mục III) uuur uuuu r MA   MC Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cạnh AC cho , N điểm thuộc BM uuur uuuur uuu r uuur cho NB  3NM , P điểm thuộc BC co PB  k PC Tìm k để điểm A, N, P thẳng hàng �3 � k ��  ; 1 � �2 � A � 3� k �� 0; � � � B 3� � k �� 3;  � � � C Bài ( mục IV ) 22 �3 � k �� ;3 � �2 � D SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r MB = a MC , NC = b NA , PA = g PB cho Tìm điều kiện , ,  để M, N, P thẳng hàng A   1 C   2 B   D   Bài (bài phần IV) Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN = ; = MB NC Gọi I giao điểm AN CM, E điểm thuộc AC cho uuur uuur AE  k AC Tìm k để điểm B, I, E thẳng hàng A k 17 B k 17 C k 17 D k 17 Phần Một số chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ số đề thi học sinh giỏi Bài (đề HSG Hoàn Kiếm- Hà Nội năm học 2014-2015) Cho tam giác ABC đều, O trọng tâm tam giác M điểm nằm tam giác M khác O.Gọi D, E, F hình chiếu vng góc M lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng OM qua trọng tâm tam giác DEF Hướng dẫn giải Ta chứng minh uuuu r uuur uuur uuuu r MD  ME  MF  MO Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC A1, A2; kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC, AB B1, B2; kẻ đường thẳng song song 23 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ với AB cắt BC, AC C1, C2 Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều, uuuu r uuuur uuuur MD  MB1  MC1 uuur uuuur uuuur uuur uuuu r uuuur ME  MA2  MC2 , MF  MA1  MB2 2 uuuu r uuur uuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur MD  ME  MF  �MB2  MC2  MA1  MC1  MA2  MB1 � � 2� r r uuur uuur uuuu uuuu  MA  MB  MC  MO (1) 2 uuuu r uuur uuur uuuu r Gọi G trọng tâm tam giác DEF Ta có MD  ME  MF  3MG r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu MO  3MG � MO  MG Từ (1), (2) ta có � M, O, G thẳng hàng Vậy OM qua trọng tâm tam giác DEF               Bài (đề HSG Hà Nam năm học 2012-2013) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E trung điểm AB, AC Đường phân giác góc C cắt DE P Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC N, M uuuu r uuur uuu r uuu r uuur BM , BN , BP BA a) Tính theo hai vecto , BC theo a, b, c b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng Hướng dẫn giải a Gọi Q giao điểm AP BC, suy P trung điểm AQ, tam giác ACQ cân C CQ = CA = b suy BQ = BC – CQ = a – b uuur a  c  b uuu r uuuu r a  c  b uuur BN  BA, BM  BC ; 2c 2c uuu r �uuu r a  b uuur � BP  �BA  BC � 2� a � b 24 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuuu r uuur uuuu r a  c  b uuu r a  c  b uuur MN  BN  BM  BA  BC 2c 2c uuuu r uuuu r uuu r r c uuur uuu PM  BM  BP   BA  BC 2a uuuu r PM  uuuu r c uuuu r uuuu r MN MN a c b PM suy phương với P, M, N thẳng hàng Bài (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015) Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường tròn tâm O G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, G’ trọng tâm tam giác MNP Chứng minh O, G, G’ thẳng hàng Hướng dẫn giải Kết bản: cho tam giác ABC trọng tâm G.uuur uuu r uuur uuur Khi với điểm O ta có OA  OB  OC  3.OG Do M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB nên: uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur OB  OC  3.OM , OC  OA  3.ON , OA  OB   3.OP uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur OA  OB  OC  OM  ON  OP Cộng vế uhệ thức ta được: uuur uuur uuur uuuur � 2.3.OG  3.3.OG ' � 2.OG  3.OG ' � O, G, G' thẳng hàng     Bài (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017-2018) Cho ba dây cung song song AA1, BB1,CC đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Gọi H 1, H 2, H trực tâm tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 Ta có: uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur uuur OH = OA + OB + OC , OH = OB + OC + OA1 uuuu r uuur uuu r uuur OH = OC + OA + OB1 25 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Suy uuuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur H 1H = OH - OH = OC - OC + OA1 - OA = C 1C + AA1 uuuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur H 1H = OH - OH = OC - OC + OB1 - OB = C 1C + BB1 Vì dây cung AA1, BB1,CC song song với uuur uuur uuur AA , BB1,CC có phương Nên ba vectơ uuuuu r uuuuu r H H H H Do hai vectơ phương hay ba điểm H 1, H 2, H thẳng hàng Những thông tin cần bảo mật - Khơng có thơng tin Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm hiệu học sinh phải học tích số với vectơ học sinh có nhận thức giỏi 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu 26 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ - Những chứng minh điểm thẳng hàng, hay tính tỉ số đoạn thẳng lớp hay phải vẽ hình phụ làm cho học sinh gặp nhiều rắc rối Học sinh khơng hiểu lại phải vẽ thêm hình phụ sở tư để vẽ hình phụ Sáng kiến khắc phục nhược điểm 10.1 Đánh giá lợi ích sáng kiến thu theo ý kiến tác giả - Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm với nhóm học sinh có học lực giỏi lớp 10A3 trường THPT Nguyễn Viết Xn tơi thấy em có làm tốt tập chứng minh điểm thẳng hàng Với sáng kiến kinh nghiệm hy vọng giúp em học sinh làm thi học sinh giỏi trắc nghiệm đạt kết cao - Đối với giáo viên trình làm sáng kiến kinh nghiệm, giáo viên phải tìm tài liệu nghiên cứu tập nhờ mà chuyên môn giáo viên nâng cao 10.2 Đánh giá lợi ích thu Sáng kiến thầy cô tổ môn tham khảo, dùng q trình giảng dạy, đặc biệt Nguyễn Thị Huyền đanh giảng dạy khối 10, nhận phản hồi tích cực 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Nguyễn Thị Huyền THPT Nguyễn Viết Xuân Học sinh ôn thi thpt quốc gia Phan Thị Kim Sang THPT Nguyễn Viết Xuân Học sinh ôn thi học sinh giỏi tốn 10 ơn thi thpt quốc gia áp dụng sáng kiến 27 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Sách giáo khoavà sách giáo viên hình học 10-Bộ giáo dục đào tạo 2.Giải tốn hình học 10 Võ Anh Dũng- Trần Đức Huyên 3.www.google.com 28 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Vĩnh Tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày 29 tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến Phan Thị Kim Sang 29 ... Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ” Để chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ điều qua trọng... uuur EF = 2EK Vậy điểm K, E, F thẳng hàng Và K trung điểm EF 12 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Bài Cho điểm A, B, C O điểm tùy ý Chứng minh A, B, C thẳng hàng uuu r uuu r uuur... M thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm CD Lấy điểm M đoạn BI cho BM=2MI Chứng minh điểm A, M, C thẳng hàng Hướng dẫn giải 11 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ