Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

CHỨNH MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG NHỜ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ THALES

ĐÀO TAM

( GV khoa Toán, ĐH Vinh)

1 Các cách vận dụng định lí Thales để chứng minh ba điểm thẳng hàng Cách 1: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo các bước sau:

- Vẽ đường thẳng a đi qua A, sao cho B và C thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng a

- Vẽ các đường thẳng BM và CN song song với nhau sao cho M, N thuộc a

- Chứng minh: BM AM ( )1

Có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh bằng cách sau:

C 1

N A

C

B

M

Vẽ đường thẳng AB cắt tia CN tại C1 Khi đó vì BM //C1NB nên theo định

lí Thales trong tam giác AC1N ta có ( )

1

2

Từ các hệ thức (1) và (2) suy ra:

1

CN = C N Từ đó CN = C1N suy ra hai điểm C và C1 trùng nhau Tức là A, B, C thẳng hàng

Cách 2: Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo các bước sau:

- Vẽ đường thẳng a đi qua điểm B sao cho A và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là a

- Vẽ AM , AN song song với nhau sao cho các điểm M, N thuộc a

- Chứng minh AM BM

CN = BN

N A

C

B

M

Bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng đắn của cách 2 bằng cách sử dụng định lí Thales

2 Một vài ví dụ áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC Gọi I và J tương ứng là trung điểm của đoạn MN

và BC Chứng minh rằng A, I, J thẳng hàng

Lời giải:

J

I

N A

B

C M

Do I, J nằmg về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ nên hai bước đầu của của cách 1 đã thỏa mãn Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng chỉ cần chứng minh MI AM

MJ = AB Thật vậy, do MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng cho tam giác ABC ta có:

1 2 1 2

MN

AB = BC = BC = BJ (đccm)

Chú ý: Có thể diễn đạt bài toán 1 như bổ đề hình thang: Với hình thang MBCN,

các cạnh bên cắt nhau tại A; Các điểm I, J là các trung điểm cùa hai cạnh đáy thì

A, I, J thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi O là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác đó; O1 là giao điểm của AO với phân giác ngoài của góc B Giả sử các điểm

H và K là hình chiếu của O1 và O lên BC Điểm I là điểm đối xứng của K Qua tâm O Chứng minh rằng A, I, H thẳng hàng

Lời giải:

S

I

H K

O

O1

A

Do các điểm I, H nằm cùng vể một phía đường AO và OI // O1H nên theo cách 1

để lập luận A, I, H thẳng hàng thì cần chứng tỏ

O H = AO Thật vậy, gọi các điểm M và N là các hình chiếu của O và O1 lên đường thẳng AB Khi đó:

AO = AN =O N =O H = O H ( Áp dụng định lí Thales cho tam giác AO1N và tính chất đường phân giác

3 Một vài bài toán làm thêm

Bài 3 : Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó thẳng hàng ( Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi

là đường thẳng Euler)

Bài 4: Tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I)

và có các đường chéo cắt nhau tại P Chứng minh rằng các điểm P, O, I thẳng hàng

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M là một điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại P Gọi H là hình chiếu của

M trên AB Chứng minh rằng P, B và trung điểm N của MH thẳng hàng

Bài 6: Cho hình vuông ABCD Vẽ tia Cx là tia đối của tia CD Vẽ tia Cy là phân giác của góc BCx Trên tia Cy lấy điểm O bất kì ( O khác C), vẽ đường tròn bán kính OC (OC > OB) cắt các tia Cx, Cy, CB tại H, M K Gọi Q là giao điểm của

CB và DM Chứng minh rằng A, Q, H thẳng hàng