Kinh nghiệm dạy chứng minh 3 điểm thẳng hàng giúp học sinh lớp 7 tránh sai lầm khi giải dạng toán này

I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giáo dục đào tạo qua số lần đổi mới, thay sách giáo khoa, với định hướng chương trình giảm tải kiến thức tăng thêm ứng dụng thực tiễn Nhưng ta thấy kiến thức gần không giảm mà xếp lại, đặc biệt thi chưa giảm nội dung kiến thức u cầu kĩ đơi lần thấy tăng thêm, khó thêm Chính học sinh tham gia kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10, thi học kỳ nội dung thi yêu cầu cao kiến thức khó so với khả học sinh mơn Tốn nói chung, phân mơn hình học nói riêng Chính dạy đơn chương trình sách giáo khoa chưa đáp ứng yêu cầu kì thi Chính giáo viên phải tìm tòi, nghiên cứu thêm tài liệu để soạn giảng lồng ghép vào tiết dạy khóa soạn giảng chuyên đề bồi dưỡng đại trà (học thêm) chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT, để nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Chứng minh điểm thẳng hàng hình học nói chung hình học nói riêng nội dung khó nhiều học sinh số giáo viên; mà tài liệu nội dung gần chưa có để đáp ứng nhu cầu dạy học thầy trò Nên gặp dạng tốn học sinh lúng túng, khó tìm cách giải học sinh chưa nắm phương pháp Khi học sinh thi gặp dạng toán gần em không làm Từ trăn trở suy nghĩ tơi mạnh dạn tìm tòi nghiên cứu viết chuyên đề “Chứng minh điểm thẳng hàng hình học 7”, giúp em nắm phương pháp chứng minh tránh sai lầm làm dạng tốn Tơi khơng tham vọng nhiều mà mong giải phần lớn khó khăn trên, vấn đề mà nhiều học sinh thầy trăn trở Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh u thích mơn Tốn nói chung phân mơn hình học nói riêng Giúp em có phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng tránh sai lầm mà nhiều học sinh khác trước mắc phải, hy vọng góp phần giúp học sinh có kĩ tốt để giải tốn hình học giúp học sinh học ngày tốt với mơn hình học mà đa số em sợ khơng tích luỹ số kiến thức bản, tư kĩ em se khơng học mơn hình học Qua nâng cao thành tích học tập thành tích kỳ thi học sinh trường - Giúp tơi đồng nghiệp có thêm tài liệu phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng để tự tin lên lớp, khơng ngại dạy phân mơn hình học - Nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp trường THCS Thọ Hải học chứng minh điểm thẳng hàng phân môn hình học Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế - Phương pháp thu thập thông tin - Phương pháp thống kê - Phương pháp xử lý số liệu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Tốn học ngày có nhiều ứng dụng sống, kiến thức kĩ toán học giúp người giải vấn đề thực tế sống cách có hệ thống xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Nội dung mơn Tốn thường mang tính trừu tượng khái qt Do đó, để hiểu học Tốn, chương trình Tốn trường phổ thông cần bảo đảm cân đối “học” kiến thức “áp dụng” kiến thức vào thực tiễn giải vấn đề cụ thể Giải tốn hình học hình thức tốt để rèn khả tư duy, kĩ ve hình, kĩ suy luận, tăng tính thực tiễn tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh tăng cường học tập thực hành, rèn khả tính tốn Hình học mơn suy diễn lí luận chặt che, từ nguyên nhân thiết phải suy kết luận xác, khơng mơ hồ Mỗi câu nói lúc chứng minh phải có lí xác đáng, tuyệt đối khơng qua loa, khơng nói dư Làm cho học sinh có thói quen nhìn nhận việc Nói đến kĩ giải tốn chứng minh hình học thao tác tư xác, khoa học, suy diễn có logic, chứng minh hình học khơng giống số học áp dụng qui tắc cố định đại số có sẵn cơng thức, mà phải nắm vững phương pháp suy xét vấn đề, tìm hiểu suy đốn bước cách khoa học, logic Mơn Tốn mơn học hay, có nhiều ứng dụng có nhiều nội dung trừu tượng khái quát nên nhiều em ngại học mơn này, đặc biệt phân mơn hình học Vì tơi tìm tòi nghiên cứu nội dung phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng tạo hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt lưu ý cho học sinh sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải dạng tốn Sau học xong chương II tơi hệ thống tập có liên quan đến chứng minh điểm thẳng hàng đưa phương pháp giải (6 phương pháp) sau: Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước Mỗi đoạn thẳng có trung điểm Chứng minh hai đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Chứng minh ba điểm thuộc tia phân giác góc Chứng minh ba điểm thuộc tia góc Sang chương III tơi cho em phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng (5 phương pháp tiếp theo): Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng Áp dụng đường trung tuyến tam giác phải qua trọng tâm Chứng minh đường phân giác tam giác qua giao điểm chung chúng 10 Chứng minh đường cao tam giác qua trực tâm tam giác 11 Chứng minh đường trung trực cạnh qua giao điểm hai đường trung trực hai cạnh lại Sau hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường lưu ý cho học sinh sai lầm cần tránh đưa lời giải tốn có sai lầm mà tưởng để em tìm lỗi sai tốn Qua củng cố kiến thức, kĩ cho dạng toán Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua q trình giảng dạy mơn tốn lớp kết hợp tham khảo ý kiến đồng nghiệp, tơi nhận thấy q trình hướng dẫn học sinh giải tốn: "chứng minh ba điểm thẳng hàng " phần lớn học sinh khó khăn việc vận dụng kiến thức học để giải dạng toán Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải tập học sinh thiếu linh hoạt Khi gặp tốn đòi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải tốn dẫn đến khơng làm giải sai Để nắm bắt học sinh có giải dạng tốn khơng mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi "chứng minh ba điểm thẳng hàng" vào kiểm tra tiết (Tiết 46- có câu 3,0 điểm/10 điểm) Kết làm câu chứng minh ba điểm thẳng hàng: Sĩ Làm Tỉ lệ Làm Tỉ lệ Không Tỉ lệ Năm học Khối số (%) sai (%) làm (%) 2014 - 2015 56 5,36 24 42.86 29 51,78 Các giải sử dụng để giải vấn đề: 3.1 Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng: A B C =180 � Ba điểm A, B, C thẳng hàng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A có � ABC  600 Ve tia Cx  BC (tia Cx điểm A phía phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng * Gợi ý: Muốn chứng minh điểm E, A, F thẳng hàng ta cần chứng minh + = 1800 + Bài giải = 600 ABC vng A, có nên = 300 BAF cân B, có = 1200 nên ACE cân C, có = 900 – 300= 600 nên Suy = + + = = 300 = = 600 = 1800 Vậy điểm E, A, F thẳng hàng * Sau chứng minh xong GV cho Bài giải, yêu cầu em tìm sai lầm cách chứng minh sau: Ta có CEF vng C nên = 900 + Mà BAF cân B (vì BA = BF) nên CAE cân C (vì CA = CE) nên Suy = + + = + = , = + = 1800 Vậy điểm E, A, F thẳng hàng Trả lời: Sai lầm toán thừa nhận góc BFA ABF góc CFE CEF điểm E, A, F chưa thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Bài giải - GV hướng dẫn học sinh: Chứng minh + + = 1800 suy điểm M, C, N thẳng hàng - GV đưa giải, yêu cầu học sinh cho biết lời giải sau hay sai?: Bài giải 1: Dễ dàng chứng minh ∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy = (đồng vị) ∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy = (đồng vị) mà = Suy + + = + =1800 Vậy điểm M, C, N thẳng hàng Trả lời: Bài giải sai Sai lầm vơ tình thừa nhận điểm M, C, N thẳng hàng nên có: BC // AD suy = (đồng vị) DC // AB suy = (đồng vị) Bài giải 2: � Do BD // MN Chứng minh  DAB =  CBM (c.g.c) Suy � ABD  BMC Suy = , = (so le trong) Nên + + = 1800 Vậy điểm M, C, N + thẳng hàng Trả lời: Bài giải sai � Sai lầm � suy BD//MC, chưa suy BD // MN ABD  BMC điểm M, C, N chưa thẳng hàng - Qua giáo viên cần ý cho học sinh làm dạng toán cần phải suy nghĩ điểm đó(E,A,F M,C,N) chưa thẳng hàng, có trường hợp cần vẽ hình nháp điểm khơng thẳng hàng để chứng minh khơng ngộ nhận yếu tố có điểm thẳng hàng Bài giải đúng: ∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy = (đồng vị) ∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy = (đồng vị) mà Suy = + + = + =1800 Vậy điểm M, C, N thẳng hàng Ngồi cách giải ta sử dụng tiên đề Ơ clit => sang phần 3.2 3.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh điểm thẳng hàng (tiếp ví dụ 2) Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng Bài giải Xét  AOD  COD có: OA = OC (vì O trung điểm AC) � � (hai góc đối đỉnh) AOD  COB OD = OB (vì O trung điểm BD) Vậy  AOD =  COB (c.g.c) �  OCB � Suy ra: DAO �  CBM � (ở vị trí đồng vị) Do đó: AD // BC Nên DAB �  CBM � , Xét  DAB  CBM có : AD = BC (  AOD =  COB), DAB AB = BM ( B trung điểm AM) � Do BD // CM (1) Vậy  DAB =  CBM (c.g.c) Suy � ABD  BMC Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Ta chứng minh AD // BC AE // BC suy điểm E, A, D thẳng hàng Bài giải  BMC  DMA có: A E MC = MA (do M trung điểm AC) N �  DMA � (hai góc đối đỉnh) BMC MB = MD (do M trung điểm BD) D = / M = / C B Hình Vậy:  BMC =  DMA (c.g.c) � , hai góc vị trí so le nên BC // AD (1) Suy ra: � ACB  DAC Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A BC có đường thẳng song song BC nên từ (1) (2) theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng - GV hướng dẫn học sinh làm theo phương pháp 1, chứng minh góc EAD = 1800 � (1’), tương tự ACB  DAC …  BMC =  DMA (c.g.c) Suy ra: � Suy + + = (2’) = … = 1800 Suy điểm D, A, E thẳng hàng - GV cho tập: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh A trung điểm DE Với yêu cầu toán nhiều bạn sai lầm không chứng minh điểm D, A, E thẳng hàng mà chứng minh AD =AE kết luận A trung điểm DE Để chứng minh A trung điểm DE ta cần chứng minh điểm D, A, E thẳng hàng AD = AE 3.3 Mỗi đoạn thẳng có trung điểm Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ trung điểm BD K’ �K A, K, C thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng A BÀI GIẢI M Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F � BC) = BME CNF vng E F có: K' F C B E K = �  NCF � BM = CN (gt), MBE ( � ACB ) hình 11 N Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF Gọi K’ giao điểm BC MN � '  FNK � ' ( so le  MEK’  NFK’ vng E F có: ME = NF (cmt), EMK ME // FN) Vậy  MEK’ =  NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K �K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng - Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm sử dụng minh MEK = NFK suy = = = 900 để chứng , hai góc vị trí đối đỉnh nên điểm B, K, C thẳng hàng Sai lầm điểm B, K, C chưa thẳng hàng nên = = 900 chưa khẳng định � Cách Kẻ ME // AC (E � BC) � � (hai góc đồng vị) ACB  MEB �  MEB � Vậy ΔMBE cân M Mà � ACB  � ABC nên MBE A Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN Gọi K’ giao điểm BC MN ΔMEK’ ΔNCK’ có: M �' ME  K �' NC (so le ME //AC) K = K' ME = CN (chứng minh trên) C B E K � � ' ' MEK  NCK (so le ME //AC) = Hình 12 ’ ’ ’ ’ N Do : ΔMEK = ΔNCK (g.c.g) � MK = NK Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K �K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm không sử dụng điểm K’ mà sử dụng = (so le ME//AC)để chứng minh ΔMEK = ΔNCK, vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết sai - GV hướng dẫn học sinh làm theo phương pháp 1, khắc phục sai A lầm trên, kẻ hình tương tự cách � Kẻ ME // AC (E � BC) � � (hai góc đồng vị) ACB  MEB �  MEB � Vậy ΔMBE cân M Mà � ACB  � ABC nên MBE M Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC = K' ta ME = CN C B E K Xét ΔMEK ΔNCK có: = Hình 12 = N (so le ME //AC) ME = CN (chứng minh trên) MK = NK (K trung điểm MN) Do : ΔMEK = ΔNCK (c.g.c) � = Mà góc vị trí đối đỉnh có M, K, N thẳng hàng Do ba điểm B, K, C thẳng hàng 3.4 Chứng minh hai đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước: A a B AB  a BC  a => A, B, C thẳng hàng C Ví dụ 5: Cho V ABC, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC Ve AH vng góc BC ( H � BC) Trên đoạn DE lấy điểm K cho BH = DK chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Lời giải sau hay sai? Xét V ADE V ABC �  BAC � Có AE = AC, AD = AB, DAE nên V ADE = V ABC (c.gc) E K D A B C H �B � � D � DE // BC � AK  BC Xét V AHB V AKD �K � = 900 Có AB= AD, BH= DK, H Nên V AHB = V AKD (ch-cgv) Suy góc DAK = góc BAH mà điểm B, A, D thẳng hàng nên điểm H, A, K thẳng hàng Khi có học sinh trả lời “Lời giải sai” GV yêu cầu lỗi sai lời giải Lời giải sai chỗ DE // BC � AK  BC , suy vơ tình thừa nhận điểm H, A, K thẳng hàng Hướng dẫn giải Xét V ADE V ABC �  BAC � Có AE = AC, AD = AB, DAE nên V ADE = V ABC (c.gc E K D �B � � D � DE // BC V AHB = V AKD (vì AB= AD, BH= DK, A �B � D ) B C H �� AKD  � AHB  900 � AK  BC mà AH  BC suy ba điểm K, A, H thẳng hàng - GV hướng dẫn học sinh chứng minh theo phương pháp Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM  BC b) Ve hai đườn tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: A - Chứng minh AM , PM, QM vng góc BC - AP, AQ tia phân giác góc BAC BÀI GIẢI = =  a) Chứng minh AM BC P ΔABM ΔACM có: / / C B M AB =AC (gt) AM chung Q Hình 10 MB = MC (M trung điểm BC) � (hai góc tương ứng) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: � AMB  AMC Mà � AMB  � AMC  1800 (hai góc kề bù) nên � AMB  � AMC  900 Do đó: AM  BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c) �  PMC � (hai góc tương ứng), mà PMB �  PMC �  1800 nên Suy ra: PMB �  PMC � = 900 PMB Do đó: PM  BC Lập luận tương tự QM  BC Từ điểm M BC có AM  BC,PM  BC, QM  BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) * Qua dạng toán củng cố cho em cách chứng minh hai tam giác nhau, đường thẳng vng góc từ suy điểm thẳng hàng 3.5 Chứng minh ba điểm thuộc tia phân giác góc: BA tia phân giác x => A, B, C thẳng hàng CA tia phân giác C B A y Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC Gọi N trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng Bài giải ABM  ACM (vì AM chung, AB = AC, MB = MC ) �  CAM �  BAM A �  AM tia phân giác BAC (1) M Tương tự ABN  ACN (c.c.c) �  CAN � BAN �  AN tia phân giác BAC (2) C B N Từ (1), (2) suy ba điểm thẳng hàng Ví dụ 9: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Ve đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy 11 Bài giải: ΔBOD ΔCOD có: B OB = OC (gt) = = / A OD chung D O / = = BD = CD (D giao điểm hai đường C tròn tâm B tâm C bán kính) Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) Hình 10 �  COD � Suy : BOD Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy � Do OD tia phân giác xOy x y � Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng * Qua dạng toán củng cố cho em kiến thức, kĩ chứng minh tia phân giác góc từ suy điểm thảng hàng 3.6 Chứng minh ba điểm thuộc tia góc: Chứng minh tia OA OB thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, tạo với Tia Ox góc AOx =  BOx =   O, A, B thẳng hàng �  1080 , Gọi O điểm Ví dụ 10 Cho tam giác ABC cân A , BAC �  120 Ve tam giác BOM ( M nằm tia phân giác góc C cho CBO A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng �  OCM � Hướng dẫn: Chứng minh OCA từ suy tia CA tia CM trùng Bài giải 1800  1080 ABC  � ACB   360 Tam giác ABC cân A nên � (tính chất tam giác cân) Mà CO tia phân giác � ACB , M �  180 Do BOC �  1500 nên � ACO  BCO = = / 12 B // A 108 12 O / Hình 13 C � ΔBOM nên BOM  600 �  3600  (1500  600 )  1500 Vậy : MOC ΔBOC ΔMOC có: OB = OM ( ΔBOM đều) �  MOC � BOC  1500 OC chung Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) �  OCM � �  OCA � �  OCM � Suy ra: OCB mà OCB (gt) nên OCA �  OCM � Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCA nên tia CA tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) * Qua toán luyện tập củng cố cho em cách chứng minh tam giác nhau, chứng minh góc từ chứng minh ba điểm thẳng hàng 3.7 Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng A A thuộc đường trung trực MN => A, B, C thẳng hàng B thuộc đường trung trực MN B C thuộc đường trung trực MN C M N Ví dụ 11: Cho ba tam giác cân ABC, DBC EBC có chung đáy BC Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng BÀI GIẢI V ABC cân A suy AB = AC A thuộc đường trung trực BC (1) A V DBC cân D suy DB = DC D thuộc đường trung trực BC (2) V EBC cân E suy EB = EC D B  E thuộc đường trung trực BC (3) C E Từ (1), (2), (3) suy ba điểm A, D, E thẳng hàng * Qua phần củng cố tính chất đường trung trực đoạn thẳng từ chứng minh điểm thẳng hàng 3.8 Áp dụng đường trung tuyến tam giác phải qua trọng A tâm G trọng tâm tam giác ABC AM trung tuyến tam giác ABC G C B M 13 => A, B, C thẳng hàng Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm P, Q cho AQ = PQ = PM Gọi E trung điểm AC Chứng minh ba điểm M B, P, E thẳng hàng Bài giải V ABC có AM trung tuyến mà AQ = QP = PM (gt) AP = AM P trọng tâm A Q V ABC E P Vì E trung điểm AC nên BE B trung tuyến V ABC BE qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng C 3.9 Chứng minh đường phân giác tam giác qua giao điểm chung chúng: ) � I giao điểm đường phân giác B, C AD phân giác � A D thẳng hàng A I C D B Ví dụ 13: Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A C cắt I Các đường phân giác góc ngồi đỉnh A C cắt K Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Bài giải Vì K thuộc đường phân giác góc ngồi A nên K cách hai cạnh Ax AC (1) Vì K thuộc đường phân giác góc ngồi C nên K cách hai cạnh Cy x AC (2) Từ (1) (2) suyC K cách cạnh Ax Cy K A Hay K cách hai cạnh BA BC )  KB tia phân giác B I B y � nên: C I giao điểm hai tia phân giác � A, C ) BI tia phân giác B (gt) => Ba điểm B, I, K thẳng hàng 3.10 Chứng minh đường cao tam giác điA qua trực tâm tam 14 H B C D giác đó: H trực tâm  ABC AD đường cao  ABC => A, H, D ba điểm thẳng hàng Ví dụ 14: Cho tam giác ABC cân A, ve đường cao BH CK cắt I Gọi M trung điểm BC Chứng minh A, I, M thẳng hàng A Bài giải Vì I giao điểm hai đường cao BH CK nên I trực tâm  ABC K H I  ABC cân A có AM đường trung tuyến nên B C đường cao M => Đường cao AM qua trực tâm I =>Ba điểm A, I, M thẳng hàng 3.11 Chứng minh đường trung trực cạnh qua giao điểm A hai đường trung trực hai cạnh lại: E O giao điểm đường trung trực cạnh AC BC F O EF đường trung trực cạnh AB B => E, F,O thẳng hàng Ví dụ 15: Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Đường trung trực AB, AC cắt D Chứng minh A, D, M thẳng hàng Bài giải ABC cân A có MB = MC nên: AM đường trung tuyến  ABC A => AM đường trung trực  ABC Mà D giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC Nên AM qua D D => Ba điểm A, D, M thẳng hàng B M C * Sau học đường (cao, phân giác, trung trực, trung tuyến) giúp học sinh chứng minh điểm thẳng hàng dễ dàng học chương II, chứng minh trở nên ngắn gọn Trên định hướng ban đầu nhằm giúp cho học sinh làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Vì kiến thức khó học sinh nên bước đầu thân chọn tập nhỏ, đơn 15 C giản, tập chủ yếu vận dụng kiến thức học để qua giới thiệu cách chứng minh ba điểm thẳng hàng Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần phân tích kỹ đề để học sinh tìm phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai lập luận quanh co dẫn đến sai lầm đáng tiếc BÀI TẬP CỦNG CỐ Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Kẻ DH EK vng góc với BC (H K thuộc đường thẳng BC).Gọi M trung điểm HK.Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng Bài 3: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng ABy Trên Ax lấy hai điểm C đối bờ AB, kẻ Hai tia Ax By cho B�Ax  � E(E nằm A C),trên By lấy hai điểm D F ( F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC Ve cung tròn tâm C bán kính AB cung tròn tâm B bán kính AC Đường tròn tâm A bán kính BC cắt cung tròn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng Bài 5.Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM  AC, CN  AB ( M �AC , N �AB ), H giao điểm BM CN a) Chứng minh AM = AN b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vng góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau tìm tòi, nghiên cứu viết chuyên đề giúp củng cố kiên thức mơn, làm tăng niềm đam mê mơn Tốn nói chung phân mơn hình học nói riêng Làm cho tự tin trước học sinh, yêu nghề từ nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Hàng năm chất lượng 16 mơn Tốn nâng lên số học sinh giỏi mơn Tốn 7, Tốn tăng lên Chính tơi ln đạt lao động tiên tiến 2015-2016 đạt CSTĐ cấp sở Sáng kiến kinh nghiệm sau thử thành công năm học 2014 – 2015 mạnh dạn áp dụng vào năm học 2015 – 2016 đồng thời chia se cho đồng nghiệp nhà trường để áp dụng khơng cho lớp mà mở rộng cho lớp lớp Và sau tơi tiếp tục tìm tòi, nghiên cứu để viết chun đề cho lớp lớp Kết đồng nghiệp sử dụng vào giảng dạy thành cơng Qua nâng cao phong trào viết chuyên đề môn phù hợp với đối tượng học sinh khơng mơn Tốn mà mơn khác Khi bổ sung thêm câu hỏi "chứng minh ba điểm thẳng hàng" vào kiểm tra tiết (Tiết 46- có câu 3,0 điểm/10 điểm) Kết làm câu chứng minh ba điểm thẳng hàng: Sĩ Làm Tỉ lệ Làm Tỉ lệ Không Tỉ lệ Năm học Khối số (%) sai (%) làm (%) 2015 – 2016 64 40 62.5 19 29.7 7.8 2016 – 2017 62 42 67.7 14 22.6 9.7 Như ta thấy chất lượng làm tăng lên rõ rệt, qua chất lượng học mơn Tốn nói chung phân mơn hình nói riêng nhà trường nâng lên Giúp em u thích mơn Tốn hơn, đặc biệt khơng nhại học mơn hình Bên cạnh chất lượng đại trà nâng lên, chất lượng học sinh giỏi môn Toán cấp huyện tăng lên, cụ thể: Năm học HSG Tốn HSG Tốn Nhì, Ba, KK giải KK 2014 - 2015 (4/5 thí sinh) (2/2 thí sinh) Nhất, Nhì, Ba Nhất, Nhì 2015 - 2016 (4/4 thí sinh) (2/2 thí sinh) Nhì 2016 – 2017 (2/2 thí sinh) Và chất lượng thi vào 10 năm 2015 – 2016, 2016 – 217 xếp thứ 3/42 trường huyện KÊT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giảng dạy mơn Tốn nói chung mơn hình học nói riêng việc làm cần thiết 17 Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần liên hệ kiến thức biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) khơng thiết phải giải nhiều tập Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải cách lập luận trình bày học sinh Với dạng khơng có qui tắc tổng quát, song sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp dạng tương tự học sinh liên hệ Nội dung chứng minh ba điểm thẳng hàng kiến thức rộng sâu, tương đối khó học sinh Vì đòi hỏi người học phải có đầy đủ kiến thức, phải có đầu óc phân tích, tổng hợp Đây tiền đề giúp học sinh có khả tích hợp kiến thức cũ để phát kiến thức Khi sử dụng chun đề q trình giảng dạy, tơi thấy đạt hiệu tốt Nó cho học sinh đường đi, tránh phải thời suy nghĩ lan man, nhiều dẫn đến ngõ cụt Khi có hướng suy nghĩ đúng, phần lớn em giải yêu cầu toán, tránh sai lầm chứng minh Điều tạo cho em niềm say mê, hứng thú học tập môn 3.2 Kiến nghị Qua đề tài xin đề xuất với cấp quản lí giáo dục nên tổ chức chuyên đề giải toán triển khai đề tài SKKN để giáo viên có hội học tập, trao đổi Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy chuyên đề Chắc chắn chưa hồn chỉnh có chỗ khiếm khuyết Trong vấn đề phát triển tư cho học sinh giáo viên THCS gặp nhiều khó khăn thân tơi muốn đóng góp kinh nghiệm nhỏ Qua đây, tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp để năm học tới giảng dạy mơn Tốn tốt hơn, đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nước nhà Tôi xin chân thành cảm ơn! Thọ Xuân, ngày 20 tháng năm 2018 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Toán – Nhà xuất GD - Sách tập Toán 7– Nhà xuất GD 18 - Sách nâng cao phát triển Toán – Nhà xuất GD Các dạng toán phương pháp giải Toán – Nhà xuất GD Cẩm nang chứng minh điểm thẳng hàng - – Nhà xuất HN Diễn đàn toán học (diendantoanhoc.net) Một số tài liệu mạng Internet MỤC LỤC 19 Trang I Mở đầu 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 15 III Kết luận, kiến nghị 17 Kết luận 17 Kiến nghị 17 20 ... cứu nội dung phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng tạo hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt lưu ý cho học sinh sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải dạng toán Sau học xong chương II hệ thống... trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) * Qua toán luyện tập củng cố cho em cách chứng minh tam giác nhau, chứng minh góc từ chứng minh ba điểm thẳng hàng 3. 7 Chứng minh ba điểm thuộc đường... Trên đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh A trung điểm DE Với yêu cầu toán nhiều bạn sai lầm không chứng minh điểm D, A, E thẳng hàng mà chứng minh AD =AE