Trong bài viết này ta chỉ xét là đa thức hai biến với hệ số thực. Điểm trên đường cong có phương trình được gọi là điểm hữu tỷ, nếu các toạ độ của chúng là các số hữu tỷ. Bậc của đa thức được gọi là bậc của đường cong (C). Chúng ta mở đầu bằng cách tìm điểm hữu tỷ trên đường tròn Ta nhận thấy điểm hữu tỷ Nếu điểm hữu tỷ thứ hai thì đường thẳng AB có hệ số góc k là hữu tỷ, vì Ngược lại Giả sử k là số hữu tỷ, thì đường thẳng thẳng đi qua với hệ số góc k sẽ có phương trình Để tìm giao điểm của đường thẳng này với đường tròn, chúng ta thế y bởi vào phương trình của (C). Kết quả thu được là một phương trình bậc hai ẩn x, với một nghiệm đã biết từ đó tìm được nghiệm còn lại (theo hệ thức viét) là Vậy giao điểm thứ hai của đường thẳng và đường tròn là điểm hữu tỷ Đường thẳng chỉ giao với đường tròn (C) tại một điểm Vì vậy, chúng ta có các phương trình , xác định tương ứng giữa các số hữu tỷ k và các điểm hữu tỷ trên đường tròn (C), khác với điểm khởi đầu. Tổng quát chúng ta xét đa thức bậc với hệ số thực và đường thẳng với không đồng thời bằng 0. Ta có thể giả thiết (nghĩa là (d) không phải là đường thẳng thẳng đứng). Khi đó, bằng cách thay đổi kí hiệu ta có thể viết phương trình của đường thẳng (d) dưới dạng Như
TÌM ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN ĐƯỜNG CONG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG, TIẾP TUYẾN Việc tìm hữu tỷ đường cong phẳng tốn khó, viết xin giới thiệu phương pháp dây cung, tiếp tuyến đường cong để tìm điểm hữu tỷ đường cong phẳng CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP Trong viết ta xét f ( x, y ) đa thức hai biến với hệ số thực Điểm M ( x, y ) đường cong (C ) có phương trình f ( x, y ) = gọi điểm hữu tỷ, toạ độ chúng số hữu tỷ Bậc đa thức f ( x, y ) gọi bậc đường cong (C) 2 Chúng ta mở đầu cách tìm điểm hữu tỷ đường tròn (C ) : x + y − = : Ta nhận thấy điểm hữu tỷ A(1;0) ∈ (C ) Nếu điểm hữu tỷ thứ hai B ( x1 ; y1 ) ∈ (C ), y1 x − 1 đường thẳng AB có hệ số góc k hữu tỷ, Ngược lại Giả sử k số hữu tỷ, đường thẳng thẳng qua A(1;0) với hệ số góc k k= có phương trình y = k ( x − 1) Để tìm giao điểm đường thẳng với đường trịn, y k ( x − 1) vào phương trình (C) Kết thu phương trình bậc hai ẩn x, với nghiệm biết x = 1, từ tìm k −1 x= k + Vậy giao điểm thứ hai đường nghiệm lại (theo hệ thức viét) k − −2k ; ÷ k + k + thẳng đường tròn điểm hữu tỷ Đường thẳng x = 1, giao với đường tròn (C) điểm A(1;0) −2k y1 , k = k2 +1 x1 − , Vì vậy, có phương trình xác định tương ứng − số hữu tỷ k điểm hữu tỷ đường tròn (C), khác với điểm A(1;0) khởi đầu x1 = 1 k −1 , k2 +1 y1 = Tổng quát xét đa thức f ( x; y ) bậc d với hệ số thực đường thẳng ( d ) : ax + by + c = 0, với a, b khơng đồng thời Ta giả thiết b ≠ (nghĩa (d) đường thẳng thẳng đứng) Khi đó, cách thay đổi kí hiệu ta viết phương trình đường thẳng (d) dạng y = kx + r Như vậy, hoành độ giao điểm đường thẳng (d) đường cong (C), nghiệm đa thức: p( x) = f ( x; kx + r ) (1) Đa thức có bậc d Vì vậy, p( x) có d nghiệm thực, ngoại trừ trường hợp p ( x) đồng Trong trường hợp sau cùng, điểm (d) nằm (C), ta nói (d) thành phần (C) Chúng ta chứng minh rằng, đa thức y − k ( x + r ) nhân tử f ( x; y ) Thật vậy, đặt u = y − (kx + r ), ta f ( x; y ) = f ( x; u + kx + r ) Khai triển vế phải ta đa thức x u Nhóm lại theo luỹ thừa u, 2 d d f ( x ; u + kx + r ) = f ( x ) + f ( x ) u + f ( x ) u + + f ( x ) u , d ta fi ( x) đa thức bậc không vượt d − i Quay trở lại biến ( x; y ) ban đầu, f ( x; y ) viết lại dạng d f ( x; y ) = ∑ f i ( x)( y − kx − r )i i =0 Từ định nghĩa p( x), thấy p( x) = f ( x) Vì p( x) đồng d h( x; y ) = ∑ f ( x)( y − kx − r )i i =1 f ( x; y ) = ( y − kx − r )h( x; y), Hơn nữa, hệ số fi ( x) xác định từ k , r hệ số f ( x; y ) phép toán cộng nhân Vì k , r hệ số f ( x; y ) số thực hệ số h( x; y ) thực Nếu số k , r hệ số f ( x; y ) hữu tỷ, hệ số h( x; y ) hữu tỷ Từ có kết hữu ích sau: Định lí Cho f ( x; y ) đa thức bậc d với hệ số thực Cho k , r số thực gọi (d) đường thẳng y = kx + r Nếu phương trình f ( x; kx + r ) = nhiều d nghiệm (kể nghiệm bội) , đường thẳng (d) thành phần (C), có đa thức h( x; y ) với hệ số thực cho f ( x; y ) = ( y = kx − r )h( x; y ) 2 Hơn nữa, k , r số hữu tỷ hệ số f ( x; y ) số hữu tỷ, hệ số h( x; y ) số hữu tỷ Nếu ta tính đạo hàm f ( x; y ) theo biến x, i lần tính đạo hàm theo biến y, ∂i+ j f ( x; y ) i j ∂ x ∂ y j lần ta kí hiệu : Với điểm M ( x0 ; y0 ) mặt phẳng ∂i+ j f ( x0 ; y0 ) = ¡ × ¡ , gọi m số nguyên dương lớn cho ∂xi ∂y j , với i + j < m, m gọi số bội điểm M ( x0 ; y0 ) đường cong (C) Vậy đường cong (C) tập hợp điểm có số bội dương Điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) gọi điểm đơn m = Điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) mà m > gọi điểm kì dị đường cong (C) Một điểm nằm đường cong với m = gọi điểm bội hai, m = gọi điểm bội ba Để thấy rõ ý tưởng phương pháp viết f ( x; y ) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x + a11xy + a20 y + Các hệ số aij liên hệ tới ∂i+ j ∆ i , j ( x; y ) = i j f ( x; y ), f ( x ; y ) ∂x ∂y đạo hàm riêng , để đơn giản ta kí hiệu aij = Cni ∆i ,n −i (0;0) ∆ i ,n−i (0,0) = i ! j !ai j n! , suy d n i f ( x; y ) = ∑ ∑ Cn ∆ i ,n−i (0;0)xi y n −i i j n =0 n ! i =0 Khi Ở ta xếp đơn thức x y theo bậc xếp số hạng bậc i + j = n vào tổng Bằng biến đổi ta khai triển f ( x; y ) theo luỹ thừa ( x − x0 ) d n i f ( x; y ) = ∑ ∑ Cn ∆i ,n−i ( x0 ; y0 )( x − x0 )i ( y − y0 ) n−i ( y − y0 ) , n =0 n ! i =0 (2) Sử dụng cơng thức (2), biểu diễn đa thức p( x) cụ thể Bằng cách y = k ( x − x0 ) + y0 , ta có 3 d n ( x − x0 ) n ∑ Cni ∆ i ,n−i ( x0 ; y0 ).k n −i n =0 n ! i =0 Ở tổng đa thức k, kí p ( x) = ∑ d qn (k )( x − x0 ) n n =0 n! hiệu qn ( k ), với deg qn ( k ) ≤ n Khi (3) Từ cơng thức (3), ta có số bội giao đường thẳng ( d ) : y = k ( x − x0 ) + y0 với đường cong (C) ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) số n nhỏ cho qn ( k ) ≠ p( x) = ∑ (Trong Số bội k nghiệm x = x0 đa thức p ( x), số k lớn k cho p( x) = ( x − x0 ) q( x) q( x0 ) ≠ Nếu điểm ( x0 ; y0 ) nằm giao điểm đường thẳng (d) với đường cong (C) p( x) có nghiệm x = x0 Số bội nghiệm x = x0 , p( x) gọi số bội giao của (d) với (C)) Chúng ta giả thiết đa thức f ( x; y ) ln có hệ số khác 0, trái lại (C) tồn mặt phẳng, bậc f ( x; y ) không xác định Nếu d bậc f ( x; y ) , hệ số qd ( k ) khác không, m ≤ d điểm đường cong (C) Một đường cong đại số có điểm cô lập với số bội d, ví dụ 2 đường cong cho phương trình f ( x; y ) = x + y Nếu đường cong có điểm ( x0 ; y0 ) có số bội d, ( x1; y1 ) điểm khác với ( x0 ; y0 ) , đường thẳng (d) qua hai điểm giao với đường cong d lần điểm thứ lần điểm thứ hai Vì tổng số bội giao lớn d, nên ( d ) ⊂ (C ) (theo định lí), tức đa thức tuyến tính xác định đường thẳng nhân tử f ( x, y ) Vì lý luận áp dụng cho điểm ( x1; y1 ) đường cong khác điểm ( x0 ; y0 ) , nên đường cong chứa đường thẳng nhều d đường thẳng qua điểm ( x0 ; y0 ) Bây nêu phương pháp lời giải ví dụ trên, cho việc tìm điểm hữu tỷ đường cong bậc hai bậc ba Trường hợp đường bậc hai có điểm bội lập hợp hai đường thẳng: f ( x; y ) = ( a1 x + b1 y + c1 )(a2 x + b2 y + c2 ) , đơn giản đường thẳng kép f ( x; y ) = (ax + by + c) 4 Tương tự đường bậc ba có điểm bội ba hợp nhiều ba đường thẳng qua điểm Nếu đường bậc ba có hai điểm kì dị phân biệt đường thẳng qua hai điểm có tổng số bội gấp đơi số bội giao điểm kì dị, có nhân tử chung tuyến tính Trường hợp đường cong bậc hai khơng có điểm kì dị Cho f ( x, y ) đa thức bậc hai, với hệ số hữu tỷ, giả sử đường cong (C) có điểm hữu tỷ ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) Gọi k0 hệ số góc tiếp tuyến với đường cong ( x0 ; y0 ) , k0 hữu tỷ vectơ phương tiếp tuyến với đường cong ( x0 ; y0 ) ( −∆ 0,1; ∆1,0 ) Nếu k ≠ k0 số hữu tỷ khác , đường thẳng (d) qua ( x0 ; y0 ) với hệ số góc k có số bội giao Với p( x) định nghĩa (2), ta có hệ số x đa thức q (k ) bậc không lớn Nếu q (k ) ≡ thì đường thẳng x = x0 thuộc đường bậc hai Mâu thuẫn với đường bậc hai khơng kì dị Vì bậc q (k ) không lớn 2, nên có hai nghiệm hữu tỷ k1 , k2 q( k ) Với k vậy, p ( x) tuyến tính, nên có nghiệm x = x0 Do (với k ≠ k0 , k1 , k2 ) p( x) phải có nghiệm thứ hai x1 hữu tỷ Vì y1 = k ( x1 − x0 ) + y0 , nên ( x1; y1 ) điểm hữu tỷ đường cong, phương pháp thành cơng Bây khảo sát trường hợp deg( f ) = Giả sử f ( x; y ) = phương trình đường cong (C), bậc ba với hệ số hữu tỷ, giả sử ( x0 ; y0 ) điểm bội đường cong Khi ( x0 ; y0 ) điểm hữu tỷ (chúng ta không dừng lại khẳng định này) Một đường thẳng qua điểm ( x0 ; y0 ) với hệ số góc k hữu tỷ có số bội giao với đường cong, trừ giá trị k k1 , k2 nghiệm q (k ) Khi p( x) có hai nghiệm x0 , nghiệm thứ ba hữu tỷ (suy theo định lí Viét) Do tham số hố điểm hữu tỷ đường cong theo số hữu tỷ k Chúng ta tiếp tục xét cách tìm điểm hữu tỷ đường cong bậc ba (C) khơng có điểm kì dị Nếu A( x0 ; y0 ) B ( x1; y1 ) hai điểm hữu tỷ (C), đường thẳng (d) qua chúng có hệ số góc hữu tỷ Nếu ( d ) ⊂ (C ) đường bậc ba (C) hợp đường thẳng đường bậc hai, nên vấn đề tìm điểm hữu tỷ khơng khó khăn Vì vậy, ta giả thiết (C) không chứa đường thẳng 5 Vì (d) giao với (C) ba điểm, điểm thứ ba ta kí hiệu AB, Từ hệ thức viét, ta dễ dàng suy điểm AB điểm hữu tỷ Ta có: Nếu A ≠ B , đường thẳng (d) dây cung (C) Nếu A ≡ B, (d) tiếp tuyến (C) Chính lí đó, ta gọi phương pháp tìm điểm hữu tỷ thứ ba đường cong bậc ba từ hai điểm hữu tỷ biết phương pháp dây cung tiếp tuyến MỘT SỐ VÍ DỤ 2 Ví dụ Tìm tất điểm hữu tỷ hypebol (C ) : x − y − = Giải: Điểm hữu tỷ (1;0) thuộc hypebol, nên ta xét đường thẳng qua điểm (1;0) , với hệ số góc k hữu tỷ Đặt y = k ( x − 1) 2 2 Ta có ( x; y ) ∈ (C ) ⇔ = x − 2[k ( x − 1)] − = ( x − 1)[(1 − 2k ) x + 2k + 1] ⇔ x = 2k + 2k + 2k x= x= y= 2k − Với x = , suy y = 0; với 2k − , suy 2k − Đường thẳng x = giao với đường cong (C) điểm (1;0) Như vậy, ta có phương trình x1 = 2k + 2k y1 , y = , k = 2k − 2k − x1 − xác định tương ứng – số hữu tỷ k với điểm hữu tỷ (C) khác điểm (1;0) khởi đầu 2k + 2k ; ữ, k Ô 2k − k − (1;0) ĐS: , Nhận xét Ngoài phương pháp xét đường thẳng với hệ số góc hữu tỷ qua điểm đường cong bậc hai (hoặc đường thẳng qua điểm kì dị đường bậc ba), ta cịn dùng phương pháp chiếu xun tâm điểm đường cong lên đường thẳng, trừ điểm đường cong tâm phép chiếu để tìm điểm hữu tỷ đường cong Cách Điểm A(1;0) thuộc hypebol Xét đường thẳng ( d ) : x = 6 Chúng ta biểu diễn toạ độ điểm hypebol qua tham số cách chiếu xuyên tâm điểm hypebol (trừ điểm A(1;0) ) lên đường thẳng ( d ) : x = chùm đường thẳng qua điểm A(1;0) Với điểm M ( x; y ) khác A(1;0) hypebol đường thẳng AM cắt (d) điểm T có tung độ k , ta y x −1 = ( k ≠ 0) có đẳng thức k Thay vào phường trình hypebol suy 2k + 2k x= , y= 2k − 2k − Với k = ⇒ M (−1;0) Như vậy, M ( x; y ) điểm hữu tỷ hypebol k hữu tỷ Nếu k số hữu tỷ điểm M ( x; y ) có toạ độ xác định điểm hữu tỷ hypebol k + 2k ; ữ, k Ô k k − (1;0) Vậy điểm hữu tỷ hypebol , Việc tìm điểm hữu tỷ đường bậc hai với hệ số hữu tỷ không phức tạp ta biết trước điểm hữu tỷ thuộc nó, sau ta xét ví dụ cho đường bậc ba 2 Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình x = y + y 2 Phân tích: Đặt f ( x; y ) = x − y − y (C ) Ta xác định xem đường cong có điểm kì dị khơng ? ∂f ∂f = x = ⇔ x = 0; = −2 y − y = ⇔ y = 0, ∂y Ta có ∂x y = / Ta có f (0;2 / 3) ∉ (C ); f (0;0) = ⇒ O (0;0) điểm kì dị (C) Giải Cách Đường thẳng x = 0, cắt đường cong điểm O(0;0) Xét đường thẳng (d) qua điểm O (0;0) với hệ số góc k ( d ) : y = kx 7 Hoành độ giao điểm (d) đường cong nghiệm phương trình x= 1 − ( k ≠ 0) k3 k x = k x + k x ⇔ x ( xk + k − 1) = ⇔ x = Vậy giao điểm thứ hai đường thẳng (d) đường cong điểm 2 3 1 1 − ; − 1÷ k ≠ k k k Với k = đường thẳng (d) cắt ng cong ti im O(0;0) 1 Ô, =1+ y ∈¢ x ; y ∈ ¢ y = kx k k Nếu , Hơn , bình phương = t ∈ ¢ số hữu tỷ số nguyên số hữu tỷ phải số nguyên, k Vậy nghiệm nguyên phương trình x = t − t , y = t − , với t ∈ ¢ Nhận xét Ngồi phương pháp xét chùm đường thẳng với hệ số góc hữu tỷ qua điểm đường cong bậc hai (hoặc chùm đường thẳng qua điểm kì dị đường bậc ba), ta cịn dùng phương pháp chiếu xuyên tâm điểm đường cong lên đường thẳng, trừ điểm đường cong tâm phép chiếu để tìm điểm hữu tỷ đường cong Cách Đường cong xác định phương trình có đồ thị mặt phẳng toạ độ có dạng Chúng ta biểu diễn toạ độ điểm đường cong qua tham số cách chiếu xuyên tâm đường cong lên đường thẳng ( d ) : y = chùm đường thẳng qua điểm gốc O (0;0) (chú ý O(0;0) điểm kì dị đường cong) Vì với điểm P( x; y ) đường cong, OP cắt đường thẳng (d) điểm T y = x (t ≠ 0) t với hồnh độ t ta có phương trình , x = t − t ; y = t − 8 Đường thẳng x = cắt đường cong điểm (0; −1) ≠ (0;0) cắt đường thẳng (d) điểm (0;1) Nếu x; y  thỡ t Ô Hn na t = y − 1∈ ¢ , bình phương số hữu tỷ số nguyên số hữu tỷ phải số ngun, t ∈ ¢ Vậy nghiệm nguyên phương trình x = t − t , y = t − , với t ∈ ¢ Ví dụ Tìm tất điểm hữu tỷ đường cong y = x − 3x + 2 Phân tích Đặt f ( x; y ) = y − x + 3x − (C ) Ta xác định xem đường cong (C) có điểm kì dị khơng ? Ta có ∂f ∂f = −3x + = ⇔ x = ±1; = y = ⇔ y = ∂x ∂y Ta có f ( −1;0) = −4 ≠ ⇒ ( −1;0) ∉ (C ); f (1;0) = , suy điểm (1;0) điểm kì dị (C) Lời giải Xét đường thẳng ( d ) : y = k ( x 1), (k Ô ) Honh độ giao điểm (d) đường cong (C) nghiệm phương trình: f ( x; k ( x − 1)) = − x + k x + (3 − 2k ) x + k − = f ( x; k ( x − 1)) có nghiệm bội x = Áp dụng định lí viét suy nghiệm thứ ba x = k − Vậy đường thẳng (d) cắt đường cong (C) điểm thứ ba có toạ độ (k − 1; k − 3k ) Đường thẳng x = , giao với đường cong điểm (1;0) Như k số hữu tỷ (k − 1; k − 3k ) điểm hữu tỷ đường cong Ngược lại, với điểm hữu tỷ M ( x; y ) ≠ (1;0) đường cong có số hữu tỷ k thoả mãn phương trình k= y , x = k − 2, y = k − 3k x −1 Vậy điểm hữu tỷ đường cong (1;0); (k 2; k 3k ), Ô Ghi Bài giải cách chiếu xuyên tâm đường cong lên đường thẳng x = , qua tâm chiếu điểm (1;0) 9 Ví dụ Tìm tất nghiệm hữu tỷ phương trình y = x − x Giải Đặt f ( x; y ) = x − x − y (C ) Ta có (0;0) điểm nằm đường cong (C) Đường thẳng x = , giao với đường cong (C) điểm (0;0) Nếu M ( x0 ; y0 ) ≠ (0;0) điểm hữu tỷ nằm đường cong (C), đường k= y0 x0 số hữu tỷ thẳng (d) qua điểm (0;0) điểm M ( x0 ; y0 ) , có hệ số góc Ngược lại, xét đường thẳng (d) qua điểm (0;0) với hệ số góc số hữu tỷ k, có phương trình ( d ) : y = kx, đường thẳng (d) cắt (C) hai điểm Ta xác định số hữu tỷ k để giao điểm hữu tỷ Hoành độ x ba giao điểm nghiệm phương trình : x = x3 − x − k x = ⇔ x( x − k x − 4) = ⇔ 2 x − k x − = 2 Các nghiệm phương trình x − k x − = hữu tỷ ∆ = k + 16 bình phương số hữu tỷ Như vậy, nghiệm số hữu tỷ có số hữu tỷ r cho k r ∆ = k + 16 = r ⇔ ÷ + = ÷ 2 4 4 Bài toán qui khảo sát nghiệm hữu tỷ phương trình u + = v (1) U V u = ,v = Z Z , với U ,V , Z số Các số hữu tỷ u , v viết dạng 4 2 ngun Khi phương trình (1) viết lại dạng U + Z = V Z , U ,V , Z ∈¢ (2) 4 Sử dụng kết phương trình x + y = z khơng có nghiệm ngun dương, ta suy nghiệm phương trình (2) (U ;V ; Z ) = (0; s;0); (0; ± s; ± s ), s ∈ ¢ Các nghiệm đầu khơng cho ta điểm hữu tỷ đường cong (C), Các nghiệm sau cho ta nghiệm hữu tỷ phương trình u + = v (0; ±1) ,các nghiệm cho ta k = 0, r = ±4 Vì có đường thẳng (d) qua điểm (0;0) với hệ số góc hữu tỷ k = 0, để xác định điểm hữu tỷ đường cong Từ ta tìm nghiệm hữu tỷ phương trình ban đầu ( x; y ) = (0;0); ( ±2;0) 3 Ví dụ Chứng minh phương trình x + y = có vơ số nghiệm hữu tỷ 10 10 Trước hết trình bày lời giải hoàn toàn sơ cấp sau: Xét dãy số nguyên ( xn ), ( yn ) ( zn ) xác định công thức truy hồi sau: x0 = 2; y0 = −1; z0 = 1; xn+1 = xn ( xn3 + yn3 ); yn+1 = − yn (2 xn3 + yn3 ); zn+1 = zn ( xm3 − yn3 ) xn3 + yn3 = zn3 , ∀ n ∈ ¥ Ta chứng minh qui nạp Thật vậy, với n = (1) (1) Giải sử đẳng thức (1) với n Ta chứng minh (1) với n + 1, tức 3 chứng minh xn+1 + yn+1 = zn+1 (2) Thật vậy, (2) ⇔ xn3 ( xn3 + yn3 )3 − yn3 (2 xn3 + yn3 )3 = zn3 ( xn3 − yn3 )3 ⇔ xn3 ( xn3 + yn3 )3 − yn3 (2 xn3 + yn3 )3 = ( xn3 + yn3 )( xn3 − yn3 )3 (3) Biến đổi (3) ta thấy vế trái vế phải Vậy (1) chứng minh xn yn ; ÷ (n = 0,1, ) z z z ≠ ∀ n ∈ ¥ Dễ thấy n n n nghiệm hữu tỷ phương 3 trình x + y = xn yn xm ym ; ÷≠ ; ÷ z z z z Tiếp theo ta chứng minh n n m m n ≠ m Thật vậy, qui nạp ta thấy xn chẵn yn , zn lẻ với n Do xn3 + yn3 ≡ 2(mod 4) Từ ta thấy xn = 2n+1 An , với An số lẻ với n ∈ ¥ n +1 m +1 m− n Giải sử tồn m > n cho Suy An zm = Am zn ⇔ An zm = Am zn Đây điều vô lí vế trái lẻ, cịn vế phải chẵn 3 Vậy phương trình x + y = có vơ số nghiệm hữu tỷ Bây phân tích rõ phương pháp dây cung tiếp tuyến, sử dụng để đưa lời giải hoàn toàn sơ cấp Xuất phát từ điểm hữu tỷ ( x0 ; y0 ) đường cong (C), viết phương trình tiếp tuyến đường cong (C) điểm ( x0 ; y0 ) Đường thẳng tiếp tuyến cắt đường cong (C) điểm ( x1; y1 ) (nếu hệ số ẩn x, y phương trình đường cong hữu tỷ điểm ( x1; y1 ) điểm hữu tỷ) Lặp lại trình ta dãy điểm ( xn ; yn ) đường cong (C) Bằng phương pháp 11 11 số trường hợp tìm số điểm hữu tỷ Cũng có phương pháp tìm vơ hạn điểm hữu tỷ 3 Đặt f ( x; y ) = x + y − Phương trình tiếp tuyến đường cong f ( x; y ) = (C ) điểm ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) (d ) : ∂ ∂ f ( x0 ; y0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ; y0 ) ( y − y0 ) = ⇔ x02 x + y02 y = ∂x ∂y Toạ độ giao điểm thứ ba ( x1; y1 ) (d) với (C) nghiệm hệ phương trình − x02 x y = , y0 ≠ 53 x6 x02 x + y02 y = y02 ⇒ 1 − ÷x + + − ÷ = y0 y0 x + y = ⇒ x3 + y = (1) (Ở ta cần quan tâm tới số hạng chứa x số hạng tự do) Vì phương trình (1) có nghiệm kép x0 , nên theo định lí Viét ta x0 ( x03 + y03 ) x1 = x − y 0 y0 (2 x0 + y03 ) x03 ( x03 + y03 ) x0 ( x03 + y03 ) y1 = − x0 x1 = ⇒ x1 = x03 − y03 x03 − y03 x03 − y03 , suy 3 (chú ý ta thay = x0 + y0 ) X X ( X 03 + 6Y03 ) Z = Z ( X − 3Y ) 0 Y1 Y0 (2 X + 3Y03 ) X0 Y0 X1 Y1 =− x0 = , y0 = ; x1 = , y1 = 3 Z Z ( X − Y ) Z Z Z Z 0 0 1 Suy Đặt 3 Nhận xét phương trình x + y = z có nghiệm nguyên ( x; y; z ), với x y 3 ; ÷ z ≠ phương trình x + y = có nghiệm hữu tỷ z z Do ta xét dãy ( X n ),(Yn ), ( Z n ) thoả mãn X = 2;Y0 = −1; Z = 1; X n+1 = X n ( X n3 + 6Yn3 ); Yn+1 = −Yn3 (2 X n3 + 3Yn3 ); Z n+1 = Z n3 ( X n3 − 3Yn3 ) Từ ta có lời giải BÀI TẬP Tìm tất nghiệm hữu tỷ phương trình 12 12 2 a) x + y = 1; b) y = x − 3x + 2; c) y = x + x ; 3 2 d) x + y + x y − x − y − xy + x + y = 0; Tìm tất nghiệm hữu tỷ phương trình e) y = x − x + y = x + x Chứng minh phương trình sau có vơ số nghiệm hữu tỷ 3 a) x + y = 9; 3 b) x + y = 11 Tài liệu tham khảo [1] Valentin Boju Louis Funar The Math Problems Notebook [2] Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển SỐ HỌC THUẬT TOÁN Cơ sở lý thuyết & Tính tốn thực hành NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 [3] Ivan Niven , Herbert S Zuckerman, Hugh L Montgomery An Introduction to the Theory of Numbers Printed in the Republie of Singapore, 1991 13 13 ... phương trình tiếp tuyến đường cong (C) điểm ( x0 ; y0 ) Đường thẳng tiếp tuyến cắt đường cong (C) điểm ( x1; y1 ) (nếu hệ số ẩn x, y phương trình đường cong hữu tỷ điểm ( x1; y1 ) điểm hữu tỷ) ... dãy điểm ( xn ; yn ) đường cong (C) Bằng phương pháp 11 11 số trường hợp tìm số điểm hữu tỷ Cũng có phương pháp tìm vơ hạn điểm hữu tỷ 3 Đặt f ( x; y ) = x + y − Phương trình tiếp tuyến đường cong. .. chùm đường thẳng qua điểm kì dị đường bậc ba), ta cịn dùng phương pháp chiếu xuyên tâm điểm đường cong lên đường thẳng, trừ điểm đường cong tâm phép chiếu để tìm điểm hữu tỷ đường cong Cách Đường