TÌM điểm hữu tỷ TRÊN ĐƯỜNG CONG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP dây CUNG TIẾP TUYẾN

TèM IM HU T TRấN NG CONG PHNG BNG PHNG PHP DY CUNG, TIP TUYN NGUYN VN NHIM GV Trng THPT chuyờn Lam Sn Thanh Húa Vic tỡm hu t trờn mt ng cong phng l mt bi toỏn khú, bi vit ny chỳng tụi xin gii thiu phng phỏp dõy cung, tip tuyn ca ng cong tỡm im hu t trờn ng cong phng C S CA PHNG PHP Trong bi vit ny ta ch xột f ( x, y ) l a thc hai bin vi h s thc im M ( x, y ) trờn ng cong (C ) cú phng trỡnh f ( x, y ) = c gi l im hu t, nu cỏc to ca chỳng l cỏc s hu t Bc ca a thc f ( x, y ) c gi l bc ca ng cong (C) Chỳng ta m u bng cỏch tỡm im hu t trờn ng trũn (C ) : x + y = : Ta nhn thy im hu t A(1;0) (C ) Nu im hu t th hai B( x1; y1 ) (C ), thỡ ng thng AB cú h s gúc k l hu t, vỡ k = y1 Ngc li x1 Gi s k l s hu t, thỡ ng thng thng i qua A(1;0) vi h s gúc k s cú phng trỡnh y = k ( x 1) tỡm giao im ca ng thng ny vi ng trũn, chỳng ta th y bi k ( x 1) vo phng trỡnh ca (C) Kt qu thu c l mt phng trỡnh bc hai n x, vi mt nghim ó bit x = 1, t ú tỡm c k2 nghim cũn li (theo h thc viột) l x = Vy giao im th hai ca ng k +1 k k thng v ng trũn l im hu t ; ữ k +1 k +1 ng thng x = 1, ch giao vi ng trũn (C) ti mt im A(1;0) Vỡ vy, chỳng ta cú cỏc phng trỡnh x1 = k 2 k y1 , y = , k = , k2 +1 k2 +1 x1 xỏc nh tng ng gia cỏc s hu t k v cỏc im hu t trờn ng trũn (C), khỏc vi im A(1;0) u Tng quỏt chỳng ta xột a thc f ( x; y ) bc d vi h s thc v ng thng (d ) : ax + by + c = 0, vi a, b khụng ng thi bng Ta cú th gi thit b (ngha l (d) khụng phi l ng thng thng ng) Khi ú, bng cỏch thay i kớ hiu ta cú th vit phng trỡnh ca ng thng (d) di dng y = kx + r Nh vy, honh giao im ca ng thng (d) v ng cong (C), l nghim ca a thc: p ( x) = f ( x; kx + r ) (1) a thc ny cựng lm cú bc bng d Vỡ vy, p ( x) cựng lm cú d nghim thc, ngoi tr trng hp p ( x) ng nht bng Trong trng hp sau cựng, mi im ca (d) u nm trờn (C), ú ta núi (d) l mt thnh phn ca (C) Chỳng ta cú th chng minh c rng, ú a thc y k ( x + r ) l mt nhõn t ca f ( x; y ) Tht vy, t u = y (kx + r ), ta c f ( x; y ) = f ( x; u + kx + r ) Khai trin v phi ta c mt a thc ca x v u Nhúm li theo lu tha ca u, ta c f ( x; u + kx + r ) = f ( x) + f1 ( x )u + f 22 ( x )u + + f dd ( x)u d , ú cỏc f i ( x) l cỏc a thc bc khụng vt quỏ d i Quay tr li bin ( x; y ) ban u, f ( x; y ) cú th vit li di dng d f ( x; y ) = fi ( x)( y kx r )i i =0 T nh ngha ca p ( x), chỳng ta thy rng p ( x) = f ( x) Vỡ vy nu p ( x) ng d i nht bng thỡ f ( x; y ) = ( y kx r )h( x; y ), ú h( x; y ) = f ( x)( y kx r ) i =1 Hn na, cỏc h s ca f i ( x) xỏc nh t k , r v cỏc h s ca f ( x; y ) bng cỏc phộp toỏn cng v nhõn Vỡ vy nu k , r v cỏc h s ca f ( x; y ) l s thc thỡ cỏc h s ca h( x; y ) cng thc Nu cỏc s k , r v cỏc h s ca f ( x; y ) hu t, thỡ cỏc h s ca h( x; y ) cng hu t T ú chỳng ta cú kt qu hu ớch sau: nh lớ Cho f ( x; y ) l mt a thc bc d vi cỏc h s thc Cho k , r cỏc s thc v gi (d) l ng thng y = kx + r Nu phng trỡnh f ( x; kx + r ) = nhiu hn d nghim (k c nghim bi) , thỡ ng thng (d) l mt thnh phn ca (C), v cú mt a thc h( x; y ) vi h s thc cho f ( x; y ) = ( y = kx r )h( x; y ) Hn na, nu k , r l cỏc s hu t v cỏc h s ca f ( x; y ) u l s hu t, thỡ cỏc h s ca h( x; y ) cng l nhng s hu t Nu ta tớnh o hm ca f ( x; y ) theo bin x, i ln v tớnh o hm theo bin i+ j y, j ln thỡ ta kớ hiu : i j f ( x; y ) Vi mi im M ( x0 ; y0 ) trờn mt phng x y i+ j Ă ì Ă , gi m l s nguyờn dng ln nht cho i j f ( x0 ; y0 ) = , vi mi x y i + j < m, thỡ m gi l s bi ca im M ( x0 ; y0 ) i vi ng cong (C) Vy ng cong (C) l hp cỏc im cú s bi dng im M ( x0 ; y0 ) (C ) c gi l im n nu m = im M ( x0 ; y0 ) (C ) m m > c gi l im kỡ d ca ng cong (C) Mt im nm trờn ng cong vi m = gi l im bi hai, m = gi l im bi ba thy rừ hn ý tng ca phng phỏp ny chỳng ta vit f ( x; y ) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x + a11xy + a20 y + Cỏc h s aij liờn h ti i+ j cỏc o hm riờng ca f ( x; y ) , n gin ta kớ hiu i , j ( x; y ) = i j f ( x; y ), x y thỡ i ,ni (0,0) = i ! j !ai j , suy aij = i Cn i ,ni (0;0) n! d n i Cn i ,ni (0;0)x i y ni õy ta sp xp cỏc n thc x i y j n = n ! i =0 theo bc v sp xp cỏc s hng cựng bc i + j = n vo tng Khi ú f ( x; y ) = Bng bin i ta cú th khai trin f ( x; y ) theo cỏc lu tha ca ( x x0 ) v d n i ( y y0 ) , vỡ vy f ( x; y ) = Cn i ,ni ( x0 ; y0 )( x x0 )i ( y y0 ) ni (2) n = n ! i =0 S dng cụng thc (2), chỳng ta cú th biu din a thc p ( x) c th hn Bng cỏch th y = k ( x x0 ) + y0 , ta cú d n ( x x0 ) n Cni i ,ni ( x0 ; y0 ).k ni tng l mt a thc ca k, kớ n =0 n! i =0 p ( x) = d qn (k )( x x0 ) n (3) n =0 n! hiu l qn (k ), vi deg qn (k ) n Khi ú p ( x) = T cụng thc (3), ta cú s bi giao ca ng thng (d ) : y = k ( x x0 ) + y0 vi ng cong (C) ti ( x0 ; y0 ) (C ) l s n nh nht cho qn (k ) (Trong ú S bi k ca nghim x = x0 ca a thc p ( x), l s k ln nht cho p ( x) = ( x x0 ) k q( x) v q( x0 ) Nu im ( x0 ; y0 ) nm trờn giao im ca ng thng (d) vi ng cong (C) thỡ p ( x) cú nghim x = x0 S bi ca nghim x = x0 , ca p ( x) gi l s bi giao ca ca (d) vi (C)) Chỳng ta gi thit rng a thc f ( x; y ) luụn cú h s khỏc 0, vỡ trỏi li (C) l ton b mt phng, v bc ca f ( x; y ) khụng xỏc nh Nu d l bc ca f ( x; y ) , thỡ ớt nht mt h s ca qd (k ) l khỏc khụng, v ú m d ti mi im ca ng cong (C) Mt ng cong i s cú th cú mt im cụ lp nht vi s bi d, vớ d ng cong cho bi phng trỡnh f ( x; y ) = x + y Nu ng cong cú mt im ( x0 ; y0 ) cú s bi d, v ( x1; y1 ) l mt im khỏc vi ( x0 ; y0 ) , thỡ ng thng (d) i qua hai im ú s giao vi ng cong ớt nht d ln ti im th nht v ớt nht mt ln ti im th hai Vỡ tng cỏc s bi giao ln hn d, nờn (d ) (C ) (theo nh lớ), tc l a thc tuyn tớnh xỏc nh ng thng l mt nhõn t ca f ( x, y ) Vỡ lý lun cú th ỏp dng cho mt im bt kỡ ( x1; y1 ) ca ng cong khỏc im ( x0 ; y0 ) , nờn ng cong cha ng thng v nhu nht l d ng thng i qua im ( x0 ; y0 ) Bõy gi chỳng ta s nờu phng phỏp li gii ca vớ d trờn, cho vic tỡm im hu t trờn ng cong bc hai v bc ba Trng hp ng bc hai cú mt im bi cụ lp thỡ nú l hp ca hai ng thng: f ( x; y ) = ( a1 x + b1 y + c1 )(a2 x + b2 y + c2 ) , hoc n gin hn l ng thng kộp f ( x; y ) = ( ax + by + c) Tng t nu mt ng bc ba cú mt im bi ba thỡ nú l hp ca nhiu nht ba ng thng i qua im ú Nu ng bc ba cú hai im kỡ d phõn bit thỡ ng thng i qua hai im ú s cú tng s bi ớt nht gp ụi s bi giao ti mt im kỡ d, ú nú cú mt nhõn t chung l tuyn tớnh Trng hp ng cong bc hai khụng cú im kỡ d Cho f ( x, y ) l mt a thc bc hai, vi h s hu t, v gi s rng ng cong (C) cú im hu t ( x0 ; y0 ) (C ) Gi k0 l h s gúc ca tip tuyn vi ng cong ti ( x0 ; y0 ) , thỡ k0 l hu t vỡ vect ch phng ca tip tuyn vi ng cong ti ( x0 ; y0 ) l ( 0,1; 1,0 ) Nu k k0 l mt s hu t khỏc , thỡ ng thng (d) i qua ( x0 ; y0 ) vi h s gúc k s cú s bi giao Vi p ( x) nh ngha bi (2), ta cú h s ca x l mt a thc q( k ) bc khụng ln hn Nu q( k ) thỡ thỡ ng thng x = x0 thuc ng bc hai Mõu thun vi ng bc hai khụng kỡ d Vỡ bc ca q( k ) khụng ln hn 2, nờn cựng lm nú cú hai nghim hu t k1 , k2 ca q( k ) Vi k nh vy, p ( x) l tuyn tớnh, nờn ch cú mt nghim x = x0 Do ú (vi k k0 , k1 , k2 ) p ( x) phi cú nghim th hai x1 hu t Vỡ y1 = k ( x1 x0 ) + y0 , nờn ( x1; y1 ) l im hu t mi trờn ng cong, ú phng phỏp thnh cụng Bõy gi chỳng ta kho sỏt trng hp deg( f ) = Gi s rng f ( x; y ) = l phng trỡnh ca ng cong (C), bc ba vi h s hu t, v gi s ( x0 ; y0 ) l mt im bi ca ng cong Khi ú ( x0 ; y0 ) l mt im hu t (chỳng ta khụng dng li khng nh ny) Mt ng thng i qua im ( x0 ; y0 ) vi h s gúc k hu t s cú s bi giao l vi ng cong, cú th tr giỏ tr ca k l k1 , k2 nghim ca q( k ) Khi ú p ( x) s cú hai nghim l x0 , nghim th ba ú l hu t (suy theo nh lớ Viột) Do ú chỳng ta cú th tham s hoỏ c cỏc im hu t ca ng cong theo s hu t k Chỳng ta tip tc xột cỏch tỡm nhng im hu t trờn ng cong bc ba (C) khụng cú im kỡ d Nu A( x0 ; y0 ) v B ( x1; y1 ) l hai im hu t ca (C), thỡ ng thng (d) i qua chỳng cú h s gúc hu t Nu (d ) (C ) thỡ ng bc ba (C) l hp ca mt ng thng v mt ng bc hai, nờn tỡm im hu t khụng khú khn Vỡ vy, ta gi thit (C) khụng cha mt ng thng no Vỡ (d) giao vi (C) ti ba im, im th ba ta kớ hiu l AB, T h thc viột, ta d dng suy im AB cng l im hu t Ta cú: Nu A B , thỡ ng thng (d) l mt dõy cung ca (C) Nu A B, thỡ (d) l tip tuyn ca (C) Chớnh vỡ lớ ú, ta gi phng phỏp tỡm im hu t th ba trờn ng cong bc ba nh vy t hai im hu t ó bit l phng phỏp dõy cung tip tuyn MT S V D Vớ d Tỡm tt c cỏc im hu t ca hypebol (C ) : x y = Gii: im hu t (1;0) thuc hypebol, nờn ta xột ng thng i qua im (1;0) , vi h s gúc k hu t t y = k ( x 1) Ta cú ( x; y ) (C ) = x 2[k ( x 1)]2 = ( x 1)[(1 2k ) x + 2k + 1] x = 2k 2k + k +1 hoc x = Vi x = , suy y = 0; vi x = , suy y = 2k 2k 2k ng thng x = ch giao vi ng cong (C) ti im (1;0) 2k + 2k y Nh vy, ta cú cỏc phng trỡnh x1 = , y1 = , k = xỏc nh 2k 2k x1 tng ng gia cỏc s hu t k vi cỏc im hu t trờn (C) khỏc im (1;0) u 2k + 2k S: (1;0) , ; ữ, k Ô k 2k Nhn xột Ngoi phng phỏp xột ng thng vi h s gúc hu t i qua mt im trờn ng cong bc hai nh trờn (hoc ng thng i qua mt im kỡ d i vi ng bc ba), ta cũn cú th dựng phng phỏp chiu xuyờn tõm cỏc im ca ng cong lờn mt ng thng, tr im trờn ng cong l tõm ca phộp chiu tỡm im hu t trờn ng cong Cỏch im A(1;0) thuc hypebol Xột ng thng (d ) : x = Chỳng ta s biu din to cỏc im trờn hypebol qua mt tham s bng cỏch chiu xuyờn tõm cỏc im ca hypebol (tr im A(1;0) ) lờn ng thng (d ) : x = bi chựm ng thng i qua im A(1;0) Vi mi im M ( x; y ) khỏc A(1;0) trờn hypebol ng thng AM ct (d) ti im T cú tung k , v ta cú ng thc y x = (k 0) Thay vo phng trỡnh hypebol suy k 2k + 2k x= , y= 2k 2k Vi k = M (1;0) Nh vy, nu M ( x; y ) l im hu t trờn hypebol thỡ k hu t Nu k l s hu t thỡ im M ( x; y ) cú to xỏc nh nh trờn l im hu t trờn hypebol 2k + 2k Vy cỏc im hu t trờn hypebol l (1;0) , ; ữ, k Ô k 2k Vic tỡm im hu t trờn mt ng bc hai vi h s hu t l khụng phc nu ta bit trc mt im hu t thuc nú, ú sau õy ta ch xột vớ d cho ng bc ba Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh x = y + y Phõn tớch: t f ( x; y ) = x y y (C ) Ta xỏc nh xem trờn ng cong cú im kỡ d no khụng ? f f = x = x = 0; = y y = y = 0, hoc y = / x y Ta cú f (0;2 / 3) (C ); f (0;0) = O(0;0) l im kỡ d ca (C) Gii Cỏch ng thng x = 0, ch ct ng cong ti im O(0;0) Xột ng thng (d) i qua im O(0;0) vi h s gúc k (d ) : y = kx Ta cú Honh giao im ca (d) v ng cong l nghim phng trỡnh 1 (k 0) k3 k Vy giao im th hai ca ng thng (d) v ng cong l im x = k x + k x x ( xk + k 1) = x = hoc x = 1 ; 1ữ k k k k Vi k = thỡ ng thng (d) ct ng cong ti im O(0;0) 1 Nu x; y  , thỡ Ô , vỡ y = kx Hn na = + y  , nhng bỡnh phng k k mt s hu t l s nguyờn thỡ s hu t ú phi l s nguyờn, ú = t  k Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l x = t t , y = t , vi t  Nhn xột Ngoi phng phỏp xột chựm ng thng vi h s gúc hu t i qua mt im trờn ng cong bc hai (hoc chựm ng thng i qua mt im kỡ d i vi ng bc ba), ta cũn cú th dựng phng phỏp chiu xuyờn tõm cỏc im ca ng cong lờn mt ng thng, tr im trờn ng cong l tõm ca phộp chiu tỡm im hu t trờn ng cong Cỏch ng cong xỏc nh bi phng trỡnh cú th mt phng to cú dng Chỳng ta s biu din to cỏc im trờn ng cong qua mt tham s bng cỏch chiu xuyờn tõm ng cong lờn ng thng (d ) : y = bi chựm ng thng i qua im gc O(0;0) (chỳ ý O(0;0) l im kỡ d ca ng cong) Vỡ vy vi mi im P ( x; y ) trờn ng cong, OP ct ng thng (d) ti im T vi honh t v ta cú cỏc phng trỡnh y = x (t 0) , x = t t ; y = t t ng thng x = ct ng cong ti im (0; 1) (0;0) v ct ng thng (d) ti im (0;1) Nu x; y  thỡ t Ô Hn na t = y  , nhng bỡnh phng mt s hu t l s nguyờn thỡ s hu t ú phi l s nguyờn, ú t  Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l x = t t , y = t , vi t  Vớ d Tỡm tt c cỏc im hu t trờn ng cong y = x3 3x + Phõn tớch t f ( x; y ) = y x + 3x (C ) Ta xỏc nh xem trờn ng cong (C) cú im kỡ d no khụng ? Ta cú f f = x3 + = x = 1; = y = y = x y Ta cú f ( 1;0) = (1;0) (C ); f (1;0) = , suy im (1;0) l im kỡ d ca (C) Li gii Xột cỏc ng thng (d ) : y = k ( x 1), ( k Ô ) Honh giao im ca (d) v ng cong (C) l nghim phng trỡnh: f ( x; k ( x 1)) = x + k x + (3 2k ) x + k = f ( x; k ( x 1)) cú nghim bi x = p dng nh lớ viột suy nghim th ba l x = k Vy ng thng (d) ct ng cong (C) ti im th ba cú to (k 1; k 3k ) ng thng x = , ch giao vi ng cong ti im (1;0) Nh vy nu k l s hu t thỡ (k 1; k 3k ) l im hu t trờn ng cong Ngc li, vi mi im hu t M ( x; y ) (1;0) ca ng cong thỡ cú nht mt s hu t k tho cỏc phng trỡnh k = y , x = k 2, y = k 3k x Vy cỏc im hu t trờn ng cong l (1;0); (k 2; k 3k ), Ô Ghi chỳ Bi ny cú th gii bng cỏch chiu xuyờn tõm ng cong lờn ng thng x = , qua tõm chiu l im (1;0) Vớ d Tỡm tt c cỏc nghim hu t ca phng trỡnh y = x3 x Gii t f ( x; y ) = x x y (C ) Ta cú (0;0) l mt im nm trờn ng cong (C) ng thng x = , ch giao vi ng cong (C) ti mt im (0;0) Nu M ( x0 ; y0 ) (0;0) l mt im hu t nm trờn ng cong (C), thỡ ng thng (d) i qua im (0;0) v im M ( x0 ; y0 ) , cú h s gúc k = y0 l s hu t x0 Ngc li, chỳng ta xột cỏc ng thng (d) i qua im (0;0) vi h s gúc l s hu t k, cú phng trỡnh (d ) : y = kx, thỡ ng thng (d) ct (C) ti hai im na Ta s xỏc nh cỏc s hu t k giao im mi l hu t Honh x ca ba giao im l nghim phng trỡnh : x = x x k x = x( x k x 4) = 2 x k x = Cỏc nghim ca phng trỡnh x k x = l hu t v ch = k + 16 l bỡnh phng ca mt s hu t Nh vy, cỏc nghim ú s l s hu t nu cú s hu t r cho k r = k + 16 = r ữ + = ữ Bi toỏn qui v kho sỏt nghim hu t ca phng trỡnh u + = v (1) U V Cỏc s hu t u , v cú th vit di dng u = , v = , vi U ,V , Z l cỏc s Z Z nguyờn Khi ú phng trỡnh (1) vit li di dng U + Z = V Z , U ,V , Z  (2) S dng kt qu l phng trỡnh x + y = z khụng cú nghim nguyờn dng, ta suy nghim ca phng trỡnh (2) l (U ;V ; Z ) = (0; s;0); (0; s; s), s  Cỏc nghim u khụng cho ta im hu t trờn ng cong (C), Cỏc nghim sau cho ta cỏc nghim hu t ca phng trỡnh u + = v l (0; 1) ,cỏc nghim ny cho ta k = 0, r = Vỡ vy ch cú mt ng thng (d) i qua im (0;0) vi h s gúc hu t k = 0, xỏc nh im hu t trờn ng cong T ú ta tỡm c nghim hu t ca phng trỡnh ban u l ( x; y ) = (0;0); (2;0) Vớ d Chng minh rng phng trỡnh x + y = cú vụ s nghim hu t Trc ht chỳng ta trỡnh by li gii hon ton s cp nh sau: Xột cỏc dóy s nguyờn ( xn ), ( yn ) v ( zn ) c xỏc nh bi cụng thc truy hi nh sau: x0 = 2; y0 = 1; z0 = 1; xn+1 = xn ( xn3 + yn3 ); yn+1 = yn (2 xn3 + yn3 ); zn+1 = zn ( xm3 yn3 ) xn3 + yn3 = zn3 , n Ơ Ta s chng minh bng qui np rng (1) Tht vy, vi n = thỡ (1) ỳng Gii s ng thc (1) ỳng vi n Ta chng minh (1) cng ỳng vi n + 1, tc l chng minh xn3+1 + yn3+1 = zn3+1 (2) Tht vy, (2) xn3 ( xn3 + yn3 )3 yn3 (2 xn3 + yn3 )3 = zn3 ( xn3 yn3 )3 xn3 ( xn3 + yn3 )3 yn3 (2 xn3 + yn3 )3 = ( xn3 + yn3 )( xn3 yn3 )3 (3) Bin i (3) ta thy v trỏi bng v phi Vy (1) c chng minh x y D thy zn n Ơ v n ; n ữ (n = 0,1, ) l nghim hu t ca phng zn z n trỡnh x + y = x y x y Tip theo ta s chng minh n ; n ữ m ; m ữ nu n m zn z n z m z m Tht vy, bng qui np ta thy xn chn v yn , zn l vi mi n Do ú xn3 + yn3 2(mod 4) T ú ta thy xn = 2n+1 An , vi An l s l vi mi n Ơ Gii s tn ti m > n cho Suy 2n+1 An zm = 2m+1 Am zn An zm = 2m n Am zn õy l iu vụ lớ vỡ v trỏi l, cũn v phi chn Vy phng trỡnh x + y = cú vụ s nghim hu t Bõy gi chỳng ta s phõn tớch rừ phng phỏp dõy cung tip tuyn, c s dng nh th no a li gii hon ton s cp nh trờn Xut phỏt t im hu t ( x0 ; y0 ) trờn ng cong (C), chỳng ta vit phng trỡnh tip tuyn ca ng cong (C) ti im ( x0 ; y0 ) ng thng tip tuyn ny ct ng cong (C) ti im ( x1; y1 ) (nu cỏc h s ca n x, y phng trỡnh ng cong l hu t thỡ im ( x1; y1 ) cng l im hu t) Lp li quỏ trỡnh ny ta s c dóy im ( xn ; yn ) trờn ng cong (C) Bng phng phỏp ny cú th mt s trng hp ch tỡm c mt s im hu t Cng cú bng phng phỏp ny tỡm c vụ hn im hu t t f ( x; y ) = x + y Phng trỡnh tip tuyn ca ng cong f ( x; y ) = (C ) ti im ( x0 ; y0 ) (C ) l (d ) : f ( x0 ; y0 ) ( x x0 ) + f ( x0 ; y0 ) ( y y0 ) = x02 x + y02 y = x y 10 To giao im th ba ( x1; y1 ) ca (d) vi (C) l nghim h phng trỡnh x02 x , y0 x02 x + y02 y = y = 53 x06 3 y0 x + + ữ ữ = (1) 6 x + y = y0 y0 x3 + y3 = ( õy ta ch cn quan tõm ti s hng cha x v s hng t do) Vỡ phng trỡnh (1) cú nghim kộp x0 , nờn theo nh lớ Viột ta c x0 ( x03 + y03 ) x1 = x y 3 3 3 x ( x + y ) x ( x + y ) 0 0 x02 x1 = x1 = , suy 3 3 x0 y0 x0 y0 y = y0 (2 x0 + y0 ) x03 y03 (chỳ ý õy ta ó thay = x03 + y03 ) X X ( X 03 + 6Y03 ) Z = Z ( X 3Y ) X0 Y0 X1 Y1 0 , y0 = ; x1 = , y1 = Suy t x0 = 3 Z0 Z0 Z1 Z1 Y1 = Y0 (2 X + 3Y0 ) Z1 Z ( X 03 3Y03 ) Nhn xột rng nu phng trỡnh x + y = z cú nghim nguyờn ( x; y; z ), vi x y z thỡ phng trỡnh x + y = s cú nghim hu t ; ữ z z Do ú ta xột cỏc dóy ( X n ),(Yn ), ( Z n ) tho X = 2;Y0 = 1; Z = 1; X n+1 = X n ( X n3 + 6Yn3 ); Yn+1 = Yn3 (2 X n3 + 3Yn3 ); Z n+1 = Z n3 ( X n3 3Yn3 ) T ú ta cú li gii nh trờn BI TP Tỡm tt c cỏc nghim hu t ca cỏc phng trỡnh a) x + y = 1; b) y = x3 3x + 2; c) y = x + x ; d) x + y + x y x y xy + x + y = 0; e) y = x 3x + 2 Tỡm tt c cỏc nghim hu t ca phng trỡnh y = x3 + x Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú vụ s nghim hu t a) x + y = 9; b) x + y = 11 11 Ti liu tham kho [1] Valentin Boju Louis Funar The Math Problems Notebook [2] H Huy Khoỏi - Phm Huy in S HC THUT TON C s lý thuyt & Tớnh toỏn thc hnh NXB i hc Quc Gia H Ni, 2003 [3] Ivan Niven , Herbert S Zuckerman, Hugh L Montgomery An Introduction to the Theory of Numbers Printed in the Republie of Singapore, 1991 12 [...]... rằng nếu phương trình x 3 + 3 y 3 = 5 z 3 có nghiệm nguyên ( x; y; z ), với x y z ≠ 0 thì phương trình x 3 + 3 y 3 = 5 sẽ có nghiệm hữu tỷ  ; ÷ z z Do đó ta xét các dãy ( X n ),(Yn ), ( Z n ) thoả mãn X 0 = 2;Y0 = −1; Z 0 = 1; X n+1 = X n ( X n3 + 6Yn3 ); Yn+1 = −Yn3 (2 X n3 + 3Yn3 ); Z n+1 = Z n3 ( X n3 − 3Yn3 ) Từ đó ta có lời giải như trên BÀI TẬP 1 Tìm tất cả các nghiệm hữu tỷ của các phương. .. 5 y 2 = 1; b) y 2 = x3 − 3x + 2; c) y 2 = x 3 + 2 x 2 ; d) x 3 + y 3 + x 2 y − 4 x 2 − 2 y 2 − 4 xy + 4 x + 5 y = 0; e) y 2 = x 3 − 3x + 2 2 Tìm tất cả các nghiệm hữu tỷ của phương trình y 2 = x3 + 4 x 3 Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm hữu tỷ a) x 3 + y 3 = 9; b) x 3 + 3 y 3 = 11 11 Tài liệu tham khảo [1] Valentin Boju Louis Funar The Math Problems Notebook [2] Hà Huy Khoái - Phạm...Toạ độ giao điểm thứ ba ( x1; y1 ) của (d) với (C) là nghiệm hệ phương trình  5 − x02 x , y0 ≠ 0   x02 x + 3 y02 y = 5  y =  53  x06  3 2 3 y0 ⇒ ⇒ 1 − x + + − 5  3   ÷  ÷ = 0 (1) 6 6 3  x + 3 y = 5  9 y0   9 y0   x3 + 3 y3 = 5  (Ở đây ta chỉ cần quan tâm tới số hạng chứa x 3 và số hạng tự do) Vì phương trình (1) có nghiệm kép x0 , nên theo định ... y0 ) i vi ng cong (C) Vy ng cong (C) l hp cỏc im cú s bi dng im M ( x0 ; y0 ) (C ) c gi l im n nu m = im M ( x0 ; y0 ) (C ) m m > c gi l im kỡ d ca ng cong (C) Mt im nm trờn ng cong vi m = gi... l khỏc khụng, v ú m d ti mi im ca ng cong (C) Mt ng cong i s cú th cú mt im cụ lp nht vi s bi d, vớ d ng cong cho bi phng trỡnh f ( x; y ) = x + y Nu ng cong cú mt im ( x0 ; y0 ) cú s bi d,... tỡm im hu t trờn ng cong Cỏch ng cong xỏc nh bi phng trỡnh cú th mt phng to cú dng Chỳng ta s biu din to cỏc im trờn ng cong qua mt tham s bng cỏch chiu xuyờn tõm ng cong lờn ng thng (d )