(Sáng kiến kinh nghiệm) một số phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

I TÊN ĐỀ TÀI “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG” II ĐẶT VẤN ĐỀ Do phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật, kho tàng kiến thức nhân loại không ngừng tăng lên Cái mà hơm cịn ngày mai lạc hậu Nhà trường cung cấp cho học sinh hiểu biết cập nhật Điều quan trọng phải trang bị cho em khả tự học để tự tìm kiếm kiến thức cần thiết tương lai Do đó, vấn đề quan trọng em khơng tiếp thu thơng tin mà cịn biết xử lý thơng tin để tìm giải pháp tốt cho vấn đề đặt sống thân xã hội Là giáo viên dạy toán THCS nhiều năm qua địa bàn miền núi, thân trăn trở cho chất lượng mơn mình, việc phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi ln gặp nhiều khó khăn, kì thi tuyển sinh 10, tham gia thi học sinh giỏi, kết cịn thấp Học sinh THCS phải đối mặt với lượng lớn kiến thức hình học, nên việc giải tốn hình học nhiều em cịn lúng túng, chưa nắm phương pháp Đặc biệt chứng minh ba điểm thẳng hàng, phần lớn em gặp khó khăn dạng tốn này, học sinh khơng biết lập luận trình bày ? Đây đề tài xem hay, áp dụng trường năm qua có nhiều chuyển biến khả quan Với suy nghĩ trên, đến mạnh dạn tới nghiên cứu viết đề tài Tôi không tham vọng nhiều mà mong giải phần lớn xúc, điều mà nhiều thầy cô giáo trăn trở III CƠ SỞ LÝ LUẬN Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng dạng tốn thường có tập, khơng lạ khó chứng minh học sinh, học sinh thường lúng túng giải chưa nắm sở để chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết lý thuyết hình học liên quan đến dạng tốn như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đường tam giác, Một điều thuận lợi với đề tài học sinh học hình học từ lớp đến lớp Vì giáo viên cần cung cấp kiến thức định nghĩa, tính chất, số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng bản, phân tích ưu điểm phương pháp Các tập chứng minh ba điểm thảng hàng có nhiều loại sách tham khảo, sách nâng cao, hay thơng tin khác tính chất cịn chung chung, chưa phân loại, chưa phân thành dạng cụ thể em học sinh khó nắm vững phương pháp giải cho nhiều loại toán, em cịn mơ hồ khơng biết sử dụng nào? Ở đây, đề tài đưa không xa lạ mặt kiến thức so với loại sách tham khảo khác phân loại phương pháp cụ thể hơn, rõ ràng hơn, từ dễ đến khó Vì điều kiện cho phép định đưa số phương pháp số dạng tập IV CƠ SỞ THỰC TIỄN Qua q trình giảng dạy mơn toán THCS kết hợp tham khảo ý kiến đồng nghiệp, tơi nhận thấy q trình hướng dẫn học sinh giải toán "chứng minh ba điểm thẳng hàng" phần lớn học sinh khó khăn việc vận dụng kiến thức học để giải dạng toán Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải tập học sinh thiếu linh hoạt Khi gặp tốn địi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải toán dẫn đến không làm giải sai Để nắm bắt khả giải dạng toán học sinh, mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi "chứng minh ba điểm thẳng hàng" vào câu cuối kiểm tra tiết, đa số em không chứng minh được, số học sinh làm biết hướng chứng minh khoảng 20% V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Dạng 1: Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng, đường phân giác góc A Kiến thức bản: LA,KB ⊥ Ox; OA = OB  LC, KD ⊥ Oy   CA = CB  ⇒ C, O D thẳng hàng;  ⇒ O, L, K thẳng hàng LA = LC   DA = DB  KB = KD B Bài tập Bài 1: Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên cạnh AB AD lấy hai điểm K H cho AK =AH Gọi I giao điểm BH DK Chứng minh: Ba điểm A, I, O thẳng hàng Chứng minh: Xét ∆ ADK ∆ABH, ta có: AK = AH (gt ) · góc chung; AD = AB (gt ) KAD ⇒ ∆ADK = ∆ABH (c.g.c) · · ⇒ ADK = ABH · · · DB;  A · BH +  I·BD = ABD · Mà ADK + IDB =  A · · · · (vì tứ giác ABCD hình thoi) ⇒ IDB ADB = ABD  = IBD  ⇒ Tam giác IBD cân, IB = ID Vậy: AB = AD; IB = ID; OB = OD Do ba điểm A, I, O nằm đường trung trực BD Nên ba điểm A, I, O thẳng hàng Bài Cho ∆ ABC cân A, AH phân giác góc BAC (H ∈ BC) Qua điểm B vẽ đường vng góc với AB qua điểm C vẽ đường vng góc với AC, chúng cắt O Chứng minh: Ba điểm A, H, O thẳng hàng Giải : (Nhiều cách ) Chứng minh: Cách 1: ∆ ABO = ∆ ACO · · (AB =AC, AO cạnh chung, ABO = ACO = 900 ) · · · ⇒ BAO ⇒AO phân giác BAC = CAO · Mà AH phân giác BAC Do ba điểm A, H, O thẳng hàng Cách 2: ∆ ABO = ∆ ACO ( tương tự cách 1) ⇒ OB = OC ⇒ điểm O nằm đường trung trực BC Mà AH đường phân giác ∆ ABC cân A Do AH đường trung trực BC ⇒ Ba điểm A, H, O thẳng hàng Bài 3: Tam giác ABC vuông A có AB = 15cm, BC = 25cm Đường trịn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’) đường kính AC D Gọi M điểm cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) N a) Chứng minh: Ba điểm B, C, D thằng hàng b) Chứng minh: Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng Chứng minh: a) Ta có D giao điểm hai đường trịn đường kính AB AC · ⇒ADB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) · ⇒ADC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’)) · · Do ADB =180o + ADC ⇒ Ba điểm B, D, C thẳng hàng b)Ta có OO’ đường nối tâm hai đường tròn AD dây chung ⇒ OO’ đường trung trực AD ¼ = M ¼ C (gt) Ta có: DM · · Do DAM (cùng chắn hai cung nhau) = MAC Mà góc MAC hay góc NAC góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn · · · cung AN ADN góc nội tiếp chắn cung AN ⇒ NAC  mà = ADN  · · · · ⇒ DAM ⇒ ∆AND cân N ⇒ NA = ND NAC = DAM =ADN  ⇒ N nằm đường trung trực AD ⇒ Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng Dạng 2: Sử dụng tiên đề Ơ-clit hệ A Kiến thức - Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường thẳng song song với a - Hệ quả: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường thẳng vng góc với a BA// a, BC// a ⇒A, B, C thẳng hàng AC ⊥ a , BC ⊥ a ⇒A, B, C thẳng hàng (hay AB ⊥ a, BC ⊥ a ⇒A, B, C thẳng hàng) B Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD CE, tia đối tia EC DB lấy thứ tự điểm M N cho EM = EC, DN = DB Chứng minh ba điểm M, A N thẳng hàng Chứng minh: Tứ giác MACB có EA = EB, EM = EC (gt) ⇒ Tứ giác MACB hình bình hành ⇒AM//BC (1) Chứng minh tương tự, ta có AN//BC (2) Từ (1) (2), theo tiên đề Ơclit suy AM ≡ AN Hay ba điểm M, A N thẳng hàng Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M, I, K, N trung điểm AD, BD, AC, BC Chứng minh bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng Chứng minh: * Xét hình thang ABCD có: M trung điểm AD, N trung điểm BC ⇒ MN đường trung bình hình thang ABCD ⇒ MN //AB, MN // CD (1) * Xét ∆ ADC, ta có: M trung điểm AD, K trung điểm AC ⇒ MK đường trung bình ∆ ADC ⇒ MK // DC (2) Từ (1) (2) ⇒ M, K, N thẳng hàng (*) * Xét BDC, ta có I trung điểm BD, N trung điểm BC ⇒ IN đường trung bình ∆ BDC.⇒ IN // DC Từ (1) (3) ⇒ M, I, N thẳng hàng (3) (**) Từ (*) (**) suy bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng Dạng 3: Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng A Kiến thức * Tính chất: Nếu AM + MB = AB M nằm A B B Bài tập: Cho tư giác ABCD Gọi M, I N thứ tự trung điểm AD, BD BC Chứng minh MN = AB + CD M, I N thẳng hàng tứ giác ABCD trở thành hình thang Chứng minh: Giả sử MN = AB + CD (1) Vì MA = MD, IB = ID nên MI đường trung bình tam giác ADB Suy MI // AB MI = AB AB + CD Chứng minh tương tự, ta có NI //DC NI = CD Mà MN = = 2 1 AB + CD hay MN = MI + NI Từ suy I nằm M N, hay M, I N 2 thẳng hàng Lúc ta có AB//CD (vì song song với MN) Do tứ giác ABCD hình thang Vậy MN = AB + CD M, I, N thẳng hàng tứ giác ABCD hình thang Dang 4: Sử dụng tính chất góc bẹt A Kiến thức bản: · · · * Tính chất: Nếu AOC + BOC = AOB = 1800 ba điểm A, O B thẳng hàng B Bài tập: Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường tròn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Chứng minh: Ta có: Góc ABC góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ⇒ABC = 90o Góc ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ABD = 90o · · BD = C · BD = 180 o  ⇒ Ba điểm C, B, D thẳng hàng ⇒ ABC +  A Bài 2: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), M điểm cung BC không chứa điểm A Gọi D, E, F hình chiếu M BC, AC, AB Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng Chứng minh: · Xét tứ giác MDBF, ta có: MDB = 90o (vì MD ⊥ BC) · · · MFB = 90o (vì MF ⊥ AB) ⇒ MDB + MFB = 180o ⇒ Tứ giác MDBF nội tiếp đường trịn · · ⇒ BDF (hai góc nội tiếp chắn cung BF) = BMF · Xét tứ giác MDEC, ta có: MDC = 90o (vì MD ⊥ BC) · MEC = 90o (vì ME ⊥ AC) Hai đỉnh D E nhìn xuống cạnh MC góc 90o · · Nên tứ giác MDEC nội tiếp đường trịn EDC (hai góc nội tiếp = EMC chắn cung EC) Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường trịn bốn đỉnh nằm đường tròn · · · · · · ABM + ACM = 180 o Mà ABM + MBF =180 o (hai góc kề bù) ⇒ ACB = MBF · · Xét ∆ vuông BMF ∆ vuông CME có ECM + EMC = 90o · · · · · · ⇒ EMC MBF + BMF = 90o , mà ECM = MBF  = BMF · · · · · · ⇒ BDF , mà BDF + FDC = 180o ⇒ EDC + FDC = 180o = EDC   ⇒ Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 3: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB, dây CD vng góc với AB (CA