chuyen de on thi thi truong chuyen- chung minh 3 diem thang hang.doc

Vấn đề 1. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: 1. Chứng minh các góc đối đỉnh: Chú ý: Để chứng minh hai góc là đối đỉnh, ta cần chứng minh chúng: • có chung đỉnh; • có số đo bằng nhau; • có một cặp cạnh là hai tia đối nhau; hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với đường thẳng chứa hai cạnh kia. Ví dụ 1. Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm M tuỳ ý. Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: A', B', C' thẳng hàng. (Đường thẳng Simson) Chứng minh: Giả sử M thuộc cung AC (các trường hợp khác tương tự). Tứ giác ABCM nội tiếp (ABC) nên · · 0 ABC AMC 180+ = . Tứ giác BA'MC' nội tiếp (vì µ µ 0 A' C' 180+ = ) nên: · · 0 ABC A'MC' 180+ = Từ đó: · · AMC A'MC'= ⇒ · · AMC' A'MC= và trong hai điểm A', C' có một điểm nằm trên cạnh và một điểm nằm ngoài cạnh ∆ABC. (1) Tứ giác MCA'B' nội tiếp đường tròn đường kính MC (vì · · CA'M CB'M= ), nên: · · A'MC A'B'C= (góc nội tiếp cùng chắn cung A'C) (2) Tứ giác AB'MC' nội tiếp (vì · · 0 AC'M AB'M 180+ = ), nên: · · AMC' AB'C'= (góc nội tiếp cùng chắn cung AC') (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: · · AB'C' A'B'C= và do đó chúng là hai góc đối đỉnh ⇒ A', B', C' thẳng hàng (đpcm). 2. Chứng minh tổng các góc bằng 180 0 : Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Trên CD, lấy điểm M tuỳ ý. Đường tròn đường kính BM cắt đường tròn đường kính CD tại N và cắt AB tại E. Chứng minh rằng: D, N, E thẳng hàng. 3. Sử dụng tiên đề Euclide: Chú ý: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB, AC cùng song song với một đường thẳng khác. Ví dụ 3. Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các phân giác của các góc A, B, C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D, E, F. a) Chứng minh rằng: ∆BDI là tam giác cân. b) Gọi P là giao điểm của AB và DF, Q là giao điểm của của AC và DE. Chứng minh rằng: P, I, Q thằng hàng. 4. Áp dụng định lí Menélaus: Vấn đề 1. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 1 A B C M A' C' B' CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 - MÔN TOÁN Chú ý: (Định lí Menélaus) Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC, lần lượt lấy các điểm P, Q, R. Khi đó: P, Q, R thẳng hàng ⇔ PB QC RA . . 1 PC QA RB = . Ví dụ 4. Các đường thẳng AA 1 , BB 1 , CC 1 cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: Ba giao điểm của ba cặp đường thẳng AB và A 1 B 1 , BC và B 1 C 1 , CA và C 1 A 1 thẳng hàng. II. BÀI TẬP: Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABHK, ACDE. a) Chứng minh rằng: H, A, D thẳng hàng. b) Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại F. Chứng minh rằng: ∆FBC là tam giác vuông cân. c) Giả sử · 0 ABC 45> . Gọi M là giao điểm của FB và ED. Chứng minh rằng: B, K, E, M, C cùng ở trên một đường tròn. d) Chứng minh rằng: MC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC). Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến di động quanh A cắt (O), (O') tại P, Q. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AP, AQ. a) Chứng minh rằng: Đường trung trực của IJ luôn đi qua một điểm cố định. b) Đường vuông góc với PQ tại P và Q cắt (O), (O') tại N, M. Chứng minh rằng: N, B, M thẳng hàng. Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A, có AB = 15cm, BC = 25cm. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O') đường kính AC ở D (khác A). Gọi M là điểm chính giữa của cung CD; N là giao điểm của tia AM và (O). a) Tính độ dài AC, AD. b) Chứng minh rằng: O, N, O' thẳng hàng. c) Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh rằng: IO ⊥ IO'. Vấn đề 1. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 2 . tại E. Chứng minh rằng: D, N, E thẳng hàng. 3. Sử dụng tiên đề Euclide: Chú ý: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB, AC cùng song song với một. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: 1. Chứng minh các góc đối đỉnh: Chú ý: Để chứng minh hai góc là đối đỉnh, ta cần chứng minh