SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: TOÁN (Dùng chung cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 30/5/2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) 1 2− + + +1 −1 A= a) Rút gọn biểu thức b) Giải hệ phương trình 3x − y = 2 x + y = x2 + x − = c) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) Cho parabol ( P) : y = − x (d ) : y = x − m đường thẳng a) Vẽ parabol (P) b) Tìm tất giá trị tham số m để (d) (P) có điểm chung Câu (1,5 điểm) a) Cho phương trình x − x + 3m + = (m tham số) Tìm tất giá trị m để x12 − x22 = 15 x1 , x2 phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn b) Giải phương trình ( x − 1) = x2 − 2x + Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R CD dây cung thay đổi nửa đường tròn cho CD = R C thuộc cung AD (C khác A D khác B) AD cắt BC H; hai đường thẳng AC BD cắt F a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp CF CA = CH CB b) Chứng minh c) Gọi I trung điểm HF Chứng minh tia OI tia phân giác góc d) Chứng minh điểm I thuộc đường tròn cố định CD thay đổi Câu (0,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh: · COD a b c + + ≤ a + bc b + ca c + ab 2 HẾT -Chữ ký giám thị 1: ……………………………………………………………… ………… Họ tên thí sinh: …………… ……………………….… Số báo danh ……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (Dùng chung cho tất thí sinh) (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Câu Nội dung Điểm A= a) (1 điểm) Rút gọn biểu thức: A= + 2− 3 +1 −1 ( )( 1 2− + + +1 −1 ) 0,25x2 = 3+2− = 0,25x2 3x − y = 2 x + y = b) (0,75 điểm) Giải hệ phương trình: x − y = x − y = 11 x = 11 x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + y = 2 x + y = 2 x + y = y = c) (0,75 điểm) Giải phương trình: ∆ = 36 > ⇒ ∆ = x2 + x − = x1 = 2, x2 = −4 Câu Phương trình có nghiệm a) (1 điểm) Vẽ parabol ( P) : y = −x2 Lập bảng giá trị x -2 -1 0,5 y -4 -1 (Nếu học sinh lấy giá trị 0,25 điểm) Biểu diễn điểm thuộc (P) mặt phẳng tọa độ Vẽ đồ thị 0,25x3 0,25 0,25x2 0,25 0,25 - x^2 1 b) (1 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để (d) (P) có điểm chung Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P): − x2 = 4x − m ⇔ x2 + 4x − m = 0,25 (*) ∆ = 16 + 4m 0,25 ⇔∆=0 (d) (P) có điểm chung ⇔ m = −4 Câu 0,25 0,25 x − x + 3m + = a) (1 điểm) Cho phương trình: (m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x12 − x22 = 15 x1 , x2 thỏa mãn Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ 25 − ( 3m + 1) > ⇔ m < 0,25 ⇔∆>0 x1 + x2 = 5, x1 x2 = 3m + 0,25 Theo hệ thức Vi – et ta có: x12 − x22 = 15 ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) = 15 ⇔ x1 − x2 = 0,25 ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ 21 − 12m = ⇔ m =1 0,25 (thỏa mãn điều kiện) ( x − 1) = x2 − 2x + b) (0,5 điểm) Giải phương trình ⇔ ( x − 1) = ( x − 1) + (1) t = ( x − 1) , t ≥ Đặt t2 = t + ⇔ t2 − t − = Phương trình (1) trở thành: t=2 t = −1 Phương trình có nghiệm (loại), (nhận) (1) 0,25 0,25 ( x − 1) t=2 Câu = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± Với ta có a) (1 điểm) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp Hình vẽ F I 0,25 D C H A ·ACB = 900 ·ADB = 900 ⇒ B O (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) tứ giác CFDH nội tiếp b) (1 điểm) Chứng minh · ⇒ FCH = 900 0,25 · ⇒ FDH = 900 0,25 0,25 CF CA = CH CB · · CFH = CDH Mà · · CDH = CBA 0,25 nên · · CFH = CBA 0,25 ⇒ ∆CHF : ∆CAB 0,25 ⇒ CF CA = CH CB 0,25 c) (1 điểm) Chứng minh tia OI tia phân giác góc OC = OD Tứ giác CFDH nội tiếp đường tròn tâm I Do · COD ⇒ IC = ID 0,25 0,25 ∆OCI = ∆ODI 0,25 · · ⇒ COI = DOI · COD 0,25 Vậy tia OI tia phân giác góc d) (0,5 điểm) Chứng minh điểm I thuộc đường tròn cố định CD 0,25 thay đổi Ta có · · · · ICF = IFC = CBA = BCO · · · · · · ⇒ ICO = BCO + BCI = ICF + BCI = BCF = 900 OC 2R 1· · = COI = COD = 300 ⇒ OI = cos30 Lại có Vậy điểm I thuộc đường tròn cố định Câu (0,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn 0,25 ab + bc + ca = 3abc a b c + + ≤ a + bc b + ca c + ab 2 Chứng minh: (*) Đặt vế trái (*) P Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a + bc ≥ 2a bc ⇒ 0,25 a 11 1 ≤ ≤ + ÷ a + bc bc b c b 11 1 c 11 1 ≤ + ÷, ≤ + ÷ b + ca c a c + ab a b Tương tự ta có Do 1 ab + bc + ca P ≤ + + ÷= = 2a b c abc 0,25 ……………HẾT……………