ĐỀ SỐ 01 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a P a a a a a a với 0 1 a . Chứng minh rằng P 1. Câu 2. (2,5 điểm) Cho Parabol ( ) : P y x 2 và đường thẳng d y mx : 2 1 với m là tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m=1. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A B , . Gọi y y 1 2 , là tung độ của A B , . Tìm m sao cho: y y 1 2 2 2 3 5 . Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120km. Vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu không đổi, vân tốc trên 1 4 quãng đường AB sau bằng 1 2 vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A? Câu 4. (3,0 điểm) Cho ba điểm A M B , , phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A B , . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB,dựng hai tam giác đều AMC và BMD . Gọi P là giao điểm của AD và BC . a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh CP CB DP DA AB . . . c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPC và BMPD cắt PA PB , tương ứng tại E F , . Chứng minh CDFE là hình thang. Câu 5. (1,0 điểm) Cho a b c , , là ba số thực không âm và thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: 5 4 5 4 5 4 7 a b c .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 2 ĐỀ SỐ 02 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (1,5 điểm) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên dương của n: P n n n n n n 2 2 2 2 2 4 ( 1) ( 1) 4 2 2 4 1. Câu 2. (2,5 điểm) c) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: x y x y 3 3 2 2 95( ) d) Tìm số thực x,y thỏa mãn: x y 2 2 4 4 8 4 1 1 x y x y . Câu 3. (2,0 điểm) Cho S là tập hợp các số nguyên dương n có dạng n x y 2 2 3 , trong đó x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a b S , thì ab S . b) Nếu N S và N chẵn thì N chia hết cho 4 và N 4 S . Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC . Kẻ đường cao AH.Đường tròn ( ) O đường kính AH cắt các cạnh AB AC , tương ứng tại D và E.Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S. d) Chứng minh BDEC là tứ giác nội tiếp. e) Chứng minh rằng SB SC SH . 2 . f) Đường thẳng SO cắt AB AC , tương ứng tại M và N, đường thẳng DE cắt HM HN , tương ứng tại P và Q.Chứng minh rằng BP CQ , và AH đồng quy. Câu 5. (1,0 điểm) Giả sử mỗi điểm của một mặt phẳng được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 3 ĐỀ SỐ 03 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên) Câu 1: (2.5 điểm) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 1 1 a b 1 b a a b P a b a b b a b a với a b a b 0, 0, . a) Chứng minh rằng: P 1 ab . b) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4 1 a b ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 2 4 3 1 x my m mx y m với tham số m. a) Giải hệ phương trình với m = 2. b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (�0; �0) là một nghiệm. Chứng minh đẳng thức: x y x y 0 0 0 0 2 2 5( ) 10 0. Câu 3: (1.5 điểm) Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a x a b x b 2 2 0 có một nghiệm duy nhất. Chứng minh rằng: a b . Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn, góc BAC = 60o . Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I. a) Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp. b) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. c) Chứng minh AK B C 1 1. Câu 5: (1 điểm) Tìm các số thực không âm a, b thỏa mãn: 2 2 3 3 1 1 2 2 4 4 2 2 a b b a a b .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 4 ĐỀ SỐ 04 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Câu 1: (2.5 điểm) a) Cho a a 0, 1. Rút gọn biểu thức: 3 3 1 6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1 2 1 a S a a a a . b) Cho x, y thỏa mãn 0 1,0 1, 1 1 1 x y x y x y . Tìm giá trị của biểu thức: P x y x xy y 2 2 Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng là 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua cái cổng hình Parabol. Biết rằng khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng). a) Trong mặt phẳng Oxy, gọi Parabol (P) y ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1. b) Hỏi xe tải có qua cổng không? Tại sao? Câu 3: (1.5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a b ab a b 2 2 1 2( ). Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB 1) thì số k + 1 được viết vào ô (i – 1; j + 1) iii) Nếu số k được viết vào ô (i; j) thì số k + 1 được viết vào ô (j + 1, 1). (xem hình) Khi đó, số 2015 được viết vào ô (m, n). Hãy xác định m và n. 2) Giả sử a, b, c là các sô thực dương thỏa mãn: ab bc ca abc 4. Chứng minh rằng a b c a b c ab bc ca 2 2 2 2( ) 1 3 6 10 … 2 5 9 … … 4 8 … 7 … …[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 8 ĐỀ SỐ 08 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN KHTN ĐHQG HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh chuyên Toán - Tin) Thời gian: 150 phút Câu I. (3 điểm) 1) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn: (3 3 3 ) 24 (3 ) (3 ) (3 ) a b c a b c b c a c a b 3 3 3 3 Chứng minh rằng: ( 2 )( 2 )( 2 ) 1 a b b c c a 2) Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 5 27( ) 7 26 27 9 x y xy x y y x x x Câu II. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương. 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 1 3 x y x y . 3) Giả sử x, y, z là những số thực lớn hơn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4 x y z P y z z x x y . Câu III. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC). Gọi M là trung điểm đoạn BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = 2MH. 1) Chứng minh rằng BN = AC. 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N. Đường thẳng AC cắt BQ tại D. Chứng minh bốn điểm B, D, N, C cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là (O). 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt (O) tại G khác D. Chứng minh rằng NG song song với BC. Câu IV. (1 điểm) Kí hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên mặt phẳng. Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 9 ĐỀ SỐ 09 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2014 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Cho biểu thức: 2 4 2 1 1 2 : 3 8 2 1 1 x x x x A x x x x x . 1. Rút gọn A. 2. Tìm giá trị của x để A > 1. Câu 2. 1. Giải phương trình x x x x 2 2 2 7 3 ( 1)( 3) . 2. Giải hệ phương trình 2 2 4 4 3 2 x y xy x y . Câu 3. Cho phương trình ẩn x: x m x m m 2 2 3( 1) 2 5 2 0 . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x 1 2 ; phân biệt thỏa mãn x x x x 1 2 1 2 2 . Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC. 1. Chứng minh rằng BCQP là tứ giác nội tiếp. 2. Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng: MH MB MC 2 . . 3. Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCQP. Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng. Câu 5. Chứng minh rằng 1 ... 4 2 3 4 2014 2015 2 2 2 2 2 2 3 2013 2014 .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 10 ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Cho biểu thức 2 . 2 2 8 2 x x x x A x x x x . 1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A. 2. Cho x 1 2 3 . Tìm giá trị của biểu thức B x x x 5 4 3 2 2 3x 1942 . Câu 2. 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3x 2 0 1 0 x y y x y x y . 2. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này là một số có hai chữ số tận cùng của nó bằng 96. Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y x 2 và đường thẳng (d): y m x 2 , m là tham số 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi A x y 1 1 ; , B x y 2 2 ; là các giao điểm của d và (P). Tìm giá trị của m để y y 1 2 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một điểm I thay đổi trên cạnh AB (I khác A và B). Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E và M. Đường thẳng CI cắt BE tại F. 1. Chứng minh bốn điểm B, F, I, M nằm trên một đường tròn và bốn điểm C, E, F, M cũng nằm trên đường tròn. 2. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh rằng D, F, M thẳng hàng. 3. Đường tròn đường kính AM cắt AB và AC tại P và Q (khác A). Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua điểm cố định khi I thay đổi trên AB. Câu 5. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 28 1 P x y 2 x y [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 11 ĐỀ SỐ 11 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2016 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2đ) 1. Rút gọn biểu thức: A x 3 8 5 1 1 x x x x x x x 2 1 2 2 : 1 2. Cho B 3 3 1007 1014048 1007 1014048 Tính giá trị của biểu thức B B 3 3 2 Câu 2. (2.5đ) 1. Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3 1 x x x x x 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 10 7 50 5 x xy y x y Câu 3. (1.5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y m x 1 2 và parabol (P) : y x 2 1. Chứng minh rằng với mọi số thực m d , luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi A, B là hai giao điểm của ( ) d vàP . Tìm � để diện tích của tam giác OAB bằng 3. Câu 4. (3đ) Cho đường tròn O R ; và điểm T nằm ngoài đường tròn. Qua điểm T kẻ hai tiếp tuyến TA và TB đến O R ; , A và B là các tiếp điểm. Trên đoạn thẳng TA lấy điểm M (M khác T và A). Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AB với MO. Đường thẳng qua E vuông góc với MO cắt đoạn thẳng TB tại N, NO cắt đoạn AB tại F. 1. Chứng minh rằng OAMF và EMNF là các tứ giác nội tiếp. 2. Khi M thay đổi trên đoạn thẳng TA, chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác MON luôn thuộc một đường thẳng cố định. 3. Chứng minh rằng MN tiếp xúc với đường tròn (O;R). Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất. Câu 5 (1đ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3.Chứng minh rằng 3 1 1 1 2 a b c P bc ac ab [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 12 ĐỀ SỐ 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x 2 3 3 4 2. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z P y z x z x y x y z Câu 2: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2 1 9 4 4 x y y x y x y x x Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất. Câu 4: (2 điểm) 1. Cho x, y là các số thực khác 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 x y x y y x y x 2. Cho a, b là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 3 ( ) a ab b P ab a b Câu 5: (2 điểm) Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB với OM, I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A). 1. Chứng minh HK vuông góc với AI. 2. Tính số đo góc MKB. Câu 6: (1 điểm) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình: 2015 2014 2 1 25 x y xy 2 2 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 13 ĐỀ SỐ 13 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2014 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1: (1,5 điểm) Cho a,b thỏa mãn điều kiện ab a b 1, 0. Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 4 2 2 5 1 1 1 3 1 1 6 1 1 ( ) ( ) ( ) P a b a b a b a b a b a b Câu 2: (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: 2 3 3 3 x x x x 2 2. Chứng minh rằng: abc a b b c c a ( )( )( ) 7 3 3 3 3 3 3 với mọi số nguyên a,b,c. Câu 3: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng trung trực của AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Tính tỉ số KE KF . Câu 4: (1 điểm) Cho 2 số dương a, b thỏa mãn điều kiện a b 1. Chứng minh rằng: 2 3 9 4 4 a a a b Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhon nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng: 1. BA.BC=2BD.BE. 2. CD đi qua trung điểm đường cao AH của tam giác ABC. Câu 6: (1 điểm) Mười vận động viên tham gia cuộc thi quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1trận và thua y1trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, …, người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng: x x x y y y 1 2 10 1 2 10 2 2 2 2 2 2 ... ...[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 14 ĐỀ SỐ 14 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN ĐHQG TP. HỒ CHÍ MINH NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1: Cho phương trình: x mx m m 2 2 4 2 1 0 (1) với m là tham số. 1. Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x x 1 2 ; phân biệt?Chứng minh rằng khi đó x x 1 2 ; không thể trái dấu nhau? 2. Tìm m sao cho: x x 1 2 1. Câu 2: Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 x y x x y x x y x x y z Câu 3: Cho x, y là hai số không âm thoả mãn: x y x y 3 3 1. Chứng minh rằng: y x 1? 2. Chứng minh rằng: x y x y 3 3 2 2 1 Câu 4: Cho M a a 2 3 1 với a là số nguyên dương. 1. Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ? 2. Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là luỹ thừa của 5? Câu 5: Cho ABC có A ˆ 600 . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K và đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N. 1. Chứng minh rằng: các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp? 2. Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh 3 điểm A, K, J thẳng hàng? 3. Gọi r là bán kính của đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh IMN 4 S S ( SIMN là diện tích tam giác IMN). Câu 6: Trong một kỳ thi có 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giả được. Chứng minh rằng: 1. Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đểu không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải đựơc? 2. Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được?[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 15 ĐỀ SỐ 15 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2011 Môn thi: Toán (chuyên)-Thời gian: 150 phút Bài 1. (2,0 điểm) 1. Với a b , giải phương trình a b x a b x a b 4 4 2 3 3 2 2 2 0. 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 2 . 6 x y xy x y Bài 2. (2.0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n n 2 9 3 chia hết cho n – 11. 2. Với ba số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: � = �2 + �2 + �2. Bài 3. (3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN = R và M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BN (M không trùng với B, N). Gọi I là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại điểm H cắt tia AN tại điểm C. 1. Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng. 2. Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất. 3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R). 4. Gọi P là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm N của đường tròn (O; R). Đường thẳng MP cắt AB tại điểm D. Chứng minh MD MD MA MB không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R). Bài 4. (1,5 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn xyz x z 2 2 2 Bài 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 17 số mà tổng của chúng chia hết cho 27.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 16 ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2012 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n n n 5 3 5 6 chia hết cho 30. 2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n n ( ) 1 6không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2 8 n n 2 không phải là số chính phương. Bài 2. 1. Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 2 1 0 4 4 4 1 0 x y x x xy y x 2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x y z 2 2 2 2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M xy yz zx 2 . Bài 3. Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định ( 2 ) BC R . Một điểm A di động trên đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. 1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài góc ��� ̂ cắt AB,AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng tam giác AMN cân. 2. Gọi E, F là hình chiếu của D lên BH, CH. Chứng minh rằng OA vuông góc với EF. 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong góc ��� ̂ tại K. Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4. Tìm x y z Z , , thỏa mãn ( ) x y z xyz 1 2 )( Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = 2 cm. Chứng minh rằng trong số 17 điểm A1, A2,..., A17 bất kì nằm trong tứ giác ABCD luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 17 ĐỀ SỐ 17 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. 1. Tìm các số tự nhiên n để 7 3 2013 n có chữ số hàng đơn vị là 8. 2. Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn: 1 1 1 2 2 p a b Chứng minh p là hợp số Bài 2. 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x y xy x y 2 2 3 2 2 6 8 0 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 4 0 3 5 4 12 0 x xy y y x y x Bài 3. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a b ab a b 4 4 4 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A a b a b 20 6 2013. 3 3 2 2 Bài 4. Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC, AC, AB lần lượt tại M, N, P. Đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F. 1. Chứng minh rằng OEN và OCA bằng nhau hoặc bù nhau 2. Bốn điểm B, C, E, F thuộc 1 đường tròn. 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng. Bài 5. Trong mặt phẳng cho 6 điểm A A A 1 2 6 , ,..., trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 18 ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2014 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x (5 2) 2( 2 1 1) 0 3 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 (4 1) 2 3 ( 12 ) 4 9 x y y x x y y Bài 2. (2,5 điểm) 1. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì: 25 7 4 (3 5 ) 65 n n n n n 2. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x y xy x x 2 2 2 3 4 0 3. Tìm các cặp số tự nhiên a a a a 1 2 3 2014 ; ; ;...; thỏa mãn: 2 1 2 3 2014 2 2 2 2 3 1 2 3 2014 ... 2014 ... 2014 1 a a a a a a a a Bài 3. (1,5 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q x x yz y y zx z z xy . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O), H là trung điểm BC, M là điểm bất kì thuộc đoạn BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN = BM. Gọi I là trung điểm MN. 1. Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn. 2. Gọi P là giao điểm OI và AB. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. 3. Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. Bài 5. (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 3 x n (3 hàng, n cột, n là số tự nhiên lớn hơn 1) được tạo bởi các ô vuông nhỏ kích thước 1 x 1. Mỗi ô vuông nhỏ được tô bởi một trong 2 màu là xanh hoặc đỏ. Tìm số n nhỏ nhất để với mọi cách tô màu như thế luôn tìm được hình chữ nhật tạo bởi các ô vuông nhỏ sao cho 4 ô vuông nhỏ ở 4 góc của hình chữ nhật cùng màu.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 19 ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x 8 3 1 0 2. Giải hệ phương trình 2 2 3 3 5 2 10 10 x y x y x y Bài 2. (2.5 điểm) 1. Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ( 1) n4 chia hết cho 40. 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2 1 2 ( 2) 1 2 ( 2) p x x p y y 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z nx y z 3 3 3 2 2 2 . Bài 3. (1.5 điểm) Cho 3 số thực dương a b c , , thỏa mãn a b b c c a 1. Chứng minh rằng : 3 4 ab bc ca . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H. Gọi Q là điểm bất kì trên cung nhỏ BC(Q khác B và C). Gọi E, F theo thứ tự là điểm đối xứng của Q qua các đường thẳng AB và AC. 1. Chứng minh MH MA MP MN . . . 2. Chứng minh E, H, F thẳng hàng. 3. Gọi J là giao điểm của QE và AB, I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của điểm Q trên cung nhỏ BC để AB AC QJ QI nhỏ nhất. Bài 5. (1 điểm) Chứng minh tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho : 1 0 2 3 1000 a b c[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 20 ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2016 Môn thi: Toán (chuyên)_ Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x x x 4 3 2 2 2( ) 0. 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 4 2 4 0 4 4 2 4 0 x y x x xy y y Bài 2. (2 điểm) 1. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c abc 3 3 3 3 và abc 0. Tính 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca P a b c b c a c a b 2. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn: 2 . 9 6 16 x x y y 2 2 Bài 3. (2 điểm) 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a b c 2 2 2 3. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a 2. Cho số nguyên dương n thỏa mãn: 2 2 12 1 n2 là số nguyên. Chứng minh 2 2 12 1 n2 là số chính phương Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và nội tiếp đường tròn O. Các đường cao BB’ và CC’ cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm BC, tia MH cắt O tại điểm P 1. Chứng minh hai tam giác BPC’ và CPB’ đồng dạng. 2. Các đường phân giác của các góc BPC '''' và CPB '''' lần lượt cắt AB và AC tại các điểm E và F. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF; K là giao điểm HM và AO’. a. Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp. b. Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn O '''' cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn O. Bài 5. (1 điểm) Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên một đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 01 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Câu 1. (2,0 điểm) Vì 0 1 a nên ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a P a a a a a a 2 1 1 1 1 2 . 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 . . 1 1 2 a a a a a a a a a a a 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a a a . 1 a a a . (Đpcm) Câu 2. (2,5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x mx x mx 2 2 2 1 2 1 0(*) a) Thay m = 1 và phương (*) ta có: x x 2 2 1 0 . Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt là x 1 2 .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 2 Đồ thị d cắt (P) tại 2 điểm M x y ( , ) M M và N x y ( , ) N N . Thay x vào ta có: 2 2 2 2 ( 1 2) 3 2 2 ( 1 2) 3 2 2 M M N N y x y x Vậy 2 điểm M ( 1 2, 3 2 2) và N( 1 2, 3 2 2) . b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm (*) là phương trình bậc 2 có '''' 1.( 1) 1 0 m m m 2 2 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt (P) và d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Gọi giao điểm của d và P là A x y B x y ( , ), ( , ) 1 1 2 2 . Theo định lý Vi-et ta có: 1 2 1 2 2 . 1 x x m x x Vì A, B thuộc A, B thuộc (P) nên 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 (4 2) y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m m Ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 4 4 4 x x x x x x m x x m 1 2 1 2 1 2 1 2 . 2 2 2 2 y y m m m 1 2 4 (4 2) 1 . Nếu 0 1 2 m thì vế phải nhỏ hơn 3 5 . Nếu 1 2 m thì vế phải lớn hơn 3 5 . Vậy 1 1 . 2 2 m m Thử lại thỏa mãn. Câu 3. (1,5 điểm) Gọi vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu tiên đi từ A đến B là: x (km/h, x > 0). Theo bài ra ta có:[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 3 Vận tốc trên 1 4 quãng đường AB sau bằng 1 2 vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu là: 1 2
[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 01 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) 1 a 1 a 1 Cho biểu thức P a với a a a a 1 a 1 a Chứng minh P 1 Câu (2,5 điểm) Cho Parabol ( P) : y x đường thẳng d : y 2mx với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m=1 b) Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1 , y2 tung độ A, B Tìm m cho: y12 y22 Câu (1,5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120km quãng đường AB đầu không đổi, vân tốc quãng đường AB sau 4 vận tốc quãng đường AB đầu Khi đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc quãng đường AB đầu lúc 10 km/h Thời gian Vận tốc kể từ lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A? Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A, M , B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB DP.DA AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E , F Chứng minh CDFE hình thang Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 5a 5b 5c 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 02 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Câu (1,5 điểm) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với giá trị nguyên dương n: P n (n 1) (n 1) n 4n 4n Câu (2,5 điểm) c) Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn: x3 y 95( x y ) d) Tìm số thực x,y thỏa mãn: x2 y 8 x y x 1 y 1 Câu (2,0 điểm) Cho S tập hợp số nguyên dương n có dạng n x y , x, y số nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a, b S ab S b) Nếu N S N chẵn N chia hết cho N S Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC Kẻ đường cao AH Đường tròn (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tương ứng D E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC S d) Chứng minh BDEC tứ giác nội tiếp e) Chứng minh SB.SC SH f) Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng M N , đường thẳng DE cắt HM , HN tương ứng P Q Chứng minh BP, CQ AH đồng quy Câu (1,0 điểm) Giả sử điểm mặt phẳng tô màu xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn ba điểm màu ba đỉnh tam giác cân 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 03 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh vào trường chuyên) a b 1 1 b a a b Câu 1: (2.5 điểm) Cho biểu thức P với a 0, b 0, a b a b2 a b b2 a b a a) Chứng minh rằng: P ab b) Giả sử a, b thay đổi cho 4a b ab Tìm giá trị nhỏ P x my 4m với tham số m mx y 3m Câu 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m = b) Chứng minh hệ có nghiệm với giá trị m Giả sử (𝑥0 ; 𝑦0 ) nghiệm Chứng minh đẳng thức: x02 y02 5( x0 y0 ) 10 Câu 3: (1.5 điểm) Cho a, b số thực khác Biết phương trình a x a b x b có 2 nghiệm Chứng minh rằng: a b Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC góc ACB nhọn, góc BAC = 60o Các đường phân giác BB1, CC1 tam giác ABC cắt I a) Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp b) Gọi K giao điểm thứ hai khác B đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp c) Chứng minh AK B1C1 Câu 5: (1 điểm) Tìm số thực không âm a, b thỏa mãn: 3 1 a b b a 2a 2b 4 2 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 04 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Câu 1: (2.5 điểm) a) Cho a 0, a Rút gọn biểu thức: a 1 S 20 14 (a 3) a 3a : 1 a 1 3 b) Cho x, y thỏa mãn x 1, y 1, x y Tìm giá trị biểu thức: 1 x 1 y P x y x xy y Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng hình Parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng tới chân cổng 5m (bỏ qua độ dầy cổng) a) Trong mặt phẳng Oxy, gọi Parabol (P) y ax với a < hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a 1 b) Hỏi xe tải có qua cổng không? Tại sao? Câu 3: (1.5 điểm) Cho số nguyên a,b thỏa mãn a b2 2(ab a b) Chứng minh a b hai số phương liên tiếp Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB 1) số k + viết vào ô (i – 1; j + 1) iii) Nếu số k viết vào ô (i; j) số k + viết vào ô (j + 1, 1) (xem hình) Khi đó, số 2015 viết vào ô (m, n) Hãy xác định m n 2) Giả sử a, b, c sô thực dương thỏa mãn: ab bc ca abc Chứng minh 10 … … … … … … a b2 c a b c 2(ab bc ca) 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 08 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN KHTN ĐHQG HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dành cho tất thí sinh chuyên Toán - Tin) Thời gian: 150 phút Câu I (3 điểm) 1) Với a, b, c số thực thỏa mãn: (3a 3b 3c)3 24 (3a b c)3 (3b c a)3 (3c a b)3 Chứng minh rằng: (a 2b)(b 2c)(c 2a) 2 x y xy 2) Giải hệ phương trình: 3 27( x y ) y 26 x 27 x x Câu II (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để n + n + 30 số phương 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x y x y 3) Giả sử x, y, z số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z4 y z x4 z x y4 Câu III (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) Gọi M trung điểm đoạn BC Gọi H hình chiếu vuông góc B đoạn AM Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = 2MH 1) Chứng minh BN = AC 2) Gọi Q điểm đối xứng với A qua N Đường thẳng AC cắt BQ D Chứng minh bốn điểm B, D, N, C thuộc đường tròn, gọi đường tròn (O) 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt (O) G khác D Chứng minh NG song song với BC Câu IV (1 điểm) Kí hiệu S tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt mặt phẳng Giả sử tất điểm S không nằm đường thẳng Chứng minh 2015 đường thẳng phân biệt mà đường thẳng qua hai điểm S 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 09 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2014 Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút x2 x 4 Câu Cho biểu thức: A x x 8 x x 1 : 3 x x 2 x 1 Rút gọn A Tìm giá trị x để A > Câu Giải phương trình x2 x ( x2 1)( x 3) x y xy Giải hệ phương trình 4 x y Câu Cho phương trình ẩn x: x 3(m 1) x 2m2 5m Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x ; x phân biệt thỏa mãn x x x x Câu Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi P, Q chân đường vuông góc kẻ từ H đến cạnh AB, AC Chứng minh BCQP tứ giác nội tiếp Hai đường thẳng PQ BC cắt M Chứng minh rằng: MH MB.MC Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) K (K khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCQP Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng 2 Câu Chứng minh 22 23 2014 2015 22014 2013 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút x x 2 x x 2 x x 8 Câu Cho biểu thức A x 2 x 2 Tìm điều kiện x để A có nghĩa Rút gọn A Cho x Tìm giá trị biểu thức B x5 x4 x3 3x 1942 Câu 2 x y 3xy x y Giải hệ phương trình x 1 y Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số cho bình phương số số có hai chữ số tận 96 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y x đường thẳng (d): y mx , m tham số Chứng minh với giá trị tham số m, đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt Gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 giao điểm d (P) Tìm giá trị m để y12 y22 đạt giá trị nhỏ Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Một điểm I thay đổi cạnh AB (I khác A B) Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt đường thẳng AC, BC E M Đường thẳng CI cắt BE F Chứng minh bốn điểm B, F, I, M nằm đường tròn bốn điểm C, E, F, M nằm đường tròn Gọi D điểm đối xứng A qua BC Chứng minh D, F, M thẳng hàng Đường tròn đường kính AM cắt AB AC P Q (khác A) Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với PQ qua điểm cố định I thay đổi AB Câu Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2x2 y 28 x y 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 10 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2014 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1) PT cho: 5x4 2x 2 x 5x4 ( x 1)2 Vậy pt có nghiệm x = x (4 y 1) y 2 x ( x 12 y ) y 2) Phân tích hệ: u (2v 1) v Đặt u x ; v 2 y , điều kiện: u Ta có: u (u 6v) v 2uv u v 3 2 u 6uv v u v u v 3 Cộng vế với vế pt ta có: (u v)2 2(u v) Hệ có nghiệm (x; y) 0; ; 3; … Bài 1) Phân tích: S 25n 20n 12n n S 25n 12n 20n n 2) Từ pt ta suy x ước Mặt khác: y( x 1) ( x 1)(2 x 1) nên x + ước Từ x = -2 x = Pt có nghiệm (x; y) (-2; -1) (4; 2) 4028 a1 a2 a3 a2014 4028.20142 2) Từ gt ta có: 2 2 a1 a2 a3 a2014 2014 Cộng vế với vế tương ứng bpt ta có: a1 2014 a2 2014 a2014 2014 2 Vậy 2014 số 2014 số tự nhiên 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 75 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] Bài 3: Xét: x( x x yz ) x( x yz x) x x x x yz x x yz x x yz x x yz x x( x y z ) yz x x( x y z ) yz x ( x y )( x z ) x xy yz zx x yxz x xy xz xy yz zx xy yz zx x Chứng minh tương tự cộng vế tương ứng ta có: Q Max Q = x = y = z = Bài b) Gọi P′ điểm thuộc cạnh AC cho AP′=NC Ta chứng minh P′ thẳng hàng với O,I cách IOH P ' OA Hoặc chứng minh P’MN suy O thuộc trung trực MN O thuộc IP’ hay P’ thuộc OI c) Vì AB không đổi nên chu vi tam giác AIB nhỏ IA + IB nhỏ Gọi K trung điểm OK OHI OMH 300 OHK nên H, I, K thẳng hàng Nhớ lại toán qua sông 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 76 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] Dựng D đối xứng với B qua HK D cố định Ta có: IA IB IA ID AD Dấu xảy M trùng H Bài Với n = không thỏa mãn theo cách tô màu sau: Đ X Đ Đ X Đ Đ Đ X Đ Đ Đ X X X X Đ X X Đ Đ X X Đ Đ X X X Đ Đ X Đ X Đ Đ X Đ Đ Đ X X Đ Đ X Đ Xét cột: có ô, tô màu nên cột có cách tô màu (1 cách ô màu đỏ, cách ô màu trắng) Với n > có cột, Nếu cột có cột tô màu giống thỏa mãn Nếu cột tô màu khác tồn cột có ô màu Giả sử ô màu đỏ Trong cột lại chọn cách tô màu lại (trừ cách tô ô màu đỏ), có cột có ô màu đỏ (như n = 6) Vì cột lại có cột có ô tô màu đỏ 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 77 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI 2015 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: x x x Ta có: ĐK: x x x x x x x x x x x x( x 8) ( x x) x x x2 8x x 8x x 8x x ( x 9)( x 1) x 1 Thử lại có x = thỏa mãn x y b) Giải hệ phương trình 3 x y 10 x 10 y 2 2 3 x y 10( x y )( x y ) 5( x y ) Ta có: 3 x y 10 x 10 y x y 2 x3 x y xy y x3 y x3 x y xy y 2 x y x y ( x y )( x y ) x y 2 x y x y x 2 x y y 1 2 x (2 y ) y y Câu 2: (2.5 điểm) a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguyên tố Chứng minh (n4 1) chia hết cho 40 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 78 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] Ta có: n4 (n 1)(n 1)(n2 1) Ta cần chứng minh n4 (n 1)(n 1)(n2 1) chia hết cho (vì số nguyên tố nhau) Theo giả thiết n 10 nguyên tố nên n số lẻ n 2k 1(k N ) , thay vào biểu thức ta được: n4 (n 1)(n 1)(n2 1)(2k 1)(2k 1)(4k 4k 1) 8k (k 1)(2k 2k 1) (1) Vì n 2k nên n2 1(mod 5) n2 4(mod 5) Nếu n2 1(mod 5) (n 1)(n 1) Nếu n 4(mod 5) n 1 Suy n4 (n 1)(n 1)(n2 1) (2) Từ (1) (2) ta có n 1 chia hết cho hay n 1 chia hết cho 40 p x( x 2) b) Tìm tất số nguyên tố p số nguyên dương x, y thỏa mãn p y ( y 2) a x toán trở thành tìm p nguyên tố a, b nguyên dương cho b y Với p 2a 2 p 2b Ta có 2a 2b2 1(modp) nên a b(modp) Nếu a b(modp) rõ ràng a b chia hết cho p điều rõ ràng ta có a b p nên xảy trường hợp a b , p p không tồn p thỏa mãn điều Vậy trường hợp a b chia hết cho p Lưu ý a b p nên a b p ab p Vậy nên ta có p 2( p a)2 p 4ap p p 4a hay 2a 4a Từ ta có p 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 79 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] c) Tìm tất số nguyên dương n cho tồn số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x3 y z nx y z Không tính tổng quát Giả sử x y z Xét: Trường hợp 1: x = y = z = n = Trường hợp 2: x Ta có x3 y z nx y z x3 y z x y z Chia vế cho x3 ta được: y3 z3 y z y3 z3 y2 z2 mà x x3 x x3 Lại có x | ( y z ) nên 2y y z x Từ ta y4 z4 x y suy yz 18 z 18 z z y3 z3 y z y3 y y2 1 x3 x x3 x3 x x3 x Thay z = ta có: Suy y x 1 y2 y4 2 x x y y x x x2 4 2x y3 Mà y z x y x Nên ta có 2x x3 x3 x x x y Thay x = 2; y = z = ta không không tìm n thỏa mãn Câu 3: (1.5 điểm) (1.5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b b c c a Chứng minh ab bc ca Cách Sử dụng BĐT AM GM Ta có abc (a b c)(ab bc ca ) 9 Vậy (a b)(b c)(c a) (a b c )(ab bc ca ) abc (a b c )(ab bc ca ) 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 80 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 8 (a b)(b c)(c a ) (a b c)(ab bc ca ) 3(ab bc ca ).(ab bc ca ) 9 ab bc ca Cách zx y ; a x a b x yz Đặt y b c b với xyz 1, x, y, z z c a yzx c Suy ab bc ca x y z y z x y z x z x y z x y x y z 3 4 4 Khai triển rút gọn ta BĐT tương đương: xy yz zx x y z 1 Xét A xy yz zx x y z Trong số x, y, z tồn hai số lớn 1, nhỏ Không tổng quát giả sử x, y Suy ra: x 1 y 1 xy x y xyz z xz yz xy yz zx xyz z xy Do đó: A xyz z xy x y z Mặt khác với xyz ta có: xyz z xy x y z x y z 1 3, x, y, z 2 Từ suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy x y z a b c Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP tam giác ABC qua điểm H Gọi Q điểm cung nhỏ BC(Q khác B C) Gọi E, F theo thứ tự điểm đối xứng Q qua đường thẳng AB AC 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 81 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] a) Chứng minh MH MA MP.MN b) Chứng minh E, H, F thẳng hàng c) Gọi J giao điểm QE AB, I giao điểm QF AC Tìm vị trí điểm Q AB AC cung nhỏ BC để nhỏ QJ QI a) Dễ dàng thấy tứ giác CNHM BMHP nội tiếp để có NCH NMH NMP HBP , kết hợp với ACH ANH (cùng phụ với BAC ) ta suy HMP NMH (1) Mặt khác tứ giác ANMB nội tiếp nên MNH MAB (2) Từ (1) (2) ta suy tam giác HMN đồng dạng với tam giác PMA HM MN MH MA MN MP (đpcm) MP MA 2) Trước hết dễ thấy tam giác ACQ tam giác ACF đồng dạng (c.c.c) nên AFC AQC ABC CHM Tứ giác AFCH nội tiếp có ACH AFH 90o BAC Mặt khác tính chất đối xứng ta có AF=AQ=AE hay tam giác AEF cân A có: 1 AFE AEF 90o EAF 90o FAQ EAQ 90o CAQ BAQ 90o BAC 2 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 82 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] Do dó AFH AFE hay E, H, F thẳng hàng c) Trước hết thấy AB.QJ 2S ABQ , AC.QI 2S ABC Đặt P AB AC QJ QI Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwartz ta có: P AB AC AB AC ( AB AC )2 ( AB AC )2 AB.QJ AB.QI 2S ABQ 2S ACQ 2( S ABQ S ACQ ) 2( S ABC S BCQ ) Dấu “=” xảy QI QJ Mặt khác gọi G điểm nằm cung nhỏ BC có SBCQ SBCG nên P ( AB AC ) 2( S ABC S BCG ) Vậy P AB AC nhỏ Q nằm cung nhỏ BC QJ QI Câu 5: (1 điểm) Chứng minh tồn số nguyên a, b, c cho a b c thực có dạng x b c b Xét số 1000 50 50 35 c 28 Có tất 36.29 1044 số x có công thức Nếu xét số thập phân x theo nguyên lý Dirichle có số có chữ số thập phân.Giả sử x1 b1 c1 x2 b2 c2 số có chữ số thập phân Như hiệu số b1 b2 c1 c2 có phần thập phân nhỏ Ví dụ 14 1000 1000 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 83 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2016 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1 x x3 x 2( x x) (Điều kiện: x 0; x ) ( x x) ( x x) 2( x x) (1) Đặt x2 x t (t 0) Khi đó, (1) trở thành t t 2t t (t t 2) t (t 2).(t 2t 1) t Vì t 2t với t nên: t x (Chọn) t x2 x x x t x2 x x2 x x2 x (Chọn) x 1 Vậy tập nghiệm phương trình x {0;1;2; 1} 2 x y x ( x 2) 2 y ( x 2) 2 y (1) 2 2 2 (2 x y ) y (2 x y ) ( x 2) 4 x xy y y Vì (2 x y )2 ;( x 2)2 x; y (2 x y )2 ( x 2)2 x; y ( x 2) x x 2 (2 x y ) y 2 2 x y Do đó, từ (1) suy ra: Thay vào, có ( x; y) {(2;2)} Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( x; y) {(2;2)} Bài a + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a + b + c - ab- bc - ca) = a + b + c = (do a; b; c khác nhau) ab ab ab ab ab -b = = = = = 2 2 a +b -c b +(a - c)(a + c) b - b(a - c) b-a+c -a - a Tương tự với số hạng lại Vậy biểu thức cần tính -b -c -a 0 2 2 Phương trình 2x.x 3y 1 15 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 84 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 3y mod 3 Vì 3y 1 15 mod 3 15 mod 3 2x.x mod 3 ;x mod 3 (Vì số phương chia dư 1) 2x mod 3 x 2k k N Vậy 22k. 2k 3y 1 15 2k 2k 3y 2k 2k 3y 15 2 Vì y, k N nên 2k.2k 3y 2k.2k 3y Vậy ta có trường hợp k 2k 2k 2 2k 3y +/ Trường hợp 1: k k N (loại) 3y 2k 3y 15 2k 2k 3y 2k 2k k +/ Trường hợp 2: k (TM) y 3y 2k 3y Vậy x; y 2; Bài Dễ thấy: a b c2 (a b c) a b c 3 Do đó: 2a 2b 2c 4a 4b 4c a b b c c a 2a 2a b 2b3 2b 2c 2c3 2c 2a (2a 2b 2c ) 2a 2b3 2c3 2a b 2c b 2a 2c 36 4 a a b b c c 2a b 2c b 2a 2c 36 3abc 2 (a b c ) a b c 2 12n Z 12n Z 12n Q 12n m Z 12n m2 m 2k 1, k Z 12n 2k 1 4k k 1 3n k k 1 k k TH1: k 3q, q Z 3n 3q 3q 1 n q 3q 1 q a Vì q,3q 1 3a b 1 3q b 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 85 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] Ta có: 12n 2m 2k 1 4.3q 12q 12a 4b (do (1)) đpcm TH2: k 3q : Chứng minh tương tự Bài Hình vẽ: A O' P C' H E B B' O F C K M D AO cắt (O) D AD đường kính (O) ABD ACD 900 BD // CH CD // BH Tứ giác HBDC hình bình hành DH cắt BC trung điểm BC trung điểm DH D, M, H, P thẳng hàng APD 900 hay APH 900 P thuộc đường tròn đường kính AH Lại có AB'H AC'H 900 B’, C’ thuộc đường tròn đường kính AH Vậy A, P, B’, C’, H thuộc đường tròn đường kính AH PC'B PC'A 900 PC'B PB'C PB'C PB'A 1800 AB'P AC'P Xét đường tròn (O): PCB' PBC' (góc chắn cung AP) Mà PC'B PB'C PB'C ~ PC'B (g – g) (Đpcm) 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 86 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] EPC' BPC' 2 PE, PF phân giác BPC' CPB' FPB' CPB' Mà BPC' CPB' BPC' Xét PEC' PFB' có: EPC ' FPB' cmt PC 'E PB'F BPC ' CPB' EPC' FPB' PEC ' CPB' PFB' g g PEC' PFB' hay PEA PFA Tứ giác APEF nội tiếp.O’ tâm ngoại tiếp AEF nên tâm ngoại tiếp tứ giác APEF.Gọi K’ giao AO’ với (O’) AK’ đường kính APK' 900 K PD APD 900 K giao PD AO’ hay K’ giao MH AO’ K K ' K O Hay tứ giác PEKF nội tiếp 2b) Hình vẽ S Để chứng minh hai tiếp tuyến E, F (O’) cắt điểm thuộc (O), ta chứng minh tiếp tuyến E, F (O’) cắt (O) điểm cung BC Các bước cm: +) Chứng minh AK phân giác góc BAC +) Chứng minh H, E, F thẳng hàng +) Kẻ BB’ cắt (O) S, chứng minh SF tiếp tuyến (O’) Chứng minh 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 87 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] +) Vì M trung điểm BC nên MC’ = MC, từ MC ' C MCC ' Mà MCC ' 900 CBA 900 ADC DAC DPC Vậy MC 'C MPC nên tứ giác MC’PC nội tiếp MPC ' MCC ' PM phân giác góc C’PC Theo câu b ta có EPC ' FPC EPK KPF EAK KAF Vậy AK phân giác góc EAF +) Để chứng minh H, E, F thẳng hàng, ta chứng minh HE, HF tương ứng phân giác C ' HB CHB ' Vì PE phân giác góc BPC’ nên PC' EC' (1) PB EB Ta có PB'C' PC' B'C' (2) PB BC Mà HC'B' P CB(g g) HBC(g g) HC' B'C' (3) HB BC HC' EC' nên HE phân giác góc C’HB HB EB Tương tự HF phân giác góc B’HC Từ (1), (2), (3) ta có Vì C ' HB CHB ' đối đỉnh nên E, H, F thẳng hàng +) Kẻ BB’ cắt (O) S, SF cắt cung BC N, ta chứng minh N điểm cung BC Ta có H S đối xứng qua AC nên SFA HFA AEF nên SF tiếp tuyến (O’) Mặt khác BSF B ' HF HFK (so le trong) 2 Mà HFK EAK EAF BSC Vậy BSN BSC nên N điểm cung BC Chứng minh tương tự tiếp tuyến C’ qua điểm cung BC Đpcm Bài Ta đưa toán mà 2017 số số nguyên dương (quy đồng mẫu số số hữu tỷ, tử số số nguyên dương) Ta gọi ước chung lớn 2017 số nguyên dương d, chia tất số cho d ta đưa toán với 2017 số nguyên dương mà ước chung lớn chúng 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 88 [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] TH1: Tổng 2017 số số lẻ Nếu tất cặp số cạnh khác tính chẵn lẻ có chẵn số mà 2017 lẻ nên tồn số chẵn số lẻ cạnh nhau, bỏ số (có tổng chẵn) ta 2015 số có tổng lẻ, nên không chia thành nhóm có tổng TH 2: Tổng 2017 số số chẵn, 2017 số chẵn, có số lẻ (2) (vì giả sử chúng có UCLN 1), không lẻ (3) Do (2) (3) nên tồn số chẵn cạnh số lẻ, 2015 số lại có tổng số lẻ, suy chia thành nhóm có tổng 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 89