50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án

50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 50 Bài tập bất đẳng thức a ≥31 S= a+ a Giải: 8a a 24 a 10 S = a+ = +( + )≥ +2 = a 9 a ≥a 9 a Bài 2: Cho , tìm giá S = a + trị nhỏ a2 Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ Giải: 6a a a 12 a a 12 = + ( + + ) ≥ + 33 = + = a 8 aa + b ≤811 8 a 4 Bài 3: Cho a, S = ab + b > , tìm giá trị nhỏ ab Giải: Bài 4: Cho a, b, c> S=a+ S = ab + 1 15 15 17 = (ab + )+ ≥ ab + = ab 16ab 16ab  a+b  16ab 16  a +b+c ≤ ÷   Tìm giá trị nhỏ S = a2 + Giải: 1 + b2 + + c + 2 b c a Cách 1: Cách 2: Tương tự Do đó: S = a2 + 1 + b2 + + c + 2 b c a 1 1 4 ) 2⇒ a12 + 1≥ 4(a + ) (12 + 42 )(2 a +1 ) ≥1 (1.a + b + b≥ (b + );b c + ≥ b (c17 + ) b c c a a 17 17 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí S≥ 4 36 (a + b + c + + + ) ≥ (a + b + c + ) a xb+ yc+ z ≤ 117 a +b+c 17 Bài 5: Cho x, y, z ba số  17  135 thực dương = 17 (a + b + c + 4(a + b + c) ) + 4(a + b + c)  ≥   Chứng minh rằng: x2 + Giải: 1 + y + + z + ≥ 82 y z x 1 1 (1.x + ) ≤ (12 + 92 )( x + ) ⇒ x + ≥ (x + ) y y y y 82 1 Bài 6: Cho a, TT : y + ≥ (ay + + 2b);+ 3zc2 ≥+ 202 ≥ (z + ) b, c > z z x x 82 82 Tìm giá trị S ≥ ( x + y + z + + + ) ≥3 19 ( x 4+ y + z + 81 ) S = xa + by + cz+ +82 + x+ y+z 82 nhỏ a 2b c 80  Giải: Dự đoán = ( x + y + z + )+ ≥ 82  x + y + z x + y + z  82  a =2, b = 3, c =4 12 18 16 12   18   16   + + = a + 2b + 3c +  3a + ÷+  2b + ÷+  c + ÷ ≥ a b c a  b  c   20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13 S = 4a + 4b + 4c + Bài 7: Cho x, y, z > 1 + + =4 x y 1z Tìm giá trị lớn 1 P= + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Giải: Ta có 1 1 1 1 4 16 1 1 1 + ≥ ; + ≥ ⇒ + + + ≥ + ≥ ⇒ ≤  + + ÷ x y x+ y y z y+z x y y z x + y y + z x + 2y + z x + y + z 16  x y z  TT : 1 2 1 1 1 2 ≤  + + ÷; ≤  + + ÷ x + y + z 16  x y z  x + y + z 16  x y z  4 4 S ≤  + + ÷= 16  x y z  Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 8: Chứng minh với  12  x  15  x x∈20R  x x x x , ta có  ÷ + ÷ + ÷ ≥ +4 +5       Giải: x x x  12   15   12   ÷ + ÷ ≥  ÷  5  4  5 x x x x x  15   20   15   20   12   ÷ = 2.3x ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.5 x ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.4 x  4    4    5 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x, y, z > x + y + z = x + y + 8z ≥ x +1 + y +1 + z +1 Chứng minh Giải: Dự đoán x=y=z = nên: x.8 x = 64 x = x x + 8x + 82 ≥ 3 8x.8 x.82 = 12.4 x ; Cộng kết y + y + 82 ≥ 3 y.8 y.82 = 12.4 y ; => đpcm z + 8z + 82 ≥ 3 8z.8 z.82 = 12.4 z Bài 10: x + y + 8z ≥ 3 8x.8 y.8 z = 3 82.82.82 = 192 Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Giải: x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x3 + y ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy xyz = 3xy + x3 + y 3xy = = xy xy yz + y3 + z3 ; = = xy yz yz  1  S = 3 + + ÷≥ 3  xy yz zx ÷   x y2 z2 + z + x3 zx ; = = yz zx zx =3 Bài 11: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư zx VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cho x, y hai số thực không âm ( x − y ) ( − xy ) 2 thay đổi Tìm giá trị lớn P = ( 1+ x) ( 1+ y) giá trị nhỏ biểu thức Giải:  x + y + + xy  ÷ ( x − y ) ( − xy ) ≤ ( x + y ) ( + xy ) ≤   = ⇒ −1 ≤ P ≤ P = 2 2 ( + x ) ( + y ) ( + x ) ( + y ) ( x + y + + xy ) 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12: Cho a, b, c > Chứng minh a b3 c3 + + ≥ ab + bc + ca rằng: b c a Giải: a b3 c3 a b c ( a + b + c )2 ( ab + bc + ac ) + + = + + ≥ ≥ = ab + bc + ac b c a ab bc ca ab + bc + ac ab + bc + ac Cách 1: Cách 2: 3 a3 b c + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2a b c a a b3 c + + ≥ 2(a + b + c ) − ab − bc − ac ≥ ab + bc + ac b c a Bài 13: Cho x,y > Tìm giá trị nhỏ 3xx 2++y4≥ 42 + y A= + 4x y2 Giải: Dự đoán x = y = 3x + + y 3x 1 x  y y  x+ y A= + = + + + y =  + ÷+  + + ÷+  ÷≥ 4x y x y 4    x 4  y Bài 14: Cho x, y > x+y = 1 P = + ≥ 4+ 3 Chứng minh x +y xy Giải: Ta có ( x + y) P= = x + y + 3xy(x+y) ⇒ x + y + 3xy=1 x + y + 3xy x + y + 3xy 3xy x3 + y + = + + ≥ 4+2 x3 + y xy x3 + y3 xy Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 15: Cho x, y, z > 1 11 x yz ≤+ + =2 Chứng minh + x + y 81 + z Giải: 1 1 y z = 2− − =1− +1− = + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z TT : ≥2 1+ y xz ; ≥2 ( 1+ x) ( 1+ z ) 1+ z yz (1+ y ) (1+ z ) xy (1+ x) (1+ y) Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x, y, z > x + y x y z + z = Tìm giá trị lớn S = x + + y + + z + Giải: S=  x y z 1  9 + + = 3− + + = 3− = ÷≤ − x +1 y +1 z +1 x+ y+ z+3 4  x +1 y +1 z +1  Bài 17: Cho a, b, c > Chứng minh 4a 5b 3c + + ≥ 48 rằng: a −1 b −1 c −1 Giải: 4a ( a − 1) + 4 = = ( a + 1) + = ( a − 1) + + ≥ + = 16 a −1 a −1 a −1 a −1 5b 3c = ( b − 1) + + 10 ≥ 20; = ( c − 1) + + ≥ 12⇒ dpcm b −1 b −1 c −1 c −1 Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: Giải: 1 1   + + ≥ 3 + + ÷ a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  cộng ba bất 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ đẳng thức a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a =>đpcm Bài 19: Với a, b, c > chứng minh rằng: 36 + + ≥ a b c a+b+c Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải: ( + + 3) 36 + + ≥ = a b c a+b+c a+b+c Bài 20: Cho a, b, c, d > chứng minh rằng: 1 16 64 + + + ≥ a b c d a +b+c+d Giải: 1 16 16 16 64 + + ≥ ; + ≥ a b c a +b+c a +b+c d a +b+c +d Cần nhớ: a b2 c ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z Bài 21: Với a, b, c > chứng   + + ≥ 4 + + ÷ minh rằng: a b c  a +b b+c c +a  Giải: 1 3 1 2 1 + ≥ ⇒ + ≥ ; + ≥ ⇒ + ≥ ; + ≥ a b a+b a b a +b b c b+c b c b+c c a c+a Bài 22: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác Chứng minh Giải: 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p −a p −b p −c a b c 1 2 + + = + + p − a p − b p − c −a + b + c a − b + c a + b − c = 1 1 1 1 1 + + + + + ≥ 2 + + ÷ − a + b + c a − b + c a + b − c −a + b + c a − b + c a + b − c a b c Bài 23: Cho x, y, z> Tìm giá trị xx2 + y + yx2≥ z P = + + nhỏ y+z z+x x+ y Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách1: Cách 2: ( x + y + z ) = x + y + z = = x2 y2 z2 P= + + ≥ y + z z + x x + y 2( x + y + z) 2 x2 y+z y2 z+x z2 x+ y + ≥ x; + ≥ y; + ≥z y+z z+x x+ y Bài 24: x+ y+z x+ y+z Cho số thực ⇒ P ≥2 xy + 3z y ++x5− 3z + x + 5= x + y +=5 =51 + + 2≥ dương x, y, z thỏa 1+ x 1+ y + 3z mãn x+2y+3z =18 Chứng minh Giải: y + 3z + z + x + x + y + + + 1+ x 1+ y + 3z y + 3z + 3z + x + x + 2y + = +1+ +1+ +1− 1+ x 1+ y + 3z  1  = ( x + y + 3z + )  + + −3 ÷− ≥ 24 x + y + 3z +  + x + y + 3z  51 = 24 − = 21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a + b + ≥ ab + a + b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c p − a + p − b + p − c ≤ p độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi Giải: p − a + p − b + p − c ≤ (12 + 12 + 12 )( p − a + p − b + p − c ) = 3(3 p − p ) = p Bu- nhi -a ta có: Bài 27: Cho hai số a, b thỏa mãn: Tìm giá a ≥ 1;1b ≥ A = a+ +b+ trị nhỏ tổng a b Giải: Bài 28: a+ 1 15b  b  15.4 17 21 ≥ 2; b + = +  + ÷≥ + = ⇒ A ≥ a b 16  16 b  16 4 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Chứng minh a + b ≥ a 3b + ab3 Giải: ( a ) + ( b2 )  (12 + 12 ) ≥ ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) ≥ 2ab ( a + b ) => a + b ≥ a 3b + ab3   Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: (Với x; y số thực ( x + y + 1) xy + y + x A = + dương) xy + y + x ( x + y + 1) Giải: Đặt Có Bài 30: 8a ( x +a y +11) a 21 10 10 a; +a > ⇒ A== a ++ = ⇒ A ≥ A=a+ = + ( + ) ≥ = a xy9+ y a+ x 9 a 3a 3 Cho ba số thực đôi phân biệt Chứng minh a2 Giải: a , b, c b2 c2 + + ≥2 (b − c) (c − a ) (a − b) a b b c c a + + = −1 (Không cần dấu = (b − c) (c − a ) (c − a ) (a − b) (a − b) (b − c) xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy VT =  a b c  + +  ÷ ≥0  (b − c) (c − a ) (a − b)  dấu =) Bài 31: Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c Chứng ming ≤3 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca Giải: 2009 + 2 a + b + c ab + bc + ca 1 2007 2007 = + + + ≥ + ≥ 670 2 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c ) ( a + b + c) Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay a + b + c = đổi thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí P = a2 + b2 + c + ab + bc + ca a 2b + b c + c a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 ≥ 2a2b ;b3 + bc2 ≥ 2b2c;c3 + ca2 ≥ 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > − (+a bc ++b 2ca+ c ) 2 9ab ⇒ PP≥≥aa2 ++bb2 ++cc2 ++ 2 2 2 a a+ b+ b+ c+ c ) 2( Suy t = a2 + b2 + c2, với t ≥ Suy ⇒ P ≥ =b=c=1 a P≥t+ 9−t t t = + + − ≥ 3+ − = 2t 2t 2 2 Bài 33: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P= 1 + + 16 x y z Giải: P=  1 1 1  y x   z x   z y  21 + + = ( x + y + z)  + + ÷=  + + ÷+  + ÷+ ÷+  16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y z  16 có =khi y=2x; z=4x; =>P 49/16 z=2y yzz ≥xy 11 ++ ≥≥1 16 16 4xyx 4zy 24 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34: Cho hai số thực dương x, y + ≥ 23 thỏa mãn: x y Tìm giá trị nhỏ B = 8x + + 18y + biểu thức: x y Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí B = 8x +  2  2 4 5 + 18y + =  8x + ÷+ 18y + ÷+  + ÷≥ + 12 + 23 = 43 x y  x  y x y Dấu xảy Vậy Min B 1 ( x; y ) =  ; ÷ 43  3 Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] ≤ có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 Giải: x − 21 ≤ 0x ⇒ ≤ 2( x⇒−x1)(−x1 −≥ 20) ≤ x ≤⇒ 3x − yz ≤ 3zy − Tương tự x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – – = ⇒ ≤ Bài 36: + c2]≥ Cho a, b, c số thuộc thỏa mãn a +[ b−1; 2 điều kiện a + b + c = Chứng minh Giải: ( a + 1) ( a − ) ≤ ⇔ a − a − ≤ 0; b − b − ≤ 0; c − c − ≤ Bài 37: ⇒ a + b + c ≥ a + b2 + c − = Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: Giải: a2 + 1 97 + b2 + + c + ≥ b c a 2 cộng    81     vế lại  1.a + ÷ ≤  + ÷ a + ÷ ⇒ a + ≥  a + ÷; b  16  b  b 4b  97   Bài 38:     b2 + ≥  b + ÷; c + ≥ c + ÷ c 4pc  4a  97  Cho tam p a p 97  + + ≥ giác có ba p−a p−b p−c cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh Giải: hay 1 p p p 9 + + + ≥ + ≥9 = p − a p − bp − ap − cp − bp − ap +− cp − b + p − c p 10 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 39: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a + b + c ) + 2abc ≥ 52 Giải: abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( − 2b ) ( − 2c ) ⇔ abc ≥ −24 + ⇔ 2abc ≥ −48 + ( a − 2) ( ab + bc + ac ) 16  36 − (a + b + c )  ⇔ (a + b + c ) + 2abc ≥ 48 (1)     + ( b − 2) + ( c − 2) 2 Có chứng minh không? a + b2 + c2 ≥0⇔ ≥ (2) hay (1)and(2) ⇒ dpcm 3(a + b + c ) + 2abc < 18 Bài 40: Cho a, b, c độ dài cạnh P = 4( a3 + b3 + c3 ) + 15abc tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải: ab2 ≥ ba2 − (cb− ac)2 = (ba− cb+ ac)(ba+ cb− ac) Có (1) , (2) ⇔ ac2 ≥ c2 − (a= − b)2 = (c − a + b)(b c+ a − b) =c (3) Dấu ‘=’ xảy Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên abc≥ (a+ bcb− )( + cac− )( + ab− )vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có: (*) ⇔a8 − 8(+ a + bb + c) + + 8(⇔ababc≥(2−a) 2b(− c) + c bc + ca= ) − 9abc2≤ Từ nên (*) ⇔ + 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ − (*) abc3+ 3+ 3= (a+ b c)3− 3(a+ b c)(ab+ c+ a)+ 3abc= 8− 6(ab+ c+ a)+ 3abc Ta có 4(abc3+ 3+ 3)+ 15abc= 27abc− 24(ab+ c+ a)+ 32= 3[9abc− 8(ab+ c+ a)]+ 32 Từ (**) Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a3 + b3 + c3)+ 15abc ≥ 3.(− 8) + 32 = Dấu “=” xảy a =b =c = Từ giá trị nhỏ a = b = c = P đạt Bài 41: 11 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cho a, b, c độ dài cạnh 3 ≤ a + b + c + abc < tam giác có chu vi Chứng minh Giải: *P = a3 + b3 + c + 3abc Ta có a3 + b3 + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) ⇔ a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c − ab − bc − ac ) (1) có abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −2 −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc ⇔ 6abc ≥ + ( ab + bc + ca ) (2) 3 (1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c + 3abc ≥ a + b + c − + ( ab + bc + ca ) 3 mà ab + bc + ca = ( − a + b2 + c 2 ) ⇒P≥1 (a ) + b2 + c + 1  1  1 1 1  2  a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ ⇔ a + b + c ≥ ⇒ P ≥ + = 3  3  3 6  *P = a3 + b3 + c + 3abc abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc > ⇒ ab + bc + ca ) − 2abc > (3) P = a3 + b3 + c + 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) + 6abc = a + b + c − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) + 6abc 1 = − ( ab + bc + ca − 2abc ) < − = 4 Bài 42: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: Giải: x + y + z − xy − yz − zx + xyz ≥ Chứng minh 12 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí xyz ≥ ( − x + y + z ) ( x − y + z ) ( x + y − z ) = (6 − x)(6 − y )(6 − z ) = 216 − 72( x + y + z ) + 24( xy + yz + zx) − 8xyz ⇔ xyz ≥ −24 + ( xy + yz + zx) (1) mà ( x + y + z ) = ⇔ x + y + z + 2xy + yz + 2xz = ⇔ x + y + z − xy − yz − xz = 36 − 3xy − yz − 3xz (2) Nên xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ −24 + ( xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − yz − 3xz ⇔ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) ( x + y + z) 36 ⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − = 12 − =8 3 Bài 43: 2 2 ≥ 1342 Cho Chứng minh Dấu a + ab 2≥+1342; ab ≥ b2013 ( a + b) đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ Thật vậy: (1) ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ ⇔ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 ≥ (2) ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ ⇔ ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ ⇒ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 + ab − 1342a − 1342b + 1342 ≥ ⇔ a + b + ab ≥ 3.1342 ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013 ( a + b ) − 3.13422 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013 ( a + b ) 2 Bài 44: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) Giải: Cách 1: 13 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách 2: A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) 2 2 2 Bài 45: A = ( x − 1) + ( x − 3)  + ( x − 1) ( x − 3)   Cho a,b,c 2 số thực dương A =  2x − 8x + 10  + ( x − 4x + ) thỏa mãn a+b+c=1 Chứng A =  2( x − 2) +  + ( ( x − 2) − 1)   minh rằng: A = 4( x − 2) + 8( x − 2) + + 4( x − 2) − 8( x − 2) + ab bc ca Giải: + ≤ A = 8( x − 2) + ≥ + c +1 a +1 b +1 Bài 46 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: 14 1 + + ≤1 3 + xVăn + y Lập1 –+ Trường y + z THCS + z3 + x3 Lư Trần Yên 3 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải: x + y ≥ 2xy ⇒ ( x + y ) ( x + y ) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x + y ≥ xy ( x + y + z ) ⇒ ⇒ 1+ x + y 3 ≤ 1+ x + y 3 ≤ xy ( x + y + z ) z x y ; ≤ ; ≤ ⇒ dpcm 3 3 x + y + z 1+ y + z x + y + z 1+ z + x x+ y+ z Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: a+b ≥ 2a b + 2b a a+b 1  1    = ( a + b )  a + b + ÷ = ( a + b )   a + ÷+  b + ÷÷ ≥ ab ( a + b ) = 2a b + 2b a ( a + b) + 2 4     Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: Giải: ( a + b) Giải: + + ≥1 + 8b3 + 8c3 1 = ≥ = = 2 + 8a ( 2a + 1) ( 4a − 2a + 1) 2a + + 4a − 2a + 4a + 2a + 1 1 ; ≥ ; ≥ + 8b3 2b + 1 + 8c3 2c + 1 1 ⇒ VT ≥ + + ≥ =1 2a + 2b + 2c + 2a + + 2b + + 2c + 1 + 8a + Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương a b3 c Chứng minh rằng: + + ≥ a + b2 + c2 Giải: b c a Cách 1: 2 a2 + b2 + c2 ) ( a + b2 + c2 ) ( a b3 c3 a b c ( a + b + c ) + + = + + ≥ = ≥ a + b2 + c b c a ab bc ca ab + bc + ca ab + bc + ca Cách a3 b3 c3 + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2c ⇒ VT ≥ ( a + b + c ) − (ab + bc + ca ) ≥ a + b + c b c a Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: Giải: 15 x2 y2 z2 + + ≥ y +1 z +1 x +1 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x2 y +1 y2 z +1 z2 x +1 3 3 + ≥ x; + ≥ y; + ≥ z ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − ≥ − = y +1 z +1 x +1 4 4 16 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư