50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án 50 bài tập về bất đẳng thức lớp 9 lên 10 có đáp án
Trang 150 Bài tập về bất đẳng thức
Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải:
Bài 2: Cho , tìm giá
trị nhỏ nhất của
Giải:
Bài 3: Cho a,
b > 0 và , tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải:
Bài 4: Cho
a, b, c> 0
và
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải:
Cách 1:
Cách 2:
Tương tự
Do đó:
3
a 1
S a
a
S a
2
a
2
1
S a
a
3
a
a b 11
S ab
ab
2
16 2
3 2
a b c
S
17
Trang 2Bài 5: Cho x,
y, z là ba số
thực dương
và Chứng
minh rằng:
Giải:
Bài 6: Cho a,
b, c > 0 và
Tìm giá trị
nhỏ nhất của
Giải: Dự đoán
a =2, b = 3, c
= 4
Bài
7:
Cho x, y, z > 0 và
Tìm giá trị lớn nhất của
Giải:
Ta có
17
a b c
1
x y z
82
82
82
x y z
2
S a b c
20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13
S
1 1 1
4
P
;
:
;
1 4 4 4
1 16
TT
S
Trang 3Bài 8:
Chứng minh rằng với mọi
, ta có
Giải:
Cộng các vế tương ứng => đpcm
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z =
6 Chứng minh rằng
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và nên:
Cộng các kết quả trên
=> đpcm
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz
= 1 Hãy chứng minh rằng
Giải:
Bài 11:
x R
x x x
8x 8y 8z 4x 4y 4z
38 8x x 364x 4x
3
3
3
3 3 2 2 2
8 8 8 3 8 8 8 12.4 ;
8 8 8 3 8 8 8 12.4 ;
8 8 8 3 8 8 8 12.4
8 8 8 3 8 8 8 3 8 8 8 192
x y z x y z
3 3
2 2 2
S
Trang 4Cho x, y là hai số thực không âm
thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
Khi
cho
x=0
và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra
Bài 12:
Cho a, b, c > 0 Chứng minh
rằng:
Giải:
Cách
1:
Cách 2:
Bài 13:
Cho x,y > 0 và Tìm giá trị nhỏ
nhất của
Giải: Dự đoán x = y = 2
Bài
14:
Cho x, y > 0 và x+y = 1
Chứng minh rằng
Giải: Ta có
Bài 15:
Cho x, y, z
> 0 và
Chứng minh rằng
Giải:
2 2
1
P
2
1
3 3 3
ab bc ca
ab bc ac
3 3 3
2 2 2
x2y4 3
2
3x 4 2 A
4x
y y
A
y
3 3
4 2 3
P
3 3
3 3
3 3
2
1x1y1z
1 x 8
yz
Trang 5các vế
của 3
BĐT
=>
đpcm
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y
+ z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của
Giải:
Bài
17:
Cho a, b, c > 1 Chứng minh
rằng:
Giải:
Bài 18:
Cho a, b,
c > 0,
chứng ming rằng:
Giải:
cộng ba bất
=>đpcm
Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
Giải:
Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
Giải:
TT
S
S
48
2 2
a
3
a b c a b c
1 2 32
a b c d a b c d
Trang 6Cần nhớ:
Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng
minh rằng:
Giải:
Bài
22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó
Chứng minh rằng
Giải:
Bài 23:
Cho x, y, z> 0 và Tìm giá trị
nhỏ nhất của
Giải:
Cách1:
Cách 2:
Bài 24:
Cho các số thực
dương x, y, z thỏa
mãn x+2y+3z =18
Chứng minh rằng
Giải:
;
a b c a b c a b c d a b c d
4
a b a b a b a b b c b c b c b c c a c a
2
2
4
x y x2 2 2
P
2
2
x y z
P
4 2
P x y x
2 3z 5 3 5 2 5 51
Trang 7Bài 25:
Chứng
minh bất
đẳng
thức:
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c
là độ dài ba cạnh của một
tam giác có p là nửa chu vi thì
Giải:
Bu- nhi -a ta có:
Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: Tìm giá
trị nhỏ nhất của tổng
Giải:
Bài 28:
Chứng minh rằng
Giải:
Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
(Với x; y là các số thực
dương)
Giải:
Đặt Có
Bài 30:
Cho ba số thực đôi một phân biệt
2 2
a b 1 ab a b
3
2 2 2
a 1; 1b4 1
4 4 3 3
a2 2 b2 2 (12 1 )2 a2 b22 a2 b2 a2 b2 2ab a 2 b2 a4 b4 a b ab3 3
2
2
A
2
x y
, ,
a b c
Trang 8Chứng minh
Giải:
(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho
a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c Chứng ming rằng
Giải:
Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay
đổi thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2
Mà a 3 + ab 2 2a 2 b ;b 3 + bc 2 2b 2 c;c 3 + ca 2 2c 2 a Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0
Suy ra
t = a 2 + b 2 + c 2 , với t 3.
Suy ra P 4 a
= b = c = 1
Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
( ) ( ) ( )
b c c a a b
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
b c c a c a a b a b b c
VT
b c c a a b
3
2 2 2
670
2 2 2
2 2 2
670 3
3
a b c
2 2 2
2 2 2
P a b c ab bc ca
a b b c c a
2 2 2
2 2 2
P a b c ab bc ca
a b c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
P
a b c
a b c
a b c
P t
Trang 9P =
Giải:
có =khi y=2x; khi z=4x; khi z=2y
=>P 49/16
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y
thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
Giải:
Dấu bằng xảy ra khi Vậy Min B là
43 khi
Bài 35
Cho x, y z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5 Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 9
Giải:
và
Tương tự và
x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3 5 – 6 = 9
16x4y z
P=
x y z
1
1
4
4 5
23
x y
B 8x 18y
x; y 1 1 ;
2 3
x; y 1 1 ;
2 3
0 1 x 2 x
10 (x 1)(x 2) 0 2
x 2
x2
2 y
y2
3z 2
z2
Trang 10Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6 Chứng minh rằng
Giải:
Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn Chứng minh rằng:
Giải:
cộng các
vế lại
Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi
là 2p Chứng minh rằng Giải:
hay
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6 Chứng minh rằng:
Giải:
1; 2
a b c 0
2 2 2
6 0
a b c 2
2
2
;
9
p a p b p c
9
p a p b p c
p a p b p c p a p b p c p
8 ( )( )( ) (6 2a) 6 2 6 2 24
3
16 36 ( ) 8 2a 48 ( ) 2 48 (1)
3 2 3
2 2 2 0 4 (2) (1) d(2)
3
Trang 11Có chứng minh được hay
không?
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của
một tam giác có chu vi bằng 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
Có (1) , (2)
(3) Dấu ‘=’ xảy ra
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có: (*)
Từ nên (*) (*)
Ta có
Từ đó (**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi
Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh
của một tam giác có chu vi
bằng 1 Chứng minh rằng
Giải:
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư
2 2 2
3(a b c ) 2a bc18
3 3 3
2 2( ) ( )( )2
a a b c a b c a b c2 2 ( ) ( )( )2
b b c a b c a b c a
( )( )( )
abc abcbcacab
c c a b c a b c a b2 2 ( ) ( )( )2
2
a8 8(a b c ab bc ca abc b) 8((22)(22)(22)abcabc c ) 9 0
8 9 8(abc ab bc ca) 0 9 8(abc ab bc ca) 8
3 3 3 3( )3( )( )3 86( )3
abc abc abcabbcca abc abbccaabc
3 3 3
4( )15 27 24( )3239 8( )32abc abc abc abbcca abc abbcca
3 3 3
4( ) 15 3.(8) 32 8a b c abc
2 3
2 3
3 3 3
3
9a b c abc4
3 3 3
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
3
2 8
3 3 (1) d(2)
3 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 5 3
3 3
à
Trang 12Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng:
Giải:
Chứng minh được
Bài 43:
Cho Chứng minh rằng Dấu
đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
Thật vậy:
3 3 3
3 3 3 2 2 2
2
2 2 2
1
4
1
4 4
2 2 2
x y z xy yz z xxyz8
2 2 2
2 2 2
(6 2 )(6 2 )(6 2 ) 216 72( ) 24( x) 8x
8
3
8
3
2
2 2 2
2
2 2 2
x)+ 36 3x 3 3xz 1
3
x y z
a 1342; b1342
a13422b13422 0;a1342 b13420;a1342 b 1342 0
Trang 13Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải:
Cách 1:
Cách
2:
2
2.1342 2.1342 1342a 1342 1342 0 3.1342 3.1342 2.2013 3.1342
2.2013.1342 2013. a b 2013.a b 1342 1342 2013.a b
14 34 6 1 2 32
4 4 2 2
2
2 2
2 2
4
A
A x
Trang 14Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 Chứng minh rằng:
Giải:
Bài
47
Cho
a,b
là
các
số
thực dương Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
Giải:
Bài
49
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư
1
1
1x y 1y z 1z x
3 3
3 3
1 x
1 x
dpcm
2
a b
a b
a b a b a b a b a b ab a b b b a
1
1 8a 1 8b 1 8c
2
1
a
VT
Trang 15Với a,b,c là ba số thực dương
Chứng minh rằng:
Giải:
Cách 1:
Cách 2
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:
Giải:
3 3 3
2 2 2
3 3 3 4 4 4
2 2 2