Về một lớp bất đẳng thức

Về lớp bất đẳng thức (Phạm Tiến Kha) Trong viết này, khám phá lớp bất đẳng thức có cấu trúc sau: ca ab bc a+b+c + + ≤ xa + yb + zc xb + yc + za xc + ya + zb x+y+z x, y, z số Hãy bắt đầu với toán đơn giản sau đây: Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ca ab bc a+b+c + + ≤ c + a + 2b a + b + 2c b + c + 2a Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: 1 ≤ c + a + 2b 1 + c+b a+b ca ≤ c + a + 2b ca ca + c+b a+b Suy Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế: ca ≤ c + a + 2b ca + c+b ca a+b = a Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c > Nhận xét: Bài toán ví dụ điển hình kĩ thuật tách ghép bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Kĩ thuật tách ghép ý tưởng chủ đạo để ta giải lớp bất đẳng thức viết Chúng ta tiếp tục với toán khó đôi chút: Bài Cho a, b, c > Chứng ming rằng: ca ab bc a+b+c + + ≤ c + 4a + 4b a + 4b + 4c b + 4c + 4a Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: 1 = ≤ c + 4b + 4a 2(2a + b) + (2b + c) + 2a + b 2b + c Suy ca ≤ c + 4b + 4a 2ca ca + 2a + b 2b + c Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế: ca ≤ c + 4b + 4a 2ca + 2a + b ca 2b + c = a Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c > Nhận xét: Mấu chốt lời giải chỗ tách c + 4b + 4a = 2(2a + b) + (2b + c) Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ca ab bc a+b+c + + ≤ c + 6b + 9a a + 6c + 9b b + 6a + 9c 16 Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: 1 = ≤ c + 6b + 9a 3(3a + b) + (3b + c) 16 + 3a + b 3b + c Suy ca ≤ c + 6b + 9a 16 3ca ca + 3a + b 3b + c Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế: ca ≤ c + 6b + 9a 16 3ca + 3a + b ca 3b + c = 16 a Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c > Nhận xét: Lời giải toán hoàn toàn giống với Mấu chốt khéo léo việc tách a + 9b + 6c = 3(3b + c) + (3c + a) Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ca ab bc a+b+c + + ≤ 36a + 84b + 49c 36b + 84c + 49a 36c + 84a + 49b 169 Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: 1 ≤ 36a + 84b + 49c 169 + 6a + 7b 6b + 7c ca ≤ 36a + 84b + 49c 169 6ca 7ca + 6a + 7b 6b + 7c Suy Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế: ca ≤ 36a + 84b + 49c 169 6ca + 6a + 7b 7ca 6b + 7c = 169 a Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c > Nhận xét: Bài 4, lần nữa, hoàn toàn tương tự Nhưng có lẽ bạn đọc thấy việc sử dụng "trực giác" để tách ghép có phần khó khăn hơn, đơn giản hệ số mẫu trông cồng kềnh Một câu hỏi tự nhiên: liệu có kĩ thuật tách ghép tổng quát cho lớp bất đẳng thức này? Hãy nhìn lại lời giải 2, 4, mấu chốt vấn đề nằm kĩ thuật tách ghép: (Bài 2:) c + 4a + 4b = 2(2a + b) + (2b + c) (Bài 3:) c + 6b + 9a = 3(3a + b) + (3b + c) (Bài 4:) 49c + 84b + 36a = 6(6a + 7b) + 7(6b + 7c) √ √ Một cách tổng quát, vế trái đẳng thức có dạng xc + yb + za, x z = y Điều gợi cho ta đẳng thức (α + β)2 = α2 + β + 2αβ = α(α + β) + β(β + α) Tiếp tục nhìn qua vế phải Để ý chút, ta nhận thấy vế phải tách thành dạng √ √ √ √ √ √ x( x.a + y.b) + y( x.b + y.c) Lưu ý cách tách đảm bảo dấu sử dụng Cauchy-Schwarz, cộng vế theo vế cộng phân thức có mẫu với khử mẫu (còn lại a) √ √ Như vậy, ta giải dạng lớp bất đẳng thức ban đầu, x z = y hay hoán vị tương ứng Việc giải dạng làm bạn hài lòng? Tôi chưa, thật dạng dạng nhỏ (và đặc biệt) lớp bất đẳng thức ban đầu Hãy xét tiếp ví dụ sau: Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ca ab bc a+b+c + + ≤ 3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b 12 Lời giải Xét phân thức đại diện: ca 3a + 4b + 5c Rõ ràng bất đẳng thức không giống với dạng Tuy nhiên, kĩ thuật tách ghép áp dụng được, thật ta cần sử dụng hết lượng b, a c dư sau tách ghép ca ≥ a, ngược dấu với bất đẳng thức cần chứng (nếu dư lượng b sau lại b minh) Giả sử ta có phân tích: 3a + 4b + 5c = α.a + β(β.a + γ.b) + γ(β.b + γ.c) Đồng hệ số hai vế, ta hệ phương trình:     α + β = 2βγ =    γ = Việc giải hệ phương trình dễ dàng Ta thu α = √ 11 , β = √ , γ = 5 Sau lời giải hoàn chỉnh: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:  11 √ √ √  ca 49ca  5   ≤ + + √ √   2 3a + 4b + 5c 720 √ a √ a + 5b √ b + 5c 5  √ √ 2 (Chú ý dấu xảy a = b = c, tức √ a + 5b = √ b + 5c = √ a Vì 5 sử dụng Cauchy-Schwarz ta cần đảm bảo dấu trên) Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế: 11 √ ca + √ a  ca 49   ≤ 3a + 4b + 5c 720  = √ ca √ + √ a + 5b  √ 5ca   √  √ b + 5c a+b+c 12 Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c > Nhận xét: Lời giải trông cồng kềnh (một lời giải khác cho trình bày phần sau), lại mang tính tổng quát cao Tất tính toán thực xác dựa phương trình, hệ phương trình hoàn toàn không dựa "trực giác" Đó lợi lớn phương pháp Vẫn khúc mắc nhỏ Ở đầu giải, ta khẳng định cần sử dụng hết lượng b, a c dư Liệu a c dư? ca Giả sử a, c dư Ta xét phân thức đại diện , cụ thể mẫu xa + yb + zc Ta xa + yb + zc chứng minh có phép phân tích xa + yb + zc = α1 a + β.c + γ1 (γ1 a + θ1 b) + θ1 (γ1 b + θ1 c) có phép phân tích tương ứng xa + yb + zc = α2 a + γ2 (γ2 a + θ2 b) + θ2 (γ2 b + θ2 c) Thật Trước hết ta có: α1 a + β.c + γ1 (γ1 a + θ1 b) + θ1 (γ1 b + θ1 c) = α2 a + γ2 (γ2 a + θ2 b) + θ2 (γ2 b + θ2 c) Đồng hệ số hai vế:   2   α2 + γ2 = α1 + γ1 2γ2 θ2 = 2γ1 θ1    θ = β + θ 2 (∗) (Ở ý α1 , α2 , β, γ1 , γ2 , θ1 , θ2 > 0) Từ phương trình thứ ba suy θ2 = β + θ12 Thế vào phương trình thứ hai, suy γ2 = γ1 θ1 β + θ12 Cuối cùng, vào phương trình thứ nhất, ta được: α2 = α1 + γ12 − α1 β + α1 θ12 + γ12 β γ12 θ12 = >0 β + θ12 β + θ12 Điều có nghĩa hệ (∗) có nghiệm dương α2 , γ2 , θ2 , tức ta chứng minh a, c dư Bài tập: Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ca ab bc a+b+c + + ≤ 43c + 12a + b 43a + 12b + c 43b + 12c + a 56 Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ca ab bc a+b+c + + ≤ 10c + 42a + 49b 10a + 42b + 49c 10b + 42c + 49a 101 PHỤ LỤC NHỮNG CÁCH GIẢI KHÁC Những toán phần không hẳn có cách giải trình bày Sau ta xem xét cách giải khác toán Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab bc a+b+c ca + + ≤ 43c + 12a + b 43a + 12b + c 43b + 12c + a 56 Lời giải Chuẩn hóa a + b + c = Bất đẳng thức tương đương: ca ≤ 42c + 11a + 56 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: ca ca ≤ 42c + 11a + 56 42 11 + +3 c a Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế: ca ≤ 42a + 11c + 3ca 42c + 11a + 56 ≤ 53 a + (a + b + c)2 56 = 56 Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét: Cách giải sử dụng chuẩn hóa ngắn gọn, khả áp dụng phương ca pháp không nhiều Xét phân thức đại diện điều kiện để chuẩn hóa thành công xa + yb + zc y = {x, y, z} Ta tiếp tục đến với ý tưởng khác: Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab bc a+b+c ca + + ≤ 3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b 12 Lời giải Để ý rằng: 3a + 4b + 5c = 2(a + b) + 2(c + b) + a + 3c Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:  ca  2 ca  ≤ 2 + + + 2 3a + 4b + 5c a + b c + b 2a 2c  Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế:  ca  ≤ 2 3a + 4b + 5c = 2ca + a+b 2ca + c+b  ca ca +   2a 2c a+b+c 12 Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c > Nhận xét: Dạng tổng quát phương pháp tách ghép Bài 1, ta tách: c + a + 2b = (c + b) + (a + b) Một cách tổng quát hơn, xét phân thức đại diện ca điều kiện để áp dụng cách xa + yb + zc tách  y  x≥       z ≥ y Có thể thấy ứng dụng phép tách rộng (vì điều kiện sử dụng thoáng dễ gặp hơn) Tuy nhiên, sánh phương pháp tách ghép tổng quát nêu phần (bằng chứng 2, 3, 7) Đó điều tác giả muốn khẳng định với bạn đọc qua phần Phụ lục Mong qua viết nhỏ này, bạn nhận điểm mạnh, điểm yếu phương pháp để áp dụng linh hoạt việc giải lớp bất đẳng thức đề cập Mọi ý kiến đóng góp để hoàn thiện viết xin gửi vào hộp mail khapham_1411@yahoo.com Xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Diễn đàn MathScope: http://forum.mathscope.org/index.php