Tuyển tập Bất Đẳng Thức trong kỳ thi Olympic Toán Học 10

30 BÀI TOÁN BĐT - Cực Trị Đề thi OLYMPIC Toán Học 10 Bài Toán (THPT Quốc Học Huế) Cho số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện ax − b y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = a + b + x + y + bx + a y Lời giải b Ta có:F = x + 2 a −b −a + (a + b ) Đặt:M = (x; y), A = ; , (∆) : ax − b y = 2 b a Ta có: M A = x + + y+ Mà M ∈ (∆) nên M A ≥ [d (A; ∆)]2 = 2 a + b2 Dấu ‘=’ xảy M hình chiếu A (∆) 3 3 Suy F ≥ + (a + b ) ≥ (a + b ) = 2 a +b a +b Vây Mi n F = đạt chẳng hạn (a; b; x; y) = 2; 0; ; 2 + y+ (THPT Chu Văn An - Ninh Thuận) Bài Toán Cho x, y, z dương Chứng minh rằng: x 25y 4z + + > y +z z +x x +y Lời giải   b +c −a   x= a, b, c >           b +c > a a = y +z  a +c −b Do x, y, z dương =⇒ Đặt: b = z + x =⇒ y =    a +c > b        c =x+y    a +b > c z = a +b −c (1) Khi ta có: x 25y 4z b + c − a 25(a + c − b) 4(a + b − c) + + = + + y +z z +x x +y 2a 2b 2c c 25c 2b b 25a 2a = + + + + + − 15 ≥ + 2.1 + 2.5 − 15 2b 2a c 2b c 2a b 25a   =     2a 2b    c  b = 5a a b c a + 2c 2a Đẳng thức xảy ⇐⇒ c = 2a ⇐⇒ = = = =   5 2a c     5c = 2b  25c 2b   = b c (AM −G M ) =⇒ b = a + 2c > a + c mâu thuẫn với (1) =⇒ Dấu ‘=’ không xảy x 25y 4z Vậy + + > (Dpcm) y +z z +x x +y (THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang) Bài Toán Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : ≥ a ≥ b ≥ c > 0; 3abc ≤ min{6a + 8b + 12c; 72}; 2ab ≤ mi n{3a + 4b; 24} Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a + b + c + a + b + c Lời giải 4+3+2 = c 4 + + + (b − c) + + (a − b) a b c a b a 24 12 + (b − c).2 + (a − b) abc ab ≥ 3c + 2(b − c) + (a − b) = a + b + c ⇒ a +b +c ≤ (1) Dấu ‘=’ xảy a = 4; b = 3; c = ≥ c.3 Ta lại có: 2 32 42 32 22 2 2 + + + (b − c ) + + (a − b ) a2 b2 c a2 b2 a2 42 32 22 3 12c + 6a + 8b ≥3 + + ≥ + + = a2 b2 c a b b c a c abc 42 32 4b + 3a + ≥2 + ≥ = a2 b2 a b ab Suy ra: 42 + 32 + 22 ≥ 3c + 2(b − c ) + (a − b ) = a + b + c (2) Từ (1) (2) ta suy ra:P ≤ 38.Dấu ‘=’ xảy ⇐⇒ a = 4, b = 3, c = Vậy M ax P = 38 Đạt a = 4, b = 3, c = 42 + 32 + 22 = c (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hịa) Bài Tốn Cho x > 1; y > 2; z > 3; + + = Chứng minh rằng: x y z x +y +z ≥ x −1+ y − + z − Lời giải Ta có: x −1+ y −2+ z −3 = x x −1 + x y −2 + z y y Theo BĐT BCS suy ra: x −1+ y −2+ z −3 ≤ x + y + z x −1 y −2 z −3 + + x y z + + x y z ⇐⇒ x −1+ y −2+ z −3 ≤ x + y + z ⇐⇒ x −1+ y −2+ z −3 ≤ x + y + z (Dpcm) 3− z −3 z Bài Toán (THPT Chuyên Tiền Giang-Tiền Giang) Cho số thực a, b, c, d thỏa: a + b = 1; c + d = Chứng minh rằng: ac + bd + cd ≤ 9+6 Lời giải Goi M (a; b), N (c, d ) Vì a + b = nên điểm M nằm đường tròn (C ) : x + y = Vì c + d = nên N nằm đường thẳng ∆ : x + y − = Ta có:M N = (c − a)2 + (d − b)2 = a + b + c + d − 2ac − 2bd = a + b + (c + d )2 − 2cd − 2ac − 2bd = 10 − 2(ac + bd + cd ) MN2 Kẻ OH ⊥∆,OH ∩ (C ) = K Suy ra: ac + bd + cd = − HK Ta thấy M N ≥ H K ⇒ ac + bd + cd ≤ − 3 2 11 − ; , H ; nên H K = Do K 2 2 Suy ac + bd + cd ≤ − 11 − + = (Dpcm) 4 Bài Toán (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP.HCM) Cho a, b, c dộ dài cạnh tam giác thỏa mãn: a + b + c + = 2(ab + bc + c a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 9(a + b + c ) − 2ab − 2bc − 14c a Lời giải   x = b +c −a z +x x+y y +z Đặt: y = c + a − b =⇒ x, y, z > 0; a = ;b = ;c =  2  z = a +b −c Ta có: a + b + c + = 2(ab + bc + c a) y +z z +x x+y y +z z +x z +x x +y x +y y +z + + +1 = + + 2 2 2 2 ⇐⇒ x y + y z + zx = z +x x+y y +z z +x y +z z +x y +z x +y y +z P =9 + + −2 −2 − 14 = 4(x + z ) + y 2 2 2 2 2 Với α > ta có: y2 y2 α α α α αx + ≥2 x y; αz + z y (x + z ) ≥ xz 2 2 2 α α α =⇒ α + (x + z ) + y ≥ x y + y z + zx = (1) 2 Ta  tìm α thỏa mãn:    α > α > α 33 − 17 − 33 ⇐⇒ ⇐⇒ = ⇐⇒ α = α α α   4 α+ 2 =4 + −4 = 2 ⇐⇒ 33 −     x, y, z >      x=z=   x y + y z + zx =     2α + ⇐⇒ Dấu ‘=’ xảy 2αx = y   2α     2   y= 2αz = y     2α +  x=z 33 − Vậy Mi n P = Suy (1) trở thành: P ≥ (THPT Chuyên Bến Tre - Bến Tre) Bài Toán Cho x + y − x y = Tìm Min Max biểu thức: M = x + y − x y Lời giải 2 Ta có: x + y − x y = =⇒ = x + y − x y ≥ 2x y − x y = x y =⇒ −1 ≤ xy ≤ = (x + y) − 3x y ≥ −3x y Mặt khác x + y − x y = ⇐⇒ x + y = + x y nên: M = (x + y ) − 3x y = −2x y + 2x y + Đặt t = x y =⇒ M = −2t + 2t + Vậy cần tìm Min Max tam thức bậc hai: −1 ;1 f (t ) = −2t + 2t + đoạn        x = x = − x + y −xy =    −1 3 = Đạt Ta có: Mi n M = f ⇐⇒ hay −1    3 xy =     y =− y = 3    3+   x = x + y −xy = 1 Ta có: M ax M = f ⇐⇒ = Đạt   x y = −1 2   y = 3− 2 Bài Toán (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị) Cho hai số dương a b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A=x a + y + y a + x Với x, y số thực không âm x + y = b Lời giải Áp dụng BĐT BCS ta có: A2 = ( x =⇒ A ≤ ax + x y + y a y + x y) ≤ (x + y)(ax + a y + 2x y) = b(ab + 2x y) ≤ ab + 2b b 4a + 2b b b 4a + 2b Dấu ‘=’ xảy x = y = Vậy M ax A = 2 x+y 2 = b2 (2a + b) A = x a + y + y a + x − (x + y) a + b a = x( a + y − a) + y( a + x − a) + b a ≥ b a (Do x, y số thực không âm) x =0 x =b Dấu ‘=’ xảy hay Vậy Mi n A = b a y =b y =0 Bài Toán (THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ) 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = Tìm Max biểu thức: P= a +b +c 2a + b + c + a + 3b + c + a + b + 4c Lời giải Không tính tổng qt,chuẩn hóa a + b + c = Khi ta có: P = a + + 2b + + 3c + Đặt: m = a + + 2b + + 3c + 1, c = a + 1, y = 2b + 1, z = 3c + Suy ra:m = + 2(x y + y z + zx) + b + 2c ≥ + 2(x y + y z + zx) => 2(x y + y z + zx) ≤ m − Ta có: (x − 1)(y − 1) + (y − 1)(z − 1) + (z − 1)(x − 1) ≥ (1) ⇐⇒ 2(x y + y z + zx) − 4m + ≥ ⇐⇒ 2(x y + y z + zx) ≥ 4m − (2) Từ (1) (2) suy ra: m − 4m + ≥ ⇒ m ≥ + ⇒ P ≤ 2+ Dấu ‘=’ xảy a = 1; b = c = Vậy M ax P = 2+ Bài Toán 10 (THPT Chuyên Thăng Long - Đà Lạt Lâm Đồng) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z +x +z = y Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x2 + − y2 + + z2 + Lời giải x z Ta có: x y z + x + z = y ⇔ xz + + = Vì x, y, z > nên tồn góc A, B,C ∈ (0; π) y y A B C cho A + B +C = π x = tan , = tan , z = tan Từ ta có: y 2 2B 2tan 2 A B C P= − + = 2cos2 − 2sin2 + 3cos2 A B C 2 tan2 + tan2 + tan2 + A −B C C A −B + = −3 sin − cos + cos2 +3 2 3 A −B 10 =⇒ P ≤ cos2 +3 ≤ 3 A=B 10 Dấu ‘=’ xảy Vậy M ax P = C  sin = 3 = cos A + cos B − 3sin2 Bài Tốn 11 (THPT Chun Hùng Vương-Bình Dương) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c ∈ N ∗ thỏa mãn phương trình: a n + b n = c n với n ∈ N ∗ min(a, b) ≥ n Lời giải Có thể giả sử a ≤ b nên mi n (a, b) = a Suy c > b Vậy c ≥ b + =⇒ c n ≥ (b + 1)n = b n + nb n−1 + + =⇒ c n ≥ b n + nb n−1 =⇒ a ≥ n Bài toán chứng minh Bài Toán 12 (THPT Bạc Liêu - Bạc Liêu) 2 Cho hai số dương a, b thỏa a + b = Tìm giá trị lớn P = b(a + b) Lời giải a = sin α π cho b = cos α 1 π sin 2α + Suy ra: P = cos α(sin α + cos α) = sin α cos α + cos2 α = (sin 2α + cos 2α + 1) = + 2 π π π 5π Vì α ∈ 0; nên < 2α + ≤ suy < sin 2α + ≤ 4 π π π Do đó: P ≤ + Dấu ‘=’ xảy 2α + = ⇐⇒ α = Vậy M ax P = + 2 2 Do a > 0, b > 0, a + b = nên tồn α ∈ 0; Bài Tốn 13 (THPT Chun Lê Q Đơn - Bình Định) Cho hai số thực dương a, b có a ≥ 2a + 3b ≥ 12 Tìm Min biểu thức: A = a a + b b Lời giải a Do a ≥ =⇒ A= a ≥ 2.2 +      b a ≥ 1;2a + 3b ≥ 12 =⇒ =3 a + a +2 b 2 3   b 2 b + ≥2 a =2 3 + + (3 − 2).1 ≥ b + (3 − 2) a = b ; 3 + (3 − 2) = 3 + 2   Vậy Mi n A = 3 + 2 đạt a = 3; a 2a + 3b = 12 ⇐⇒ a =3 b=2 (THPT TX Sa Đéc-Đồng Tháp) Bài Toán 14 Cho x > 0; y > 0; z > Chứng minh 9y 16z x + + > y +z z +x x +y Lời giải Có thể giải tương tựnhư Bài  b +c −a  x = a, b, c >        a = y + z    b +c > a   a +c −b Đặt: b = z + x =⇒ y = Do x, y, z dương =⇒  a +c > b         c =x+y   a + b − c  a +b > c z = (1) Khi ta có: x 9y 16z b + c − a 9(a + c − b) 16(a + b − c) + + = + + y +z z +x x +y 2a 2b 2c b 9a c 8a 9c 8b = + + + + + − 13 ≥ + 2.2 + 2.6 − 13 = 2a c 2b c 2a 2b 9a b   =      b = 3a  2a 2b   a b c a + 2c c 8a ⇐⇒ c = 2a ⇐⇒ = = = Đẳng thức xảy =   3 2a c     3c = 2b  9c 8b   = 2b c =⇒ b = a + 2c > a + c mâu thuẫn với (1) =⇒ Dấu ‘=’ không xảy x 9y 16z Vậy + + > (Dpcm) y +z z +x x +y (AM −G M ) Bài Toán 15 Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh: a b c + + + c a b abc ≥ 10 9(a + b + c ) Lời giải a a c 3a a + + ≥3 = (1)‘ c c b bc abc c c b 3c b b a 3b Tương tự: + + ≥ (2), (3) + + ≥ b b a a a c abc abc a b c Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta có: + + ≥ c a b abc a b c 8 10 3 Suy ra: + + + abc ≥ + abc = + + abc ≥ + = c a b 3(a + b + c) 3 abc abc abc 10 10 10 Mặt khác: = ≥ (**) 3(a + b + c)2 9(a + b + c ) Từ (*) (**) ta suy điều phải chứng minh Dấu ‘=’ xảy a = b = c = Áp dụng BĐT AM-GM ta có: (*) (THPT Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế) Bài Toán 16 Xét a, b, c > tùy ý Tìm giá trị lớn của: T= abc (1 + a)(1 + a + b)(1 + a + b + c) Lời giải a b c ;v = ;w = ;s = 1+a (1 + a)(1 + a + b) (1 + a + b)(1 + a + b + c) 1+a +b +c Khi ta có: u + v + w + s = T = uv w s 1 u +v +w+s =⇒ T ≤ Áp dụng BĐT AM-GM,ta có : T ≤ = 256 16 Đặt: u = Dấu ‘=’ xảy :    a=    a b c 1 = = = = ⇐⇒ b =  + a (1 + a)(1 + a + b) (1 + a + b)(1 + a + b + c) + a + b + c     c =2 Vậy M ax T = 16 (THPT Chuyên Bến Tre - Bến Tre) Bài Toán 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn + + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c T = a + b + c Lời giải Vì + + = nên : a b c T = a + b + c = (a + b + c) 3b 2a 3c a b 2c + + = + + + + + +6 a b c a b a c c b ≥ + + 2 + = + 2( + 1) + ( + 1) = Dấu  ‘=’ xảy : 3+ 2+1 3b 2a   =    a b      a =c   3c a    a = 3+ 3+    =    a c ⇐⇒ b = c ⇐⇒ b = + +    b 2c     =     + + = c = 1+ 2+    c b  c c c     + +1 =1 a b c Vậy M ax T = + + (THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng) Bài Toán 18 Cho a, b, c > : abc = 1.Tìm GTLN của: P= 2a + b + c + + a + 2b + c + + a + b + 2c + Lời giải 1 1 ≤ + ,ta có : a +b a b 1 1 = ≤ + 3 3 3 3 2a + b + c + a + b + + a + c + a + b + a + c + 1 1 ≤ + (1) 3 3 2a + b + c + a + b + a + c + 1 1 Tương tự: ≤ + (2) 3 3 a + 2b + c + a + b + b + c + 1 1 ≤ + (3) 3 3 a + b + 2c + a + b + a + c + 1 1 Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta suy ra: P ≤ + + a3 + b3 + b3 + c + a3 + c + Áp dụng BĐT quen thuộc sau : (*) Mặt khác: Ta có: a + b ≥ ab(a + b) =⇒ a + b + ≥ ab(a + b) + abc =⇒ a + b + ≥ ab(a + b + c) 1 c =⇒ ≤ =⇒ ≤ 3 a + b + ab(a + b + c) a +b +1 a +b +c a b ≤ ; ≤ Tương tự: 3 b + c + a + b + c c + a3 + a + b + c 1 Suy ra: + + ≤ (**) 3 a + b + b + c + a + c3 + 1 Từ (*) (**) ta suy ra: P ≤ Dấu ‘=’ xảy a = b = c = Vậy M ax P = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng-Cần Thơ) Bài Toán 19 2007 c +1 Cho 3số thực dương a, b, c thỏa: + ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu a + 2008 + b 2007 + c thức: P = (a + 1)(b + 1)(c + 1) Lời giải Đăt: x = a + 1; y = b + 1; z = c + Khi đó: 2007 c +1 2007 z 2007 2006 + ≤ =⇒ + ≤ ⇐⇒ + + ≤ (1) a + 2008 + b 2007 + c x + 2007 + y 2006 + z x + 2007 + y 2006 + z Từ (1) áp đụng BĐT AM-GM ta có: x 2007 2006 = 1− ≥ + ≥2 x +1 x + 2007 + y 2006 + z Tương tự: y ≥2 2007 + y 2006 (3) x + 2006 + z 2007 2006 x =⇒ ≥2 2007 + y 2006 + z x +1 z ≥2 2006 + z 2007 2006 (2) 2007 + y 2006 + z 2007 (4) 2007 + y x + Nhân vế theo vế (1),(2) (3) ta có: x y z ≥ 8.2006.2007 =32208336  x =2   a =  2007 2006 Dấu ‘=’ xảy khi: = = = ⇐⇒ y = 4014 =⇒ b = 4013   x + 2007 + y 2006 + z   c = 4011 z = 4012 Vây Mi n P = 32208336 Bài Toán 20 (THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi) Chứng minh rằng:∀a, b thỏa mãn a + b > 0, a = b ta có: 22007 (a 2008 + b 2008 ) > (a + b)2008 (1) Lời giải Ta có: (1) ⇔ a 2008 + b 2008 a +b > 2 2008 Xét BĐT tổng quát sau: a +b an + bn ≥ 2 n (*) ∀n ≥ Ta chứng minh (*) quy nạp Thật vậy: Với n = ,(*) đúng.Dấu ‘=’ không xảy a + b > 0, a = b a + b k ak + bk < Ta chứng minh BĐT với n = k + 2 a + b k+1 a k+1 + b k+1 a + b k+1 a + b k a + b ak + bk a + b Tức chứng minh: < Thật vậy: = < 2 2 2 a k + b k a + b a k+1 + b k+1 Ta cần chứng minh: < 2 ⇐⇒ a k + b k (a + b) < 2a k+1 + 2b k+1 ⇐⇒ a k+1 − a k b + b k+1 − b k a > ⇐⇒ (a − b)(a k − b k ) > (2) Giả sử BĐT với n = k tức (2) a = b , a − b a k − b k dấu Bài toán chứng minh Bài Toán 21 (THPT Chuyên Trà Vinh-Trà Vinh) Cho số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn điều kiện: 24 1 1 1 + + ≤ 1+2 + + x y z x y z P= (∗) Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 + + 30x + 4y + 2008z 30y + 4z + 2008x 30z + 4x + 2008y Lời giải 1 1 ≥0⇔ ≥ − − (1) Dấu ‘=’ xảy x = x x 3x 36 1 Tương tự: ≥ − (2) Dấu ‘=’ xảy y = y 3y 36 1 ≥ − (3) Dấu ‘=’ xảy z = z 6z 36 Ta có: Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta được: 1 1 1 1 1 1 1 + 2+ 2≥ + + − ⇒ 24 + + ≥ + + − (4) x y z x y z 12 x y z x y z 1 1 1 1 1 Từ (*) (4) ta suy ra: + + − ≤ + + + ⇔ + + ≤ x y z x y z x y z 10 Áp dụng BĐT AM-GM cho 2042 số dương ta có: 30x + 4y + 2008z ≥ 2042 2042 x 30 y z 2008 30 2008 + + ≥ 2042 2042 30 2008 x y z x y z (5), (6) Nhân vế theo vế (5) (6) ta được: 30 2008 1 30 2008 + + ≥ 20422 ⇔ ≤ + + x y z 30x + 4y + 2008z 2042 x y z 30 2008 Tương tự: ≤ + + (8) 30y + 4z + 2008x 20422 y z x 30 2008 1 ≤ + + (9) 30z + 4x + 2008y 2042 z x y 1 1 + + ≤ Cộng vế theo vế (7),(8) (9) ta suy ra: P ≤ 2042 x y z 4084 Dấu ‘=’ xảy x = y = z = Vậy M ax P = 4084 30x + 4y + 2008z (7) Bài Toán 22 (THPT Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a3 b3 + a + (b + c)3 b + (c + a) c3 + c + (a + b)3 ≥ Lời giải Theo AM-GM với x ≥ 0ta có: Áp dụng: a3 a + (b + c)3 = b3 Tương tự: b + (c + a)3 + x3 = 1+ ≥ b+c a (1 + x)(1 − x + x ) ≤ + ≥ b2 a2 + b2 + c 1 + 21 b+c a ≥ + b a+c 2 c3 (2), c + (a + b)3 x2 = a2 a2 + b2 + c (1) ≥ c2 a2 + b2 + c (3) Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta suy ra: a3 b3 + b + (c + a) Dấu ‘=’ xảy a = b = c a + (b + c) + c3 c + (a + b)3 (THPT Chuyên Thăng Long Đà Lạt-Lâm Đồng) Bài Toán 23 Cho số thực a = Chứng minh: a2 + a + + a2 < ≥ (Dpcm) 1 + + 16a + + 16a Lời giải Đăt:x = a , x2 = a2 + a , , x n = a2 + a + + 11 a2 (n dấu căn) a2 + (với x i = a + + a i số dấu căn) (1) Do a > 0nên ta có:x n > x n−1 Từ (1) suy ra:x n2 = a + x n−1 ⇒ x n2 < a + x n ⇒ x n2 − x n − a < ⇒ x n < Áp dụng BĐT + 4 (a + a )2 + (b + b )2 ≤ + a2 + 16 + (a + a)2 ≤ Từ (1) (2) ta suy ra: x n < Hay a2 + a + + + 41 a2 < a 12 + b 12 + + a2 = 16 + + 4a 2 (1) a 22 + b 22 với a , a , b , b ∈ R,ta có: + 16a + + 16a + 4a = (2), + 16a + + 16a 2 1 + + 16a + + 16a (Dpcm) (THPT Chun Quang Trung-Bình Phước) Bài Tốn 24 Cho số x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + x y + y + 4y z + y + y z + z2 + 4xz + z + zx + x 3 ≥ 4x y + Lời giải ∗)Với a, b dương ta có: a + ab + b = 3 (a − b)2 + (a + b)2 ≥ (a + b).Dấu ‘=’ xảy a = b 4 ∗) Ta có BĐT quen thuộc:4ab ≤ (a + b)2 Áp dụng: x2 + x y + y y + y z + z2 z + zx + x x+y y +z z +x + + ≥ + + 4y z + 4xz + 4x y + 4y z + 4xz + 4x y + x+y y +z z +x + + 2 2 (y + z) + (z + x) + x + y +1 y + y z + z2 z + zx + x x+y y +z z +x + ≥ + + 2 4xz + 4x y + (y + z) + (z + x) + x + y +1 ≥ =⇒ x2 + x y + y + 4y z + (1) Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x ta có: a, b, c > a + b + c = Khi (1) trở thành: x2 + x y + y + 4y z + y + y z + z2 + 4xz + z + zx + x b c a ≥ + + 2 4x y + b +1 c +1 a +1 (2) Ta có: a b c ab bc c a2 (a + b + c)2 ≥ 3− + + = a +b +c − + + (ab +bc +c a) ≥ 3− = (3) b2 + c + a2 + b2 + c + a2 + x2 + x y + y y + y z + z2 z + zx + x 3 Từ (2) (3) ta suy ra: + + ≥ (Dpcm) 4y z + 4xz + 4x y + (THPT Chuyên Bạc Liêu-Bạc Liêu) Bài Toán 25 30 30 30 30 x y z t + + + 4 y z t x Trong x, y, z, t số thực dương thỏa mãn: x + y + z + t = 2008 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 12 Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM cho 30 số dương ta có: x 30 y 502 y 30 + 4y + 25.502 ≥ 30x 25 z 30 t 50225 z 50225 t 30 + 4t + 25.502 ≥ 30z x 50225 + 4z + 25.502 ≥ 30y + 4x + 25.502 ≥ 30t Cộng vế theo vế BĐT ta có: x 30 y 30 z 30 t 30 x 30 y 30 z 30 t 30 25 + + + ≥ 2008.502 ⇐⇒ + + + ≥ 4.50226 y4 z4 t4 x4 y4 z t x Dấu ‘=’ xảy x = y = x = t = 502 Vậy giá trị M ax cần tìm 4.50226 Bài Tốn 26 (THPT Chuyên Huỳnh Thúc Kháng-Quảng Nam) Cho a, b, c cạnh tam giác x, y, z số thực thỏa mãn ax + b y + c z = Chứng minh rằng: x y + y z + zx ≤ Lời giải Từ ax + b y + cz = ⇐⇒ z = − ax + b y c (1) ax + b y (x + y) ≤ ⇐⇒ c x y − (ax + b y)(x + y) ≤ ⇐⇒ ax + x y(a + b − c) + b y ≥ c ∗.Xét y = (2) ⇐⇒ ax ≥ suy (2) Dấu ‘=’ xảy khi:x = y = z = x x ∗.Xét y = (2) ⇐⇒ a + (a + b − c) + b ≥ (3) y y x x x Xét tam thức bậc hai: f =a + (a + b − c) + b (a > 0) y y y 2 2 Có: ∆ = (a + b − c) − 4ab = a + b + c − (2ab + 2bc + 2c a) (4) Do a, b, c cạnh  tam giác:   a − 2ab + b < c    |a − b| < c  =⇒ |b − c| < a =⇒ b − 2bc + c < a =⇒ a + b + c < 2ab + 2bc + 2c a (5)      c − 2c a + a < b |c − a| < b ⇐⇒ x y − (2) x > (do (a > 0) ) =⇒ (3) y Vậy toán chứng minh Dấu ‘=’ xảy x = y = z = Từ (4) (5) suy ra:∆ < =⇒ f Bài Toán 27 (THPT Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Cho x, y, z số thực khơng âm Tìm giá trị lớn biểu thức: y2 z2 x2 P= + + 4x + 3y z + 4y + 3zx + 4z + 3x y + Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 4x + = 2(x + x + 1) ≥ 2.3 x x = 6x Dấu ‘=’ xảy x = Tương tự: 4y + ≥ 6y Dấu ‘=’ xảy y = 4z + ≥ 6z Dấu ‘=’ xảy z = 13 Nếu ba số x, y, z P = Nếu hai ba số x, y, z ,chẳng hạn y = z = P = Dấu ‘=’ xảy x = 1; y = z = Nếu ba số 0,chẳng hạn z = 0, P = x2 ≤ 4x + x2 y2 + ≤ 3 4x + 4y + Dấu ‘=’ xảy x = y = 1; z = Nếu ba số dương ta có: x2 y2 z2 1 1 + + = + + y z zx 6x + 3y z 6y + 3zx 6z + 3x y + 2 + y 2 + x 2y x z yz zx xy Đặt: a = , b = , c = a, b, c > abc = Khi đó: x y z 1 1 12 + 4(a + b + c) + ab + bc + c a P≤ + + = (2) 2+a 2+b 2+c + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + c a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:ab + bc + c a ≥ ab.bc.c a = (Do abc = ) Suy ra: + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + c a) ≥ 12 + 4(a + b + c) + ab + bc + c a (3) Từ (2) (3) suy ra:P ≤ Dấu ‘=’ xảy a = b = c = ⇒ x = y = z = Vậy M ax P = Đạt số x, y, z có hai số số cịn lại 0,hoặc ba số P≤ Bài Tốn 28 (THPT Chun Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh) Cho x, y, z ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện:x + y + z = Tìm Min Max biểu thức: P = x y + y z + zx − 2x y z Lời giải Ta có:P = x y(1 − z) + xz(1 − y) + y z ≥ 0.Do x, y, z ≥ x +y +z =1 nên 1−z ≥ 1− y ≥ Dấu ‘=’ xảy số x, y, z có hai số số Vậy Mi n P = Áp dụng BĐT quen thuộc sau: (x + y − z)(y + z − x)(x + z − y) ≤ x y z ⇐⇒ (1 − 2x)(1 − 2y)(1 − 2z) ≤ x y z ⇐⇒ − 2(x + y + z) + 4(x y + y z + zx) − 8x y z ≤ x y z ⇐⇒ 4(x y + y z + zx) ≤ 9x y z + 9x y z 9x y z xyz ⇐⇒ x y + y z + zx ≤ + =⇒ P ≤ + − 2x y z = + (1) 4 4 4 1 Ta có: x + y + z ≥ 3 x y z ⇐⇒ x y z ≤ ⇐⇒ x y z ≤ (2) 27 Từ (1) (2) suy ra:P ≤ 27 x =y =z ≥0 Dấu ‘=’ xảy ⇐⇒ x = y = z = Vậy M ax P = 27 x +y +z =1 14 Bài Toán 29 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh) Chứng minh với số nguyên dương n với số thực x ∈ (0; 1) ta có: n x − x ≤ 2n 2n + 1 n 2n + Lời giải 2n 2n Ta có:(1) ⇐⇒ x (1 − x) ≤ 2n + 2n + x x x Áp dụng BĐT AM-GM cho 2n + 1số dương , , , , − x ta được: 2n 2n 2n x 2n 2n + − x x 2n x 2n 2n+1 (1 − x) ≤ = =⇒ (1 − x) ≤ 2n 2n + 2n + 2n (2n + 1)2n+1 2n 2n 2n 2n 2n (2n) 2n = =⇒ x (1 − x) ≤ ⇐⇒ x 2n (1 − x) ≤ 2n+1 2n + 2n + 2n + 2n + (2n + 1) 2n n =⇒ x − x ≤ n (Dpcm) 2n + 2n + 2n Bài Toán 30 Cho a, b, c ba số thực dương.Chứng minh rằng: (THPT Lưu Văn Việt-Vĩnh Long) a + abc b + abc c + abc + + ≥ a3 + b3 + c b +c c +a a +b (1) Lời giải Giả sử a ≥ b ≥ c ,ta có: (1) ⇐⇒ b c a (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) + (c − a)(c − b) ≥ b +c c +a a +b (2) a b ≥ (a − b)(a − c) ≥ 0,nên: b +c c +a a b b b b (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) ≥ (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) ≥ (a − b)2 ≥ b +c c +a c +a c +a c +a c a b c Mà: (c − a)(c − b) ≥ Vậy: (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) + (c − a)(c − b) ≥ a +b b +c c +a a +b Dấu ‘=’ xảy a = b = c Mặt khác,do Suy (2) chứng minh Bài toán chứng minh 15