Bất đẳng thức trong kỳ thi thử đại học 2012

NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC HÀNH TRÌNH CỦA MƠ ƯỚC NGÔ HOÀNG TOÀN LỚP YD-K38 ĐẠI HỌC Y DƯC CẦN THƠ Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC 2012 Phần 1.MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN I Bất đẳng thức AM-GM: Cho a1 , a2 , , an số thực khơng âm ta có: a1  a2   an  n n a1a2 an Đẳng thức xảy a1  a2   an Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n  n  Mà ta thường biết đến phát biểu: Cho a, b  Khi ta có: a  b  ab Đẳng thức xảy khi: a  b Bất đẳng thức viết dạng khác tương đương là: a  b  a b  2 2    ab,  a  b   4ab, a  b  2ab, a  b    2 Cho a, b, c  Khi ta có: a  b  c  3 abc Đẳng thức xảy a  b  c Bất đẳng thức có số ứng dụng khác phổ biến sau: Với số thực a , b, c ta ln có: i a  b  c  ab  bc  ca 2 ii a  b  c iii a  b  c 2 a  b  c    ab  bc  ca  iv a 2b  b 2c  c a  abc  a  b  c  v  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 II Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có : a1 a2 a    n b1 b2 bn Đẳng thức xảy Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel Giả sử a1 , a2 , , an số thực b1 , b2 , , bn số thực dương a  a  a   an  a2 a Khi ta ln có :    n  b1 b2 bn b1  b2   b Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n  n  Khi ta gặp số đánh giá quen thuộc sau: Cho a, b, c  ta có: 2 i a  b  c a  b  c  1 1 ii  a  b  c       a b c III Bất đẳng thức Minkowski 1 a1 , a2 , , an     n p p  n p p  n pp  Cho   p   Khi a  b  a  b      k k k k         k 1   k 1   k 1  b1 , b2 , , bn   Nhưng ta quan tâm nhiều bất đẳng thức quen thuộc sau: i a  b2  c  d  ii a  b2  c  m2  n2  p  iii a12  b12  a2  b2   an  bn  n  a  c   b  d  2  a  m   b  n    c  p  2  a1  a2   an    b1  b2   b  Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Phần 2.TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC GIAI ĐOẠN 2007-2012 Bài 1.Cho x, y , z số thực dương thay đổi thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2  y  z  y y  2z z  y2  z  x  z z  2x x  z2  x  y  x x  2y y Đề thi đại học khối A-2007 Lời giải Ta có: x  y  z   x yz  x x Tương tự ta có: y2  z  x  2y y z2  x  y   2z z Ta tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 2y y 2x x 2z z   y y  2z z z z  2x x x x  y y Đặt a  x x  y y ; b  y y  z z ; c  z z  x x Suy ra: x x  4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a ;y y  ;z z  9 Do :  4c  a  b 4a  b  2c 4b  c  2a  P     9 b c a  2 c a b a b c                 4.3     9 a c a b a a  Đẳng thức xảy khi: x  y  z  Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Bài 2.Cho x, y , z số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x  y  z  P  x    y    z    zx   xy   yz  Đề thi đại học khối B-2007 Lời giải x2  y  z2 x2  y  z2 Ta có: P   xyz  x2   y2   z2  Mà ta có: x  y  z  xy  yz  zx nên P              x  y  z t2 Xét hàm số: f  t    với t  Lập bảng biến thiên f  t  ta suy ra: f  t   , t  t Suy ra:Giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy x  y  z  b a     Bài 3.Cho a  b  Chứng minh rằng:  2a  a    2b  b      Đề thi đại học khối D năm 2007 Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với:   4a b     4b  a   ln  4a a   ln 1   b b 1   với x  Ta có:  x Xét hàm số f  x  f ' x  x    1   x ln x   x ln  x x x 0 Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012  f  x  hàm nghịch biến khoảng  0;   Do f  x  nghịch biến khoảng  0;   a  b  nên f  a   f  b  Điều phải chứng minh Bài 4.Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy   xy  y Đề thi đại học khối B -2008 Lời giải P  x  xy   xy  y   x  xy  x  y  xy  y Nếu y  ta có x  Suy P  Nếu y  Đặt x  ty ,khi đó: 2t  12t P   P   t   P   t  3P  1 t  2t  Với P  ,phương trình 1 có nghiệm t  Với P  ,phương trình 1 có nghiệm khi:  '  2 P  P  36   6  P  P  x  P  6 x  3 ;y  ;y x   10 10 10 10 3 ;y ;y x   13 13 13 13 Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Bài 5.Cho x, y số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn của: P  x  y 1  xy  2 1  x  1  y  Đề thi đại học khối D -2008 Lời giải Ta có: P   x  y 1  xy  2 1  x  1  y    x  y 1  xy      P  4  x  y   1  xy  Khi x  0, y  P   Khi x  1, y  P  Bài 6.Cho hai số thực thay đổi x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ   biểu thức P  x  y  xy Đề thi Cao đẳng khối A-2008 Lời giải   Ta có: P   x  y  x  xy  y  3xy   x  y   xy   3xy Đặt t  x  y Do x  y  nên xy  t2  Suy ra:  t2   t2  P  2t    t  t  6t  3  2    Do  x  y   xy nên t  t   2  t  Xét hàm số: f  t   t  t  6t  với 2  t  2 Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Ta có bảng biến thiên từ suy giá trị lớn P  13 giá trị nhỏ P  7 Bài 7.Chứng minh với số thực dương x, y , z thỏa mãn x  x  y  z   yz ,ta có:  x  y   x  z   x  y  y  z  z  x    y  z  Đề thi đại học khối A-2009 Lời giải Đặt a  x  y , b  y  z , c  z  x Điều kiện toán trở thành: c  a  b  ab Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b  3abc  5c a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 c  a  b2  ab   a  b   3ab   a  b    2  a  b    a  b   a  b  2c 4  a3  b3  3abc  5c   a  b  a  b  ab  3abc  5c3   a  b  c  3abc  5c3   a  b  c  3ab  5c 2  ab  Mà a  b  2c nên  a  b  c  2c 3abc    c  3c Suy điều phải chứng minh   Bài 8.Cho số thực thay đổi x, y thỏa mãn  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thức :     A  x4  y  x y  x2  y  Đề thi đại học khối B-2009 Lời giải 3 Kết hợp  x  y   xy   x  y   xy Suy ra:  x  y    x  y    x  y      A  x4  y  x2 y  x  y   x  y2    x  y4  x2  y   Con đường dẫn đến thành công luyện thân !    Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012  x  y2   2  x  y2   Đặt t  x  y ta có x  y 2    x2  y 1  A   x  y  2  x  y2      x2  y  1  t  ;do A  t  2t  2 9 Xét hàm số f  t   t  2t  ; f '  t   t   với t  Suy giá trị nhỏ A 2 x  y  16 Bài 9.Cho a b hai số thực thỏa mãn  a  b  Chứng minh rằng: a ln b  b ln a  ln a  ln b Đề thi cao đẳng khối A -2009 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ln a ln b  2 a 1 b 1  t  1  2t ln t ln t Xét hàm số f  t   , t   0;1 Ta có: f '  t   t  0, t   0;1 2 t 1  t  1 Do f  t  hàm đồn biến  0;1 Mà  a  b  ,nên f  a   f  b  Suy điều phải chứng minh Bài 10.Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhât giá trị nhỏ    biểu thức: S  x  y y  3x  25 xy Đề thi đại học khối D-2009 Lời giải Con đường dẫn đến thành công tơi luyện thân ! Page NGÔ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Do x  y  ,nên   S  16 x y  12 x  y  xy  25 xy  16 x y  12  x  y   xy  x  y    34 xy  16 x y  xy  12   Đặt t  xy ,ta S  16t  2t  12  x  y ta có  xy  t   Ta tiến hành khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ S 191 16  2 2   2 2  ; ;   x; y          x; y    Giá trị lớn S  25 1 1  x; y    ;  2 2 Bài 11.Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A 1  x xy Đề thi cao đẳng khối A-2010 Lời giải Ta có: A  1 2    2  x x x y xy x x  y Đẳng thức xảy khi: x  y  2x  x  y   8 3x  y Bài 12.Cho sô thực không âm a , b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu   thức : M  a 2b  b c  c a   ab  bc  ca   a  b  c Đề thi đại học khối B-2010 Lời giải Ta có: M   ab  bc  ca    ab  bc  ca     ab  bc  ca  Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Từ 1 ,   từ giả thiết ta suy ra: 3  x  y  z  y  z  x  z  x  y   xy  yz  zx    27  xyz  x  y  y  z  z  x  Suy 27   xyz  x  y  y  z  z  x   xyz  Điều phải chứng minh xyz Bài 142.Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức : F 1    ab  bc  ca Đề thi thử tạp chí tốn học tuổi trẻ lần Lời giải Ta sử dụng hai đánh giá sau: 1    ab  a  b2 a4    a2 18 Từ dễ dàng suy giá trị lớn F 1.Đẳng thức xảy khi: a  b  c  Bài 143.Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn a  b  c   a  b  c   Chứng minh rằng: ab   a  b  bc  b  c   ca  c  a  3 Đề thi thử tạp chí tốn học tuổi trẻ lần Lời giải Từ giả thiết ta có: a  b  c  ab  bc  ca  Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 117 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 ab   a  b    bc  b  c  2ab  a  b  ca   c  a  2bc  b  c   3 2ca  c  a 6 2ab  a  b  c  ab  bc  ca a  b  1   2bc  a  b  c  ab  bc  ca b  c   2ca  a  b  c  ab  bc  ca c  a   b  c  c  a     c  a  a  b     a  b  b  c   2 a  b b  c  a  c  b  c  c  a    c  a  a  b    a  b  b  c   2 a  b b  c  a  c Bất đẳng thức theo AM-GM ta có điều phải chứng minh Bài 144.Cho ba số thực dương a , b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P b  c  2a   4a  3c   12  b  c  3b 2a  3c Đề thi thử tạp chí tuổi trẻ lần Lời giải Ta có: P5  3b  c  2a   4a  3c  12  b  c    4 1 3b  2a  3c   3b 2a   3c 3c   2a 2a   3b  2a         2a  3c  2c 3b   2a 3b   2a 3b   2  3b  2a  4.2a 4.3c  2a  3c 3b  2a      4     4.2  10 2a  3b 3b  2a 2a  3c  3b  2a 2a  3c  Suy Pmin  2a  3b  3c Con đường dẫn đến thành công tơi luyện thân ! Page 118 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 145 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a 3c b3a  bc  b3 a c3b  ac  c 3b a 3c  ab Trong a , b, c số thực dương Đề thi toán học tuổi trẻ lần Lời giải P  b bc  ac a3  c ac  ba b3 a a 2b  c 2b c3 a  x  b   x, y , z  b  Đặt  y    c  x y.z   c  z  a  P   x y z   y z z x x y x y z   x y z   x  y  z x y.z 3    MinP  x  y  z   a  b  c 2 2 Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 119 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Phần 4.TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC HAY HƯỚNG TỚI KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC 2013 Bài 1.Cho số thực a, b, c thỏa mãn : a  b2  c   ab  bc  ca  3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b6  c Lời giải Từ giả thiết ta suy a  b  c   Ta có: a  b6  c   abc   a  b  c   a  a2  b2  c 2  b2  c   3   3 a  a2  b2  c 2  b2  c a 2  b  c   ab    bc    ca    a b  b c  c a    ab  bc  ca   2abc  a  b  c  2 2 2  63  3.6.9  54 Suy ra: P   abc   54 b  a  c   ca  3 Mà  ac  3  b  c  a   3  b Suy ra:   P  3b b   54  3b6  18b  27b  54 Mà 2 2  a b c b  a  c 2  b2 2 0b 4 Đặt t  b  t  Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 120 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Ta xét hàm số : f  t   3t  18t  27t  54 với  t  t  Ta có: f '  t   9t  36t  27    t  Từ dễ suy giá trị lớn P  66 Khi có hai số 1 số Hoặc hai số 1,một số 2 Bài 2.Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  x  y  z Lời giải Ta có: x  y x   y2  2 2 4 Vậy nên :   z    x  y     x  y     x  y    x  y  Suy ra: x  y Vậy 3  z   3  z  P 8  64 z Xét hàm số: f  z     z   64 z Ta khảo sát hàm số với z   0;3  Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức P 648 125 Đẳng thức xảy x  y  , z  5 Bài 3.Cho số thực dương a, b, c thay đổi.Tìm giá trị lớn : P bc ca ab   a  bc b  ca c  ab Lời giải Đặt x  a , y  b , z  c x, y , z  Con đường dẫn đến thành công tơi luyện thân ! Page 121 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Khi P viết lại thành: P yz zx xy   x  yz y  3zx z  xy 3P  yz 3zx 3xy   x  yz y  3zx z  3xy  x2 y2 z2   3P        x  yz y  zx z  xy   3Q Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  x2  y2 z2 2 x  yz  y  zx  z  xy   Q x  y  z  xy  yz  zx  2 y  zx z  3xy  x  yz   2 x  y  z x  y  z Q   x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z 2   x  y  z 2  3 Vậy ta suy P    x  y  z  Bài 4.Cho  x  y  Tìm giá trị lớn : x  y  z   S  x  y  z Lời giải Ta có: x  4, x  y  8, x  y  z  Suy 4  1, x  y  2, x  y  z  x 2 2 2 Ta có: Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 122  NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 x     y   x  y  y  2z   x  y  z x 2 2  2 x y z 2 2 2  1       z x y y z z     2   3.2      Vậy nên S  Đẳng thức xảy x  2, y  1, z  Bài 5.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng:   a   b   c    a  bc  b  ca  c  ab  Lời giải Ta có:   a   b   c    a  bc  b  ca  c  ab     a2   b   c     a   b   c  a  bc  b  ca  c  ab  2 Ta chứng minh:     a  b  c  a    a  a  bc  Thật theo Cauchy-Schwarz ta có:     b  a  c  a  2a  2bc  Từ ta cần chứng minh 2a  2bc     a  a  bc    Mà 2a  2bc   a  a   2bc   a  2a  2bc  abc   a   a  bc  Do  abc Tượng tự cho biểu thức lại,nhân vế theo vế biểu thức ta có điều phải chứng minh Bài 6.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a b c    a 1 b 1 c 1 Lời giải Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 123 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Đặt x  ln a, y  ln b, z  ln c  x, y, z   Khi  x  y  z  Bất đẳng thức cho trở thành: ex x e 1  ey  y e 1 ez z  2  t e 1 H t   Xét hàm số : et et  e t  2e t H 't     et Suy H  t   H    Từ suy ex ex 1     t   ey ey 1  ez ez 1  Ta có điều phải chứng minh Bài 7.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: P 1 108    2 a  a b b c c Lời giải Ta có  a, b, c  Và P  1 1 1      a b c 1 a 1 b 1 c  1 Đặt s  a  b  c   0;   2 Con đường dẫn đến thành công tơi luyện thân ! Page 124 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Ta có: P  9 27   s 3s     s 2  Do  s  3      s  2  Suy P  108 Điều phải chứng minh Bài 8.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  a  b3  c Chứng minh rằng: a3 b4  b2 c2  c b3  c  c 2a2  a  c3 a  a 2b  b  Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a3 a  b4  c4    3 3 a b c b  b 2c  c4 c4  c a  a a  a 2b  b Ta chứng minh:  b3 a3 b  b 2c  c   c3   a  b4  c a3  b3  c  3a b  c 2b  b  a3  b3  c3 Ta có: 3a 2b  3.ab.ab.b  a 3b3  a3b3  b Tương tự cho bất đẳng thức lại suy điều phải chứng minh Bài 9.Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a5 b5 c5    2 2 2 b c c a a b Ngơ Hồng Tồn Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 125 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: a5 a3 b2  c    a b2  c 2 Từ suy ra: a5 b5 c5 1    a  b  c  a  b3  c  a  b  c 2 2 2 b c c a a b 2             Suy ta cần chứng minh : a  b  c  a  b3  c  a  b  c  Ta sử dụng đẳng thức sau: a  b  c  p  p q  2q  pr  a3  b3  c  3abc   a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca  Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :  ab  bc  ca   33abc  207  97  ab  bc  ca   Đặt x  ab  bc  ca sử dụng bất đẳng thức Schur bậc ba ta được: abc  12  ab  bc  ca   27   ab  bc  ca   33abc  207  97  ab  bc  ca   f  x   x  97 x  207  33 12 x  27  x  57 x  108  3  a bc  Mà x  ab  bc  ca    3 0 x3   Mà f  x  hàm nghịch biến với  x  Từ ta có: f  x   f  3  Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 126 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Bài 10.Cho a, b, c  thỏa 1 1   30a  11 4b  11 2012c  11  Chứng minh rằng:  30.4.2012 (abc )2 Ngơ Hồng Tồn Lời giải:  x  30a ; y  2b ; z  2012c Đặt   x, y, z  Bất đẳng thức trở thành : 1 1    2 11  x 11  y 11  z Ta xét: 1 1     2 11  x 11  y 11  z y2  z2    8( y  11) 8( z  11) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta : y2  z2  y2  z2     11  x 8( y  11) 8( z  11) ( y  11) ( z  11) Tương tự ta có: 1 x2  z2   11  y ( x  11) ( z  11) 1 x2  y2   11  z ( x  11) ( y  11) Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 127 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Nhân vế theo vế bất đẳng thức ta : 64  ( x  3)( y  3)( z  3) Ta có nhận xét sau : Cho số thực a,b,c ta ln có : (a  3)(b  3)(c  3)  4(a  b  c  1)2 Khai triển bất đẳng thức ta : 5(a  b  c )  3(a 2b2  b 2c  c a )  a 2b 2c  23  8(a  b  c)  8(ab  bc  ca) Theo nguyên lí Đirichlet số a  1, b  1, c  dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử: (a  1)(b  1)   c (a  1)(b  1)   a 2b 2c  b c  c a  c Do ta cần chứng minh bất đẳng thức sau: 5a  5b  4c  4b 2c  4c a  3a 2b  23  8(a  b  c)  8(ab  bc  ca)  4(a  1)  4(b  1)2  4(c  1)  (a  b)  3(ab  1)  4(bc  1) 4(ca  1)  Vậy ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a  b  c  Trở lại toán.Áp dụng nhận xét ta được: 64  ( x  3)( y  3)( z  3)  4( x  y  z  1) Mà 4( x  y  z  1)2  16( y  x)( z  1)  64 xyz ( AM  GM ) Mà xyz  30.4.2012 abc   30.4.2012 abc từ ta có : Con đường dẫn đến thành cơng luyện thân !  30.4.2012 (đpcm) (abc )2 Page 128 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1.Cho a, b, c số thực dương,tìm giá trị lớn của: P 2  a  b  c 1  a  1 b  1 c  1 Bài Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a5 b5 c5    3 3 3 b c c a a b Ngơ Hồng Tồn  x, y, z  x3 y3 Bài 3.Cho  Tìm giá trị nhỏ F   x  yz  y  zx  z  xy  x  y 1  z Bài 4.Cho x, y, z số thực dương thảo mãn x  y  z  Chứng minh rằng: yz zx xy    x 1 y 1 z 1 2 Bài 5.Cho sô thực a, b, c  thỏa a  b  c   abc Chứng minh rằng: bc a   ca b   ab c   3 abc Bài 6.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a b  c   9bc  b c  a  9ca  c a  b  9ab  6abc Bài 7.Cho x, y, z sô thực không âm thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng:   x3  y  z   x  y  z Bài 8.Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a 2b  b 2c  4c a  5abc  4 Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 129 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 a, b, c  a b bc Bài 9.Cho  Chứng minh rằng:  2 a2  b b  c2 a  b  c  Bài 10.Cho a, b, c số thực không âm thỏa a  b  c  Chứng minh rằng:  a  b  b  c  c  a   18 Bài 11.Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh rằng: x2 x2 1  x2 1  x  y2  y2 1  y2   y  z2  z2 1  z2 1  z   Bài 12.Cho a, b sô thực dương.Chứng minh rằng: 2a  3b 2b  3a   3 2a  3b 2b  3a ab Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 130 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 131 ... YD-K38 2012 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC 2012 Phần 1.MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN I Bất đẳng thức AM-GM: Cho a1 , a2 , , an số thực không âm ta có: a1  a2   an  n n a1a2 an Đẳng thức. .. x  y  đẳng thức xảy ra.Vậy giá trị nhỏ A 4 17  5 Con đường dẫn đến thành công luyện thân ! Page 14 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Phần 3.NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ 2012 Chương... NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 II Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có : a1 a2 a    n b1 b2 bn Đẳng thức xảy Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng