Luận văn Phương pháp làm chặt bất đẳng thức đại số thông qua những ước lượng trực quan từ hình học

1 Mu c Lu c Mo’ d ¯`ˆ au ˜ m) `oi (lo Chu.o.ng Phu.o.ng pha ´ p su’ du.ng tı ´nh chˆ at `m lˆ ˜ y bˆa´t d¯˘a’ng th´ ˜ m) `oi (lo u.c sinh bo’.i ha`m lˆ 1.1 Th´ u tu s˘a´p d¯u.o c cu’a da 1.2 Bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c Karamata 11 ˜ m 19 `oi va` ha`m lo 1.3 Gi´o.i thiˆe.u mˆo.t sˆo´ ha`m lˆ `oi 19 1.3.1 Mˆo.t sˆo´ ha`m lˆ ˜ m 19 1.3.1 Mˆo.t sˆo´ ha`m lo 1.4 Ba`i tˆa.p 20 ´ p lu a cho.n tham sˆ o´ 24 Chu.o.ng Phu.o.ng pha 2.1 Ca ´ c da.ng toa ´ n ch´ u a tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p 25 2.1.1 Tham sˆo´ chı’ thuˆo.c mˆo.t vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c 25 2.1.2 Tham sˆo´ co ´ hai vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c 30 ´ c 36 2.2 Ca ´ c da.ng toa ´ n ch´ u.a tham phu thuˆo.c va`o tham sˆo´ kha 2.3 Ba`i tˆa.p .42 Chu.o.ng Phu.o.ng pha ´ p su’ du.ng tı ´nh chˆ a´t cu’a `m d ¯o.n d ¯iˆ e.u 45 3.1 Ha`m d¯o.n d¯iˆe.u 45 ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh 49 3.2 Tı´nh d¯o.n d¯iˆe.u cu’a ha`m ca 3.2.1 Ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh 50 3.2.2 Ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh suy rˆo.ng 50 ´ c d¯a th´ u.c d¯ˆo´i x´ u.ng so cˆa´p 55 3.3 Tı´nh d¯o.n d¯iˆe.u cu’a ha`m ca ´ p hı`nh ho.c 62 Chu.o.ng Phu.o.ng pha 4.1 Hı`nh ho.c ho ´ a ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh .62 ´ p kha ´ c 65 4.2 Mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha 4.1 Ba`i tˆa.p .72 Kˆ e´t luˆ a.n cu’a luˆ a.n v˘ an .73 Ta `i liˆ e.u tham kha’o 74 `au Mo’ d ¯ˆ - T) la` mˆo.t nh˜ Bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c (BD u.ng nˆo.i dung quan tro.ng chu.o.ng ˜ ng v` u.u ma` cu u.a la` mˆo.t trı`nh toa ´ n phˆo’ thˆong, no ´ v` u.a la` d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆe’ nghiˆen c´ `eu lı˜nh vu c kha u.ng u ´.ng du.ng nhiˆ ´ c cu’a toa ´ n ho.c cˆong cu d¯˘a´c lu c, v´o.i nh˜ `e ch´ ´ n vˆ u ng minh Trong ca ´ c d¯`ˆe thi cho.n ho.c sinh gio’i toa ´ n o’ ca ´ c cˆa´p, nh˜ u ng ba`i toa - T thu.`o.ng xuˆa´t hiˆe.n nhu mˆo.t da.ng toa ´ n kha ´ quen thuˆo.c, nhu.ng d¯ˆe’ tı`m l`o.i BD gia’i khˆong pha’i la` mˆo.t viˆe.c dˆ˜e da`ng - T cu - T d¯˜a d¯u.o c kha ˜ ng `eu ta`i liˆe.u d¯ˆ `e cˆa.p va` ca `e BD ´ nhiˆ ´ c ba`i tˆa.p vˆ Ly ´ thuyˆe´t BD - T la` phˆ `an nˆo.i ´ p ch´ u.ng minh BD kha ´ phong phu ´ , d¯a da.ng, d¯o ´ ca ´ c phu.o.ng pha `eu ta`i liˆe.u dung quan tro.ng thu `o ng g˘a.p nhiˆ - T ho˘a.c sa -T ´ p ch´ u ng minh BD ´ ng ta.o nh˜ u.ng BD Mˆo.t nh˜ u ng phu o ng pha - T m´o.i la` viˆe.c la`m ch˘a.t BD - T A < B (tu.o.ng tu v´o.i BD - T A > B, A ≤ `an ch´ Gia’ su’ ta co ´ (ho˘a.c cˆ u.ng minh) BD -T u c C cho A < C < B, thı` ta no ´ i r˘a` ng BD B, A ≥ B) Nˆe´u tı`m d¯u o c biˆe’u th´ -T - T th´ th´ u nhˆa´t d¯˜a d¯u.o c la`m ch˘a.t (nghiˆem ng˘a.t) bo’.i BD u hai va` hiˆe’n nhiˆen, BD - T th´ - T th´ u BD u hai Viˆe.c ch´ u.ng minh d¯u.o c BD u hai cho th´ u nhˆa´t d¯u.o c suy t` - T th´ - T m´o.i u nhˆa´t va` d¯`ˆong th`o.i sa ´ ng ta.o nh˜ u.ng BD ta mˆo.t ca ´ ch ch´ u.ng minh BD - T la` rˆa´t co ´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD ´ ´y nghı˜a Do d¯´o, viˆe.c tı`m ca ´ c phu.o.ng pha - ´o cu ˜ ng la` nˆo.i dung ma` luˆa.n v˘an na`y d¯ˆ `e cˆa.p D `om ca `an mu.c lu.c, Mo’ d¯`ˆau, chu.o.ng nˆo.i dung, Kˆe´t Luˆa.n v˘an da`y 74 trang, gˆ ´ c phˆ luˆa.n va` Ta`i liˆe.u tham kha’o ˜ m) `oi (lo Chu.o.ng 1: Phu.o.ng pha ´ p su’ du.ng tı´nh chˆ a´t cu’a `m lˆ - T ma` mˆo.t sˆo´ - ˆay la` phu.o.ng pha ´ p co ba’n va` quan tro.ng nhˆa´t d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD D ˜ ng d¯˜a d¯`ˆe cˆa.p, d¯˘a.c biˆe.t la` ta`i liˆe.u [1] Phˆ `an d¯o ta`i liˆe.u hiˆe.n ha`nh cu ´ ng go ´ p cu’a luˆa.n ´ p na`y b˘a` ng nh˜ u.ng vı´ du v˘an, chu’ yˆe´u la` viˆe.c cu thˆe’ ho ´ a ly ´ thuyˆe´t cu’a phu o ng pha - T kha `e BD va` ba`i tˆa.p cu thˆe’, co ´ thˆe’ ta ´ ch riˆeng tha`nh nh˜ u.ng ba`i tˆa.p vˆ ´ phong phu ´ - T d¯˜a d¯u o c ta.o t` - T quen thuˆo.c, la` tru `o ng ho p riˆeng cu’a ca `eu BD ´ c BD u Kha ´ nhiˆ ˜ ng d¯˜a d¯u.a d¯u.o c kha `an cuˆo´i chu.o.ng, luˆa.n v˘an cu nh˜ u.ng minh ho.a na`y Trong phˆ ´ - T kha ˜ m) d¯ˆe’ ba.n d¯o.c co `eu ha`m lˆ `oi (lo `eu BD ´ c nhiˆ ´ thˆe’ ´ap du.ng sa ´ ng ta.o nhiˆ Chu o ng 2: Phu o ng pha ´ p lu a cho.n tham sˆ o´ ´ p na`y bo’.i mˆo.t vı´ du sau d¯ˆay: Gia’ su’ Co ´ thˆe’ minh ho.a ´y tu o’ ng cu’a phu o ng pha u.c a, b, c la` sˆo´ khˆong ˆam co ´ tˆo’ng b˘a` ng Dˆ˜e da`ng ch´ u.ng minh d¯u.o c bˆa´t d¯˘a’ng th´ √ √ √ a + b + c ≥ ab + bc + ca - T sau d¯ˆay luˆon d¯u Nhu vˆa.y, v´o.i k ≥ thı` BD ´ ng ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca - T trˆen vˆa˜n d¯u Mˆo.t cˆau ho’i tu nhiˆen d¯u.o c d¯˘a.t ra, v´o.i k < thı` na`o BD ´ ng? - T trˆen vˆa˜n d¯´ung cho ta mˆo.t Viˆe.c tı`m d¯u.o c sˆo´ k (k < ) nho’ nhˆa´t cho BD - T ´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD phu.o.ng pha - ´o cu ˜ ng la` nˆo.i dung ma` luˆa.n v˘an d¯ˆ `e cˆa.p chu.o.ng na`y, d¯´o tham sˆo´ D k d¯u.o c xe ´ t o’ hai da.ng, la` tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p ho˘a.c co`n phu thuˆo.c va`o mˆo.t tham sˆo´ kha ´ c ´ p su’ du.ng tı´nh chˆ a´t cu’a `m d¯o.n d¯iˆe.u Chu.o.ng 3: Phu.o.ng pha ˜ ng d¯a ˜ d¯u.o c mˆo.t sˆo´ ta`i liˆe.u d¯ˆ `e cˆa.p, d¯˘a.c biˆe.t la` ta`i liˆe.u [1] ´ p na`y cu Phu.o.ng pha `an d¯o ´ a mˆo.t sˆo´ Phˆ ´ ng go ´ p cu’a luˆa.n v˘an o’ chu.o.ng na`y chu’ yˆe´u la` viˆe.c hˆe thˆo´ng ho phu o ng pha ´ p s˘a´p th´ u tu ca ´ c d¯a.i lu o ng trung bı`nh va` cu thˆe’ ho ´ a ly ´ thuyˆe´t cu’a - T m´o.i d¯u.o c luˆa.n `eu BD ´ p b˘a` ng nh˜ u.ng vı´ du va` ba`i tˆa.p cu thˆe’ Kha ´ nhiˆ phu.o.ng pha - T b˘`a ng ca ´ p na`y v˘an sa ´ ng ta ´ c, thˆong qua viˆe.c la`m ch˘a.t BD ´ ch su’ du.ng phu.o.ng pha Chu.o.ng 4: Phu.o.ng pha ´ p hı`nh ho.c - T d¯a.i sˆo´ ´ p la`m ch˘a.t BD Nˆo.i dung chu o ng na`y d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha u hı`nh ho.c, v´o.i nh˜ u.ng vı´ du minh ho.a kha ´ thˆong qua nh˜ u.ng u.´o.c lu.o ng tru c quan t` cu thˆe’ ˜ Tri.nh Luˆa.n v˘an d¯u.o c hoa`n tha`nh du.´o.i su hu.´o.ng dˆa˜n khoa ho.c cu’a Tiˆe´n sy - `ao Chiˆe´n - Ngu `o i Thˆ `ay rˆa´t nghiˆem kh˘a´c va` tˆa.n tˆam cˆong viˆe.c, ngu `o.i Thˆ `ay D `eu ´y tu.o’.ng hay va` khˆong chı’ giu ´ p d¯˜o., cung cˆa´p ta`i liˆe.u, go i mo’ cho ta ´ c gia’ nhiˆ ˜ ng nhu nh˜ `en d¯a.t nhiˆ `eu kiˆe´n th´ ´ u, cu u.ng kinh nghiˆe.m nghiˆen c´ u.u khoa truyˆ u.c quı´ ba ho.c ma` co`n chı’ ba’o cho ta ´ c gia’ ta ´ c phong la`m viˆe.c, thˆong ca’m, khuyˆe´n khı´ch u.ng kho ´ kh˘an chuyˆen mˆon va` cuˆo.c sˆo´ng Chı´nh d¯ˆo.ng viˆen ta ´ c gia’ vu.o t qua nh˜ vı` vˆa.y ma` ta ´ c gia’ luˆon to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh va` su kı´nh phu.c sˆau s˘a´c d¯ˆo´i v´o.i - a`o Chiˆe´n ˜ Tri.nh D `ay gia thˆ ´ o hu.´o.ng dˆa˜n - Tiˆe´n sy ˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh d¯ˆe´n Ban Gia ´ m Hiˆe.u Nhˆan d¯ˆay, ta ´ c gia’ cu - a.i ho.c, khoa Toa - a.i ho.c Quy Nho.n, Pho`ng d¯a`o ta.o D - a.i ho.c va` sau D ´ n, quı´ tru.`o.ng D `ay cˆo gia `eu kiˆe.n thuˆa.n lo i th`o i gian ta Thˆ ´ o tru c tiˆe´p gia’ng da.y d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆ ´c gia’ tham gia kho ´ a ho.c - `ˆong th`o.i ta ˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n d¯ˆe´n UBND Tı’ nh Gia Lai, So’ ´ c gia’ cu D Gia ´ o du.c va` d¯a`o ta.o Tı’ nh Gia Lai, Ban Gia ´ m Hiˆe.u tru.`o.ng THPT Ia Grai, d¯˜a d¯ˆo.ng `eu th`o.i gian nghiˆen c´ `eu kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ ta ´ c gia’ co ´ nhiˆ u.u va` viˆen va` ta.o mo.i d¯iˆ `e ta`i hoa`n tha`nh d¯ˆ Trong qua ´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an na`y, ta ´ c gia’ co`n nhˆa.n d¯u.o c su quan tˆam `ong nghiˆe.p, ca d¯ˆo.ng viˆen cu’a me , vo , ca ´ c anh chi em gia d¯ı`nh, ca ´ c ba.n d¯ˆ ´ c anh - a.i ho.c Qui Nho.n Ta ´ a VII, VIII, IX cu’a tru.`o.ng D ´ c gia’ chi em l´o.p cao ho.c kho xin chˆan tha`nh ca’m o n tˆa´t ca’ su quan tˆam va` d¯ˆo.ng viˆen d¯o ´ - ˆe’ hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an, ta D ´ c gia’ d¯˜a rˆa´t cˆo´ g˘a´ng tˆa.p trung nghiˆen c´ u.u, song ˜ ng nhu vˆ `e n˘ang lu c nˆen ch˘a´c ch˘a´n luˆa.n v˘an `eu ha.n chˆe´ vˆ `e th`o.i gian, cu ´t ı nhiˆ `eu vˆa´n d¯ˆ `e chu.a d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n va` kho ´ tra ´ nh kho’i nh˜ u.ng thiˆe´u so ´ t nhˆa´t d¯.inh co`n nhiˆ `ay cˆo va` nh˜ u ng go ´ p ´y cu’a ba.n Ta ´ c gia’ rˆa´t mong nhˆa.n d¯u o c su chı’ ba’o cu’a quı´ thˆ `e luˆa.n v˘an na`y d¯o.c vˆ Quy Nho.n, tha ´ ng 02 n˘ am 2008 Ta ´ c gia’ Chu.o.ng ap su˙’ du.ng t´ınh chˆ Phu.o.ng ph´ a´t `oi (l˜ h` am lˆ om) 1.1 ˜ y bˆ ´p d a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c a ¯u.o c cu’a da Th´ u tu s˘ ˜ m) `oi (lo `m lˆ sinh bo’.i `am d¯i.nh mˆo.t Tru.´o.c hˆe´t, v´o.i hai sˆo´ thu c a ≥ b, ta su’ du.ng kı´ hiˆe.u I(a; b) d¯ˆe’ ngˆ bˆo´n tˆa.p ho p (a; b), [a; b), (a; b] va` [a; b] ˜ d¯u.o c ch´ u.ng minh: Trong [1], hai kˆe´t qua’ sau d¯ˆay d¯a - i.nh ly `oi) trˆen `m lˆ o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) ≥ (ha D ´ 1.1.1 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ `an {uk } o i x1 < x2 Khi d¯´o, v´ o i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 = u0 < u1 < u2 < < un < ˜ y sˆ `an {vk } va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 (1.1) x1 + x2 ; x2 : x1 + x2 < < vn−1 < < v1 < v0 = x2 (1.2) uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, , n (1.3) f (u0 ) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ ≥ f (un ) + f (vn ) (1.4) cho ta d¯`ˆeu co ´ ˜ y gia’m ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, , n, la ` mˆ o.t da No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da - i.nh ly ˜ m) trˆen `m lo o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) (ha D ´ 1.1.2 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ `an {uk } o.i x1 < x2 Khi d¯´o, v´ o.i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < < un < x1 + x2 ˜ y sˆ `an {vk } ; x2 : va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 < < vn−1 < < v1 < v0 = x2 cho uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, , n, ta d¯`ˆeu co ´ f (u0 ) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) f (un ) + f (vn ) (1.5) ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, , n, la ˜ y t˘ No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da ` mˆ o.t da ang - i.nh lı´ 1.1.2, - i.nh lı´ 1.1.1 ho˘a.c D u.ng kˆe´t qua’ t` u D Nhˆa.n xe ´t r˘a` ng, d¯ˆe’ co ´ d¯u.o c nh˜ ˜ y {uk } va` {vk } thoa’ `eu quan tro.ng tru ´o c hˆe´t la` pha’i xˆay du ng trˆen I(a; b) hai da d¯iˆ ˜ n nh˜ `eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh lı´ Sau d¯o ma u.ng d¯iˆ ´ la` viˆe.c tı`m nh˜ u.ng ha`m sˆo´ y = f (x) co ´ f (x) ≥ ho˘a.c f (x) trˆen I(a; b) d¯ˆe’ ´ap du.ng ˜ y sˆo´ va` ha`m u.ng da Du.´o.i d¯ˆay la` mˆo.t va`i minh ho.a cho hai d¯i.nh lı´ trˆen, v´o.i nh˜ ´ thˆe’ tı`m nh˜ u.ng kˆe´t qua’ kha ´ c, phong phu ´ ho.n sˆo´ d¯o.n gia’n nhˆa´t Ba.n d¯o.c co `an lu.o t ´ c d¯iˆe’m uj va` vj lˆ V´o.i hai sˆo´ thu c cho tru.´o.c x1 < x2 , hı`nh a’nh cu’a ca x + x2 `eu” vˆ `e trung d¯iˆe’m cu’a d¯oa.n [x1x2 ] la` trˆen tru.c sˆo´ giu ´ p ta xˆay du ng ”tiˆe´n d¯ˆ - inh lı´ 1.1.1 va` D - inh lı´ ˜ n nh˜ ˜ y {uk } va` {vk } thoa’ ma `eu kiˆe.n cu’a D u.ng d¯iˆ d¯u.o c hai da 1.1.2 nhu sau: Vı ´ du 1.1 u0 = x1 , u1 = x1 + (n + 2)x1 + nx2 x2 − x1 x2 − x1 , , u n = x1 + n = ; 2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) v0 = x2, v1 = x2 − nx1 + (n + 2)x2 x2 − x1 x2 − x1 , , = x − n = 2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) Bˆay gi`o., xe ´t ha`m sˆo´ f (x) = x2; x ∈ R Ta co ´ f (x) = > 0; ∀x ∈ R - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯´o, theo D ´ Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.1 (2n + 1)x1 + x2 2(n + 1) (n + 2)x1 + nx2 ≥ 2(n + 1) x21 + x22 ≥ x1 + (2n + 1)x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2 ≥ + 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2 + ≥ ; ∀x1, x2 ∈ R 2(n + 1) 2 + Tiˆe´p tu.c, nˆe´u xe ´t ha`m sˆo´ f (x) = Ta co ´ f (x) = ; x > x > 0; ∀x > x3 - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯´o, theo D ´ Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.2 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) + ≥ + ≥ + ≥ ··· x1 x2 (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2 ≥ 2(n + 1) 2(n + 1) + ≥ ; ∀x1, x2 > 0, n ≥ (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2 Bˆay gi`o., xe ´t ha`m sˆo´ f (x) = Ta co ´ f (x) = − √ x; x > √ > 0; ∀x > 4x x - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯´o, theo D ´ Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.3 √ √ x1 + x2 ··· (2n + 1)x1 + x2 + 2(n + 1) (n + 2)x1 + nx2 + 2(n + 1) x1 + (2n + 1)3x2 2(n + 1) nx1 + (n + 2)x2 ≤ 2(n + 1) 2nx1 + 2x2 + 2(n + 1) x1 + x2 ; ∀x1, x2 > n ≥ Tiˆe´p tu.c, nˆe´u xe ´t ha`m sˆo´ f (x) = Ta co ´ sinx ; x ∈ (0; π) + sinx sinx + + cos2 x < 0; ∀x ∈ (0; π) (1 + sinx)3 - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯´o, theo D ´ f (x) = − 2x1 + 2nx2 2(n + 1) ··· Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.4 x1 + (2n + 1)x2 (2n + 1)x1 + x2 sin sinx2 sinx1 2(n + 1) 2(n + 1) + + ≤ (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 + sinx1 + sinx2 + sin + sin 2(n + 1) 2(n + 1) nx1 + (n + 2)x2 (n + 2)x1 + nx2 sin sin 2(n + 1) 2(n + 1) + (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 + sin + sin 2(n + 1) 2(n + 1) x1 + x2 sin ≤2 x1 + x2 ; ∀x1, x2 ∈ (0; π), n ≥ 1 + sin sin ··· - i.nh lı´ 1.1.1 va` D - i.nh lı´ 1.1.2 Co Bˆay gi`o., tro’ la.i v´o.i D ´ thˆe’ ch´ u.ng minh d¯u.o c r˘a` ng kˆe´t qua’ (1.4) va` (1.5) vˆa˜n d¯u ´ ng nˆe´u thay (1.3) bo’.i mˆo.t gia’ thiˆe´t ma.nh ho.n Ta co ´ ca ´ c kˆe´t qua’ sau d¯ˆay: - i.nh ly `oi) trˆen `m lˆ o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) ≥ (ha D ´ 1.1.3 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ `an {uk } o i x1 < x2 Khi d¯´o, v´ o i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 = u0 < u1 < u2 < < un < ˜ y sˆ `an {vk } va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 x1 + x2 ; x2 : x1 + x2 < < vn−1 < < v1 < v0 = x2 cho x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + , ta d¯`ˆeu co ´ f (u0) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ · · · ≥ f (un ) + f (vn ) ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la ˜ y gia’m No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da ` mˆ o.t da u ca ´ c gia’ thiˆe´t, ta co ´ Ch´ u.ng minh V´o.i mˆo˜i j ∈ {0, 1, · · · , n}, t` uj < uj+1 < uj+1 + vj+1 u0 + v0 x1 + x2 = < vj+1 < vj 2 (1.6) Bˆay gi`o., v´o.i mˆo˜i j ∈ {0, 1, , n}, d¯˘a.t  u j+1 − uj = j+1 vj − vj+1 = δj+1 Thˆe´ thı` 0< j+1 δj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, , n} - i.nh lı´ Lagrange, ta co Bˆay gi`o., v´o.i mˆo˜i j ∈ {0, 1, , n}, theo D ´ f (uj+1 ) − f (uj ) = f (cj+1 )(uj+1 − uj ) = f (cj+1 ) j+1 , v´o i cj+1 ∈ (uj ; uj+1); f (vj ) − f (vj+1 ) = f (dj+1 )(vj − vj+1 ) = f (dj+1 )δj+1 , v´o.i dj+1 ∈ (vj+1 ; vj ) ´ u.a, vı` cj+1 < dj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, , n} va` f (x) ≥ 0, nˆen ta co Ho.n n˜ f (cj+1 ) f (dj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, , n} Do d¯´o, ta co ´ f (uj+1 ) − f (uj ) f (vj ) − f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, , n}, hay f (uj ) + f (vj ) ≥ f (uj+1 ) + f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, , n} `eu pha’i ch´ Ta co ´ d¯iˆ u.ng minh Tu.o.ng tu , ta co ´ - i.nh ly ˜ m) trˆen `m lo o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) (ha D ´ 1.1.4 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ `an {uk } o.i x1 < x2 Khi d¯´o, v´ o.i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < · · · < un < x1 + x2 ˜ y sˆ `an {vk } ; x2 : va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 < < vn−1 < · · · < v1 < v0 = x2 cho x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + , ta d¯`ˆeu co ´ f (u0) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) ··· f (un ) + f (vn ) ˜ y t˘ ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la ` mˆ o.t da ang No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da 10 `an ´ c d¯iˆe’m uj va` vj lˆ Bˆay gi`o., v´o.i hai sˆo´ thu c cho tru.´o.c x1 < x2 , hı`nh a’nh cu’a ca x1 + x2 `an d¯`ˆeu” vˆ `e trung d¯iˆe’m cu’a d¯oa.n [x1x2] la` trˆen tru.c sˆo´ lu o t ”tiˆe´n chˆa.m dˆ - i.nh ˜ n nh˜ ˜ y {uk } va` {vk } thoa’ ma `eu kiˆe.n cu’a D u.ng d¯iˆ giu ´ p ta xˆay du ng d¯u.o c hai da - i.nh lı´ 1.1.4 nhu sau: lı´ 1.1.3 va` D Vı ´ du 1.2 x2 − x1 , , 22 x2 − x1 x2 − x1 (2n+1 − 2n + 1)x1 + (2n − 1)x2 + · · · + = ; un = x1 + 22 2n+1 2n+1 x2 − x1 ,··· , v0 = x2 , v1 = x2 − 22 x2 − x1 x2 − x1 (2n − 1)x1 + (2n+1 − 2n + 1)x2 = x2 − − · · · − n+1 = 22 2n+1 ˜ y nhu trˆen, ta thu d¯u.o c ca ˜y ´ c ca ´ ch ta.o da ´ c c˘a.p da Ngoa`i ra, co ´ thˆe’ phˆo´i ho p ca - i.nh lı´ 1.1.3 va` D - i.nh lı´ 1.1.4, ch˘a’ng ˜ n nh˜ `eu kiˆe.n cu’a D u.ng d¯iˆ {uk } va` {vk } thoa’ ma ha.n: u0 = x1, u1 = x1 + Vı ´ du 1.3 u0 = x1 , u1 = x1 + un = x1 + n x2 − x1 − 2(n + 1) x2 − x1 x2 − x1 − ,··· , 2(n + 1) (n + 1) x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 + + · · · + n+1 2 (n + 1) (n + 1) (n + 1) (n + 1)2n+1 − (n − 1)2n − x1 + (n − 1)2n + x2 ; = (n + 1)2n+1 v0 = x2, v1 = x2 − nx1 + (n + 2)x2 x2 − x1 x2 − x1 , · · · , = x2 − n = 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) Cuˆo´i cu`ng, v´o.i viˆe.c cho.n ca ´ c ha`m sˆo´ y = f (x) co ´ f (x) ≥ ho˘a.c f (x) ˜ thu d¯u.o c kha `eu vı´ du phong phu ´ nhiˆ ´ trˆen I(a; b), ta se -Dˆo´i v´o.i ca ˜ m, ngoa`i ca `oi ho˘a.c lo ´ c ha`m sˆo´ lˆ ´ c d¯i.nh lı´ nˆeu trˆen, ca ´ c da.ng cu’a Bˆa´t u ng phu o ng pha ´ p la`m ch˘a.t bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c rˆa´t d¯˘a’ng th´ u c Karamata co`n cho ta nh˜ ˜ d¯u.o c trı`nh ba`y [1], ma` ta co ´ hiˆe.u qua’ Sau d¯ˆay la` ca ´ c kˆe´t qua’ cˆo’ d¯iˆe’n, d¯a thˆe’ mˆo ta’ thˆong qua mˆo.t sˆo´ vı´ du 60 √ abc + abd + acd + bcd √ ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ (a bc + ab2c + abc2 + a2bd + ab2 d+ 4S +abd2 + a2 cd + ac2d + acd2 + b2 cd + bc2 d + bcd2 ) + √ 6 ˜ y ch´ Ta u ng minh √ (a bc + ab2c + abc2 + a2 bd + ab2d + abd2 + a2cd+ 4S √ ⇔ +ac2d + acd2 + b2 cd + bc2 d + bcd2 ) + √ ≤ √ 6 6 (a bc + ab2c + abc2 + a2bd + ab2d + abd2 + a2cd + ac2 d + acd2 + 4S +b2 cd + bc2 d + bcd2 ) ≤ √ ⇔ a2bc+ ab2c+ abc2 + a2 bd+ ab2d + abd2 + a2 cd+ ac2 d + acd2 + b2 cd + bc2 d + bcd2 ≤ S 2 2 2 2 ⇔ 3(a bc+ab c+abc +a bd+ab d+abd +a cd+ac d+acd + b2 cd + bc2 d + bcd2 ) ≤ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)2 Thˆa.t vˆa.y, d¯˘a.t X = ab + cd; Y = ac + bd; Z = ad + bc, thı` (ab + ac + ad + bc + bd + cd)2 = (X + Y + Z)2 ≥ 3(XY + Y Z + ZX) hay ⇔ 3(a2bc+ab2c+abc2 +a2bd+ab2d+abd2 +a2cd+ac2d+acd2+ b2 cd + bc2 d + bcd2 ) ≤ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)2 Khi d¯´o, bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c (*) d¯u.o c ch´ u.ng minh u.ng minh Bˆay gi`o ta ch´ a+b+c+d ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ ⇔ ab + ac + ad + bc + bd + cd (a + b + c + d)2 ≤ 16 61 ⇔ 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≤ 3(a + b + c + d)2 ⇔ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≤ 3(a2 + b2 + c2 + d2 ) ⇔ (a − b)2 + (a − c)2 + (a − d)2 + (b − c)2 + (d − b)2 + (c − d)2 ≥ `eu na`y hiˆe’n nhiˆen d¯u d¯iˆ ´ ng Ta ch´ u.ng minh vˆe´ co`n la.i √ abcd ≤ abc + abd + acd + bcd Thˆa.t vˆa.y, theo bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c gi˜ u.a trung bı`nh cˆo.ng va` trung bı`nh nhˆan, ta co ´ 1 1 + + + ≥4 a b c d abcd 1 1 + + + a b c d ≥ (abcd) (abcd)3 ⇒ abc + abd + acd + bcd ≥ (abcd)3 ⇒ √ abc + abd + acd + bcd ≥ abcd ⇒ ˜ y bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.ng v´o.i n = 4) d¯u.o c ch´ u.ng minh Vˆa.y da u.c (´ (abcd) 62 Chu.o.ng ap h`ınh ho.c Phu.o.ng ph´ `eu bˆa´t d¯˘a’ng th´ Kha ´ nhiˆ u.c d¯a.i sˆo´ d¯u.o c la`m ch˘a.t nh`o va`o nh˜ u.ng nhˆa.n xe ´t tru c quan t` u hı`nh ho.c Du.´o.i d¯ˆay la` mˆo.t sˆo´ vı´ du minh ho.a 4.1 H`ınh ho.c h´ oa c´ ac d ¯a.i lu.o ng trung b`ınh Trong m˘a.t ph˘a’ng to.a d¯ˆo Oxy cho ba d¯iˆe’m A(a; b), B(c; d), X(x; y) Go.i M(p; q) la` d¯iˆe’m thuˆo.c d¯oa.n AB (M kha ´ c B) Khi d¯o ´ d¯iˆe’m M chia d¯oa.n th˘a’ng AB theo tı’ sˆo´ m ≤ va` ta co ´ b − md a − mc , q= 1−m 1−m `an lu.o t ca Bˆay gi`o., trˆen d¯oa.n MX lˆa´y lˆ ´ c d¯iˆe’m X1 (x1 ; y1), X2 (x2; y2 ), · · · , Xn (xn ; yn ) cho MX ≥ MX1 ≥ MX2 ≥ · · · ≥ MXn ≥ p= ˜ chia d¯oa.n MX Khi d¯o ´ , nˆe´u X1 kha ´ c X, thı` v´o.i mˆo˜i i = 1, 2, · · · , n, d¯iˆe’m Xi se theo tı’ sˆo´ ki ≤ 63 ˜ ra`ng Ro k1 ≤ k2 ≤ · · · ≤ kn ≤ va` v´o.i mˆo˜i i = 1, 2, · · · , n, ta co ´ xi = p − ki x q − ki y , yi = − ki − ki Do d¯´o XA + XB = Xi A + Xi B = (x − a)2 + (y − b)2 + (xi − a)2 + (yi − b)2 + MA + MB = AB = (x − c)2 + (y − d)2 =: f0 (xi − c)2 + (yi − d)2 =: fi (i = 1, n) (a − c)2 + (b − d)2 =: f ∗ Theo tı´nh chˆa´t hı`nh ho.c ph˘a’ng, ta thu d¯u.o c bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c sau d¯ˆay f0 ≥ f1 ≥ · · · ≥ fn ≥ f ∗ ˜ y sˆ o.i mˆ o´i sˆ o´ m ≤ va ` da o´ Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 4.1 Cho ca ´ c sˆ o´ thu c a, b, c, d, x, y V´ ˜n k1 , k2 , · · · , kn tho’a ma k1 ≤ k2 ≤ · · · ≤ kn ≤ 0, d¯˘ a.t b − md a − mc , q= , 1−m 1−m p − ki x q − ki y , yi = , xi = − ki − ki p= f0 = (x − a)2 + (y − b)2 + (x − c)2 + (y − d)2 fi = (x − a)2 + (y − b)2 + (x − c)2 + (y − d)2 f∗ = (a − c)2 + (b − d)2 Thˆe´ thı`, ta co ´ f0 ≥ f1 ≥ · · · ≥ fn ≥ f ∗ Nhˆ a.n xe ´ t 4.1 Cho nu’.a d¯u.`o.ng tro`n tˆam O, d¯u.`o.ng kı´nh BC, ba ´ n kı´nh OD vuˆong go ´ c v´o.i BC ˜ tiˆe´p tuyˆe´n AE v´o.i nu’.a d¯u.`o.ng Trˆen tia CB lˆa´y d¯iˆe’m A cho B n˘`a m gi˜ u.a A,C Ve ˜) tro`n Ha EF vuˆong go ´ c v´o.i BC (hı`nh ve 64 - ˘a.t AB = a1, AC = a2 Ta co D ´ • AD = √ AO2 + OD2 = = AB + AC = (AO − OD)2 + (AO + OD)2 = a21 + a22 Vˆa.y AD la` trung bı`nh bı`nh phu.o.ng cu’a a1, a2 • AO = a1 + a2 AB + AC = 2 Vˆa.y AO la` trung bı`nh cˆo.ng cu’a a1, a2 √ √ • AE = AB.AC = a1 a2 Vˆa.y AE la` trung bı`nh nhˆan cu’a a1 va` a2 • AF = AE a1.a2 = a +a = 1 AO + a1 a2 `eu ho`a cu’a a1 va` a2 Vˆa.y AF la` trung bı`nh d¯iˆ Ta co ´ AD > AO > AE > AF Do d¯´o ta co ´ bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c sau Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 4.2 Cho a1 > 0, a2 > 0, a1 = a2 Thˆe´ thı` a1 + a2 √ a21 + a22 > > a1a2 > 1 2 + a1 a2 (AO − OB)2 + (AO + OC)2 65 4.2 o´ phu.o.ng pha Mˆ o.t sˆ ´ p kha ´c `eu ba`i tˆa.p, ch´ Trong qua ´ trı`nh da.y va` ho.c toa ´ n, chu ´ ng ta d¯˜a gia’i nhiˆ u.ng minh - T, nhu.ng thˆong thu.`o.ng chı’ d` `eu BD u.ng la.i o’ nh˜ ı nhiˆ u.ng ba`i tˆa.p r`o.i ra.c d¯´o, ´t ´ ng v´o i nhau, d¯˘a.c biˆe.t la` mˆo´i liˆen hˆe tr˘an tro’ , suy ngˆa˜m tı`m mˆo´i liˆen hˆe gi˜ u a chu ´ c ba`i toa ´ n d¯a.i sˆo´ v´o i ca ´ c ba`i toa ´ n hı`nh ho.c, t` u d¯´o co ´ thˆe’ khai tha ´ c va` sa ´ ng gi˜ u a ca `eu ba`i toa `ay thu ta.o nhiˆ ´ n m´o.i d¯ˆ ´ vi Sau d¯ˆay la` nh˜ u.ng vı´ du minh ho.a π -ˆ o´i v´ o.i bˆ , ta luˆ on co ´ a´t kı` x ∈ 0; Ba `i toa ´ n 4.1 (Ba `i toa ´ n d¯a.i sˆ o´) D x 2x x < tan < < sinx < x 2 π Ch´ u.ng minh Du.´o.i d¯ˆay chı’ ch´ u.ng minh hai bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c sinx > x 2x 2x , va` tan < π 2 π - ˘a.t f (x) = sinx la` ha`m sˆo´ xa a) D ´ c d¯.inh va` liˆen tu.c 0; Ta co ´ x f (x) = xcosx − sinx x2 π - ˘a.t g(x) = xcosx − sinx 0; , d¯o D ´ g (x) = −xsinx ≤ ⇒ g(x) nghi.ch π π biˆe´n d¯oa.n 0; nˆen g(x) < g(0) = v´o.i x ∈ 0; 2 π 2x π v´o i Do d¯´o f (x) < v´o i mo.i x ∈ 0; , suy f (x) > f ( = hay sinx > 2 π π π x ∈ 0; x π ´ c d¯i.nh va` liˆen tu.c trˆen 0; b) D˘a.t h(x) = tan xa x 2 Ta co ´ x − sinx π h (x) = > 0, ∀x ∈ 0; x 2x2cos2 nˆen ha`m sˆo´ h(x) d¯`ˆong biˆe´n, d¯o ´ x 2x π π v´o i x ∈ 0; h(x) < h( = hay tan < π π Bˆay gi´o xe ´ t tam gia ´ c ABC v´o.i ca ´ c kı´ hiˆe.u quen biˆe´t, BC = a, CA = b, AB = c ´ c go ´ c tam gia ´ c tı´nh b˘a` ng radian; r, R, p, S th´ u tu la` Go.i A, B, C la` d¯ˆo l´o.n ca ´ n kı´nh d¯u.`o.ng tro`n ngoa.i tiˆe´p, nu’.a chu vi va` diˆe.n ba ´ n kı´nh d¯u.`o.ng tro`n nˆo.i tiˆe´p, ba ´.ng la` d¯ˆo da`i d¯u.`o.ng phˆan gia ´ c, d¯u.`o.ng cao, tich tam gia ´ c; la , , ma, tu.o.ng u ´ n kı´nh d¯u.`o.ng tro`n ba`n tiˆe´p u ´.ng v´o.i d¯ı’ nh A d¯u.`o.ng trung tuyˆe´n va` ba 66 Ba `i toa ´ n 4.2 Trong tam gia ´ c nho.n ABC, ta luˆ on co ´ p A B C pπ < Acos2 + Bcos2 + Ccos2 < 4R 2 R T` u d¯i.nh ly ´ ha`m sˆo´ sin quen thuˆo.c tam gia ´ c ta co ´ sinA + sinB + sinC = Acos2 p R A A A A < 2tan cos2 = sinA < Acos2 2 π Ba `i toa ´ n 4.3 Trong tam gia ´ c ABC nho.n, ta luˆ on co ´ 2p < sinA + rb sinB + rc sinC < π 2p A B C u cˆong th´ u.c = ptan , rb = ptan , rc = ptan , Ba`i toa ´ n na`y d¯u.o c xˆay du ng t` 2 A A A < sin < ta d¯u.o c kˆe´t ho p v´o.i kˆe´t qua’ π 2 √ A A A 2p < sinA = 2psin < 2p π 2 Do d¯´o √ 2p (A + B + C) < π sinA + rb sinB + rc sinC < A+B+C 2p Ba `i toa ´ n 4.4 Trong tam gia ´ c nho.n ABC, ta luˆ on co ´ < 1 1 1 + +hb + +hc + < 2π b c c a a b Ba`i toa ´ n d¯u.o c xuˆa´t pha ´ t t` u kˆe´t qua’ sinB = hc hb hc hb = , sinA = = , sinC = = c a c b b a va` kˆe´t qua’ cu’a ba`i toa ´ n d¯a.i sˆo´, ta co ´ < sinA + sinB + sinC < π Do d¯o ´ ba`i toa ´n d¯u o c ch´ u ng minh Ba `i toa ´ n 4.5 Trong tam gia ´ c ABC nho.n, ta luˆ on co ´ ab bc ca 12R < + + < 3πR π lc la lb 67 u cˆong th´ u.c la = Ba`i toa ´ n na`y d¯u.o c xˆay du ng t` A va` kˆe´t qua’ ba`i toa ´ n trˆen b+c 2bccos 2(C + B) R bc R(B + C) 2R(sinB + sinC) b+c π π> = > = A π A π A π−A la − − 2cos 2sin 2 2 πR(B + C) bc 4R B + C > > B+C la π B+C bc 4R ⇒ πR > > la π ˜ ng co Hoa`n toa`n tu.o.ng tu ta cu ´ ⇒ πR > ab ca 4R 4R , πR > > > lc π lb π `eu cˆ `an ch´ T` u d¯´o ta suy d¯u.o c d¯iˆ u.ng minh Ba `i toa ´ n 4.6 Trong tam gia ´ c nho.n ABC, ta co ´ π(2R − r) < aA + bB + cC < 4(2R − r) T` u ca ´ c kˆe´t qua’ A B C = ptan , rb = ptan , rc = ptan 2 B C A = (p − b)tan = (p − c)tan 2 A B C Dˆa˜n d¯ˆe´n = r + atan , rb = r + btan , rc = r + ctan 2 Suy ra + rb + rc = 4R + r ´ap du.ng kˆe´t qua’ ba`i toa ´ n d¯a.i sˆo´ ta d¯u.o c r = (p − a)tan 4R + r = 3r + atan va` B C A + btan + ctan < 3r + (aA + bB + cC) 2 π B C A + btan + ctan > 3r + (aA + bB + cC) 2 2 `eu cˆ `an ch´ ´ d¯iˆ u ng minh T` u d¯´o ta co 4R + r = 3r + atan Ba `i toa ´ n 4.7 T´ u diˆe.n ABCD co ´c ´ d¯ˆ o da `i ca ´ c d¯u.` o.ng cao la ` hi (i = 1, 2, 3, 4) Ca a´t ca ´ c ca.nh d¯o ˆ´i tu.o.ng u ´.ng o’ ca m˘ a.t phˆ an gia ´ c cu’a ca ´ c nhi diˆe.n (cu’a t´ u diˆe.n) c˘ ´c 68 ` khoa’ng ca ´ ch t` u Ei d¯ˆe´n hai m˘ a.t bˆen khˆ ong ch´ u.a Ei d¯iˆe’m Ei (i = 1, 6) Go.i xi la Ch´ u.ng minh 1 384 ≤6 ≤ x h2 i=1 i i=1 i i=1 hi Khi na `o xa’y ca ´ c dˆ a´u d¯˘ a’ ng th´ u.c? `an lu.o t t` ´ c d¯u.`o.ng cao cu’a t´ Go.i h1 , h2 , h3 , h4 la` d¯ˆo da`i ca u diˆe.n lˆ u L` o.i gia’i ´.ng v´o.i d¯u.`o.ng cao hi (i = 1, 2, 3, 4) ca ´ c d¯ı’ nh A, B, C, D; Si la` diˆe.n tı´ch cu’a m˘a.t u `an lu.o t thuˆo.c ca ´ c ca.nh Ab, AC, AD, BC, BD, CD Gia’ su’ E1 , E2, E3 , E4 , E5 , E6 lˆ ´ ca ´ c hˆe th´ u c sau va` V la` thˆe’ tı´ch cu’a t´ u diˆe.n Ta co 3V = (S1 + S2 )x1 = (S1 + S3 )x2 = (S1 + S4 )x3 = (S2 + S3 )x4 = = (S2 + S4 )x5 = (S3 + S4 )x6 = Si hi (i = 1, 2, 3, 4) T` u d¯´o ta d¯u.o c 1 1 1 = + ; = + x1 h1 h2 x4 h2 h3 1 1 1 = + ; = + x2 h1 h3 x5 h2 h4 1 1 1 = + ; = + x3 h1 h4 x6 h3 h4 ´ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c Cˆosi, ta co ´ nˆe´u a > 0, b > 0, thı` (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) T` u d¯´o theo trˆen suy 1 ≤2 2+ ; x1 h1 h1 1 ≤2 + 2 x4 h1 h3 1 ≤2 2+ ; x2 h1 h3 1 ≤2 + 2 x5 h2 h4 (4.1) 69 1 1 1 ≤2 2+ ; ≤2 + 2 x3 h1 h4 x6 h3 h4 u.c trˆen, ta d¯u.o c Cˆo.ng t` u.ng vˆe´ bˆa´t d¯˘a’ng th´ ≤6 x2i i=1 i=1 h2i `an d¯ˆ `eu Dˆa´u b˘a` ng xa’y va` chı’ h1 = h2 = h3 = h4 ⇔ ABCD la` t´ u diˆe.n gˆ M˘a.t kha ´ c theo bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c a2 + b2 ≥ (a + b)2 ta co ´ 1 + = x1 x6 1 + h1 h2 Ho.n n˜ u.a ta co ´ i=1 + 1 + h3 h4 ≥ i=1 hi 16 ≥ hi hi i=1 Suy 1 + ≥ x1 x6 128 hi i=1 Ly ´ luˆa.n hoa`n toa`n tu.o.ng tu ta co ´ 1 + ≥ x2 x5 128 hi i=1 1 + ≥ x3 x4 128 hi i=1 Cˆo.ng t` u.ng vˆe´ ca ´ c bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c trˆen ta co ´ i=1 ≥ x2i 384 hi i=1 `an d¯ˆ `eu Dˆa´u d¯˘a’ng th´ u.c xa’y h1 = h2 = h3 = h4 ⇔ ABCD la` t´ u diˆe.n gˆ Ba `i toa ´ n 4.8 Cho tam gia ´ c ABC co ´ tro.ng tˆ am G va ` nˆ o.i tiˆe´p d¯u.` o.ng o.ng trung tuyˆe´n ke’ t` u A, B, C ke ´o da `i c˘ a´t d¯u.` o.ng tro `n ngoa.i ba ´ n kı´nh R Ca ´ c d¯u.` ` ´ ng Ch´ u ng minh r˘ a ng tiˆe´p ta.i ca ´ c d¯iˆe’m A’, B’, C’ tu o ng u √ 1 1 1 ≤ + + + + ≤ R GA GB GC AB AC BC 70 L` o.i gia’i Mo.i M la` trung d¯iˆe’m cu’a BC Khi d¯´o AMB ∼ MA C suy MA.MA = MB.MC (4.2) Ky ´ hiˆe.u a, b, c la` d¯ˆo da`i ba ca.nh cu’a ABC d¯ˆo´i diˆe.n v´o.i ca ´ c d¯ı’ nh A, B, C; co`n ´ ng Nhu vˆa.y t` u 4.2 ta co ´ ma , mb, mc la` d¯ˆo da`i ba d¯u `o ng trung tuyˆe´n tu o ng u ma.MA = a2 a2 ⇒ MA = 4ma 1 Ta co ´ GM = AM = ma , vˆa.y 3 a2 GA = GM + MA = ma + 4ma Theo bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c gi˜ u.a trung bı`nh cˆo.ng va` trung bı`nh nhˆan, ta co ´ a2 GA = ma + ≥2 4ma suy a2 a2 ma = 4ma 4ma √ √ 3 = ≤ GA a BC √ a2 a ⇔ ma = Dˆa´u b˘a` ng xa’y va` chı’ ma = 4ma ´ Ly ´ luˆa.n tu.o.ng tu , ta co √ ≤ GB AC √ b Dˆa´u d¯˘a’ng th´ u c xa’y va` chı’ mb = √ ≤ GC AB (4.3) (4.4) (4.5) 71 √ c Dˆa´u d¯˘a’ng th´ u c xa’y va` chı’ mc = Cˆo.ng t` u.ng vˆe´ (4.3), (4.4), (4.5), ta d¯u.o c √ 1 1 1 + + + + ≤ GA GB GB AB AC BC `ong th`o.i dˆa´u d¯˘a’ng th´ u.c (4.3), (4.4), Dˆa´u d¯˘a’ng th´ u.c xa’y va` chı’ d¯ˆ (4.5) xa’y ra, √ √ √ a b c , mb = , mc = ⇔ ma = 2 2 2 3a 3b 3c , m2b = , m2c = ⇔ m2a = 4     2 2 2     b + c = 2a 2b + 2c − a = 3a ⇔ 2a2 + 2c2 − b2 = 3b2    2a2 + 2b2 − c2 = 3c2 ⇔ a2 + c2 = 2b2    a2 + b2 = 2c2 ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c Hay tam gia ´ c ABC d¯`ˆeu Vˆa.y bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c bˆen pha’i d¯u.o c ch´ u.ng minh, bˆay gi`o ta xe ´t bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c bˆen tra ´ i cu’a ba`i toa ´ n Ta co ´ ma 8m2a GA = = = a2 GA 4m2a + 3a2 ma + 4ma 2(2b + 2c2 − a2 ) 2b2 + 2c2 − a2 = = 2b + 2c2 − a2 + 3a2 a2 + b2 + c2 Tu.o.ng tu , ta co ´ 2a2 + 2c2 − b2 GB = GB a + b2 + c2 2a2 + 2b2 − c2 GC = GC a + b2 + c2 GA GB GC ⇒ + + =3 GA GB GC M˘a.t kha ´ c, ta co ´ BB CC GA GB GC AA + + =1+ +1+ +1+ =6 GA GB GC GA GB GC 72 Do AA ≤ 2R, BB ≤ 2R, CC ≤ 2R Suy 6= ⇒ BB CC 1 AA + + ≤ 2R + + GA GB GC GA GB GC 1 + + ≥ GA GB GC R Dˆa´u d¯˘a’ng th´ u.c xa’y va` chı’ AA = BB = CC = 2R ⇔ ABC la` `eu Vˆa.y ba`i toa tam gia ´ c d¯ˆ ´ n d¯u.o c ch´ u.ng minh 4.3 Ba `i tˆ a.p ` Ba `i tˆ a.p 4.1 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: 2πp − 8(R + r) < aA + bB + cC < 2πp − 2π(R + r) ` a ng: Ba `i tˆ a.p 4.2 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ πS < (p − a)(p − b) + (p − b)(p − c) + (p − c)(p − a) < 2S ` Ba `i tˆ a.p 4.3 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: abc < a2 (p − a) + b2(p − b) + c2 (p − c) < π abc ` Ba `i tˆ a.p 4.4 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: m2a + m2b + m2c 2 (A + B + C ) < < A2 + B + C π2 3R2 ` Ba `i tˆ a.p 4.5 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: < la 1 1 1 + +lb + +lc + < 2π b c c a a b 73 Kˆ e´t luˆ a.n cu’a luˆ a.n v˘ an - T Nh˜ `e cˆa.p d¯ˆe´n mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha Luˆa.n v˘an d¯ˆ ´ p la`m ch˘a.t BD u.ng kˆe´t qua’ chı´nh cu’a luˆa.n v˘an thu d¯u.o c la`: - ˜a cu thˆe’ ho `oi ´ p su’ du.ng tı´nh chˆa´t cu’a ha`m lˆ D ´ a ly ´ thuyˆe´t cu’a phu.o.ng pha ˜ m) b˘`a ng nh˜ ´ thˆe’ ta ´ ch riˆeng tha`nh nh˜ u ng ba`i tˆa.p (lo u ng vı´ du va` ba`i tˆa.p cu thˆe’, co - T quen thuˆo.c, la` tru.`o.ng ho p riˆeng cu’a ca - T kha `e BD `eu BD ´c vˆ ´ phong phu ´ Kha ´ nhiˆ - T d¯˜a d¯u o c ta.o t` `an cuˆo´i chu o ng, luˆa.n v˘an u nh˜ u ng minh ho.a na`y Trong phˆ BD ˜ m) d¯ˆe’ ba.n d¯o.c co ˜ ng d¯˜a d¯u a d¯u o c kha `eu ha`m lˆ `oi (lo ´ nhiˆ ´ thˆe’ ´ap du.ng sa ´ ng ta.o cu - T kha `eu BD nhiˆ ´ c va` ca ´ c ba`i tˆa.p ta ´ c gia’ luˆa.n v˘an sa ´ ng ta ´ c ´ c ca ´ ch lu a cho.n tham sˆo´ k d¯ˆe’ la`m ch˘a.t Bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c, Luˆa.n v˘an d¯˜a d¯u a ca d¯´o tham sˆo´ k d¯u.o c trı`nh ba`y o’ hai da.ng: Da.ng 1: Tham sˆo´ k d¯oˆ c lˆa.p khˆong phu thuˆo.c va`o tham sˆo´ kha ´ c va` chı’ xuˆa´t u c hiˆe.n o’ mˆo.t vˆe´ cu’a Bˆa´t d¯˘a’ng th´ Da.ng 2: Tham sˆo´ k co`n phu thuˆo.c va`o tham sˆo´ kha ´ c ´ p s˘a´p th´ u tu ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung Luˆa.n v˘an hˆe thˆo´ng ho ´ a mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha ´ p b˘`a ng nh˜ u.ng vı´ du va` ba`i tˆa.p cu bı`nh va` cu thˆe’ ho ´ a ly ´ thuyˆe´t cu’a phu.o.ng pha -T - T m´o.i d¯u.o c luˆa.n v˘an sa `eu BD ´ ng ta ´ c, thˆong qua viˆe.c la`m ch˘a.t BD thˆe’ Kha ´ nhiˆ ´ p na`y b˘a` ng ca ´ ch su’ du.ng phu.o.ng pha `e cˆa.p d¯ˆe´n mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha ´ p la`m ch˘a.t Luˆa.n v˘an cuˆo´i cu`ng cu’a luˆa.n v˘an d¯ˆ - T d¯a.i sˆo´ thˆong qua nh˜ u hı`nh ho.c, v´o i nh˜ u.ng vı´ du BD u ng u ´o c lu o ng tru c quan t` minh ho.a kha ´ cu thˆe’ 74 ˙’ O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI [1] Nguyˆ˜en V˘an Mˆa.u (2006), Bˆ a´t d¯a ˘’ ng th´ u.c- d¯.inh ly ´ va ` ´ap du.ng, NXB Gia ´ o du.c - a`o Chiˆe´n (2005), Hˆo.i nghi khoa ho.c ”Ca `e cho.n lo.c hˆe [2] Tri.nh D ´ c chuyˆen d¯ˆ ´ p la `m ch˘ a.t bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c, Ha` Nˆo.i THPT chuyˆen”, Mˆ o.t sˆ o´ phu.o.ng pha u.c [3] Pha.m Kim Hu`ng (2006), Sa ´ ng ta.o bˆ a´t d¯a ˘’ ng th´ u.c, NXB Tri th´ - ˘a´c (1995), Luˆa.n v˘an Tha.c sy ˜ Toa [4] Tru.o.ng Ngo.c D ´ n Ly ´ , Bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c Karamata - a.i ho.c tˆo’ng ho p Ha` Nˆo.i va `u ´.ng du.ng, Tru.`o.ng D `e cho.n lo.c [5] Quach V˘an Giang (2005), Hˆo.i nghi khoa ho.c ” Ca ´ c chuyˆen d¯ˆ ` a´t d¯a ˘’ ng th´ u.c b˘ a ng phu.o.ng pha ´ p tham hˆe THPT chuyˆen”, tr 62, Ch´ u.ng minh bˆ sˆ o´ ho ´ a, Ha` Nˆo.i [6] Pha.m V˘an Thuˆa.n (2005), Hˆo.i nghi khoa ho.c ”Ca ´ c chuyˆen d¯`ˆe cho.n lo.c hˆe ong bˆ a.c, Ha` Nˆo.i THPT chuyˆen”, tr 148, Bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u c d¯`ˆ ` mˆ o.t sˆ o´ vˆ a´n d¯`ˆe liˆen [7] Nguyˆ˜en V˘an Mˆa.u (chu’ biˆen) (2004), Bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c va - HKHTN Ha` Nˆo.i quan, NXB Tru `o ng D - ˘a.ng Huy Ruˆa.n, D - ˘a.ng Hu`ng Th˘a´ng - Trˆ ˜ ng-Bu`i `an Nam Du [8] Nguyˆ˜en V˘an Mˆa.u-D `oi du.˜ o.ng ho.c sinh gio’i, Cˆong Huˆa´n (2004),Mˆ o.t sˆ o´ chuyˆen d¯`ˆe toa ´ n cho.n lo.c bˆ - HKHTN Ha` Nˆo.i NXB Tru.`o.ng D `e [9] Nguyˆ˜en V˘an Mˆa.u - Pha.m Thi Ba.ch Ngo.c (2004),Mˆ o.t sˆ o´ ba `i toa ´ n cho.n lo.c vˆ ´ c, NXB Gia ´ o du.c lu o ng gia `e Bˆ a´p vˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c, NXB Gia ´o [10] Phan Huy Kha’i (2001),10.000 Ba `i toa ´ n so cˆ du.c ... mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha u hı`nh ho.c, v´o.i nh˜ u.ng vı´ du minh ho.a kha ´ thˆong qua nh˜ u.ng u.´o.c lu.o ng tru c quan t` cu thˆe’ ˜ Tri.nh Luˆa.n v˘an d¯u.o c hoa`n tha`nh du.´o.i su hu.´o.ng... viˆen va` ta.o mo.i d¯iˆ `e ta`i hoa`n tha`nh d¯ˆ Trong qua ´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an na`y, ta ´ c gia’ co`n nhˆa.n d¯u.o c su quan tˆam `ong nghiˆe.p, ca d¯ˆo.ng viˆen cu’a me , vo ,... i.nh lı´ 1.1.2, - i.nh lı´ 1.1.1 ho˘a.c D u.ng kˆe´t qua t` u D Nhˆa.n xe ´t r˘a` ng, d¯ˆe’ co ´ d¯u.o c nh˜ ˜ y {uk } va` {vk } thoa’ `eu quan tro.ng tru ´o c hˆe´t la` pha’i xˆay du ng trˆen